Внеклассное мероприятие "Путешествие в мир многогранников" 7-9 класс

Внеклассное мероприятие

по математике

Путешествие в мир многогранников

7-9 классах

Цель:

1.Обобщение знаний о правильных многогранниках;

2.Расширение представлений учащихся о  видах  

   многогранников.

 Сообщение учителя о цели данного занятия (слайд №1).

(Выступления учащихся)

 Симметрия

   Прошли тысячелетия, прежде чем человечество в ходе своей общественно-производственной деятельности осознало необходимость выразить  в определенных понятиях установленные им прежде всего в природе две тенденции:             

Наличие  строгой упорядоченности,соразмерности, равновесия и их нарушения.

  Люди  давно  обратили  внимание   на   правильность   формы   кристаллов,

геометрическую  строгость  строения  пчелиных  сот,   последовательность   и

повторяемость расположения ветвей и листьев на деревьях, лепестков, цветов, семян растений и отобразили эту упорядоченность в своей практической деятельности, мышлении и искусстве.

  Понятие «симметрия» употреблялось в двух значениях. В одном смысле симметричное означало нечто  пропорциональное;  симметрия  показывает

тот способ согласования многих частей, с помощью которого они объединяются в целое. Второй смысл этого слова — равновесие.

     Слово "симметрия" ("symmetria") имеет греческое происхождение и означает "соразмерность". В повседневном языке под симметрией понимают чаще всего упорядоченность, гармонию, соразмерность. Гармоничная согласованность частей и целого является главным источником эстетической ценности симметрии (слайд №2).

Правильные многогранники

    С древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам – удивительным символам симметрии, привлекшим внимание выдающихся мыслителей. Самым известным является класс правильных многогранников, у которых все грани являются правильными равными многоугольниками и все многогранные углы равны (слайд № 3). Первые упоминания о правильных многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Первым ученым, обнаружившим, что существует только пять правильных многогранников, был древнегреческий философ – идеалист Платон (Слайд №4).

С тех пор они стали называться Платоновыми телами.    С каждым типом многогранника другой древнегреческий философ – естествоиспытатель Аристотель связал пять стихий:

         1. Тетраэдр – Огонь;

         2. Октаэдр – Воздух;

         3. Икосаэдр – Вода;

         4. Гексаэдр (куб) – Земля;

         5. Додекаэдр – Космос (слайд №5).

         Первые четыре стихии в современном естествознании соответствуют основным формам материи. Пятая стихия – не материальная, космос в переводе с древнегреческого означает мировой порядок, мироздание, по Платону – мировая идея. Если внимательно посмотреть на модель додекаэдра, то можно увидеть нечто похожее на черепную коробку. В  этом заложен глубокий смысл – эволюция жизни на земле носила не случайный характер, а задавалась извне.

Тетраэдр (слайд №6)

Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов. Таким образом, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Элементы симметрии:

Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности:

Объем тетраэдра:

Гексаэдр (Куб)(слайд№7)

Куб составлен из шести квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов. Таким образом, куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

Элементы симметрии:

Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности куба:

S=a²

Объем куба:

V=a³

Октаэдр (слайд№8)

Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов. Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

Элементы симметрии:

Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности:

Объем октаэдра:

Икосаэдр (слайд№9)

Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов. Таким образом икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.

Элементы симметрии:

Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности:

Объем икосаэдра:

Додекаэдр (слайд№10)

Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

Элементы симметрии: Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности:

Объем додекаэдра:

Полуправильные многогранники (слайд№11)

     Следующий класс полуправильных многогранников этого тела, грани которых являются правильными многоугольниками разных типов, на все многогранные углы по прежнему равны. Этот класс связывают с именем другого великого ученого древности Архимеда, который его впервые подробно описал. Архимед обнаружил 13 отдельных многогранников и две бесконечные серии призм и антипризм, основания которых являются правильными многоугольниками.                                                              Многогранник называется равноугольно-полуправильным или архимедовым, если все его многогранные углы равны между собой (нo не обязательно правильные), а все его грани — правильные многоугольники (но не все равны между собой). Простейшим примером архимедова многогранника может служить архимедова призма, т. е. правильная n-угольная призма с квадратными боковыми гранями.

Другой пример — так называемая п-угольная архимедова антипризма. Она может быть получена, если одно из оснований правильной n-угольной призмы (n>4) повернуть вокруг оси призмы на угол —— и затем соединить отрезками каждую вершину этого основания с ближайшими вершинами другого основания; при этом высота призмы должна быть подобрана так, чтобы эти отрезки оказались равными стороне основания (иначе говоря, боковые грани антипризмы должны быть правильными треугольниками). Меняя n, мы получим две бесконечные серии архимедовых многогранников — призм и антипризм

     Интересно отметить, что все полуправильные многогранники можно получить из правильных путем процедуры усечения вершин или разбиения граней на части. Например, Усеченные тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр получены путем срезания углов граней на расстояние 1/3 ребра вершины по середине ребер граней, то из куба и октаэдра можно получить кубооктаэдр, а из икосаэдра и додекаэдра – икосододекаэдр. 

Звездчатые тела (слайд №12)

         Следующим классом многогранников являются звёздчатые тела, которые получаются из исходных многогранников путем продолжения их граней.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

    Среди звездчатых форм икосаэдра встречаются некоторые соединения платоновых тел. Среди них: соединения пяти октаэдров, энантиоморфные формы соединения пяти тетраэдров и соединения десяти тетраэдров. Если бы Платон смог видеть эти формы, они привели бы его в восхищение. После того как были открыты эти и ряд других многогранников, ученые, естественно, задумались над вопросом: сколько существует звездчатых форм икосаэдра? В 1900 году Брюкнер опубликовал классическую работу о многогранниках, озаглавленную "Vielecke und Vielflache", в которой были представлены некоторые новые звездчатые формы икосаэдра.

Обобщение и итог занятия.

 Тест

1.                             Платоновы тела иначе называются
Архимедовыми телами
Правильными многогранниками
Кеплеровыми телами
Древними телами

2.Каждая грань правильного многогранника должна быть ...
Равнобедренным треугольником
Многоугольником, в который можно вписать окружность
Правильным многоугольником
Произвольным многоугольником

3.Количество Платоновых тел с точностью до подобия ...
5
13
3
Бесконечное множество

4.Обозначение {3,5} используется для обозначения ...
Тетраэдра
Октаэдра
Икосаэдра
Додекаэдра

5.Среди перечисленных правильными многогранниками являются
Икосаэдр
Кубооктаэдр
Ромбоусеченный куб
Правильный тетраэдр
Усеченный тетраэдр
Шестиугольная призма
Пентаграмма
Псевдоромбокубооктадр
Додекаэдр
Ромбоикосододекаэдр