Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения.

• 1 слайд

  
  Краевая научно-практическая конференция «Эврика» Малой академии наук учащихся Кубани
  Восемь способов решения
  одного
  тригонометрического уравнения
  
  Выполнен ученицей 11 «А» класса МОУ гимназии №40 Скопинцевой М.
  Г. Краснодара
  Научный руководитель-
  учитель математики МОУ гимназии№40
  Шмитько И.А.
  Научный консультант-преподаватель ИНСПО Куб ГУ, канд. пед. наук
  Печкуренко Е.Н.
  2008г.
  
  

• 2 слайд

  2
  Человеку, изучающему алгебру часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами , можно путем сравнивания выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.
  У. У. Сойер
  /английский математик и педагог XX века/
  

• 3 слайд

  3
  Восемь способов решения одного
  тригонометрического уравнения.
  1.Приведение уравнения к однородному.
  2.Разложение левой части уравнения на множители.
  3.Введение вспомогательного угла.
  4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.
  5.Приведение к квадратному уравнению.
  6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
  7.Универсальная подстановка.
  8.Графическое решение.
  

• 4 слайд

  4
  Задача. Решите уравнение
  различными способами:
  sin x – cos x = 1.
  ?
  

• 5 слайд

  5
  Способ первый. Приведение уравнения к однородному.
  sin x – cos x = 1
  Это однородное уравнение первой степени. Делим обе части этого уравнения на
  т.к., если
  что противоречит тождеству
  Получим:
  sin x = 2 sin x/2 cos x/2,
  cos x = cos 2 x/2 +sin 2 x/2,
  1 = sin 2 x/2 + cos2 x/2.
  ,
  .
  

• 6 слайд

  6
  Способ второй. Разложение левой части уравнения на множители: sin x – cos x = 1
  
  
  Далее так, как в первом способе.
  

• 7 слайд

  7
  Способ третий. Введение вспомогательного угла. sin x – cos x =1
  
  
  
  В левой части вынесем - корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sin х и cos х.
  
  
  = sin  /4 = cos  /4
  
  sin cos - cos  sin  = sin (-)
  

• 8 слайд

  8
  
  Внимание! Эквивалентны ли результаты , полученные
  в рассмотренных способах решений данного уравнения
  sin x – cos x = 1?
  
  Покажем однозначность ответов.
  1 –й способ
  x =  /2 + 2  n, n  Z
  x:  /2; 5  /2 ; 9 /2; -3  /2; -7  /2;…
  x =  + 2 n, b Z
  x =  ; 3  ; 5 ; -  ; -3 ;…
  2-й способ
  x = /4 + ( -1)  /4 +  k, k  Z
  x:  /2; ; 5  /2 ; 3  ; 9/2; -; - 3/2; -3; -7/2…
  
  

• 9 слайд

  9
  Способ четвертый. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. sin x – cos x = 1
  Запишем уравнение в виде:
  
  
  Применим формулу разности двух синусов.
  
  Далее так, как в третьем способе.
  
  1
  cos x = sin ( / 2 – x )
  

• 10 слайд

  10
  Способ пятый. Приведение к квадратному уравнению относительно одной функции.
  sin x - cos x = 1
  Возведем в квадрат:
  или
  

• 11 слайд

  11
  Внимание! При решении уравнения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка.
  
  Сделаем проверку.
  
  
  
  Полученные решения эквивалентны объединению трёх решений
  Первое и второе решение совпадают с ранее полученными, поэтому не
  являются посторонними. Проверять не будем.
  Проверим:
  Левая часть:
  а правая часть уравнения равна 1, следовательно это решение является посторонним.
  
  

• 12 слайд

  12
  Способ шестой.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. sin x – cos x = 1
  sin2x - 2sin x cos x + cos2 x = 1, sin2 x + cos2x = 1
  1 – 2sin x cos x = 1,
  2sin x cos x = 0,
  
  
  
  Ответ: x =  n, n  Z, x=  /2 + n, n  Z.
  
  или cos x =0
  x=  /2 + n, n  Z
  
  sin x = 0
  x =  n, n  Z
  

• 13 слайд

  13
  Способ седьмой. Универсальная подстановка (выражение sin x и cos x через tg x/2).
  sin x – cos x =1
  Выражение всех функций через tg х (универсальная подстановка)
  по формулам:
  Sin x –cosx = 1
  Умножим обе части уравнения на
  

• 14 слайд

  14
  Внимание! Могли потерять корни.Необходима
  проверка!
  
  Область допустимых значений первоначального уравнения - всё множество R . При переходе к tg x/2 из рассмотрения выпали значения x, при которых tg x/2 не имеет смысла, т.е.x =  +  n, где n  Z .
  Следует проверить , не является ли
  x =  + n, где n  Z решением данного уравнения.
  Левая часть sin(π - 2πk) – cos(π + 2πk) = sin π – cos π = 0 – (-1) = 1 и правая часть равна единице. Значит, x =  +  n ,где n  Zявляется решением данного уравнения.
  Ответ: : x=  n, n  Z, x=  /2 + n, n  Z.
  
  

• 15 слайд

  15
  Способ восьмой. Графический способ решения.
  sin x – cos x = 1
  
  На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих левой и правой части уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решением данного уравнения,
  у = sin х - график синусоида.
  у = соs х + 1 – синусоида, смещённая на единицу вверх.
  
  
  
  
  
  
  sin x = cos x + 1
  

• 16 слайд

  16
  Проверь себя !
  Решу, применяя разные способы решения одного и того же тригонометрического уравнения:
  1. sin2x + cosx = 0 ;
  2. 3 sin x – cos x = 0
  3. sin6x + sin3x = 0;
  4. sin2x +cos2x = 1;
  5.  3sin x + cos x = 1.
  

• 17 слайд

  17
  sin2x + cosx = 0
  sin2x =2sinxcosx, тогда 2sinxcosx + cosx = 0,
  cosx( 2sinx + 1 ) = 0,
  cosx = 0 или 2sinx + 1 = 0,
  х =  /2 +  n; n  Z; sinx = -1/2
  x = ( -1)k+1  /6 + k, k  Z.
  Ответ: x =  /2 +  n, ; x = (-1)k+1  /6 +  k , где
  n Z , k  Z .
  Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2-й способ ).
  
  

• 18 слайд

  18
  sin2x + cosx = 0
  cosx = sin ( /2 – x ), тогда :
  sin2x + sin ( /2 – x ) = 0,
  2sin ( x/2 +  /4)cos (3x/2 -  /4 ) = 0.
  
  sin (x/2 +  /4) = 0 или cos (3x/2 -  /4 ) = 0,
  x/2 +  /4 =  n 3x/2 -  /4 =  /2 +  n
  x =-  /2 + 2  n x =  / 2+ 2  n/3 , n Z
  
  Ответ : x = -  /2 + 2  n , x =  / 2 + 2 n/3 , n Z .
  
  Способ : преобразование суммы тригонометрических функций в произведение ( 4 –й способ ) .
  
  

• 19 слайд

  19
  Сравним результаты двух способов решения уравнения sin2x + cosx = 0
  2 –й способ:
  x =  /2 +  n; n Z,
  n =0, x =  /2 ( т. A ),
  n = 1, x = 3  /2 (т. В ),
  n =-1, x = -  /2 ( т. В ),
  n = 2, x =  /2 +2 (т.А)
  
  2) x=(-1)k+1 /6 + k;k Z,
  k=0, x = -  /6 ( т.C ),
  k =1, x =  /6 +  (т.D ),
  k =-1, x =  /6 -  (т .D),
  k =2,x = -  /6+2  (т.C)
  
  4-способ:
  1) x = - /2 +  n, n Z ,
  n =0, x= -  /2, (т .В ),
  n =1, x =-  /2 + 2 , (т .В ),
  n=-1, x= -  /2 –2  , (т. В ),
  n=2, x = -  / 2+ 4 ,(т .В ).
  
  2) x =  / 2 + 2 n/3 , n Z .
  n =0, x=  /2 ( т.А ),
  n=1, x = 7  /6 ( т. D ),
  n= -1, x = -  /6 (т. А),
  n = 2, x = 11 / 6 (т.С ),…
  

• 20 слайд

  20
  Графическая иллюстрация этих решений на тригонометрическом круге
  
  
  
  
  
  
  
  Вывод : при обоих способах решений данного уравнения результаты одни и те же.
  0
  х
  у
  у
  А
  В
  С
  D
  

• 21 слайд

  21
  3 sin x – coos x = 0
  cos x  0 в силу основного тригонометрического тождества sin2x + cos2x = 1.
  Разделим обе части уравнения на cos x.
  3 tg x = 1, tg x = 1/ 3 ,
  x =  /6 + n , n  Z.
  
  Ответ: x =  /6 +  n, n  Z.
  
  Cпособ :решение однородного уравнения ( 1-й способ ).
  

• 22 слайд

  22
  3 sin x – cos x = 0
  3sin x – cos x = 0, разделим обе части уравнения на 2.
  3/2sin x – ½cos x = 0,
  sin x cos  /6 – cos x sin  /6 = 0,
  sin (x -  /6) = 0,
  x -  /6 =  n , n  Z,
  x =  /6 +  n , n  Z.
  Ответ : x =  /6 +  n, n  Z.
  Способ: введение вспомогательного угла ( 3 –й способ ).
  
  

• 23 слайд

  23
  3 sin x – cos x = 0
  3 sin x – cos x = 0, возведем обе части уравнения в квадрат.
  3 sin2x – 2 3 sin x cos x + cos2x = 1, разделим обе части уравнения на cos2x  0.
  3 tg2x – 23 tg x + 1 = 0
  D = 0, tg x =  3/ 3;
  x =  /6 +  n, n  Z.
  Ответ :x =  /6 +  n, n  Z.
  Способ :возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6-й способ).
  уравнения в
  

• 24 слайд

  24
  3 sin x – cos x = 0
   3 sin x – cos x = 0,
  2 tg x/2 1 - tg 2 x/2
  1 + tg 2 x/2 , 1 + tg 2 x/2 ,
  3 2 tg x/2 1 - tg 2 x/2
  1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2
  3 2 tg x/2 - 1 + tg 2 x/2
  1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2  0,
  tg 2 x/2 + 2 3 tg x/2 - 1 = 0, tg x/2 = m,
  m 2 + 2 3 m – 1 =0, D = 0, m1 = - 3 - 2, m2 = - 3 + 2,
  1) tg x = - 3 - 2,
  2(- 3 - 2 ) - 2(3 + 2 ) - 2(3 + 2 ) - 1
  1 +( - 3 - 2)2 8-4 3 4( 2+ 3 ) 2 ,
  sin x = - 1/2, x = ( -1 ) k +1 /6 +  k, k  Z;
  2) tg x = - 3 + 2,
  2(- 3 + 2 ) - 2(3 - 2 ) - 2(3 - 2 ) 1
  1 +( - 3 + 2)2 8-4 3 4( 2- 3 ) 2 ,
  sin x = 1/2, x = ( -1 ) k  /6 +  k, k  Z.
  Примечание:решения можно объединить: x = ( -1 ) k  /6 +  k, k  Z.
  Ответ: x = ( -1 ) k  /6 +  k, k  Z.
  Способ: универсальная подстановка ( 7 –й способ ).
  
  
  
  
  
  
  sin x =
  cos x=
  -
  =
  = 0,
  =0,
  sin x=
  sin x =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  

• 25 слайд

  25
  sin 6x + sin 3x = 0
  sin 6x + sin 3x = 0,
  2 sin 3x cos 3x + sin 3x = 0,
  sin 3x ( 2 cos 3x + 1 ) = 0,
  sin 3x =0 , 2 cos 3x + 1 = 0,
  3x =  n, n  Z, cos 3x = -½,
  x =  n/3, n  Z , x = 2  /9 + 2  n /3, n  Z.
  Ответ: x =  n/3, n  Z; x = 2  /9 + 2  n /3, n  Z.
  Способ:разложение левой части уравнения на множители ( 2 способ ).
  

• 26 слайд

  26
  sin 6x + sin 3x = 0
  sin 6x + sin 3x = 0,
  2sin 9x/2 cos 3x/2 = 0 ,
  sin 9x/2=0 , cos 3x /2 = 0,
  9x/2 =  n, n  Z, 3x /2 =  /2 +  n, n  Z,
  x = 2  n/9, n  Z; x =  /3 + 2  n/3, n  Z .
  Ответ: x = 2  n/9, n Z;
  x =  /3 + 2  n/3, n Z.
  Способ: преобразование тригонометрических функций в произведение ( 4-й способ ).
  

• 27 слайд

  27
  Сравним решения уравнения sin6x+ sin3x =0, полученные разными способами.
  
  
  
  
  
  
  Вывод: результаты решения данного уравнения разными способами совпадают
  

• 28 слайд

  28
  sin 2x + cos 2x = 1
  sin 2x + cos 2x = 1
  2 sin x cos x + cos 2 x – sin2 x = sin 2x + cos 2x,
  2 sin x cos x – 2 sin 2 x = 0,
  2 sin x ( cos x – sin x ) = 0,
  sin x = 0, cos x – sin x = 0,
  x =  n, n  Z, tg x = 1,
  x =  /4 + n, n  Z.
  Ответ:  n, n  Z, x =  /4 + n, n  Z.
  Способ: Приведение уравнения к однородному.( 1-й способ ).
  

• 29 слайд

  29
  sin 2x + cos 2x = 1
  
  sin 2x + cos 2x = 1,
  sin2x – (1 – cos 2x ) = 1,
  2 sin x cos x – 2 cos 2x/2 = 0,
  Далее так, как первым способом ( кадр № 27 ).
  
  Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2 – й способ ).
  

• 30 слайд

  30
  sin 2x + cos 2x = 1
  sin 2x + cos 2x = 1,
  sin 2x + sin ( /2 – 2x ) = 1,
  2sin  /4 cos ( 2x -  /4 ) = 1, sin  /4 = 1/ 2 ,
   2 cos ( 2x -  /4 )= 1 arksin (1 /  2 ) =  /4 .
  cos ( 2x -  /4 )= 1 /  2 ,
  2x -  /4 = arkcos (1 /  2 ) + 2  n, n  Z,
  2x=  /4 arkcos( 1 /  2 ) + 2  n, n  Z,
  x=  /8  /8 +  n, n  Z.
  Ответ: x=  /8  /8 +  n, n  Z.
  Способ: преобразование суммы тригонометрических функций
  в произведение ( 4 –й способ ).
  

• 31 слайд

  31
  sin 2x + cos 2x = 1
  sin 2x + cos 2x = 1, разделим обе части уравнения на 2,
  1/2 sin 2x + 1/ 2 cos 2x = 1/ 2 ,
  cos /4 sin 2x + sin /4 cos 2x = 1/ 2,
  sin (2x + /4 ) = 1/ 2,
  2x + /4 = (- 1)k  /4 +  k, kZ,
  2x = - /4 + (- 1) k /4 +  k, kZ,
  x = -  /8 +(- 1)k  /8 +  k/2, kZ.
  Ответ: x = -  /8 +(- 1)k  /8 +  k/2, kZ.
  Способ:Введение вспомогательного угла (3й – способ).
  
  

• 32 слайд

  32
  sin 2x + cos 2x = 1
  sin 2x + cos 2x = 1, Cos 2x =   ( 1 - sin 2 2x )
  sin 2x   ( 1 - sin 2 2x ) = 1,
    ( 1 - sin 2 2x ) = 1 – sin 2x, возведем обе части уравнения в квадрат, тогда 1 - sin 2 2x = 1 – 2 sin 2x + sin 2 2x ,
  2 sin 2 2x - 2 sin 2x = 0,
  2 sin 2x (sin 2x - 1 ) = 0,
  sin 2x = 0, sin 2x - 1 = 0,
  2x =  n, sin 2x = 1,
  x =  n/2, n  Z ; 2x =  /2 + 2  n, n  Z,
  x =  /4 +  n, n  Z.
  Ответ: x =  n/2, n  Z ; x =  /4 +  n, n  Z.
  Способ: приведение к квадратному уравнению
  относительно sin 2x ( 5 –й способ ).
  
  
  

• 33 слайд

  33
  sin 2x + cos 2x = 1
  sin 2x + cos 2x = 1,
  sin 2 2x + 2sin 2x cos 2x + cos 2x = 1,
  2sin 2x cos 2x + 1 = 1,
  2sin 2x cos 2x = 0,
  sin 2x = 0, cos 2x = 0 ,
  2x =  n, n  Z ; 2x =  / 2 + 2  n , n  Z,
  x =  n/2, n  Z ; x =  / 4 +  n , n  Z.
  Ответ:  / 2 + 2  n , n  Z; x =  / 4 +  n , n  Z.
  Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат
  ( 6 – й способ ).
  
  

• 34 слайд

  34
  sin 2x + cos 2x = 1
  sin2 x +cos 2x = 0,
  2 tg x 1 - tg 2 x
  1 + tg 2 x , 1 + tg 2 x ,
  2 tg x 1 - tg 2 x
  1 + tg 2 x 1 + tg 2 x
  2 tg x +1 - tg 2 x –1 - tg 2 x - 0, 1 + tg 2 x/2  0,
  2tg 2 x - 2 tg x = 0,
  2tg x ( tg x – 1 ) = 0,
  tg x =0, tg x – 1 = 0,
  sin 2x = 0, sin 2x = 1,
  x =  n/2, n Z , 2x =  /2 + 2  n, n  Z,
  x =  /4 +  n, n Z.
  
  Ответ: x =  n/2, n Z ; x =  /4 +  n, n Z.
  Способ: универсальная подстановка ( 7 –й способ ).
  
  sin 2x =
  cos2 x =
  +
  = 0
  

• 35 слайд

  35
   3 sin x + cos x = 1
   3 sin x + cos x = 1,
   3 /2sin x + 1/2cos x = 1/2,
  cos /6 sin x + sin  /6 cos x = 1/2 ,
  Sin ( x +  /6 ) = 1 / 2 ,
  x+  /6 = (- 1 ) k  /6 +  k, k Z,
  x = -  /6 +(- 1 ) k  /6 +  k, k Z,
  Ответ :x = -  /6 +(- 1 ) k  /6 +  k, k Z.
  Способ: введение вспомогательного угла
  ( 3-й способ).
  

• 36 слайд

  36
   3 sin x + cos x = 1
   3 sin x + cos x = 1,
  2 3 sin x/2 cos x/2 + cos 2x/2 -sin 2x/2= cos 2x/2 + sin 2x/2,
  2 3 sin x/2 cos x/2 - 2sin 2x/2 =0,
  2 sin x/2 ( 3 cos x/2 - sin x/2 ) =0,
  sin x/2 = 0,  3 cos x/2 - sin x/2 = 0, sin x/2 =  3 cos x/2 ,
  x/2=  n, n  Z, tg x/2 =  3 ,
  x = 2 n, n  Z , x/2 =  /3 +  n, n  Z,
  x = 2  /3 + 2  n, n  Z.
  Ответ: x = 2 n, n  Z , x = 2 n, n  Z .
  Способ : приведение к однородному ( 1 –й способ ).
  

• 37 слайд

  37
   3 sin x + cos x = 1
  
   3 sin x + cos x = 1,
  2 3 sin x/2cos x/2 = 1 – cos x, 1 – cos x = 2 cos 2 x/2
  2 3 sin x/2cos x/2 = 2 cos 2 x/2,
  2 3 sin x/2cos x/2 - 2 cos 2 x/2 = 0,
  2 cos x/2 ( 3 sin x/2 - cos x/2) = 0,
  Далее решать так как в первом способе.
  Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2 –й способ).
  

• 38 слайд

  38
   3 sin x + cos x = 1
   3 sin x + cos x = 1,
  3 sin2 x +2  3 sin x cos x +cos 2 x = 1,
  2sin2 x +2  3 sin x cos x + (sin2 x +cos 2 x ) = 1,
  2sin2 x +2  3 sin x cos x = 0,
  2sinx ( sin x +  3 cos x) = 0,
  sinx = 0, sin x +  3 cos x = 0,
  x =  n , n Z, tg x = - 3 ,
  x = -  /3 +  n, n  Z .
  Ответ : x =  n , n Z, x = -  /3 +  n, n  Z .
  Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат
  ( 6 – й способ ).
  

• 39 слайд

  39
   3 sin x + cos x = 1
   3 sin x +cos x = 0,
  2  3 tg x/2 1 - tg 2 x/2
  1 + tg 2 x/2 , 1 + tg 2 x/2 ,
  2 3 tg x/2 1 - tg 2 x/2
  1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2
  23 tg x/2 + 1 - tg 2 x/2 = 1 + tg 2 x/2 , так как 1 + tg 2 x/2  0,
  2 tg 2 x/2 + 23 tg x/2 = 1,
  2 tg x/2 (tg x/2 + 3 ) = 0,
  tg x/2 = 0 , , tg x/2 = - 3 ,
  x/2 =  n , n Z, x/2 = -  /3 +  n , n Z,
  x = 2 n , n Z, x = - 2 /3 + 2 n , n Z.
  Ответ: x = 2 n , n Z, x = - 2 /3 + 2 n , n Z.
  Способ : универсальная подстановка (7 – й способ ).
  
  sin x =
  cos x =
  
  +
  =1,
  

• 40 слайд

  40
  Подведем итоги
  1.Приведение уравнения к однородному.
  2.Разложение левой части уравнения на множители.
  3.Введение вспомогательного угла.
  4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.
  5.Приведение к квадратному уравнению.
  6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
  7.Универсальная подстановка.
  8.Графическое решение.