Инфоурок Директору, завучу СтатьиВОЗМОЖНЫЕ ПУТИ ПРЕОДОЛЕНИЯ ТРУДНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ В ИЗУЧЕНИИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ И УРАВНЕНИЙ

ВОЗМОЖНЫЕ ПУТИ ПРЕОДОЛЕНИЯ ТРУДНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ В ИЗУЧЕНИИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ И УРАВНЕНИЙ

Скачать материал

ВОЗМОЖНЫЕ ПУТИ ПРЕОДОЛЕНИЯ ТРУДНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ В ИЗУЧЕНИИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ И УРАВНЕНИЙ

 

 

Умение построить график функции или график уравнения – одно из тех, что дается учащимся нелегко. Следует отметить, что даже одиннадцатиклассники с удовольствием вспоминают тот момент обучения математики, когда им доводилось «рисовать» с помощью отрезков, соединяющих точки, различные фигурки [1-8].

Действительно, это был один из тех случаев, когда знание математики позволяло учащемуся создавать нечто новое – силуэт сказочного героя или фигурку животного. Конечно, план этой работы был задан учителем для шестиклассника.

На наш взгляд, продолжение этой линии сначала сотворчества с учителем, а затем и собственного творчества возможно при изучении графиков функций и графиков уравнений.

Те же самые рисунки можно создавать с помощью отрезков прямых. На наш взгляд, изучив уравнение прямой, следует незамедлительно увлечь учащихся процессом создания графических рисунков (рис. 1).

 

 

 

Рисунок 1 – Рисунок, построенный с помощью отрезков прямых

 

𝑦 = 4, 𝑥 [7, 7];

𝑦 = −4, 𝑥 [6, 6];

𝑥 = 6, 𝑦 [4, 4];

𝑥 = −6, 𝑦 [4, 4];

4

 

𝑦 =

 

𝑥 + 8, 𝑥 [7, 0];

7

4

 

𝑦 = −

 

𝑥 + 8, 𝑥 [0, 7];

7

 

𝑦 = 2 , 𝑥 [4; 2] [2; 4];

𝑦 = 3 , 𝑥 [4; 2] [2; 4];

𝑥 = 4, 𝑦 [0, 3];

𝑥 = −4, 𝑦 [0, 3];

𝑥 = 3, 𝑦 [0, 3];

𝑥 = −3, 𝑦 [0, 3];

𝑥 = 2, 𝑦 [0, 3];

𝑥 = −2, 𝑦 [0, 3].

После изучения графика квадратичной функции, учащийся получает возможность создания изумительных, разнообразнейших рисунков. При

«рисовании» отрезками учащиеся уже приобрели навык построения графиков функции на заданном отрезке. В случае построения параболы, умение

 

 

поднимается на новую высоту, поскольку в изображаемую линию может входить вершина параболы, а может и не входить.

После изучения уравнения окружности, даже самые слабые учащиеся получают возможность создавать рисунки. При таком рисовании учащиеся необыкновенно быстро отрабатывают навык построения окружности с заданным центром и заданным радиусом, а также их частей (рис. 2).

 

Рисунок 2 – Рисунок, построенный с помощью уравнений окружностей

𝑥2 + 𝑦2 = 64;

(𝑥 − 8)2 + (𝑦 − 7)2 = 16;

(𝑥 + 8)2 + (𝑦 − 7)2 = 16;

(𝑥 + 2.5)2 + (𝑦 − 1.5)2 = 2,25;

(𝑥 − 2.5)2 + (𝑦 − 1.5)2 = 2,25;

𝑥2 + (𝑦 + 2)2 = 4;

𝑥2 + (𝑦 + 1)2 = 1;

𝑦 = −2, 𝑥 [4; 10];

𝑦 = −2, 𝑥 [10; 4];

 

1

𝑦 = −

3

 

𝑥

 

8

, 𝑥 [4, 10];

3

 

𝑦 =

 

𝑥

3

 

, 𝑥 [10, 4];

3

 

(−2,5; 1,5);

(2,5; 1,5).

Для наиболее увлеченных процессом рисования учащихся можно провести дополнительное занятие, познакомив их с уравнениями эллипса и способами его изображения. Эти учащиеся получаю возможность использовать новые формы, что вызывает неподдельный интерес у их товарищей, а это в свою очередь ведет к активизации самостоятельной поисковой работы учащихся, до введения в рисунок изображения гиперболы (рис. 3 и 4).

 

Рисунок 3 – Рисунок, построенный с помощью уравнений гиперболы и элипса

 

𝑥2 + (𝑦 − 6)2 = 1;

5

2             [              ]

 

𝑦 = −   𝑥

9

 

+ 5, 𝑥

 

−3, 3 ;

 

 

3

2             [              ]

 

𝑦 =    𝑥

9

 

— 3, 𝑥

 

−3, 3 ;

 

1

2             [              ]

 

𝑦 = − 𝑥

8

 

+ 5, 𝑥

 

−4, 4 ;

 

𝑦 = − 1 𝑥2 + 4, 𝑥 [4, 4];

16

𝑦 = −(𝑥 − 1)2 − 2, 𝑥 [0, 2];

𝑦 = −(𝑥 + 1)2 − 2, 𝑥 [2, 0];

𝑦 = −3, 𝑥 [2, 2];

(−0,5; 6);

(0,5; 6);

𝑦 = −𝑥 + 6, 𝑥 [0, 0,5];

𝑦 = 5,5, 𝑥 [0, 0,5].

 

Рисунок 4 – Рисунок, построенный с помощью уравнений гиперболы и элипса

𝑦 = 12, 𝑥 [3, 3];

𝑦 = 𝑥 + 15, 𝑥 [3, 0];

𝑦 = −𝑥 + 15, 𝑥 [0, 3];

𝑦 [0, 8], 𝑥 = 12;

𝑦 [0, 8], 𝑥 = 15;

𝑦 [0, 8], 𝑥 = −12;

𝑦 [0, 8], 𝑥 = −15;

𝑥2 + (𝑦 − 7)2 = 1;

 

 

 

 

𝑦 =

 

24

, 𝑥 [2; 12];

𝑥

 

𝑦 = −

 

24

, 𝑥 [2; 12];

𝑥

 

𝑦 = −𝑥2 + 4, 𝑥 [2; 2];

𝑦 = 8, 𝑥 [11; 16];

𝑦 = 8, 𝑥 [16; 11];

𝑦 = 1,6𝑥 − 9,6, 𝑥 [11; 13,5];

𝑦 = 1,6𝑥 + 33,6, 𝑥 [13,5; 16];

𝑦 = −1,6𝑥 − 9,6, 𝑥 [13,5; 11];

𝑦 = −1,6𝑥 + 33,6, 𝑥 [16; 13,5].

Увлеченность и азарт учащихся при выполнении такого вида работ очевидны. Для оценки эффективности этого вида работы с учащимися мы провели эксперимент. До начала рисования с помощью графиков функций и уравнений, мы провели тестирование 14 учащихся, предложив им выполнить следующие задания:

1.            Изобразить окружность с заданными координатами центра и радиусом (рис. 5).

 

Рисунок 5 – окружность с заданными координатами центра и радиусом

 

(𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 4)2 = 4;

(𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 16;

(𝑥 + 8)2 + 𝑦2 = 1;

2.            Изобразить схематически параболу с уравнением 𝑦 = (𝑥 − 2)2 − 3 (рис. 6).

 

 

 

 

Рисунок 6 – Парабола

 

3.            Изобразить график функции 𝑦 = 1 на промежутке

x

 

 

[1 ; 2]

2

 

 

 

(рис. 7).

 

 

 

 

Рисунок 7 – График функции 𝑦 = 1   на промежутке

x

 

[1 ; 2]

2

 

 

С заданием 1 успешно справились 8 учеников, с 2 – 4 учащихся, с

заданием 3 – 1 ученик.

После занятия, посвященного рисованию, которое вызвало большой энтузиазм у учащихся, мы вновь провели тестирование, предложив им выполнить аналогичное задание.

Теперь с заданием 1 справилось 14 учащихся, с задачей 2- 10 учащихся и с задачей 3 – 8 учащихся.

Результаты исследования мы обработали с помощью углового преобразования Фишера. Этот критерий оценивает достоверность значений между процентными долями двух выборок, в которых зарегистрирован

 

 

интересующий нас эффект. Суть углового преобразования Фишера состоит в переводе процентных долей в величины центрального угла, который измеряется в радианах.

Нулевая гипотеза нашего исследования: предлагаемая нами форма работы с графиками уравнений и функций не принесла существенного повышения уровня знаний и умений учащихся.

Альтернативная гипотеза: предлагаемая нами форма работы с графиками уравнений и функций позволяет существенно повысить уровень знаний и умений учащихся.

Процентная доля учащихся, справившихся с заданием 1 в тесте №1

8 ≈ 0,57, эту долю переведем в центральный угол полуокружности по

14

 

Процентная доля учащихся, справившихся с заданием 1 в тесте №2

14 = 1, эту долю переведем в центральный угол полуокружности по формуле

14

 

Формула для   оценки   значимости   различий   долей   (процентов)

 

 

 

𝜑∗ = |𝜑𝜑 | n1n2 , где 𝑛

 

 

 

и 𝑛 - объемы выборок. Для первого задания

 

кр           1             2

 

n1+n2   1             2

 

тестов 𝜑∗ ≈ 3,77668.

Критическое значение 𝜑∗ на уровне значимости 0,001 равно 2,81. Полученное нами значение превосходит критическое, значит, мы можем принять альтернативную гипотезу с вероятностью ошибки 0,1 %.

Процентная доля учащихся, справившихся с заданием 2 в тесте №1

4 ≈ 0,29, эту долю переведем в центральный угол полуокружности по

14

формуле 𝜑1 = 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛√0,29 = 1,13735.

Процентная доля учащихся, справившихся с заданием 2 в тесте №2

10 ≈ 0,71, эту долю переведем в центральный угол полуокружности по

14

формуле 𝜑2 = 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛√0,71 = 2,00424.

Формула для   оценки   значимости   различий   долей   (процентов)

𝜑∗ = |𝜑𝜑 | n1n2 , где n1 и n2 объемы выборок. Для второго задания

 

1             2             n1+n2

тестов 𝜑∗ ≈ 2,29358.

Критическое значение𝜑∗ на уровне значимости 0,02 равно 2,05. Полученное нами значение превосходит критическое, значит, мы можем принять альтернативную гипотезу с вероятностью ошибки в 2 %.

 

 

Процентная доля учащихся, справившихся с заданием 3 в тесте №1

1 ≈ 0,07, эту долю переведем в центральный угол полуокружности по

14

формуле 𝜑1 = 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛√0,07 = 0,535527.

Процентная доля учащихся, справившихся с заданием 3 в тесте №2

8 ≈ 0,57, эту долю переведем в центральный угол полуокружности по

14

формуле 𝜑2 = 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛√0,57 = 1,714144.

Формула для   оценки   значимости   различий   долей   (процентов)

𝜑∗ = |𝜑𝜑 | n1n2 , где n1 и n2 объемы выборок. Для первого задания

 

1             2             n1+n2

тестов 𝜑∗ ≈ 3,11833.

Критическое значение 𝜑∗ на уровне значимости 0,001 равно 2,81. Полученное нами значение превосходит критическое, значит, мы можем принять альтернативную гипотезу с вероятностью ошибки 0,1 %.

Итак, мы получили   основания   предполагать   с большой долей

вероятности, что используемая нами форма работы имеет значимый методический эффект.

 

Список литературы

 

[1]          Актуальные вопросы формирования интереса в обучении / Под ред. Г.И. Щукиной. – М.: Просвещение, 1984. 176 с.

[2]          Воспитание учащихся при обучении математике. Книга для учителя. Из опыта работы. / Составитель Л.Ф. Пичурин. – М.: Просвещение, 1987. 174 с.

[3]          Зильберберг Н.И. Приобщение к математическому творчеству. / Н.И. Зильберберг. – Уфа: Башкирское книжное издательство, 1988. 96 с.

[4]          Окунев А.А. Спасибо за урок, дети! О развитии творческих способностей учащихся. Книга для учителя. Из опыта работы. / А.А. Окунев.

–             М.: Просвещение, 1988. 128 с.

[5]          Пивоварова Т.Ю. Графики функции как средство выражения личностного творчества. / Т.Ю. Пивоварова. // Международный научный журнал «Молодой учёный». – 2017. № 16. 478-481 с.

[6]          Повышение эффективности обучения математике в школе. Кн. для учителя. Из опыта работы. / Сост. Г.Д. Глейзер. – М.: Просвещение, 1989. 239 с.

[7]          Развитие творческой активности школьников. / Под ред. А.М. Матюшкина. НИИ общ. и пед. психологии АПН СССР. – М.: Педагогика, 1991. 155 с.

 

 

[8]          Щукина Г.И. Активизация познавательной деятельности учащихся в учебном процессе. Учебное пособие. / Г.И. Щукина. – М.: Просвещение, 1979. 160 с.

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "ВОЗМОЖНЫЕ ПУТИ ПРЕОДОЛЕНИЯ ТРУДНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ В ИЗУЧЕНИИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ И УРАВНЕНИЙ"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Садовод-декоратор

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 626 034 материала в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 15.05.2021 274
    • DOCX 61 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Доронина Людмила Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Доронина Людмила Николаевна
    Доронина Людмила Николаевна
    • На сайте: 7 лет и 5 месяцев
    • Подписчики: 5
    • Всего просмотров: 5460698
    • Всего материалов: 14019

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Бухгалтер

Бухгалтер

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Организация инструкторско-методической деятельности в области физической подготовки (спортивная и художественная гимнастика)

Инструктор по гимнастике

300 ч. — 1200 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Контроль качества и обеспечение экологической и биологической безопасности в области обращения с отходами

Инженер по охране окружающей среды

300 ч.

6500 руб. 3900 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 23 человека из 18 регионов

Курс повышения квалификации

Организация, процесс и методы контроля качества пищевой продукции

72 ч.

1750 руб. 1050 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Педагогические аспекты работы с баснями Эзопа

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Психология и педагогика в работе с детьми: эмоциональные и зависимые расстройства

5 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 30 человек из 17 регионов

Мини-курс

Управление спортивными событиями и организация деятельности в спортивной сфере

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе