ВОЗМОЖНЫЕ ПУТИ ПРЕОДОЛЕНИЯ ТРУДНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ
В ИЗУЧЕНИИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ И УРАВНЕНИЙ
Умение построить график функции или график
уравнения – одно из тех, что дается учащимся нелегко. Следует отметить, что
даже одиннадцатиклассники с удовольствием вспоминают тот момент обучения
математики, когда им доводилось «рисовать» с помощью отрезков, соединяющих
точки, различные фигурки [1-8].
Действительно, это был один из тех случаев,
когда знание математики позволяло учащемуся создавать нечто новое – силуэт
сказочного героя или фигурку животного. Конечно, план этой работы был задан
учителем для шестиклассника.
На наш взгляд, продолжение этой линии сначала
сотворчества с учителем, а затем и собственного творчества возможно при
изучении графиков функций и графиков уравнений.
Те же самые рисунки можно создавать с помощью
отрезков прямых. На наш взгляд, изучив уравнение прямой, следует
незамедлительно увлечь учащихся процессом создания графических рисунков (рис.
1).
Рисунок 1 – Рисунок, построенный с помощью
отрезков прямых
𝑦 = 4, 𝑥 ∈ [−7, 7];
𝑦 = −4, 𝑥 ∈ [−6, 6];
𝑥 = 6, 𝑦 ∈ [−4, 4];
𝑥 = −6, 𝑦 ∈ [−4, 4];
4
𝑦 =
𝑥 + 8, 𝑥 ∈ [−7, 0];
7
4
𝑦 = −
𝑥 + 8, 𝑥 ∈ [0, 7];
7
𝑦 = 2 , 𝑥 ∈ [−4; −2] ∪ [2; 4];
𝑦 = 3 , 𝑥 ∈ [−4; −2] ∪ [2; 4];
𝑥 = 4, 𝑦 ∈ [0, 3];
𝑥 = −4, 𝑦 ∈ [0, 3];
𝑥 = 3, 𝑦 ∈ [0, 3];
𝑥 = −3, 𝑦 ∈ [0, 3];
𝑥 = 2, 𝑦 ∈ [0, 3];
𝑥 = −2, 𝑦 ∈ [0, 3].
После изучения графика квадратичной функции,
учащийся получает возможность создания изумительных, разнообразнейших рисунков.
При
«рисовании» отрезками учащиеся уже приобрели
навык построения графиков функции на заданном отрезке. В случае построения
параболы, умение
поднимается на новую высоту, поскольку в
изображаемую линию может входить вершина параболы, а может и не входить.
После изучения уравнения окружности, даже
самые слабые учащиеся получают возможность создавать рисунки. При таком
рисовании учащиеся необыкновенно быстро отрабатывают навык построения
окружности с заданным центром и заданным радиусом, а также их частей (рис. 2).
Рисунок 2 – Рисунок, построенный с помощью
уравнений окружностей
𝑥2 + 𝑦2 = 64;
(𝑥 − 8)2 + (𝑦 − 7)2 = 16;
(𝑥 + 8)2 + (𝑦 − 7)2 = 16;
(𝑥 + 2.5)2 + (𝑦 − 1.5)2 = 2,25;
(𝑥 − 2.5)2 + (𝑦 − 1.5)2 = 2,25;
𝑥2 + (𝑦 + 2)2 = 4;
𝑥2 + (𝑦 + 1)2 = 1;
𝑦 = −2, 𝑥 ∈ [4; 10];
𝑦 = −2, 𝑥 ∈ [−10; −4];
1
𝑦 = −
3
𝑥 −
8
, 𝑥 ∈ [4, 10];
3
𝑦 =
𝑥 −
3
, 𝑥 ∈ [−10, −4];
3
(−2,5; 1,5);
(2,5; 1,5).
Для наиболее увлеченных процессом рисования
учащихся можно провести дополнительное занятие, познакомив их с уравнениями
эллипса и способами его изображения. Эти учащиеся получаю возможность
использовать новые формы, что вызывает неподдельный интерес у их товарищей, а
это в свою очередь ведет к активизации самостоятельной поисковой работы
учащихся, до введения в рисунок изображения гиперболы (рис. 3 и 4).
Рисунок 3 – Рисунок, построенный с помощью
уравнений гиперболы и элипса
𝑥2 + (𝑦 − 6)2 = 1;
5
2 [ ]
𝑦 = − 𝑥
9
+ 5, 𝑥 ∈
−3, 3 ;
3
2 [ ]
𝑦 = 𝑥
9
— 3, 𝑥 ∈
−3, 3 ;
1
2 [ ]
𝑦 = − 𝑥
8
+ 5, 𝑥 ∈
−4, 4 ;
𝑦 = − 1 𝑥2 + 4, 𝑥 ∈ [−4, 4];
16
𝑦 = −(𝑥 − 1)2 − 2, 𝑥 ∈ [0, 2];
𝑦 = −(𝑥 + 1)2 − 2, 𝑥 ∈ [−2, 0];
𝑦 = −3, 𝑥 ∈ [−2, 2];
(−0,5; 6);
(0,5; 6);
𝑦 = −𝑥 + 6, 𝑥 ∈ [0, 0,5];
𝑦 = 5,5, 𝑥 ∈ [0, 0,5].
Рисунок 4 – Рисунок, построенный с помощью
уравнений гиперболы и элипса
𝑦 = 12, 𝑥 ∈ [−3, 3];
𝑦 = 𝑥 + 15, 𝑥 ∈ [−3, 0];
𝑦 = −𝑥 + 15, 𝑥 ∈ [0, 3];
𝑦 ∈ [0, 8], 𝑥 = 12;
𝑦 ∈ [0, 8], 𝑥 = 15;
𝑦 ∈ [0, 8], 𝑥 = −12;
𝑦 ∈ [0, 8], 𝑥 = −15;
𝑥2 + (𝑦 − 7)2 = 1;
𝑦 =
24
, 𝑥 ∈ [2; 12];
𝑥
𝑦 = −
24
, 𝑥 ∈ [−2; −12];
𝑥
𝑦 = −𝑥2 + 4, 𝑥 ∈ [−2; 2];
𝑦 = 8, 𝑥 ∈ [11; 16];
𝑦 = 8, 𝑥 ∈ [−16; −11];
𝑦 = 1,6𝑥 − 9,6, 𝑥 ∈ [11; 13,5];
𝑦 = 1,6𝑥 + 33,6, 𝑥 ∈ [13,5; 16];
𝑦 = −1,6𝑥 − 9,6, 𝑥 ∈ [−13,5; −11];
𝑦 = −1,6𝑥 + 33,6, 𝑥 ∈ [−16; −13,5].
Увлеченность и азарт учащихся при выполнении
такого вида работ очевидны. Для оценки эффективности этого вида работы с
учащимися мы провели эксперимент. До начала рисования с помощью графиков
функций и уравнений, мы провели тестирование 14 учащихся, предложив им
выполнить следующие задания:
1. Изобразить окружность с
заданными координатами центра и радиусом (рис. 5).
Рисунок 5 – окружность с заданными
координатами центра и радиусом
(𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 4)2 = 4;
(𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 16;
(𝑥 + 8)2 + 𝑦2 = 1;
2. Изобразить схематически параболу
с уравнением 𝑦 = (𝑥 − 2)2 − 3 (рис. 6).
Рисунок 6 – Парабола
3. Изобразить график функции 𝑦
= 1 на промежутке
x
[1 ; 2]
2
(рис. 7).
Рисунок 7 – График функции 𝑦
= 1 на промежутке
x
[1 ; 2]
2
С заданием 1 успешно справились 8 учеников, с
2 – 4 учащихся, с
заданием 3 – 1 ученик.
После занятия, посвященного рисованию, которое
вызвало большой энтузиазм у учащихся, мы вновь провели тестирование, предложив
им выполнить аналогичное задание.
Теперь с заданием 1 справилось 14 учащихся, с
задачей 2- 10 учащихся и с задачей 3 – 8 учащихся.
Результаты исследования мы обработали с
помощью углового преобразования Фишера. Этот критерий оценивает достоверность
значений между процентными долями двух выборок, в которых зарегистрирован
интересующий нас эффект. Суть углового
преобразования Фишера состоит в переводе процентных долей в величины
центрального угла, который измеряется в радианах.
Нулевая гипотеза нашего исследования:
предлагаемая нами форма работы с графиками уравнений и функций не принесла
существенного повышения уровня знаний и умений учащихся.
Альтернативная гипотеза: предлагаемая нами
форма работы с графиками уравнений и функций позволяет существенно повысить
уровень знаний и умений учащихся.
Процентная доля учащихся, справившихся с
заданием 1 в тесте №1
8 ≈ 0,57, эту долю переведем в центральный
угол полуокружности по
14
Процентная доля учащихся, справившихся с
заданием 1 в тесте №2
14 = 1, эту долю переведем в центральный угол
полуокружности по формуле
14
Формула для оценки значимости различий
долей (процентов)
𝜑∗ = |𝜑 − 𝜑 | ∗ √ n1∗n2 , где 𝑛
и 𝑛 - объемы выборок. Для
первого задания
кр 1 2
n1+n2 1 2
тестов 𝜑∗ ≈ 3,77668.
Критическое значение 𝜑∗ на уровне
значимости 0,001 равно 2,81. Полученное нами значение превосходит критическое,
значит, мы можем принять альтернативную гипотезу с вероятностью ошибки 0,1 %.
Процентная доля учащихся, справившихся с
заданием 2 в тесте №1
4 ≈ 0,29, эту долю переведем в центральный
угол полуокружности по
14
формуле 𝜑1 = 2 ∗ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛√0,29 = 1,13735.
Процентная доля учащихся, справившихся с
заданием 2 в тесте №2
10 ≈ 0,71, эту долю переведем в центральный
угол полуокружности по
14
формуле 𝜑2 = 2 ∗ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛√0,71 = 2,00424.
Формула для оценки значимости различий
долей (процентов)
𝜑∗ = |𝜑 − 𝜑 | ∗ √ n1∗n2 , где n1 и
n2 – объемы выборок. Для второго задания
1 2 n1+n2
тестов 𝜑∗ ≈ 2,29358.
Критическое значение𝜑∗ на
уровне значимости 0,02 равно 2,05. Полученное нами значение превосходит
критическое, значит, мы можем принять альтернативную гипотезу с вероятностью
ошибки в 2 %.
Процентная доля учащихся, справившихся с
заданием 3 в тесте №1
1 ≈ 0,07, эту долю переведем в центральный
угол полуокружности по
14
формуле 𝜑1 = 2 ∗ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛√0,07 = 0,535527.
Процентная доля учащихся, справившихся с
заданием 3 в тесте №2
8 ≈ 0,57, эту долю переведем в центральный
угол полуокружности по
14
формуле 𝜑2 = 2 ∗ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛√0,57 = 1,714144.
Формула для оценки значимости различий
долей (процентов)
𝜑∗ = |𝜑 − 𝜑 | ∗ √ n1∗n2 , где n1 и
n2 – объемы выборок. Для первого задания
1 2 n1+n2
тестов 𝜑∗ ≈ 3,11833.
Критическое значение 𝜑∗ на
уровне значимости 0,001 равно 2,81. Полученное нами значение превосходит
критическое, значит, мы можем принять альтернативную гипотезу с вероятностью
ошибки 0,1 %.
Итак, мы получили основания предполагать
с большой долей
вероятности, что используемая нами форма
работы имеет значимый методический эффект.
Список литературы
[1] Актуальные вопросы формирования
интереса в обучении / Под ред. Г.И. Щукиной. – М.: Просвещение, 1984. 176 с.
[2] Воспитание учащихся при обучении
математике. Книга для учителя. Из опыта работы. / Составитель Л.Ф. Пичурин. –
М.: Просвещение, 1987. 174 с.
[3] Зильберберг Н.И. Приобщение к
математическому творчеству. / Н.И. Зильберберг. – Уфа: Башкирское книжное
издательство, 1988. 96 с.
[4] Окунев А.А. Спасибо за урок,
дети! О развитии творческих способностей учащихся. Книга для учителя. Из опыта
работы. / А.А. Окунев.
– М.: Просвещение, 1988. 128 с.
[5] Пивоварова Т.Ю. Графики функции
как средство выражения личностного творчества. / Т.Ю. Пивоварова. //
Международный научный журнал «Молодой учёный». – 2017. № 16. 478-481 с.
[6] Повышение эффективности обучения
математике в школе. Кн. для учителя. Из опыта работы. / Сост. Г.Д. Глейзер. –
М.: Просвещение, 1989. 239 с.
[7] Развитие творческой активности
школьников. / Под ред. А.М. Матюшкина. НИИ общ. и пед. психологии АПН СССР. –
М.: Педагогика, 1991. 155 с.
[8] Щукина Г.И. Активизация
познавательной деятельности учащихся в учебном процессе. Учебное пособие. /
Г.И. Щукина. – М.: Просвещение, 1979. 160 с.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.