Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Начальные классы / Другие методич. материалы / "Возникновение математики в древнем мире"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Начальные классы

"Возникновение математики в древнем мире"

библиотека
материалов

30


Воронеж

2016





























Содержание

Введение


Глава I. Истоки математических знаний


Глава II. Возникновение математики в странах Древнего Востока


2.1 Математика Древнего Вавилона


2.2 Математика в Древнем Египте


Глава III. Зарождение математики в Древней Греции


Заключение


Список литературы


Приложения






















Глава I. Истоки математических знаний

Формирование математических понятий и приемов решения элементарных задач охватывает большой период времени. Его начало теряется в глубине веков; заканчивается он лишь тогда, когда становится возможным, на основе накопленного опыта, создать начальные формы математических теорий. Последние возникают в математике около VIV вв. до н. э.

Источники, которые позволяют изучить этот ранний период в истории математики, плохо сохранились или практически утеряны от исследователей. Ученые обращаются к данным общей истории культуры человечества, по большему счету к археологическим материалам и фактам истории языка. История возникновения математики практически неотделима от этих данных.

У разных народов формы и пути развития математических знаний весьма специфичны и разнообразны. Тем не менее, для всех народов является характерным то, что все основные понятия математики: понятия числа, фигуры, площади, бесконечно продолжающегося натурального ряда и т.д. – возникли из практики и прошли длинный путь совершенствования [7].

Самые первые представления о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века – палеолита. В течение сотен тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях мало отличающихся от жизни животных, и их энергия уходила на добывание пищи простейшим способом – собиранием. Люди изготавливали орудия для охоты и рыболовства, вырабатывали язык для общения друг с другом, а в эпоху позднего палеолита украшали свое существование, создавая произведения искусства, статуэтки и рисунки.

Пока не произошел перелом от простого собирания пищи к активному ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. Лишь с наступление этого фундаментального перелома, переворота, когда пассивное отношение человека к природе сменилось активным, мы вступили в новый каменный век, в неолит. Это великое событие в истории человечества произошло примерно десять тысяч лет тому назад, когда ледяной покров в Европе и Азии начал таять и уступать место лесам и пустыням [9].

Активное освоение природы, труд способствовали формирования членораздельной речи и развитию мышления. Мозг и органы чувств человека достигли значительного совершенства. Мозг выработал способность создавать абстракции, необходимые для измерения и счета.

В науке встречаются идеи о том, что простейшие математические представления имеются уже у животных. Так известный немецкий математик М. Кантор писал, что «счет, поскольку под ним подразумевают лишь сознательное сведение воедино определенных сущностей, не составляет особенности человека, ибо утка также считает своих утят». Некоторые ссылаются, например, на то, что форма пчелиных сот наилучшим образом решает задачу о заполнении пространства шестигранными призмами постоянной высоты наибольшего объема при наименьшей затрате материала. Но для решения этой задачи требуются знания высшей математики. Однако в своем учении И.П. Павлов доказал, что неспособны создавать абстракции, что наблюдающееся иногда у них различение количественных множественностей «много» и «мало» и пространственных форм «прямой» и «кривой» вызвано либо наследственными инстинктами, либо условными рефлексами вследствие длительных упражнений. А это означает, что эти понятия не духовного происхождения, не даны от рождения, а возникли из материального опыта [5].

Мышление первобытного человека было скудно, ограничено, охватывало узкий круг предметов и действий, оно не было еще абстрактно. Даже, когда ему удалось накопить довольно много естественнонаучных и технических сведений, его математические знания оставались ограниченными, так как редко возникала необходимость считать, а тем более большие количества. Поэтому счет и число находились в зачаточном состоянии, доходя лишь до 2 или 3 – все, что больше, первобытному человеку представлялось как «много». При этом числительное «два» имело качественное происхождение – это была конкретная пара: рук, ног, глаз и т.д. [5].

В начале счет производился с помощью подручного материала: пальцев, камней, еловых шишек и т.д. следы этого сохранились в названии математических исчислений: «calculus» в переводе с латинского – счет камушками. Запас чисел на ранних ступенях весьма ограничен. Ряд известных и используемых натуральных чисел конечен и удлиняется лишь постепенно. Сознание неограниченной продолжительности натурального ряда является признаком высокого уровня знаний и культуры [7].

Числовые термины возникают скорее как качественные, чем количественные, выражая различие лишь между одним и двумя или многими. С расширением понятия числа большие числа сначала образовывались с помощью сложения. Например, счет некоторых австралийских племен:

Племя реки Муррей: 1-энэа, 2-петчевал, 3-петчевал-энэа, 4-петчевал-петчевал.

Камиларои: 1-мал, 2-булан, 3-гулиба, 4-булан-булан, 5-булан-гулиба, 6-гулиба-гулиба.[9]

Чтобы не запутаться и не забыть результаты счета древние люди делали зарубки, узелки и т.п. (см. Приложение I). С изобретением письменности стали использовать буквы, символы.

С расширением и усложнением деятельности человека развивался счет, и у древних появилась идея считать не только единицами, но и, так сказать, пакетами единиц, например, по 10 единиц. Так появились десятки.

Наряду с употреблением все больших и больших чисел возникали и развивались их символы, а сами числа образовали системы. Для ранних периодов истории характерно разнообразие числовых систем. Историческое развитие постепенно приводило к совершенствованию и унификации систем счисления. Употребляемая ныне во всех странах десятичная позиционная система нумерации – итог длительного исторического развития. Ей предшествовали:

  1. Различные иероглифические непозиционные системы. Каждая система основывается на так называемых узловых числах (чаще всего 1, 10, 100, 1000, …). Узловое число имело определенный индивидуальный символ – иероглиф. Остальные числа образуются путем приписывания с той или другой стороны глвного числа других узловых чисел и повторением их. К таким системам относятся: финикийская, египетская, сирийская, пальмирская, римская и т.д.

  2. Алфавитные системы счисления. Для этих систем характерно использование букв алфавита, взятых по 9, которые используются для обозначения единиц, десятков, сотен. При этом, каждой букве приписывается отличительный знак, указывающий, что она используется как число. В том случае, если букв в алфавите не достаточно, используются дополнительные буквы и знаки. Примерами таких систем являются: греческая ионическая, древнеславянская, еврейская, арабская, армянская.

  3. Позиционные недесятичные, а потом и десятичная система. К позиционным недесятичным системам относятся: вавилонская, индейская, современная двоичная[7].

Стоит отметить, что параллельно с общим ростом жизненных потребностей человека развивалась, кроме чисел и счета, другая отрасль мышления и практической деятельности. Это было изобретение человеком различных мер и развитие способов измерения. Если понятие о числе способствовало развитию раздела математики – алгебры, то наблюдение человека за окружающими объектами, их размерами и формами, развитие методов различных измерений способствовали зарождению другого раздела математики - геометрии.

История зарождения геометрических понятий по своему характеру напоминает историю зарождения числа и счета. От окружающих человека предметов он заимствовал первые геометрические образы, первые фигуры. При передвижении приходилось выбирать кратчайший путь, и вот выработалось понятие прямой линии, которое потом уточнилось при сооружении жилища и орудий. Наблюдение за Солнцем и Луной принесли понимание «круга», опираясь на это были созданы посуда, колесо и т.д.

Таким образом, первые геометрические понятия вырабатывались у человека в основном не при простом созерцании окружающих объектов, а путем практической деятельности для удовлетворения своих самых необходимых жизненных потребностей. Об этом свидетельствует терминология.

Так, на пример, слово «точка» перевод латинского слова «punqo», что означает «тыкаю». Слово «линия» происходит от латинского «linea», что означает «льняная нить». Таких слов можно назвать еще целый ряд, но вернемся к основной теме [1].

Но когда усвоенные формы пришлось применять для создания предметов повседневного обихода – жилищ, орудий, то возникла потребность и в определении размеров этих форм. Так человек пришел к первым мерам длины, веса, объема.

Прежде, чем все эти знания сложились в определенный комплекс и могли трактоваться в качестве науки, конечно, не могло быть и речи о рассмотрении накопленного материала в порядке исторической последовательности; сама идея необходимости такого рассмотрения могла появиться в период достаточно высокого интеллектуального развития. Но задолго до появления сознательного отношения к мысли о необходимости исторического обозревания того, что сделано предшествующими поколениями в области точного знания, человечество пыталось связать возникновение этого знания с рядом мифов. То немного, что было доступно человеку из мудрой науки о числе и землеизмерении, что сохранилось из рода в род и составляло тайну искусства немногих избранных и посвященных, приписывалось участию божества: силы собственного разума казались для этого слишком несовершенными.

Обратимся к древнейшему из народов – вавилонянам. Из не дошедши до нас сочинений мы узнаем о существовании любопытного мифа о разумном рыбоподобном существе Эа – Хан и его преемниках Аннедотах, выходивших днем из моря и учивших людей письму и разным наукам.

Подобно Вавилонянам и Египтяне считали всю свою культуру откровением богов. Луна, служившая мерилом времени, рассматривалась как божество счета.

Древние Греки со своей богато развитой мифологией также приписывали изобретение науки счисления Богу Гермесу, а Дидала и его племянника Талоса считали изобретателями отвеса, пилы и геометрических инструментов [6].

Рассмотрим подробнее возникновение математики в древнем мире, а именно в странах Древнего Востока и в Древней Греции.















Глава II. Возникновение математики в странах Древнего Востока

В течении пятого, четвертого и третьего тысячелетия до н.э. новые и более совершенные формы общества складывались на основе упрочившихся общин нового каменного века, существовавших на берегах, великих рек Африки и Азии в субтропическом поясе и вблизи него. Эти реки – Нил, Тигр и Евфрат, позже Ганг, Хуанхэ, и еще позже – Янцзы [9].

Восточная математика возникла с целью решения практических задач, таких как облегчение календарных расчетов, распределение урожая, организация общественных работ и сбор налогов. Первоначально, во главе стояли арифметические расчеты и измерения. Однако, со временем, наукой стали заниматься ради нее самой, начал развиваться абстрактный уклон. Происходило развитие и совершенствование науки, из арифметики выросла алгебра, а это способствовало практических расчетов. В силу тех же причин из измерения возникли начатки теоретической геометрии [9].

Первыми древними цивилизациями, от которых до нас дошли источники, позволяющие судить об их математических познаниях, были вавилонская и египетская.

2.1 Математика Древнего Вавилона

Вавилонская цивилизация охватывает целую группу народов, живших в Месопотамии начиная с третьего тысячелетия и до н.э. их главным культурным центром был Вавилон. В результате археологических раскопок было обнаружено несколько сотен глиняных табличек с нанесенными тонкой палочкой клиновидными надписями [4].

Числовые знаки наносились на глиняную табличку с помощью призматической палочки. Когда палочка вдавливалась в глину ребром, получался обычный клинообразный оттиск; сейчас принято передавать его знаком hello_html_m5037ec21.png; такой клин изображал единицу. При определенном наклоне палочки она оставляла след в форме скобки; его обозначают hello_html_6c58ed54.png; такая скобка изображала десятку. О подлинной форме этих знаков дает представление фотоснимок одной из математических таблиц, помещенный в Приложении II Рис. 3. [3]

Вавилонская система счисления является комбинацией шестидесятеричной и десятичной систем с применением позиционного принципа. Все числа записываются при помощи этих двух символов с учетом позиционного принципа.

В самых древних текстах не встречается никакого символа обозначения нуля; таким образом, численное значение, которое придавалось символу, зависело от условий задачи, и один и тот же символ мог означать 1, 60, 3600 или даже 1/60 и т.д. Пример системы счисления вавилонян приведен в Таблице 1 Приложения II.

Умножение производили при помощи таблиц умножения, первоначально составленными при помощи последовательных сложений, а использование таблиц обратных величин позволяло заменить деление умножением. Наконец, поскольку у 60 много делителей, преимущество позиционного принципа вавилонян по сравнению с египетской системой проявлялось при записи дробей. Они имели возможность представить ½, 1/3, 1/20 т.д.; таким образом, вавилонский писец мог записать 1hello_html_34c2fe3c.gif,т.е. 1+hello_html_51c29e0d.gif, в виде hello_html_245bfd11.pnghello_html_6ccd4e9e.pnghello_html_1dc68811.pnghello_html_m609fa86f.png. Однако вавилоняне исключали обратные для чисел, которые не являются произведением простых делителей числа 60 и не записываются в виде hello_html_51be652f.gif,hello_html_369fe46d.gif, hello_html_42d0ca6e.gif (где p, q, m– целые), потому что обратные для них не имеют конечного разложения по основанию 60 [4].

Накопление и совершенствование знаний и навыков в арифметических вычислениях способствовало появлению понятий более сложного характера и вычислений высшего порядка. Вавилоняне научились вычислять квадратные корни из чисел и дали для этого способы приближенных вычислений. Но эти способы были сложными и в основном пользовались готовыми таблицами. Кроме этого, они имели таблицы для извлечения корней третьей степени, и для возведения во вторую степень. В некоторых случаях вавилоняне оперировали даже понятиями алгебры. Так, они решали некоторые уравнения первой, второй и даже третьей степени, причем использовали метод, который мы рассматриваем как решение системы уравнений с двумя неизвестными. [1].

Геометрические сведения вавилонян были довольно разнообразны. Хотя у них не существовало ни аксиом, ни теорем, ни доказательств, но в их записях можно найти достаточно задач, решение которых указывает на умение разбираться в довольно сложных построениях. Во всяком случае, они оперировали с пропорциональными линиями, если они были параллельны, имели сведения о соотношении сторон в прямоугольном треугольнике, могли определить площадь треугольника и трапеции, объемы призмы и цилиндра [1]. 

Представленный обзор возникновения и развития математики в Древнем Вавилоне указывает, что у вавилонян уже накопился некоторый запас математических знаний, но мы не можем говорить, что у них получила развитие математическая наука: накопленные сведения не имели теоретического обоснования, а являлись лишь результатом наблюдения и опыта. Большинство сведений относились к решению хозяйственных вопросов и это подтверждают найденные глиняные таблички. Обобщенные выводы и доказательства были чужды вавилонянам.

2.2 Математика в Древнем Египте

Обратимся к рассмотрению возникновения математики в эпоху древнего Египта.

Памятники материальной культуры Египта восходят даже к V и IV вв. до н. э. и помогают нам достаточно ясно представить процесс возникновения этого древнейшего в истории человечества классового общества.

Территориальное положение Древнего Египта мало отличалось от современного. Как и ныне, Египет занимал в основном долину нижнего и среднего течения реки Нил [1].

Сохранившиеся до нас древние царские гробницы – пирамид – приводят нас к мысли о том, что математические знания египтян находились на высоком уровне развития. Строительство таких объектов требовало знание геометрии и умения производить арифметические вычисления с большими числами. Кроме того, знания в области геометрии и арифметики нужны были и руководителям строившихся каналов, дамб и водохранилищ, учётникам царских и храмовых помещений. В летописях сохранились сообщения о систематически проводившихся подсчетах земли, скота, людей и золота, по результатам которого назначались подати, взимаемые вкозну царя. От этого велико времени сохранилось имя легендарного архитектора и математика Имхотепа, первое имя в истории математики [5].

Возникновение египетской культуры относится к периоду времени за 4000 лет до н.э. предполагалось, что в эту эпоху была создана египетская письменность. Изначально она носила иероглифический характер, то есть каждое понятие записывалось в виде отдельного рисунка. Но со временем записи принимали несколько иную форму, именуемую иератической записью. На рисунке из Приложения III приведен один и тот же текст, записанный при помощи иероглифов и иератической скорописью. Такими же методами производилась запись чисел [1].

Для разрядных чисел использовались особые значки (см. Приложение III Таблица 2).

При этом если единица какого-нибудь разряда содержалась в числе несколько раз, то она столько же раз повторялась в записи, то есть соблюдался закон сложения. Например, число 5 выражалось так: hello_html_m6f4c0e7f.png. Число 122 имело вид:hello_html_m2204187c.png.

Пример иероглифической системы записи представлен в приложении III Таблица 3.

Заметим кстати, что направление иероглифического письма не было вполне определенным; следующие друг за другом знаки располагались по большей части в вертикальные колонны, читавшиеся сверху вниз; переход от предшествующей колонны к следующей совершался справа налево. Однако, при необходимости применяли и иные способы расположения [3].

Древние египтяне делали свои записи преимущественно красками на папирусе. Иногда же материалом для записи служили камень, дерево, кожа, холст, черепки. Большое значение для нас представляют два математических папируса. Один из них – это папирус Райнда, хранится в Лондоне, содержащий 84 задачи, второй – так называемый московский папирус, который может быть, на два столетия старше и содержит 25 задач.

Папирус Райнда представляет собой скорее школьную ученическую запись сведений сельскохозяйственного характера. Но этот папирус так насыщен математическим материалом, что его вполне можно принять и за документ математического характера [1].

О виде цифр египтян может дать представление следующая таблица, в которой даны цифры в той форме, в которой они записаны в папирусе Райнда:

hello_html_m2618757e.png[3]

Из упомянутых папирусов и других памятников, сохранившихся до наших дней, мы узнаем, что египтяне при математических вычислениях пользовались не только записью чисел, но имели и некоторые символы математических операций. Так, сложение изображалось знаком, представлявшим ноги человека, идущего справа налевоhello_html_m2401c7bf.png, а вычитание – тем же знаком, взятом в обратном направленииhello_html_m2e5cb4b8.png. Разность двух величин выражалась символом, представлявшим три стрелы, направленные горизонтально. Изображение совы часто заменяло слова «то есть» или знак двоеточия; иногда этот символ мог означать и равенство [1].

Сложение и вычитание (всегда меньшего из большего) не представляло для них трудностей. Оно облегчалось их десятичной системой нумерации и проводилось тем же способом, что и мы сейчас: например, при сложении складывались единицы одинаковых разрядов, а в тех случаях, когда число таких единиц достигало 10, единица прибавлялась к следующему высшему разряду. Выполнение этих действий облегчалось применением камешков.

Иначе обстояло дело с умножением. Сохраняя навыки, имевшие свои корни в далеком прошлом, когда у египтян еще существовала двоичная система счисления, они сводили умножение к двум действиям: удвоению и сложению. Если, например, нужно было умножить 15 на 13,они составляли табличку:

/1

15

2

30

/4

60

/8

120

вместе

195

В этой табличке каждая последующая строчка получалась из предыдущей удвоением. Последующее число левого столбца не должно было превышать множитель (13). Затем в левом столбце они подбирали те числа, которые в сумме дают 13 и отмечали их наклонной чертой, при этом сначала помечалось последнее число столбца и от него двигались в верх. Подбор слагаемых в левом столбце было легко осуществить, двигаясь снизу вверх и отбрасывая те числа, прибавление которых к сумме предыдущих давало число, превышающее заданный множитель (13). После разметки складывались числа правого столбца, находящиеся в помеченных строчках, и сумма записывалась в внизу.

По этой же схеме производилось и деление, например 195 на 13. В этом случае удваивали 13 до тех пор, пока в правом столбце числа помеченных строк в сумме не давали 195, и тогда ответ получался в виде суммы помеченных чисел левого столбца, т.е. в данном примере чисел 1, 4, 8. Однако в общем случае (деление с остатком) здесь приходилось прибегать к дробям [5].

У египтян употреблялись только единичные дроби, то есть такие, которые выражают только одну долю и в нашей записи имеют в числителе единицу. Исключение составляла дробь 2/3, для которой существовал особый знак hello_html_m3351f9a3.png; дробь ½ тоже имела особый знак hello_html_m71645b86.png, а все остальные выражались при помощи символа «ро»,который имел вид hello_html_47831448.png. Чтобы изобразить какую-нибудь дробь, рисовали этот символ и под ним ставили число, представляющее знаменатель. Например, 1/7 записывалась так: hello_html_m78971226.png[1].

Необходимость выражать все дроби при помощи аликвотных заставляла египтян ввести в употребление особые таблицы для выражения дробей с числителем два в виде суммы аликвотных дробей. Такая таблица приводится в Таблице 4[5].

В папирусе Райнда особый отдел посвящен вопросу о «вычислении куч». Этот раздел в сущности содержит задачи на уравнения первой степени с одним неизвестным. «Куча», или по-египетски «хау», заменяет наше неизвестное. Очевидно, под «хау» разумелась куча зерна, в которой находится неизвестное число зерен.

Приведенная нами ранее запись, выраженная иероглифами и иератической скорописью, представляет одно из таких уравнений. Смысл этой записи таков:

куча, ее 2/2, ее ½, ее 1/7, ее целое дают 37.

Решение подобных уравнений проводилось в определенном порядке: объединялись все члены, содержащие неизвестное, то есть производилось действие, аналогичное нашему приведению подобных членов, причем особое внимание обращалось на выражение дробей через аликвотные. Часто при решении уравнений прибегали к методу ложного положения [1].

В папирусах встречаются и вопросы, связанные с арифметической и геометрической прогрессиями. Такое раннее появление этих математических понятий в истории математики, очевидно, объясняется тем, что подобного рода последовательности часто наблюдаются в жизни.

В папирусах встречается много задач геометрического характера, связанных с определением площадей и объемов сельскохозяйственных построек и размеров полей. Очевидно, египтяне знали точные методы для определения площадей и объемов основные геометрических фигур, но часто прибегали к приближенным вычислениям, при котором пользовались неправильным соотношением. Так в Московском папирусе имеется вычисление объема правильной четырехугольной усечённой пирамиды, проведенное совершенно точно. Равным образом в папирусе Райнда хорошо проведено вычисление площади круга. Автор папируса делит круг на 9 равных частей и строит квадрат, сторона которого равна 8 таким частям. Полученный квадрат и считается равновеликим данному кругу [1].

При оценке математических знаний египтян было бы неверным считать, будто знания египтян ограничивались тем, что содержится в найденных математических папирусах. Эти папирусы представляют собой элементарные школьные пособия. Но поскольку обучение сводилось к заучиванию на память, естественно, что в них излагались готовые предписания, а не способы, которыми эти предписания были открыты. Бесспорно, что хотя многие правила египтяне открыли эмпирическим путем, к некоторым они пришли отвлеченным рассуждением. Ясно также, что в их математике уже давал себя знать теоретический интерес. Ведь получить правильный способ вычисления объема усеченной пирамиды нельзя было эмпирически, для этого требовались теоретические соображения. Далее, задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии, конечно, не встречались в таком виде на практике, а были придуманы для упражнений. Наконец, хотя у древних египтян и не было алгебраических формул, у них имелось несколько видов общих приемов для решения однотипных задач. Эти приемы с полным правом можно рассматривать как зачатки алгебраического метода.

В целом, после анализа материалов по математике Древнего Востока, надо отметить то обстоятельство, что все приобретенные знания носили преимущественно опытный характер, т.е. они ограничивались сведениями, которые нужно было применять при решении конкретной хозяйственной задачи. В связи с этим в сохранившихся документах мы не находим ни каких общих правил, а каждый вопрос носит частный характер. Практически нет никаких обобщений, а уж тем более доказательств. Следовательно, мы не можем сказать, что в Вавилоне и Египте существовала математика как наука. Мы должны признать, что там наблюдался лишь процесс накопления математических знаний, который способствовал в более поздние времена развитию науки.












Глава III. Зарождение математики в Древней Греции

Мы уже видели, что за несколько тысяч лет до нашей эры в странах древнего Востока была собрана богатая сокровищница математических знаний, возникновение которых объясняется практическими потребностями, появившимися в процессе труда и приведшими к необходимости создания и развития как числовых, так и пространственных образов. Развитие земледелия, строительство ирригационных сооружений, дворцов, храмов, пирамид, расширение торговых и налоговых операций, рост навигации – все это сопровождалось возникновением новых и новых требований по отношению к лежащей в основе всякого рода планов и расчетов математике [1].

Математика Древнего Египта и Вавилона относится к периоду зарождения математики. Следующий период называется периодом элементарной математики. Характерным обстоятельством, позволяющим выделить начало этого периода, является рассмотрение наряду с узкопрактическими задачами систем основных идей в отдельных областях математики. Эти системы обобщали математическую практику и отражали объективные закономерности математического мышления людей. Они являлись первыми математическими теориями. Классическим примером образования математических теорий и становления математики как науки является математика древней Греции.

В период VI-IVвв. до н.э., который мы здесь будем рассматривать, античная Греция представляла собой совокупность рабовладельческих государств – полисов (городов), ведущих оживленную торговлю как между собой, так и с другими государствами Средиземноморского бассейна: Египтом, Финикией, Персией и т.д. в государствах античной Греции техника, наука и культура достигли высокого уровня, о чем свидетельствуют с большой убедительностью сохранившиеся прекрасные памятники. Дошедшие до нас естественно научные и философские труды античных ученых и сведения о них показали, что в Древней Греции сложились все основные типы мировоззрений, действовали естественнонаучные школы. Ведущее место среди них занимали: ионийская (VIIVIвв. до н.э.), пифагорейская (VIVвв. до н.э.) и афинская (со второй половины V в. до н.э.). В этих школах с большой полнотой и обстоятельностью разрабатывались и математические вопросы [7].

Большую роль в развитии математики сыграла Ионийская школа, основателем которой был Фалес. Школе Фалеса приписывают основное определение изарифметике: число есть совокупность единиц. Философа считают первым ученым-геометром. В школе были установлены и доказаны первые теоремы геометрии как истины, обобщающие наблюдения и требующие логических доказательств. Так на основании свидетельств мы можем утверждать, что Фалесу были известны следующие положения: вертикальные углы равны между собой; углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой; диаметр делит круг и окружность пополам; два треугольника равны между собой, если они имеют по одной равной стороне и по два равных угла, прилежащих к этой стороне. Этот случай равенства вошел в историю под названием теоремы Фалеса. В школе была заложена основа учения о линиях и углах на плоскости. Она внесла в историю математики первые намеки на научный подход к математическим истинам.

Дальнейшее развитие математические вопросы получили другой греческой школе, так называемой школе Пифагора.

В основу философии пифагорейского союза было положено мистическое учение о числе. Пифагорейцы считали, что число есть лежащая в основе бытия причина стройности и порядка, господствующей самородной связи вечного постоянства в мировом строе.

На основе наблюдений за окружающей действительностью пифагорейцы пришли к выводу, что во всей вселенной явления подчинены вполне определенным числовым соотношениям, то есть существует «мировая гармония».

Так, наблюдая получение в музыке благозвучных, «гармонических» аккордов, они заметили, что гармонический аккорд при звучании трех струн получается в том случае, когда длина этих струн сопоставляется с соотношением чисел 3, 4, 6. Такое соотношение было подмечено и в ряде других случаев. Например, соотношение числа граней, вершин и ребер куба равно отношению чисел 6 : 8 : 12.

В следствии того, что пифагорейцы придавали числу такое огромное значение, было положено начало теории чисел. Однако практика вычислений считалась недостойным занятием для философских школ; ее представляли людям «низшим» в их житейских и деловых отношениях и называли «логистикой». В школе Пифагора изучались лишь свойства чисел, а не практический счет. Пифогорейцы или их ближайшие последователи ввели в употребление в Греции более удобную систему записи чисел, заимствованную у финикиян и заключающуюся в том, числа изображались буквами греческого алфавита с прибавлением некоторых букв финикийского. Первые девять букв алфавита изображали числа от 1 до 9, следующие девять – десятки (10, 20, 30,…90) и последние девять – сотни (100, 200, 300, …, 900). Для того, чтобы отличить числа от букв, над числами ставилась черта. Таким образом, для записи чисел были установлены следующие знаки:

hello_html_46ee8aa4.png

Для изображения чисел, больших тысячи, употреблялись дополнительно следующие символы: значок вроде запятой, поставленные перед числом, обозначал тысячи, а для обозначения десятков тысяч перед числом ставилась точка. Таким образом, число 128 записывалось так:hello_html_7b9c3c88.png, а число 3000 - hello_html_m17ff7935.png. Для изображения дробей ставились подряд число, выражающее числитель, и число, выражающее знаменатель, но после числителя ставится штрих,а знаменатель записывается дважды повторенным числом, сопровождаемым знаками удвоенного штриха. Например, ½ записывалась так: hello_html_77a8b1b6.png.

Особое внимание уделялось в школе Пифагора вопросам геометрического характера. Через геометрию они познавали числа. Геометрический раз единицы это квадрат. Числа 1, 3, 6, 10,… назывались «треугольными». Название «треугольные» числам было присвоено потому, что они получались путем последовательного суммирования числа кругов, расположенных рядом в форме треугольника.

hello_html_m5e65ff02.png

Рис. 1

Несомненно, школа Пифагора имела большое значение для усовершенствования научных методоврешения математических проблем. Очевидно, в школе Пифагора уртвердилась одна из важнейших сторон математического метода рассуждений,а именно: в математику твердо вошло поожение о необходимости строгих доказательств, что и придало математике значение особой науки.

В Vв. до. н.э. Афины стали центром развития философской и математической мысли, причем философия была неразрывно связана с математикой, и мы не можем говорить о математике той эпохи, совершенно не затрагивая вопросов филосовского характера.

Столкновение и борьба различных филосовских идей способствоали углублению и уточнению основных понятий философии и математики.

В Афинах математика, образно говоря, вышла из замкнутых стен обособленных стен школ на широкую улицу. Она сделалась народным достоянием и на первый план выдвинулась логическая сторона математики, и она все чаще стала отрываться от своего опытного базиса, от жизни. Основные усилия стали направляться на углубление понятий, на обосновании методов. В эти времена особенно стало сказываться стремление отделить арифметику от логистики [4].

Логистика стала базироваться на элементарном счете, основанном на вычислениях с помощью абака, то есть прибора, сходного с русскими торговыми счетами (см. Рис. 4 Приложение IV)

В Афинах сосредоточились лучшие представители математической мысли. Здесь работал один из последователей школы Фалеса – Анаксагор, первый внесший в математику понятие о бесконечно больших и бесконечно малых величинах.

Метафизические размышления философов, в том числе и Зенона помогли зародиться и развиться строгим материалистическим теориям атомистов, гениальным представителем которых был Демокрит. Он применил атомистическую теорию к математике и получил хорошие результаты, он также наметил приемы математического исследования, приведшие в последствии к методам бесконечно малых величин.

Немалое содействие развитию геометрических идей оказал Гиппократ Хиосский. Им было написано первое систематическое руководство по геометрии, названное «Началами». Он стремился получить решение квадратуры круга, и ему удалось решить задачу, которая, по его мнению, указывала на такую возможность. Эта задача вошла в историю под названием «луночки Гиппократа». Считается, что Гиппократ является родоначальником апагогического метода в математике, то есть метода, при котором решение поставленной задачи сводится к решению другой, более доступной [3].

В Афинах на грани V и IV вв. до н.э. образовалось два учреждения – Академия Платона и Ликей Аристотеля.

В школе Платона математика занимала выдающее место. Однако в сочинениях самого Платона не встречается ничего, относящегося к идеям развития математики. Поэтому все достижения совершались коллективно с учениками. Много внимания уделялось решению задач о квадратуре куба, об удвоении куба и трисекции угла. Школа Платона дала большой толчок к развитию геометрии, в ней изучались призма, пирамида, цилиндр, конус.

В Ликее математические вопросы затрагивались мало, а поэтому влияние Аристотеля на их освещение было лишь косвенным. Но он обладал такими всеобъемлющими познаниями в математике и родственных науках, что его работа в других областях имела несомненное значение для развития математики. Так, Аристотель является основателем дедуктивной логики, на основании которой строятся многие доказательства математики. Аристотель впервые стал употреблять буквы алфавита для обозначения неопределенного количества [1].

Кроме упомянутых выше философских школ в древней Греции существовали и другие школы и они также активно способствовали накоплению и совершенствованию знаний и в целом становлению математики как науки.

Из приведенного выше можно увидеть, что за более полутора тысячелетний период времени математическая наука в Греции имела значительные достижения. Это относится главным образом к элементарной геометрии, которая в трудах Фалеса, Пифагора, Платона и др. приобрела то содержание, которое сохраняется и в наше время. Греческие математики сумели дать ей вполне научную основу и строгое систематическое изложение в теории. Что же касается других разделов математики, то в них было заложены некоторые научные основы, но полного развития эти разделы не получили. Однако если рассматривать развитие в древней Греции элементарной математики в целом, то мы должны признать, что обязаны грекам очень большими достижениями на этом пути.



Список литературы

1. Болгарский Б.В. Очерки по истории математики / Б.В. Болгарский. – Мн.: Вышэйская школа, 1979. – 368 с.

2. Вопросы математики и ее преподавания / под ред. И.И. Чистякрова, Н.М. Соловьева. – М.: Петроград, 1923. – 104 с.

3. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире / М.Я. Выгодский. М.: Наука, 1967. – 367 с.

4. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики / А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейффер. – М.: Мир, 1986. – 432 с.

5. Кольман Э. История математики в древности / Э. Кольман. – М.: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1961. – 235 с.

6. Попов Г.Н. История математики / Г.Н. Попов. М.: Типо-Лит. Мос-ковск. Картоиздательского Отдела Корн. Воен. Топогр., 1920. – 236 с.

7. Рыбников К.А. История математики / К.А. Рыбников. – М.: МГУ, 1960. – 190 с.

8. Стиллвелл Д. Математика и ее история / Д. Стиллвелл. – М.-Ижевск: Институт компьютерных технологий, 2004. – 529 с.

9. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики /Д.Я. Стройк. – М.: Наука, 1984. – 285 с.














Приложение I



hello_html_m5e11f260.png

Рис. 1 Кости с зарубками

hello_html_e10d851.png

Рис. 2 Узелки для счета инков











Приложение II

hello_html_7a84883c.png

Рис. 3 Фотоснимок таблички с математической таблицей

Таблица 1

hello_html_10bdb438.png





Приложение III

hello_html_m5d9b8afa.png

Рис. 4 Текст, записанный при помощи иероглифов и иератической скорописью

Таблица 2

Число

Знак

Число

Знак

Единица

hello_html_23828ae3.png

Десять тысяч

hello_html_m1da22cd8.png

Десяток

hello_html_m4bbccb0c.png

Сто тысяч

hello_html_3130168b.png

Сотня

hello_html_m50211dd9.png

Миллион

hello_html_2f1c81d3.png

Тысяча

hello_html_m24e8c41f.png

Десять миллионов

hello_html_m150ba63d.png



Таблица 3

hello_html_m43dfe5ba.png

Таблица 4

hello_html_mcf08bed.png

К этой таблице прибегали при решении вопросов, в которых требовалось производить действия над дробями. Например, если нужно было 5 разделить на 21, то процесс протекал в следующей последовательности:

hello_html_370d49d5.png





Приложение IV

hello_html_m5f0cef94.jpg

Рис. 4 Абак






Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 19.01.2016
Раздел Начальные классы
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1392
Номер материала ДВ-356299
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх