|
I Ситуация «разрыва»
|
Задание №1: Найдите значение
выражения а4+4а3+6а2+4а+1,
причем, значение переменной «а» выберите самостоятельно:
а= I ряд
а= II ряд
а=III ряд
|
Учитель быстро находит значение выражения (а+4)4 и на
обратной стороне доски записывает результаты всех групп.
Как вы думаете, почему вы долго считали, некоторые из вас даже не
смогли правильно вычислить, а я гораздо быстрее вас нашла значение выражения?
Учитель рассматривает версии учащихся:
·
Ничего
заранее я не считала, т.к. не знала значение «а».
·
Если я
применила какую-то формулу, то скажите какую, ведь вы знаете много формул.
Предлагает вывести новую формулу
(а+b)4
Можно ли применить полученную
формулу к данному заданию?
|
Учащиеся каждого ряда выбирают
собственное значение «а» и находят значение выражения.
Версии учащихся:
-
Не
знаем
-
Может быть,
вы заранее сосчитали
-
Возможно,
применили какую-нибудь формулу.
Версии учащихся:
а) не знаем
б) перебор известных формул
(a+b) 2 =a2+2ab+b2
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
в) нужна
новая формула (а+b)4
Выводят формулу:
(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=
(a+b)2(a+b)2=
(a2+2ab+b2)(a2+2ab+b2)=
a4+2a3b+a2b2+2a3b+4a2b2+
2ab3+a2b2+2ab3+b4=
a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,
т.е. (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
Да, если считать
а=а, b=1. т.е.
(a+1)4= a4+4a3+6a2+4a+l
|
|
II Ситуация постановки учебной
задачи.
|
Задание №2: Упростите выражение (а+2)6+а(а-2)5
|
Как быть? Будем выводить две новые формулы, а затем
будем их запоминать?
|
Версии учащихся:
а) Будем выводить, ведь мы знаем
способ, а затем будем учить эти формулы.
б) Запомнить эти формулы
невозможно, они громоздкие.
в) Попробуем найти способ, по которому будем
возводить двучлен в любую степень.
|
|
III Ситуация решения учебной задачи
|
|
Предлагает выписать
известные формулы:
(а+b)1=
(а+b)2=
(а+b)3=
(а+b)4=
Запишите формулу
(а+b)5=
Фиксирует на доске
1. показатель «а» \ от n до 0 2. показатель «b» / от 0 до n 3. коэффициент «K» - ?
Предлагает выписать все
коэффициенты уже известных формул
Запишите пятую строку.
Таким образом получаем следующую
формулу (а+b)5=а5+5а4b+10а3b2+10а2b3+ +5ab4+b5
(учитель записывает формулу с
помощью детей)
Интересно, верно ли мы записали
новую формулу?
Учитель возвращается к таблице
коэффициентов и сообщает, что такая таблица называется треугольником Паскаля,
по имени французского математика, жившего в XVII веке.
|
Задача урока:
Как возвести двучлен в любую степень?
Записывают известные формулы
(a+b)1=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(а+b)3=а3+За2b+Заb2+b3 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
Версии учащихся:
а) Затрудняемся
б) Посмотрим как изменяется
показатель у переменных «a» и «b»
в) Как получить коэффициент «К»?
Учащиеся замечают, что показатель у
«а» уменьшается от n до 0
показатель у переменной b увеличивается от 0 до n
Непонятно, как получается
коэффициент «К».
К1
К2 К3 К4 К5 К6
1
1
1
2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
-Понятно, что первый и
последний коэффициент равны 1
1 * * * * 1
-Непонятно, как получаются
остальные коэффициенты.
-А я вижу, что K2= K1+K2 из предыдущей строки; K4= K3+ K4 из предыдущей строки т.е. K2=5, K3=10, К5=5
-Проверим эту формулу по старому
способу (a+b)5=
(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=
=(a+b)(a+b)4=
(a+b)(a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4)=
=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b4
Убеждаются, что формула,
полученная по новому способу верна.
|
|
IV Рефлексия способа
|
Задание №3 Возведите (a+2) в 5 степень.
|
-Будем учить формулы (а+b)4,
(а+Ь)5?
-А как же будем возводить двучлен в любую степень? В
чём же всё-таки заключается способ?
-Почему же коэффициенты этого разложения отличаются
от коэффициентов треугольника Паскаля?
-Запишите домашнее задание
№1. Упростите (а+2)5+а(а-2)4
№2. Найдите 4ый член разложения (2с-3)2
|
-
Нет
Давайте запишем алгоритм с помощью
которого будем возводить двучлен в любую степень
1. Показатель переменной «а»
уменьшается от n до 0.
2. Показатель переменной «b» увеличивается от 0 до n.
3. Чтобы определить
коэффициенты, надо применить треугольник Паскаля.
Решают:
(а+2)5=
а5+5а42+10а322+10а223+5а24+25=
=а5+10а4+40а3+80а2+80а+32
Потому, что b=2.
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.