Инфоурок / Математика / Рабочие программы / «ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ» (Программа элективного курса для предпрофильной подготовки учащихся 9 класса.)

«ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ» (Программа элективного курса для предпрофильной подготовки учащихся 9 класса.)

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов






Программа элективного курса

для предпрофильной подготовки

учащихся 9 класса.





«ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ»



Выполнила:

учитель математики Жарковской средней

общеобразовательной школы

Фролова Лидия Васильевна

пос. Жарковский

Жарковского района

Тверской области





















2011







I. Маркетинг деятельности


  1. Обоснование выбора темы.


Правительство РФ в концепции модернизации Российского образования на период до 2010 г. (распоряжение правительства РФ от 29.12.2001г. № 1756 – р) ставится задача создания « системы специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда».

Обновление старшей ступени общего образования (профильное обучение) предусматривает предпрофильную подготовку – элективные курсы по выбору учащихся, способствующие осознанному выбору профиля обучения в 10-11 кл. будущей профессии, но отсутствие программ элективных курсов «подтолкнуло меня на разработку программы курса по выбору (для предпрофильной подготовки в 9-х классах).

В настоящее время между требованием жизни (необходима активная, творческая молодежь, у которой выработана потребность в самообразовании, самостоятельность и личная ответственность) и действительностью (отсутствие у выпускников навыков самостоятельной деятельности, умения и желание принимать самостоятельные решения, нести ответственность) возникает противоречие, которое не в полной мере, но частично можно разрешить на занятиях элективного курса, продолженное обучение в профильном классе полностью его ликвидирует.

Выбор темы также связан с необходимостью обучения всех учащихся, но уровень развития и подготовленности учащихся различный, поэтому выбранный курс должен помочь одной части группы ликвидировать проблемы, а другой части получить опыт решения задач повышенного уровня сложности, а также помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы, проверить себя, ответить на вопросы: «Могу ли я, хочу ли я учить это, заниматься этим?»

  1. Цель .

Разработать программу предпрофильного курса по выбору «Вписанные и описанные многоугольники» и учебно-методический комплект.

  1. Задачи.

- познакомиться с «Концепцией профильного обучения на старшей ступени общего образования»;

- познакомиться с письмом Департамента общего и дошкольного образования об элективных курсах в системе профильного обучения на старшей ступени общего образования от 13.11.2003 года;

- познакомиться с «Положением об элективных курсах в МОУ «Жарковская средняя общеобразовательная школа № 1»;

- познакомиться с структурной программы элективных курсов;

- познакомиться с публикациями о предпрофильном обучении в учебно- методических и научно- практических журналах;

- выяснить интересы детей, готовность реализации, изучить опыт детей;

- познакомиться с новыми технологиями, видами контроля, подобрать инструментарий для достижения цели;

- подобрать соответственную литературу;

- ознакомиться и систематизировать материал по геометрии из сборников заданий по ЕГЭ за 2010-2015г.

  1. Планируемый результат.

- составить программу предпрофильного курса по выбору и УМК;

- реализовать программу своей деятельности.

  1. Инструментарий.

Сертификация.

















Литература.

  1. Ермаков Д.С., Петрова Г.Д. Элективные курсы для профильного обучения (народное образование, 2004, № 2. с. 114-119)

  2. Школьные технологии. 2003, № 6, с. 23.

  3. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года. (Вестник образования России. 2002г. № 6 с.10-40)

  4. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования. Стандарты и мониторинг в образовании. (Вестник образования 2002г. № 4 с3-16

  5. Артюхова И.С. «Проблема выбора профиля обучения в старшей школе» Педагогика 2004 № 2 с.28-33

  6. Артемова Л.К. «Профильное обучение: опыт, проблемы, пути решения» Школьные технологии 2003г. № 4 с. 22-31

  7. Элективные курсы в профильном обучении «Управление школой» № 9 2004г. стр.8-9.






















Пояснительная записка.


Элективный курс для предпрофильной подготовки учащихся 9-х классов (второе полугодие) посвящен трудной теме для учащихся в планиметрии «Вписанные и описанные треугольники и четырехугольники».

К, сожалению, в основной школе, где на изучении этих вопросов отводится мало часов и этот материал изучается в конце учебного года в 8 классе (по остаточному принципу), трудно поддержать интерес учащихся из-за ограниченности приобретенных знаний. А важные свойства, необходимые при решении задач, вообще отсутствует или перенесены в задачи и не воспринимаются школьниками как теоретические положения.

Теоретический материал ученик применяет всегда, а свойства, заложенные в задачу, в лучшем случае, при изучении конкретной темы. Такое положение создает определенные трудности для дальнейшего изучения геометрии учащихся в 10-11 классах и как результат – сдача ЕГЭ, где 3 задачи геометрического содержания решаются детьми очень слабо. Данный элективный курс позволит детям почувствовать себя увереннее и комфортнее на экзамене, смягчает стрессовую ситуацию.

Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретенных программных знаний, его цель – создать целостное представление о теме и значительно расширить спектр задач, посильных для учащихся. Все свойства, входящие в элективный курс, и их доказательство не вызовут трудности у учащихся, т.к. не содержат громоздких выкладок, и каждое предыдущие готовит последующее. При направляющей роли учителя, школьники смогут самостоятельно сформулировать новые для них свойства и даже доказать их. Все должно располагать и самостоятельному поиску и повысить интерес к изучению предмета. Представляя, возможность осмысливать свойства и их доказательства, учителем развивает геометрическую интуицию, без которой немыслимо творчество. Можно утверждать, что как раз геометрия лучше всего развивает нестандартное мышление и помогает выделить математически одаренных детей. Организация на занятиях должна несколько отмечаться от урочной: ученику необходимо давать время на размышление, учить рассуждать, выдвигать гипотезы. В курсе звложена возможность дифференцированного обучения. Одной группе учащихся дать нетривиальные задачи, для решения которых требуется необычные идеи и специальные методы, а для другой – более стандартные, но которые можно решить оригинальным способом. Чаще давать задачи, которые используют в своем решении необычную идею, как правило, дополнительное построение.


Цель курса.

- обобщить и расширить знания по теме «Вписанные и описанные многоугольники»;

- познакомить учащихся с некоторыми методами и приемами решения нового класса задач;

- сформировать умения применять полученные знания при решении «нетипичных», нестандартных задач.

Задачи курса.

- дополнить знания учащихся теоремами прикладного характера, областью применения которых являются задачи;

- расширить и углубить представления учащихся о приемах и методах решения планиметрических задач;

- помочь овладеть технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования;

- развить интерес и положительную мотивацию изучения геометрии.

Структура курса представляет собой четыре логически законченных и содержательно взаимосвязанных тем, изучение которых обеспечит системность и практическую направленность знаний и умений учеников. Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся различной степени подготовки. Все занятия направлены на расширение и углубление базового курса содержание курса можно варьировать с учетом склонности, интересов и уровня подготовленности учеников.

Основной тип занятий – практикум. Для наиболее успешного усвоения материала планируется различные формы работы с учащимися:

- лекционно-семинарские занятия, групповые, индивидуальные формы работы. Для текущего контроля на каждом занятии учащимся рекомендуется серия заданий, часть которых выполняется в классе, а часть – дома самостоятельно. Изучение данного курса заканчивается проведением итоговой контрольной работы.

В результате изучения курса учащихся должны уметь:

- точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий;

- уверенно решать задачи на вычисление, доказательство и построение;

- применять аппарат алгебры и тригонометрии к решению геометрических задач;

- применять свойства геометрических преобразований к решению задач.



Содержание программы.


Тема 1. Окружность

На первом занятии учащимся сообщаются цель и значение элективного курса, систематизируются знания учащихся и центральных и вписанных углах, развивая их, учащиеся формируют и доказывают теоремы об углах между хордами, секущими, касательной и хордой, двумя касательными. В результате учащиеся получают необходимые знания, расширяющие пласт посильных задач. Применение полученных знаний к практике решения задач полезно организовать в малых группах. Лучшему осмыслению учебного материала послужит составление справочной таблицы, озвучивая которую, учащиеся оценят себя и своего товарища.

Тема 2. Окружности и треугольники

Тема 3. Окружности и четырехугольники

В программе для общеобразовательных школ не апцептируется внимание на некоторых геометрических фактах, которые были бы полезны и значительно упрощают решение некоторых задач (свойство биссектрисы треугольника, параллелограмма и т.д.). Содержание элективного курса призвано ликвидировать этот пробел. Последовательность заданий составлены так, что при определенной организации учебного процесса школьники будут приобщаться к исследовательской деятельности и сами формулировать новые свойства. Полезно выделить время на индивидуальную работу учащихся.

Тема 4. Решение олимпиадных задач и задач контрольно-измерительных материалов.

Содержание заключительной темы курса рассчитано на повышение учебной мотивации за счет нетрадиционных заданий, имеющих практическую направленность, психологической готовности «Я смогу!»











Учебно – тематический план


пп

Наименование тем курса

Всего часов

В том числе

Форма контроля

лекция

практика

семинар

1

2

3

4

5

6

7

1

Окружность

2

1

1


Составление справочной таблицы самостоятельная работа

2

Окружности и треугольники

5

2

3



3

Окружности и четырехугольники

5

2

3


Самостоятельная работа

4

Решение олимпиад-ных задач и задач контрольно-измери-тельных материалов

5


4

1

Собеседование с учащимися. Самооценка и оценка товарищей

5

Итоговый контроль

1


1


Контрольная работа

































Литература для учащихся


  1. Геометрия. Атанасян и др. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. М: Просвещение 2010г.

  2. Атанасян и др. Дополнительные главы к школьному учебнику. М: Просвещение 2010 год.

  3. Петраков И.С. Математические кружки М: Просвещение 1987 год.

  4. Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи. Геометрия 5-11 классы Москва Айрис – пресс (5) 2007 год.

  5. КИМы ГИА – 2010 – 2015 года издания.


Литература для учителя


  1. Звавич Л.И. Геометрия 8-11 классы. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики. М: Дрофа 2000г.

  2. Зив Б.Г. дидактические материалы по геометрии для 8-9 кл. М: Просвещение 2002г.

  3. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. – курс геометрии 8 кл. в задачах М: 1996 год.

  4. Глазков Ю.А. и др. Планиметрия в едином государственном экзамене. Математика для школьников – 2008 год.

  5. Киселев А.П. Элементарная геометрия: книга для учителя. М: Просвещение, 1990г.

  6. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии Ч 1, 2. М: Просвещение, 1986г.

  7. Шабунин М. Математика для поступающих в ВУЗы. М: Лаборатория базовых знаний 1999г.

  8. ФГОС КИМ «Геометрия» к учебнику Л.С. Атанасяна, Москва «ВАКО» 2011

  9. Поурочные разработки по геометрии 7-9 классы. М – 2010 год.







ТЕМА 1.

Окружность.

Свойства касательных, хорд и секущих.

1.

hello_html_m31c551c0.gifhello_html_61a1e681.gifhello_html_m90dc476.gif а) отрезки касательных АМ и А равны

hello_html_m2f4cac47.gifhello_html_m60f1fb95.gifhello_html_m47357494.gif О оооо б) прямая, проходящая через центр окружности

и точку А делит угол пополам

2.

hello_html_m2a7690f7.gif а) MA2 =hello_html_7bc1f3cc.gif

hello_html_m6deea28c.gifhello_html_75ade1dd.gif

б) hello_html_733c8be5.gif

hello_html_774c384e.gif

hello_html_m4cd57b2b.gifF

3. а) Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит

hello_html_m6deea28c.gifhello_html_3aa48a63.gifhello_html_m42cd4d1c.gif её пополам;

б) Обратно: диаметр, проходящий через середину

хорды, перпендикулярен ей.


4. hello_html_7d7aec9a.gif

где АВ1 и АВ2 - внешние части секущих/

hello_html_m6deea28c.gifhello_html_m16d5f52a.gifhello_html_m124a79e2.gif





5. а) hello_html_7707454f.gifВАС и hello_html_7707454f.gifВА1 С – вписанные опираются на

hello_html_m31c551c0.gifhello_html_143f316.gifhello_html_mf9a133e.gif дугу ВС, значит hello_html_7707454f.gifВАС = hello_html_7707454f.gifВА1 С = hello_html_m3d4efe4.gif ВС

hello_html_1212417e.gifhello_html_m534256bc.gif б) Вписанный угол, опирающийся на диаметр,

является прямым.

в) Если в окружность радиуса R вписанный угол1

опирающийся на хорду длины а равен hello_html_2e28ff68.gif, то

а = 2R sin hello_html_2e28ff68.gif


6. hello_html_m154a5599.gif Угол между пересекающимися хордами:

hello_html_m6deea28c.gifhello_html_79a76cbf.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_143f316.gif γ = hello_html_4b933f93.gif


hello_html_2e28ff68.gif


7. Угол между секущими, пересекающимися

hello_html_m31c551c0.gifhello_html_178cadc4.gif вне окружности hello_html_368a497d.gif= hello_html_5cb21463.gif

hello_html_m154a5599.gif

hello_html_368a497d.gifhello_html_m3ded7190.gif


hello_html_m31c551c0.gifhello_html_417e4f8.gif8. Угол между касательной и секущей: hello_html_77b968b6.gif


hello_html_m154a5599.gif

hello_html_m2f4cac47.gif

hello_html_368a497d.gif

hello_html_1ce3468b.gif9. Угол между касательными hello_html_m30ad5b79.gif

hello_html_m6deea28c.gif

hello_html_2e138ba6.gifhello_html_m154a5599.gif





1hello_html_m31c551c0.gifhello_html_m2f4cac47.gifhello_html_m32344a1f.gif0. Угол между касательной и хордой. hello_html_m7f069280.gif




hello_html_2e28ff68.gif










Решение задач


Задача № 1.

hello_html_m4da398e6.gif

hello_html_m31c551c0.gif Доказать, что hello_html_7707454f.gifАВС+ hello_html_7707454f.gifАОС = 180

hello_html_30a30cc7.gif Творческое задание: доказать несколькими способами.


hello_html_728833d2.gifhello_html_3d304536.gif



Задача № 2.

На окружности выбраны диаметрально противоположные

точки А и В и отличная от точка С. Касательная к окружности

в точке А и прямая ВС пересекаются в точке D.

Докажите, что прямая, касающаяся окружности в точке С,

hello_html_m31c551c0.gifhello_html_meba50a.gifhello_html_270835bc.gifhello_html_6d8d9a2e.gifhello_html_6488fe32.gifhello_html_m2724433d.gif делит пополам отрезок АD.

Дано: Окружность, т. А и В – диаметрально

противоположные, т. С принадлежит

окружности АD - касат., ВС- секущая,

АD ВС=D.

СF – касат., СF АD = Е

Доказать, что АЕ = ЕD


  1. Выполним дополнительное построение:

Проведем АВ и ОС

  1. АЕ – ЕС – как отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности.

  2. В ∆ ВОС, ОВ = ОС = R, то hello_html_7707454f.gifОВС = hello_html_7707454f.gifОСВ;

  3. т.к. ОС hello_html_m3369453f.gif ЕС, то hello_html_7707454f.gifЕСD = hello_html_7707454f.gifВСF = 90 - hello_html_7707454f.gifОСВ = 90 - hello_html_7707454f.gifОВС;

  4. Вhello_html_2e85d6ba.gif АВD. hello_html_7707454f.gifВDА = 90 – hello_html_7707454f.gifОВС, значит hello_html_7707454f.gifВDА = hello_html_7707454f.gifЕСD, а значит hello_html_2e85d6ba.gifЕСD – равнобедренный, поэтому СЕ = ЕD.

  5. СЕ = АЕ

hello_html_1b730b13.gifАЕ = ЕD

СЕ = ЕD


Задача № 3

Окружность с центром О касается сторон угла hello_html_m154a5599.gif в точках А и С. Отрезок ВО пересекает окружность в точке К. Найдите периметр АКСО, если hello_html_7707454f.gifВ = 60, ВК = 12.


hello_html_m6deea28c.gifhello_html_3de3a861.gifhello_html_32a8a2bc.gif 1. Пусть ОК = r. В прямоугольном hello_html_2e85d6ba.gifВАО, hello_html_7707454f.gifАВО = 30,

следовательно ВО = 2АО = 2r, ВК + r = 2r, следовате-

hello_html_28067d84.gifhello_html_438e1b6b.gif но ВК = r.

hello_html_m2e8fe607.gif 2. hello_html_2e85d6ba.gifАВО. hello_html_7707454f.gifАОВ = 60, АО = ОК, треугольник

равносторонний, АК = r = 12.

3. Аналогично СК = r = 12

4. Р АКСО = hello_html_m72373908.gif = 48

Ответ: 48


Задачи для самостоятельного решения

Задача № 1. Радиус окружности равен hello_html_m59c8c0fc.gif. Определите длины хорды, проведенную из

конца данного диаметра через середину перпендикулярного ему радиуса.

Решение.

1. hello_html_2e85d6ba.gifАОМ. hello_html_1bfc1af9.gif0 т. hello_html_1bfc1af9.gif. АМ =

hello_html_m31c551c0.gifhello_html_m9534073.gifhello_html_m4cddfa4e.gifhello_html_4cbb7abc.gif = hello_html_48c0b053.gif

hello_html_m53d4ecad.gif 2. Продолжим радиус ОD до пересечения с окружностью

в т. К.

По свойству пересекающихся хорд в окружности имеем: hello_html_m26b6ae50.gif =

= hello_html_22204112.gif, МС =hello_html_3374dae7.gif

Т.к. DМ =hello_html_400bbe6.gif МК =hello_html_6ce3512d.gif, получаем МС = hello_html_m14fb8d3c.gif

Значит АС = АМ + МС = hello_html_m1486d86d.gif


Ответ: 4


Задача № 2. Из точки В к окружности проведены касательные ВР и ВQ (Р и Q – точки

касания).

Найдите длину хорды РQ, если дли отрезка РВ = 40, а расстояние от

центра окружности хорды РQ равно 18.



hello_html_1ce3468b.gif Решение:

  1. Рhello_html_m31c551c0.gifhello_html_4cbb7abc.gifhello_html_3d304536.gifQ = 2 РМ, hello_html_2e85d6ba.gifРОВ – прямоугольный

РМ – высота

Рhello_html_249bbe2.gifhello_html_m16d5f52a.gifВ2 = hello_html_533eab80.gif

2. Пусть ВМ = х, тогда 402 = hello_html_m2d4a7764.gif

х2+18х-1600=0

х1,2= -9hello_html_m78531b32.gif41

х = 32

РМ2 =hello_html_m734e4306.gif, РМ= 24

РQ = hello_html_16a2cc06.gif

Ответ: 48


Самостоятельная работа

Задача № 1 Известно, что АВ = 6, ВС = 9, DЕ = 13

hello_html_m31c551c0.gifhello_html_382c5cd3.gif Найти: АD

Ответ: 5

hello_html_2eba9eb9.gif



Задача № 2. CD=CE, О – цент окружности. Угол hello_html_m154a5599.gif на hello_html_25fede9f.gif больше

hello_html_m31c551c0.gif угла hello_html_2e28ff68.gif. Найдите угол hello_html_2e28ff68.gif.

Ответ: 5

hello_html_m9534073.gifhello_html_37f8dae0.gifhello_html_72c686eb.gif

О

Задача № 3. На окружности радиуса R последовательно отмечены точки А, В, С и

D так, что величины Дуг АВ и ВС равны соответственно 500 и 800, а

диагонали четырехугольника АВСD равны между собой. Найдите

длину наибольшей стороны четырехугольника.

hello_html_m31c551c0.gifhello_html_m64d875ce.gifhello_html_6bafbc6b.gifhello_html_md69240.gif Решение:

hello_html_347ae176.gifhello_html_m3aecf1c.gifhello_html_587c311b.gifhello_html_147ddba2.gif

hello_html_40175ab0.gifпо условию, значит

hello_html_m7476627e.gif;hello_html_m448328ea.gif,AD- диаметр,AD = 2 R

Ответ: 2 R

ТЕМА 2.

Треугольники и окружность.

2.1. Окружность, вписанная в треугольник.


Большинство планиметрических задач, предлагаемых на ЕГЭ, составляют задачи, связанные с окружностью, вписанной в треугольник – произвольной, равнобедренный, прямоугольный.

При решении задач следует опираться на следующие факты:


  • отрезок, соединяющий центр окружности и точку её касания со стороной, перпендикулярен этой стороне;

  • отрезки двух соседних сторон от общей вершины до точек касания равны между собой;

  • центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов треугольника;

  • в треугольниках АОИ, АОС,ВОС, образованных отрезками биссектрис hello_html_2e85d6ba.gifАВС, углы при вершине О связаны с углами hello_html_2e85d6ba.gifАВС следующими соотношениями: hello_html_64f695d.gif;

  • если окружность вписаны в прямоугольный треугольник АВС hello_html_15eeccf0.gif, то угол между биссектрисами острых углов hello_html_m216b3c2a.gif.

hello_html_7368a58c.gifhello_html_m6deea28c.gifhello_html_m2752995f.gifhello_html_m742d4b99.gifhello_html_m262ea49d.gifhello_html_1cbd7991.gif

- Четырехугольники КОМС – квадрат,

а r = hello_html_m42fcbc8c.gif



Решение задач.


Задача 1. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС с основанием

АС касается сторон АВ и ВС в точках К и М соответственно. Найдите КМ,

если АК = 6, КВ=12.

hello_html_m4f1a15a9.gif Решение.

  1. Мhello_html_m31c551c0.gifВ=ВК=12, КА=АТ=ТС=СМ = 6, как отрезки касательных,

проведенных из одной точки. АВ=18; АС = 12.

hello_html_m9534073.gif 2. hello_html_m74d60178.gif~ hello_html_m124ae28a.gifhello_html_m64cffea9.gif

Ответ: 8


Задача № 2. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2,

hello_html_40252a6a.gif радиус описанной окружности – 5. Найдите большой катет треугольника.

hello_html_m31c551c0.gifhello_html_m2bddf96.gifhello_html_438e1b6b.gif Решение:

  1. АВ = 2R = 10, ОК = ОР = r = 2.

  2. Пусть АК = х, тогда АТ = х, а ВТ = 10-х, ТВ = РВ.

  3. По т. П из hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_2e85d6ba.gif АВС имеем:

hello_html_m18ea8e74.gif

Но АК не может быть меньше 5, следовательно, АК = 6. Итак АС = 6 + 2 = 8

Ответ:8.

Задача № 3. Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный hello_html_2e85d6ba.gif АВС, если

высота ВН равна 12 и известно, что sin hello_html_3c8ae1a9.gif

Решение:

hello_html_645808b7.gif 1. hello_html_m1ec55024.gifпрямоугольный, тогда hello_html_m69c02665.gif

hello_html_m236bc585.gif по теореме Пифагора из hello_html_2e85d6ba.gifАВН имеем:

hello_html_m6d43b6b4.gif

  1. Аналогично для hello_html_2e85d6ba.gifВНС

hello_html_7823f0ad.gif

3.SАВС=hello_html_52f7a458.gif

4. Воспользуемся формулой S=hello_html_1feed5bc.gif, hello_html_m7207be5e.gif

Ответ: 4

Задачи для самостоятельного решения

Основание равнобедренного треугольника равно 36. Вписанная окружность касается его боковых сторон в точках А и Р, АР = 12.

Найдите периметр треугольника.

hello_html_m7529b115.gifhello_html_m54e136e9.gif Решение.

  1. Пhello_html_m6f943827.gifроведем высоту СН. Т.к. треугольник равнобедренный, то

то ВН =НF = 18.

Пhello_html_m9534073.gifо свойству касательных:

АВ = ВН = НF = FР = 18.

  1. Пусть АС = х, hello_html_mb9b8623.gif~hello_html_m3406aa97.gif, тогдаhello_html_1135fb8f.gif

36х =12х + 216, 24х = 216, х = 9. Поэтому ВА + АС = ВС = 18 + 9 = 27, Р = 27+27+36=90

Ответ: 90


Задача № 2. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник АВС hello_html_15eeccf0.gif,

касается катета ВС в точке Н. Биссектриса угла А пересекает катет ВС

в т. М. Найдите НМ, если СН = 4, ВН = 12.

Решение.

1. Пусть т. О – центр окружности, вписанной в hello_html_2e85d6ba.gifАВС.

Тогда О Є АМ; ОН hello_html_m3369453f.gifВС

2. Пусть окружность касается гипотенузы в т. К, а катета АС –

- в точке Т. АК = х. Тогда АТ = АК = х

ВК = ВН = 12, СТ = СН = 4

По т. П. получаем hello_html_m557bc8a9.gif

3. hello_html_m169407bc.gif~hello_html_2dd6159b.gif(по двум углам)

Следовательно, НМ : ОТ = ОН : АТ

Получаем, hello_html_m7b727d16.gif

Ответ: 2


    1. Окружность, описанная около треугольника


  1. Цент О окружности, описанной около hello_html_2e85d6ba.gifАВС, есть точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника.

  2. Треугольники АОВ, ВОС, СОА – равнобедренные (ОА = ОВ = ОС = R).

  3. hello_html_m1234c57e.gif

hello_html_m3b42dc33.gifhello_html_m3efb526b.gifhello_html_md69240.gif


hello_html_5f36bae7.gif




  1. Длины сторон hello_html_2e85d6ba.gifАВС определяются по формулам АВ = 2 sinhello_html_m445e0457.gif


Решение задач.


Задача № 1. Около hello_html_2e85d6ba.gifАВС описаны окружности. Медиана АМ, проведена до пересечения

с окружностью в точки К. Найти АС, если АМ = 18, МК = 8, ВК = 10

hello_html_143f316.gifhello_html_md69240.gifhello_html_m3efb526b.gif Решение.

1. hello_html_m21be57e8.gifоткуда hello_html_1b4fcd20.gif

hello_html_5f36bae7.gifhello_html_32a8a2bc.gif 2. hello_html_m74d60178.gif~hello_html_57a9ba21.gif (по двум углам)

hello_html_2e70093c.gif.

hello_html_m31c551c0.gifОтвет:15.

Задача № 2. Основание равнобедренного остроугольного треугольника 48, а радиус

описанной около нею окружности 25. Найдите расстояние между цент-

рами вписанной и описанной окружностей треугольника.

Решение.

  1. О: - цент вписанной окружности, лежит на серединном перпендику-

лhello_html_m5e63691f.gifhello_html_4cbb7abc.gifяре, содержащем высоту АН треугольника к основанию ВС. Т.к.

треугольник остроугольный, то О лежит внутри треугольника, на

вhello_html_mebda11b.gifhello_html_1252464.gifысоте АН. При этом ОА = ОВ = ОС = 25 – радиусы описанной окружности hello_html_m788dac40.gif


2. Радиус вписанной окружности найдем, используя полупериметр и площадь hello_html_2e85d6ba.gifАВС.

hello_html_m18dce2d9.gif

р = 24 + 40 = 64, Shello_html_m2dca559b.gif

3. Центр вписанной окружности точка Q также лежит на высоте АН, значит QН=QН-ОН = = 12 - 7 = 5

Ответ: 5.


Задачи для самостоятельного решения.


Задача № 1. Около равнобедренного hello_html_2e85d6ba.gifАВС с основанием АС и углом при основании

hello_html_m6deea28c.gifhello_html_392eb06e.gifhello_html_md69240.gifhello_html_438e1b6b.gif 750 описана окружность с ц. О. Найдите её радиус, если площадь hello_html_2e85d6ba.gifВОС

равна 16.

hello_html_32a8a2bc.gif Решение.

hello_html_m2823cef2.gif 1. hello_html_m335ff18b.gif(по условию), следовательно hello_html_2830a89f.gif, т.к.

hello_html_m1bd6fb8b.gif

2. hello_html_4ac02fd4.gif

Ответ: R=8.


Задача № 2. Около тупоугольного равнобедренного треугольника описана окружность

радиусом 25. Расстояние от центра до основания треугольника равно 7.

hello_html_m6e99ce7e.gifhello_html_m1d321bef.gif Найдите расстояние от центра окружности до боковой стороны треугольника.

Решение.

hello_html_mbfaf050.gif 1. Искомое расстояние – длина перпендикуляра ОК, проведенного

hello_html_438e1b6b.gifhello_html_m441d7c7e.gifhello_html_m6c613c35.gif из т. О к стороне АВ.

Прямоугольный hello_html_2e85d6ba.gifАОК~hello_html_2e85d6ba.gifАВН, следовательно hello_html_78aea1bf.gif


2. Цент О окружности, описанной около тупоугольного равнобедренного hello_html_2e85d6ba.gifАВС лежит вне его, на прямой АН, содержащей высоту треугольника. Поэтому АН=АО–ОН=25–7=18.

3. В прямоугольном hello_html_2e85d6ba.gifОВН, hello_html_m711fcb2c.gifТогда в hello_html_5fbae7d0.gif

Итак, hello_html_m1d8d9b16.gif.

Ответ: 20.


ТЕМА 3.

Четырехугольники и окружности.


  1. Около параллелограммы можно описать окружность в том и только в том случае, если параллелограмм является прямоугольником.

  2. В параллелограмм можно вписать окружность в том и только в том случае, если он является ромбом.

  3. Пhello_html_m29e90a1c.gifараллелограмм, в который можно вписать окружность и вокруг которого можно описать окружность, является квадратом.

hello_html_m31c551c0.gif 4. Если в четырехугольнике можно вписать окружность, то

1) АВ + СD = ВС + АD; 2) S = hello_html_1feed5bc.gif, где r – полупериметр

четырехугольника.



hello_html_36220d78.gifhello_html_m64d875ce.gifhello_html_3e1075fd.gifhello_html_40862967.gif

5. Если около четырехугольника можно описать окружность,

hello_html_mf9a133e.gifhello_html_m291cb7e.gifhello_html_m36d2df2a.gif то hello_html_m3af20c63.gif

hello_html_617d1ec5.gif

Теорема Пигаммея: hello_html_m3bd23535.gif

hello_html_m2ee45d04.gifhello_html_1cbd7991.gifhello_html_5bc3eef1.gifhello_html_m536ccbd5.gifhello_html_7b2dcded.gifhello_html_5e952daa.gif

6. В окружность можно вписать только равнобедренную

трапецию НD=е, где е – средняя линия трапеции,

hello_html_m441d7c7e.gif ВD = 2R sin hello_html_2e28ff68.gif


hello_html_m2ee45d04.gifhello_html_fa4b7c2.gifhello_html_7babcc06.gifhello_html_1cbd7991.gifhello_html_77649dc.gifhello_html_m144e7148.gifhello_html_m262ea49d.gif 7. Если основание трапеции является диаметром, то hello_html_2e85d6ba.gifАВD и

hello_html_2e85d6ba.gifАСD – прямоугольные, ВН – высота прямоугольного hello_html_2e85d6ba.gifАВD


hello_html_m36d2df2a.gif


8.Если трапеция описана около окружности, то hello_html_2e85d6ba.gifВОА и hello_html_2e85d6ba.gifСОD

hello_html_m6deea28c.gifhello_html_d7431c9.gifhello_html_m2823cef2.gifhello_html_6f6f3f62.gifhello_html_4cbb7abc.gifhello_html_m534256bc.gifhello_html_26725a7c.gif - прямоугольные;

hello_html_m5ac220ba.gifhello_html_m1c3bb5d2.gifhello_html_m8179569.gifMN = h = 2r

BC + AD = BA = CD

hello_html_7d227518.gif r2 = xy.

hello_html_m31c551c0.gifhello_html_m2823cef2.gifhello_html_m36af77c9.gifhello_html_d7431c9.gifhello_html_4cbb7abc.gifhello_html_4cbb7abc.gifhello_html_26725a7c.gif 9. Если равнобедренная трапеция описана около окружности

hello_html_m2bddf96.gifhello_html_m1c3bb5d2.gif то: 1) hello_html_a6d9059.gif

2) НD= е, где е – средняя линия трапеции;

hello_html_7d227518.gif 3) hello_html_m6bd7f49a.gif


    1. Окружность, вписанная в ромб.

hello_html_m673b8f70.gifhello_html_m5ee0d1.gif

  1. Рhello_html_28067d84.gifhello_html_5e952daa.gifhello_html_m5ee0d1.gifадиус r вписанной окружности удовлетворяет соотношениям:

hello_html_7d227518.gifhello_html_m8179569.gifhello_html_7b2dcded.gifhello_html_m440aced8.gifhello_html_61c8a16c.gif, где h – высота ромба

hello_html_70b4e308.gif, где d1 и d2 – диагонали ромба, d12 + d22 = 4а2.


2. Точка касания вписанной окружности делит сторону ромба на отрезки, связанные с его диагоналями и радиусом вписанной окружности следующими соотношениями:

hello_html_66e44b9d.gif

3. Площадь ромба: S = ah, S = 2ar, S = a2sinhello_html_2e28ff68.gif, S = hello_html_m12021b7e.gif


Решение задач.



Задача № 1. Диагонали четырехугольника АВСD, вписанного в окружность, пересекаются

в точке М, АМ = 4, СМ = 9, ВМ = DМ, hello_html_7707454f.gifАМВ = 300.

hello_html_m31c551c0.gifhello_html_m2f9ab24c.gifhello_html_m6c613c35.gifhello_html_md69240.gif Найдите площадь четырехугольника.

Решение

hello_html_6bafbc6b.gifhello_html_m13e5f087.gifhello_html_m9534073.gif 1. hello_html_m4188904b.gif (свойство 5)

2.

hello_html_m3c212fe2.gif

Ответ: 39


Задача № 2. Высота ромба, проведенная из вершины его тупого угла, делит сторону

ромба в отношении 1:2, считая от вершины острого угла.

Какую часть площади ромба составляет площадь писанного в него круга?

hello_html_516c6a2b.gifhello_html_m441d7c7e.gifhello_html_7575f7b6.gifhello_html_7575f7b6.gifhello_html_7b2dcded.gif Решение.

Пусть АН = а, тогда НD = 2а и АD = 3а;

ВН = h, r – радиус вписанного круга. По т. П. из hello_html_2e85d6ba.gifАВН имеем: h=ВН=

hello_html_m441d7c7e.gif = hello_html_252f037d.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m2451eaa5.gif

Ответ: hello_html_m5c221b09.gif.


Задача № 3. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Расстояние от центра

окружности до концов боковой стороны трапеции равны 6 и 8.

hello_html_m31c551c0.gifhello_html_4cbb7abc.gifhello_html_m2823cef2.gifhello_html_7f7d508c.gifhello_html_4cbb7abc.gifhello_html_m90dc476.gif Найдите S трапеции.

hello_html_7d65a54e.gif Решение:

hello_html_m2bddf96.gifhello_html_43edb481.gif


hello_html_7d227518.gif

Способ 1.

1. hello_html_2e85d6ba.gifСОD – прямоугольный, CD=hello_html_m71e4c7e9.gif

2. М – точка касания окружности и стороны СD. Тогда ОМ = r, ОМhello_html_m3369453f.gifCD. hello_html_m154a5599.gifhello_html_2e85d6ba.gifCOD,

hello_html_m1f4b91a5.gif

3. Высота прямоугольной трапеции равна её меньшей боковой стороны, т.е. диаметру вписанной окружности. Следовательно, РВ = hтр= 2r = 9,6

Тогда Sтр.=hello_html_mb53e83d.gif

Ответ: 94,08

Способ 2.

Разобъём данную трапецию на два квадрата со стороной, равной радиусу вписанной окружности, и две пары равных треугольников.

Следовательно, Sтр.=hello_html_m7fe6d206.gif

Ответ: 94,08

Задача № 4. Около трапеции описана окружность, центр которой лежит внутри трапеции

Высота трапеции равна 27, а длины оснований равны 48 и 30. Найдите радиус

hello_html_59b18e50.gifhello_html_4cbb7abc.gifhello_html_57fdbc82.gifhello_html_m3483e7d0.gif окружности.

Решение:

  1. Трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной.

Цhello_html_m68767ad2.gifентр окружности лежит внутри трапеции на общем серединном перпендикуляре к её основанием.

2. Пусть ОН = х, тогда ОК = 27 – х; из прямоугольных треугольников АОН и ВОК получаем АН2= ОН2= ВК2= ОК2, т.е. 242= х2= 152= (27 – х)2. Решая уравнение получаем

х = 7. Следовательно,R= АО =hello_html_15e2779e.gif

Ответ: 25.

Задачи для самостоятельного решения.


Задача № 1. Дан ромб ABCD. Окружность, описанная около треугольника ABD,

пересекает большую диагональ ромба АС в т.Е.

hello_html_m6deea28c.gifhello_html_mb689f5b.gifhello_html_m64d875ce.gifhello_html_m4e4680bd.gif Найдите СЕ, если АВ = hello_html_36a51aba.gif, BD = 16.

hello_html_m9534073.gifhello_html_m4e4680bd.gifhello_html_m64d875ce.gifhello_html_m53a6d639.gifhello_html_426ae597.gif

Решение:

  1. Диагонали ромба пересекаются в точке О. Из треугольника АОВ.

находим ОА = 16, следовательно, АС= 32. Из hello_html_2e85d6ba.gifADE находим DE:

DE = hello_html_7d281fb2.gif

2. Четырехугольник ABED вписан в окружность.

По теореме Птолелия hello_html_mbb2a554.gif

АЕ = 20. Следовательно, СЕ = АС = АЕ = 32-20 = 12

Ответ: 12.


Задача № 2. Площадь круга, вписанного в трапецию, равна 9hello_html_1bfc1af9.gif, а сумма боковых сторон

трапеции равна 20. Найдите площадь трапеции.

Решение:

  1. По условию задачи Sтр.=hello_html_m27345d77.gif. Тогда диаметр круга, а значит, и высота трапеции равны 6.

  2. Средняя линия трапеции, описанной около круга, равна полусумме её боковых сторон, т.е.10.

Итак, Sтр = hello_html_m78db2e9a.gifОтвет: 60.

Самостоятельная работа.


Задача № 1. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник АВС, касается

hello_html_m54e136e9.gifhello_html_m5f325ac7.gif гипотенузы АВ в т. Е. Найдите площадь треугольника АВС, если АЕ = 5,

ВЕ = 4.

hello_html_516c6a2b.gif Решение:

  1. ОМ = ОN = r, МОNС – квадрат, МС = СN = r

  2. АЕ = АМ = 5, ВЕ = ВN = 4, АС = АМ + МС = АМ + r, ВС = DN + r.

Пhello_html_m36d2df2a.gifо т.П. hello_html_60aa41ac.gif

hello_html_m31301541.gif

Тогда АС =hello_html_m3e52ebf5.gif

ВС = hello_html_m65849664.gif

3. SАВС = hello_html_mf534cbc.gif

=hello_html_m37154bbd.gif

Ответ: 20.


Задача № 2. Большее основание трапеции является диаметром описанной окружности.

hello_html_20c9741.gif Определите радиус окружности, если средняя линия трапеции равна 8, а её

hello_html_m90dc476.gifhello_html_665600da.gifhello_html_1cbd7991.gifhello_html_m6c613c35.gifhello_html_438e1b6b.gif площадь 32.

Решение:

  1. Тhello_html_m36d2df2a.gifрапеция вписана в окружность. Следовательно, она равнобедренная.

  2. hello_html_7707454f.gifАВD – вписанный, опирается на диаметр, значит hello_html_7707454f.gifАВD = 900,

hello_html_2e85d6ba.gifАВD – прямоугольный.

hello_html_98c7071.gif

Ответ: 5.




Краткое описание документа:

  1.   Цель .

         Разработать программу предпрофильного курса по выбору «Вписанные и описанные многоугольники» и учебно-методический комплект.

  1.   Задачи.

         - познакомиться с «Концепцией профильного обучения на старшей ступени общего образования»;

         -  познакомиться с письмом Департамента  общего и дошкольного образования  об элективных курсах в системе профильного  обучения на старшей ступени общего образования от 13.11.2003 года;

         -  познакомиться с «Положением об элективных курсах в МОУ «Жарковская средняя общеобразовательная школа № 1»;

         -  познакомиться с структурной программы  элективных курсов;

         -  познакомиться с публикациями о предпрофильном обучении в учебно- методических и научно- практических журналах;

         -  выяснить интересы детей, готовность реализации, изучить опыт детей;

         -  познакомиться с новыми технологиями, видами контроля, подобрать инструментарий для достижения цели;

         -  подобрать соответственную литературу;

         -  ознакомиться и систематизировать материал по геометрии из сборников заданий по ЕГЭ

Общая информация

Номер материала: 358878

Похожие материалы