Всероссийская олимпиада школьников по математике (школьный этап) 6 класс

Всероссийская олимпиада школьников по математике (школьный этап)

6 класс

ЗАДАНИЕ №1

Лёня умеет умножать числа на 7, Глеб – прибавлять 3, Саша  - делить на 4, Андрей – вычитать 5. В каком порядке им нужно выполнять свои операции (каждую ровно 1 раз), чтобы получить из числа 8 число 30?

ЗАДАНИЕ №2

По кругу написано 2015 натуральных чисел. Докажите, что найдутся два соседних числа, сумма которых чётна.

ЗАДАНИЕ №3

Разделите фигуру по линиям сетки на четыре одинаковые части так, чтобы в каждой части оказалось по одной точке.

●
	●		●
		●

ЗАДАНИЕ №4

Инопланетяне сообщили жителям Земли, что в системе их звезды три планеты – А, Б, В. Они живут на второй планете. Далее передача сообщения ухудшилась из-за помех, но было принято ещё два сообщения, которые, как установили учёные, оказались ложными:

а) А – не третья планета от звезды;

б) Б – вторая планета.

Какими планетами от звезды являются А, Б, В?

Ответ обоснуйте.

ЗАДАНИЕ №5

Вася и Петя живут в горах и любят ходить друг к другу в гости. При этом в гору они поднимаются со скоростью 3 км/ч, а с горы спускаются со скоростью 6 км/ч (горизонтальных участков дороги нет). Вася посчитал, что до Пети он идёт 2 час 30 минут, а обратно 3 часа 30 минут. Какое расстояние между домами Васи и Пети?

Ответ обоснуйте.

Ответы и решения.

ЗАДАНИЕ №1

Ответ: ( 8 : 4 + 3 ) . 7 – 5 – это единственное возможное решение.

ЗАДАНИЕ №2

Доказательство: Сумма 2 чисел будет чётной, если они оба чётные или оба нечётные. Сумма 2 чисел будет нечётной, если одно из них будет чётное, а другое – нечётное. Допустим, что сумма любых 2 соседних чисел нечётна, тогда чётные и нечётные числа должны чередоваться. Значит, общее число чисел будет чётным, а по условию чисел 2015 – нечётно. Значит, допущение сделано неверно, и на самом деле найдутся 2 числа, сумма которых будет нечётна.

ЗАДАНИЕ №3

Ответ:

●
	●		●
		●

ЗАДАНИЕ №4

Ответ: Б – первая планета, В – вторая планета, А – третья планета.

Решение: Так как второе и третье сообщения ложны, то А является третьей планетой, а Б не второй, поэтому Б – первая планета от звезды. Тогда В будет планетой, на которой живут инопланетяне.

ЗАДАНИЕ №5

Ответ: 12 км.

Решение: Дорога от Пети до Васи и обратно занимает 6 часов, при этом, так как в гору идти в два раза медленнее, чем под гору, на все подъёмы ребята тратят в два раза больше времени, чем на спуски.

Таким образом, если идти от Пети до Васи и обратно, то на спуски будет потрачено 2 часа, а на подъёмы  - 4 часа, то есть длина подобного маршрута равна

(6 . 2 + 4 . 3) – 24 км. Следовательно, расстояние от Пети до Васи равно 12 км.

Критерии оценивания олимпиадных работ

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
7	Полное верное решение
6-7	Верное решение. Имеются небольшие недочёты, в целом не влияющие на решение.
5-6	Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, либо не рассмотрение отдельных случаев, но может стать правильным после небольших исправлений или дополнений.
4	Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2-3	Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
1	Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).
0	Решение неверное. Продвижения отсутствуют.
0	Решение отсутствует.

  Любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение обучающегося отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри.

   Олимпиадная работа не является контрольной работой обучающегося, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачёркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов.

    Баллы не выставляются «за старание обучающегося», в том числе за запись в работе большого по объёму текста, но не содержащего продвижений в решении задачи.