Всероссийская олимпиада школьников по математике школьный этап (математика)

Всероссийская олимпиада школьников по математике

школьный этап

2017-2018 учебный год

5 класс

1. (7б.) Расставьте скобки в записи 7·9+12:3-2 так, чтобы значение полученного выражения было равно:

а)23;       б)75.

2. (7б.) В семье четверо детей,  им 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера и Галя. Сколько лет каждому ребенку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори и сумма Ани и Веры делится на 3.

3. (7б.) В шести кружках, расположенных в форме равностороннего треугольника расставьте числа 31, 32, 33, 34, 35, 36 так, чтобы сумма чисел на всех трех сторонах треугольника была одинаковой и равнялась 100.

 

 

 

 

4. (7б.) Как, имея два сосуда вместимостью 5л и 7л налить из водопроводного крана 6л.? 

5. (7 б.) Школьный драмкружок, готовясь к постановке отрывка из сказки А.С.Пушкина о царе Салтане, решил распределить роли между участниками:

Я буду Черномором, - сказал Юра.

Нет, Черномором буду я, - заявил Коля.

        Ладно, - уступил ему Юра, - я могу сыграть Гвидона.

Ну, я могу стать Салтаном, тоже проявил уступчивость Коля.

Я же согласен быть только Гвидоном! – произнес Миша.

Желание мальчиков были удовлетворены. Как распределились роли?

7 класс

1.     (7б) Расставьте знаки арифметических действий и скобки там, где считаете нужным, чтобы     получилось верное равенство:
           2 4 6= 3 3 3

2.     (7б) Найти сумму всех трёхзначных чисел, произведение цифр которых равно 3.

3.     (7б) На клетчатой бумаге изображена чашка с крышкой (см. рис. 1). На покраску крышки израсходовали 30 г  краски. Сколько ещё нужно грамм краски для покраски чашки? Не забудьте  обосновать ответ.

4.     (7б) На почтовом ящике написано: «Выемка писем производится пять раз в день с 7 до 19 часов». И, действительно, первый раз почтальон забирает почту в 7 утра, а последний – в 7 вечера. Через какие равные интервалы времени вынимаются письма из ящика?

5.      (7б) Из урожая фруктов сварили варенье. Варенье расставили на 2 полки так, что на каждой полке стоит одно и то же количество литров варенья.  При этом на первой полке стоит одна большая и 6 маленьких банок, на второй – 2 большие и 4 маленьких. Сколько литров варенья было сварено, если известно, что вместимость маленькой банки составляет 1 литр? Ответ нужно объяснить.

9 класс

1.     Найдите площадь квадрата, все вершины которого лежат на двух прямых:     x + y =0 и  x+ y = 2 .

2.     На маленьком острове 2/3 всех мужчин женаты и 3/5 всех женщин замужем. Сколько жителей острова состоят в браке, если всего там проживает 1900 человек?

3.     На окружности с диаметром AB и центром O выбрана точка C так, что

биссектриса угла CAB перпендикулярна радиусу OC . В каком отношении прямая CO делит угол ACB ?

4.     Найдите количество трехзначных чисел, в десятичной записи которых участвует ровно одна цифра 3.

5.     Мама хочет наказать Петю за двойку по математике. Они договорились о следующем. Петя задумывает двузначное число с разными цифрами  и сообщает его маме. После этого мама называет свое двузначное число Пете. Петя прибавляет мамино число к своему числу, затем к полученной сумме, затем к вновь полученной сумме и т.д. до тех пор, пока у него не получится сумма, оканчивающаяся на две одинаковые цифры. Сможет ли мама не позволить Пете в этот день поиграть в футбол?

Общие положения о проверке работ

Приведенные ниже решения задач не являются единственно возможными. Участники, возможно, найдут и другие верные решения. При проверке и оценке решения учитывается только его верность и полнота. Приведенные ниже критерии по проверке задач также носят рекомендательный характер и могут быть уточнены и дополнены школьным жюри олимпиады в соответствии с особенностями решений школьников данной школы.

Каждая задача оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Итог выводится по сумме баллов, набранных участниками.

Основные принципы оценивания приведены в таблице.

Правильность (ошибочность) решений	Количество баллов
Безупречное решение	7
Решение с недочётами	6
Неполное решение с негрубыми ошибками	4-5
Неверное решение, но продвижение в верном направлении	1-3
Решение неверное, продвижение отсутствует	0
Решение отсутствует	0

Любые исправления в работе, в том числе зачеркивание ранее записанного текста, не являются основанием  для снятия баллов; недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи решений при ее выполнении.

Победителем в параллели считается участник, набравший наибольший суммарный балл и решивший не менее половины задач (не менее трех задач).  Победителей в параллели может быть несколько. Призерами рекомендуется считать  участников, решивших не менее половины задач, но набравших меньше баллов, чем победитель. Если ни один участник в данной параллели не решил более двух задач, жюри может принять решение считать призерами участников, решивших две задачи, однако победителей в этом случае не будет.

Максимальное число баллов	35
1 место	27-35
2 место	19-27
3 место	16-19

Ответы и решения

5        класс

1.Решение: а) (7·9+12)·3-2=23;    б) (7·9+12)·(3-2)=75

2. Ответ: Вере - 5 лет, Боре – 8 лет, Ане – 13 лет, Гале – 15 лет.

3.  Ответ:

4. Ответ:

1)наполняем семилитровый сосуд, переливаем из него 5л в пятилитровый, затем 5л выливаем, а оставшиеся 2л в семилитровом сосуде выливаем вновь в пятилитровый сосуд.

2)Снова наполняем семилитровый сосуд, отливаем из него 3л в пятилитровый сосуд. Тогда в семилитровом остается 4 л. Выливает все из пятилитрового сосуда и выливаем в него 4л из семилитрового сосуда.

3)наполняем вновь семилитровый сосуд, отливаем из него 1л в пятилитровый сосуд. Таким образом, в семилитровом сосуде получаем 6л.

5.Ответ:

Салтан                                         Юра                                                     

Гвидон                                         Коля

Черномор                                    Миша

Так как к Салтану идет лишь одна стрелка, то Коля и будет играть Салтана. Тогда Коля не будет Черномором, а значит, Черномором будет Юра и    Миша – Гвидон.

7 класс

1. Решение: может быть несколько. Например, такие: а);                                  б) ; в) 2+4–6=3 – 3:3

2. Найти сумму всех трёхзначных чисел, произведение цифр которых равно 3.

Ответ: 555

Решение: Произведение трех цифр может быть равно 3 только, если это цифры 1,1 и 3. Рассмотрим все возможные трехзначные числа, которые можно из них составить – это 113, 131, 311. Их сумма равна 555.

3. На клетчатой бумаге изображена чашка с крышкой (см. рис. 1). На покраску крышки израсходовали 30 г. краски. Сколько ещё нужно грамм краски для покраски чашки?

Ответ: 45 г

Решение: Площадь закрашенной части составляет ровно 2 клеточки. Тогда на покраску 1 клетки расходуется 15 г краски. Площадь «чашки» составляет 3 клеточки. Тогда на ее покраску потребуется еще 45 г краски.

4. На почтовом ящике написано: «Выемка писем производится пять раз в день с 7 до 19 часов». И, действительно, первый раз почтальон забирает почту в 7 утра, а последний – в 7 вечера. Через какие равные интервалы времени вынимаются письма из ящика?

Ответ: через 3 часа

Решение: Промежуток времени с 7 до 19 ч составляет ровно 12 часов. В течение этого времени почтальон еще трижды вынимает почту из ящика через равные интервалы. Но тогда 12 ч делится на 4 равных промежутка по 3 часа.

5. ответ: 16 литров.

 Решение. Сравним количество варенья на первой и второй полке. Из этого сравнения видно, что одна большая банка содержит столько же варенья, сколько и две маленьких, то есть, 2 литра. Теперь считаем. На 1-й полке 2+6=8 литров, на второй столько же.  Всего 16 литров.

  9 класс

1. Ответ. 2.

Решение. Длина стороны этого квадрата – расстояние между прямыми x + y =0 и x + y =2 , так как на каждой из прямых – по две вершины квадрата. А это расстояние равно расстоянию от начала координат до прямой x+  y = 2 , пересекающей оси координат на расстоянии 2 от начала координат. Значит, искомое расстояние – высота в равнобедренном прямоугольном треугольнике с катетами длины 2, которая равна √2 .

2. Ответ. 1200 человек.

Решение. Пусть x – количество мужчин, y – количество женщин на этом острове. Из условия следует, что 2/3 х = 3/5 у, кроме того, х + у = 1900.

Решая эту систему, получаем: x = 900, y = 1000. Отсюда количество женатых мужчин равно 2/3 ∙ 900= 600, а общее количество людей, состоящих в браке, равно 1200.

3. Ответ: 2 : 1

Решение. Биссектриса угла CAO является высотой треугольника CAO, поэтому CA = AO. Но OA = OC – как радиусы, значит, треугольник CAO – равносторонний. Тогда угол ACO = 60º . Кроме того, в равнобедренном треугольнике OCB (OC = OB) угол COB = 120º , поэтому угол OCB = 30º (иначе это можно получить, воспользовавшись тем, что угол ACB – опирающийся на диаметр, равен 90º ).

4. Ответ. 225.

Решение. Если у трехзначного числа на первом месте стоит цифра 3, то две другие цифры – произвольные, отличные от 3. Значит, на втором месте может стоять любая из 9 других цифр, и на третьем – любая из 9 других цифр – всего 9х9 = 81 вариант. Если тройка стоит на втором месте, то на первом месте может стоять любая цифра, кроме 3 и 0, а на последнем – любая, кроме тройки. Всего получается 8х9 = 72 варианта. Столько же вариантов мы получим, если тройка будет стоять на последнем месте. Итого: 81 + 72 + 72 = 225 вариантов.

5. Ответ. Сможет.

Решение. Если Петя задумает число с двумя цифрами разной четности, то маме нужно назвать, например, число 20. Тогда четность каждой из двух последних цифр после каждого прибавления будет сохраняться, и эти цифры никогда не совпадут. Если же цифры Петиного числа будут одной четности, то маме достаточно назвать число 50. После каждых двух прибавлений последние две цифры будут повторяться, т.е. не будут совпадать, а после первого (третьего, пятого и т.д.) прибавления эти цифры будут иметь разную четность, т.е. тоже не совпадут.

Краткое описание документа:

Всероссийская олимпиада школьников по математике

школьный этап

2017-2018 учебный год

5 класс

1. (7б.) Расставьте скобки в записи 79+12:3-2 так, чтобы значение полученного выражения было равно:

а)23; б)75.

2. (7б.) В семье четверо детей, им 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера и Галя. Сколько лет каждому ребенку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори и сумма Ани и Веры делится на 3.

3. (7б.) В шести кружках, расположенных в форме равностороннего треугольника расставьте числа 31, 32, 33, 34, 35, 36 так, чтобы сумма чисел на всех трех сторонах треугольника была одинаковой и равнялась 100.