Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Вычисление площади криволинейной трапеции. Алгебра и начала мат. анализа. 11 кл

Вычисление площади криволинейной трапеции. Алгебра и начала мат. анализа. 11 кл


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

ГБОУ средняя общеобразовательная школа с.Надеждино Учитель математики – Роман...
Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графико...
.
Благодаря этим знаниям математики в былые времена могли вычислить площадь лю...
Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция , а F – ее...
Доказательство : Рассмотрим функцию S( x) , определенную на отрезке [a; b] ....
Выясним геометрический смысл числителя ΔS ( x) . Для простоты рассмотрим случ...
О: Криволинейной трапецией называется фигура D с границей где функция (х) неп...
Найдем площадь криволинейной трапеции. Для этого разобьем отрезок [а, b] точк...
Пример: Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 4...
Для непрерывной функции 	где F(x) – первообразная функции f(x).
Какая трапеция называется криволинейной ? (определение вместе с рисунком). Мо...
№ 2 F(x) = x2 + 4x + С – общий вид первообразных функции f. Найдем С: 1 спосо...
№ 3 Решение F(x) = x2 + 4x + c – общий вид первообразных функции f. Найдем с:...
Построим графики функций y = x2 + 4x + 4, у = 6х + 3 и y = 0 в одной системе...
№ 4 Решение Найдем уравнение касательных к графику функции f(x) = - x2 + 4x –...
Найдем абсциссу точки В из уравнения: - пределы интегрирования K
№ 5
№ 6
№ 7 Вычислить: 1 способ На [-2; 2], |x – 2| = - x + 2 На (2; 3], |x – 2| = x...
2 способ Т.к. функция у = |х - 2| непрерывна и неотрицательна на [- 2; 3 ], т...
1 из 26

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 ГБОУ средняя общеобразовательная школа с.Надеждино Учитель математики – Роман
Описание слайда:

ГБОУ средняя общеобразовательная школа с.Надеждино Учитель математики – Романова Т.А.

№ слайда 2 Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графико
Описание слайда:

Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a; b] функции f , осью Ох и прямыми х = а, х = b . Изображения криволинейных трапеций:

№ слайда 3 .
Описание слайда:

.

№ слайда 4 Благодаря этим знаниям математики в былые времена могли вычислить площадь лю
Описание слайда:

Благодаря этим знаниям математики в былые времена могли вычислить площадь любой фигуры, например, площадь вашего тела, Математический анализ вообще разработан во  времена, когда компьютеров еще не было и, соответственно, площадь под любой кривой подсчитать было невозможно, только под той, у которой находится первообразная в виде аналитической функции. Сейчас эту площадь можно посчитать с хорошей степенью точности, используя методы математических вычислений, но это не освобождает от знаний основ математического анализа, на основании которых эти методы строятся.

№ слайда 5
Описание слайда:

№ слайда 6
Описание слайда:

№ слайда 7 Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция , а F – ее
Описание слайда:

Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция , а F – ее первообразная на этом отрезке , то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b] , т.е.

№ слайда 8 Доказательство : Рассмотрим функцию S( x) , определенную на отрезке [a; b] .
Описание слайда:

Доказательство : Рассмотрим функцию S( x) , определенную на отрезке [a; b] . Если a < x ≤ b , то S( x ) – площадь той части криволинейной трапеции , которая расположена левее вертикальной прямой , проходящей через точку М ( x: 0 ) ( рис 2.а) Если x = a , то S ( a ) = o . Отметим , что S ( b) = S ( S – площадь криволинейной трапеции ) . Нам осталось доказать , что S' ( x ) = f ( x ) (2) По определению производной докажем, что ΔS(x) → f ( x ) (3) Δ x при Δ x →0

№ слайда 9 Выясним геометрический смысл числителя ΔS ( x) . Для простоты рассмотрим случ
Описание слайда:

Выясним геометрический смысл числителя ΔS ( x) . Для простоты рассмотрим случай Δ x > 0 . Поскольку ΔS ( x) = S ( x + Δ x )- S(x), то ΔS ( x) – площадь фигуры , заштрихованной на рисунке 2, б. Дальнейшее доказательство рассмотрите самостоятельно. Итак , мы получили, что S есть первообразная для f . Поэтому в силу основного свойства первообразных для всех x, принадлежащих промежутку [ a ; b ] . имеем : S ( x ) = F (x) + C , где C – некоторая постоянная , а F – одна из первообразных для функции F . Для нахождения C подставим х = а : F ( a ) + C = S ( a ) = 0, откуда C = - F (a ) . Следовательно , S ( x ) = F( x ) – F ( a ). (4) Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S ( b ) , подставляя x = b в формулу ( 4 ) , получим: S = S ( b ) = F ( b ) – F ( a ).

№ слайда 10 О: Криволинейной трапецией называется фигура D с границей где функция (х) неп
Описание слайда:

О: Криволинейной трапецией называется фигура D с границей где функция (х) непрерывна (рис. 17.1).

№ слайда 11 Найдем площадь криволинейной трапеции. Для этого разобьем отрезок [а, b] точк
Описание слайда:

Найдем площадь криволинейной трапеции. Для этого разобьем отрезок [а, b] точками на элементарных отрезков Обозначим выберем произвольные точки и построим ступенчатую фигуру из прямоугольников с высотами и основаниями Площадь ступенчатой фигуры и дает приближенное значение площади криволинейной трапеции. За точное значение площади естественно принять

№ слайда 12 Пример: Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 4
Описание слайда:

Пример: Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 4 - х²и у=0 Решение: 1. Построим криволинейную трапецию: у = 4 - х²- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз. у = 0 - ось абсцисс. 2. Найдём [а; b]: 4-х² = 0; х² = 4 х = -2 или х = 2, т. е. а = -2 b = 2 3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле: S = F(b) – F(а) S=F(2)-F(-2)=10,(6).

№ слайда 13 Для непрерывной функции 	где F(x) – первообразная функции f(x).
Описание слайда:

Для непрерывной функции где F(x) – первообразная функции f(x).

№ слайда 14
Описание слайда:

№ слайда 15 Какая трапеция называется криволинейной ? (определение вместе с рисунком). Мо
Описание слайда:

Какая трапеция называется криволинейной ? (определение вместе с рисунком). Может ли быть функция f отрицательной на отрезке [a; b]? Почему? Определение первообразной. Правила нахождения первообразных. Если f – … на отрезке [a; b] функция , а F – ее первообразная на этом отрезке , то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна … ? Чему?

№ слайда 16
Описание слайда:

№ слайда 17 № 2 F(x) = x2 + 4x + С – общий вид первообразных функции f. Найдем С: 1 спосо
Описание слайда:

№ 2 F(x) = x2 + 4x + С – общий вид первообразных функции f. Найдем С: 1 способ Если х = 1, то F(1) = 9, А (1; 9) – точка касания т.е. F(1) = 1 + 4 +С = 9. 5 + С = 9, С = 4 Найти первообразную функции f(x) = 2x + 4, график которой проходит через точку А(1,9) Решение № 345

№ слайда 18 № 3 Решение F(x) = x2 + 4x + c – общий вид первообразных функции f. Найдем с:
Описание слайда:

№ 3 Решение F(x) = x2 + 4x + c – общий вид первообразных функции f. Найдем с: 1 способ Т.к. график функции F касается прямой у = 6х + 3, то по геометрическому смыслу производной F ’(x) = k, F ‘(x) = 6, 2x + 4 = 6, x = 1. Если х = 1, то у = 6 + 3 = 9. А (1; 9) – точка касания. Т.к. парабола проходит через т.А, то F(1) = 9 F(1) = 1 + 4 + c = 5 + c, 5 + c = 9, c = 4 2 способ Т.к. парабола и касательная имеют только одну общую точку, то уравнение x2 + 4x + c = 6х + 3 имеет единственный корень (D = 0), тогда x2 – 2x + c – 3 = 0 D1 = 1 – c + 3 = - с + 4, - с + 4 = 0, с = 4 Следовательно, F(x) = x2 + 4x + 4 а) Найти первообразную функции f(x) = 2x + 4, график которой касается прямой у = 6х + 3. б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми у = 6х + 3, у = 0.

№ слайда 19 Построим графики функций y = x2 + 4x + 4, у = 6х + 3 и y = 0 в одной системе
Описание слайда:

Построим графики функций y = x2 + 4x + 4, у = 6х + 3 и y = 0 в одной системе координат. Найдем абсциссу точки С из уравнения: - пределы интегрирования

№ слайда 20 № 4 Решение Найдем уравнение касательных к графику функции f(x) = - x2 + 4x –
Описание слайда:

№ 4 Решение Найдем уравнение касательных к графику функции f(x) = - x2 + 4x – 3 в точках х = 0 и х = 3. y = f(x0) + f ‘(x0)(x – x0) – уравнение касательной в общем виде Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = - х2 + 4х – 3 и касательными к ней в точках с абсциссами х = 0 и х = 3. x0 = 0 1) f(0) = - 3 2) f ‘(x) = - 2x + 4 3) f ‘(0) = 4 4) y = - 3 + 4(x – 0) y = 4x – 3 x0 = 3 1) f(3) = - 9 + 12 – 3 = 0 2) f ‘(3) = - 2 3) y = - 2(x – 3) y = - 2x + 6 Построим графики функций у = - х2 + 4х – 3, y = 4x – 3, y = - 2x + 6 в одной системе координат: у = - х2 + 4х – 3 – графиком является парабола. (2; 1) – вершина параболы

№ слайда 21 Найдем абсциссу точки В из уравнения: - пределы интегрирования K
Описание слайда:

Найдем абсциссу точки В из уравнения: - пределы интегрирования K

№ слайда 22 № 5
Описание слайда:

№ 5

№ слайда 23 № 6
Описание слайда:

№ 6

№ слайда 24 № 7 Вычислить: 1 способ На [-2; 2], |x – 2| = - x + 2 На (2; 3], |x – 2| = x
Описание слайда:

№ 7 Вычислить: 1 способ На [-2; 2], |x – 2| = - x + 2 На (2; 3], |x – 2| = x - 2 Решение

№ слайда 25 2 способ Т.к. функция у = |х - 2| непрерывна и неотрицательна на [- 2; 3 ], т
Описание слайда:

2 способ Т.к. функция у = |х - 2| непрерывна и неотрицательна на [- 2; 3 ], то по геометрическому смыслу интеграла:

№ слайда 26
Описание слайда:


Краткое описание документа:

Представленная  презентация в программе  PowerPoint приложение к уроку «Вычисление площади плоских фигур с помощью определенного интеграла.

 С помощью интеграла можно вычислять не только площади традиционных, обычных криволинейных трапеций, но и фигур, ограниченных кривыми, Применяя формулу Ньютона-Лейбница.

 Приведены примеры криволинейных трапеций,  представлены решения задач на вычисление площади с помощью определенного интеграла.

       Сейчас площадь можно посчитать с хорошей степенью точности, используя методы математических вычислений, но это не освобождает от знаний основ математического анализа, на основании которых эти методы строятся 

Автор
Дата добавления 02.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров2260
Номер материала 418697
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх