Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц

библиотека
материалов

МОУ «Новоуральская СОШ»

Муниципальная научно-практическая конференция НОУ «Поиск»









«Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц»

Секция: Математика, физика, информатика.



















Выполнила: ученица 9а класса Каримжанова Гульнара Каирбаевна

Руководитель: Головенская Наталья Анатольевна, учитель математики







п. Новоуральский,2010г.

Содержание:



  1. Введение………………………………………………………….2

  2. Основная часть

Тригонометрические функции……………………………….......3

  1. Наши исследования

Задача……………………………………………………..4-7

  1. Заключение……………………………………….………………7

  2. Информационные ресурсы…………………………………….. 8

































I. Введение

Каждый человек входит в этот мир с феноменальными способностями к вычислениям

Яков Трахтенберг,

математик, педагог.

Актуальность темы

Широкими возможностями в интеллектуальном развитии человека, в повышении его общей культуры располагает курс математики. Уровень математической подготовки учащихся зависит от сформированности общеучебных и общематематических умений, в частности, вычислительных навыков и умений.

Сегодня, в век развития электронных средств вычислительной техники, широкого внедрения их во все сферы жизни и в систему образования, задача формирования прочных вычислительных навыков, казалось бы, отодвинулась на второй план. Однако, вычислительные навыки, как составная часть математической культуры современного человека, имеют большое прикладное значение в учебной и в дальнейшей трудовой деятельности, являются тем запасом знаний и умений, который находит повсеместное применение.

Цель работы: найти способ вычислить sin 360 и cos 360 без таблиц и калькулятора.

Задача: вычислить sin 360 и cos 360 без таблиц и калькулятора.

Методы, используемые в работе:

1. Анализ литературы.

2. Метод моделирования.

3. Метод вычисления.

4. Методы анализа, сравнения и обобщения документации.

Гипотеза: любую задачу на вычисление можно решить без калькулятора и таблиц

Объект исследования: тригонометрические функции

Предмет исследования: тригонометрические функции sin 360 и cos 360

II. Основная часть

Тригонометрические функции возникли в Древней Греции в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике, которые по существу и есть тригонометрические функции, встречаются уже в III в. до н. э. в работах Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и других. Современную форму теории тригонометрических функций и вообще тригонометрии придал Л. Эйлер. Ему принадлежат определения тригонометрических функций и принятая в наши дни символика.[1]

Тригонометрические функции (от греческих слов trigonon – «треугольник» и metreo – «измеряю») – один из важнейших классов функций.

В 8 классе мы определили тригонометрические функции и выучили их значения для стандартных углов. Но в материалах Википедии – свободной энциклопедии мы видим таблицу «Значения тригонометрических функций нестандартных углов».[2]

В ней sin 36°= hello_html_6eec8aff.gifhello_html_m6becc472.gif , а cos 360 = hello_html_6eec8aff.gifhello_html_m5963e3b6.gif . Мы решили найти значения этих величин.



III. Наши исследования

Пример. Вычислить sin 36° (без калькулятора и таблиц).

hello_html_m6b0dfddc.png

Задачу решали геометрическим способом.

  1. Рассмотрим сектор BOA окружности с центром в точке O и радиуса 1, BOA=72°. Тогда OBA=OAB=54°.

Проведем хорду AB, на отрезке AK построим точку C так, чтобы BC=BA, при этом BAC=ACB=54°, а CBA=72°.

Пусть AB=x, тогда BC=x, x>0.



  1. Рассмотрим hello_html_m272e07bb.gif и hello_html_m3b3666dc.gif. hello_html_m3b187209.gif

AOB=CBA=72° по второму признаку подобия hello_html_m1116e1cc.gif, а значит hello_html_75a40210.gif hello_html_651709ce.gif AC=hello_html_7a2a5240.gif, тогда CO=hello_html_7b71904a.gif, KC=hello_html_m15c70946.gif.

Так как hello_html_m645992f1.gif xhello_html_m5742c79e.gif, xhello_html_m547fa93c.gif.

Так как hello_html_m5339aacf.gif -hello_html_m2ae7e7cb.gif.





  1. hello_html_m7041de1d.gif- прямоугольный (т.к. В опирается на диаметр)

KB = hello_html_12c18ee6.gif = hello_html_m744e33bd.gif



  1. KBC = KBA - CBA = 90° - 72° = 18°

CBO = CBAOBC = 72°- 54°=18° BC – биссектриса hello_html_4da3cc41.gif справедлива пропорция hello_html_13f559f7.gif hello_html_m2132b460.gif

hello_html_m15c70946.gif= (hello_html_m3f6fdbb6.gif

hello_html_55d4b70.gif= hello_html_6df8c090.gif∙(4 - hello_html_7a2a5240.gif)

4 - 4hello_html_7a2a5240.gif + hello_html_710b5339.gif = (hello_html_710b5339.gif-2hello_html_7a2a5240.gif+1)∙(4-hello_html_7a2a5240.gif)

4 - 4hello_html_7a2a5240.gif + hello_html_710b5339.gif = 4hello_html_710b5339.gif- 8hello_html_7a2a5240.gif+ 4-hello_html_m1778eeef.gif+2hello_html_710b5339.gif-hello_html_7a2a5240.gif

4 - 4hello_html_7a2a5240.gif + hello_html_710b5339.gif- 4hello_html_710b5339.gif+ 8hello_html_7a2a5240.gif- 4+hello_html_m1778eeef.gif- 2hello_html_710b5339.gif+hello_html_7a2a5240.gif = 0

hello_html_m1778eeef.gif- 5hello_html_710b5339.gif+ 5hello_html_7a2a5240.gif=0

hello_html_7a2a5240.gif(hello_html_710b5339.gif- 5hello_html_7a2a5240.gif+5)=0

hello_html_7a2a5240.gif=0 или hello_html_710b5339.gif- 5hello_html_7a2a5240.gif+ 5=0

hello_html_7a2a5240.gif=0 x=0, не удовл. усл. x>0

hello_html_710b5339.gif- 5hello_html_7a2a5240.gif+5=0

Обозначим hello_html_7a2a5240.gif=t hello_html_65cbfdf7.gif-5t+5=0

hello_html_4cef3417.gif= hello_html_m1e5d230e.gif= hello_html_111aad7d.gif



hello_html_48eebe89.gif=hello_html_m17916f06.gif; hello_html_34735f1f.gif=hello_html_m48c37587.gif



hello_html_7a2a5240.gif=hello_html_6802d50f.gif hello_html_432bca1c.gif=hello_html_1231e75a.gif



hello_html_570f113e.gif=hello_html_m4e421ddf.gif не удовл. усл. -hello_html_39f1b7ec.gif<x<hello_html_39f1b7ec.gif



hello_html_2b92f0a8.gif=-hello_html_m4e421ddf.gif не удовл. усл. x>0



hello_html_7a2a5240.gif=hello_html_m48c37587.gif hello_html_432bca1c.gif=hello_html_145a4f48.gif

hello_html_570f113e.gif=-hello_html_m6becc472.gif не удовл. усл. x>0

hello_html_2b92f0a8.gif=hello_html_m6becc472.gif

hello_html_2b92f0a8.gifудовлетворяет всем условиям задачи x=hello_html_m6becc472.gif



  1. hello_html_66189991.gif- равнобедренный. OH – медиана, биссектриса, высота

hello_html_5f9b35a3.gifпрямоугольный

HOA=36°, HA = hello_html_m418f76f4.gif, OA=1

sin 36° =hello_html_669cfab4.gif sin 36°=hello_html_m418f76f4.gif=hello_html_6eec8aff.gifx sin 36° =hello_html_6eec8aff.gifhello_html_m6becc472.gif



  1. cos 36=hello_html_2c767ed8.gif= hello_html_5e4f4539.gif=hello_html_m4a008ecd.gif=hello_html_6eec8aff.gifhello_html_m5963e3b6.gif

  2. Найдем sin 72°.

sin 2hello_html_m3b151d01.gif=2∙sinhello_html_m3b151d01.gif∙coshello_html_m3b151d01.gif

sin 72° = sin 2∙36° = 2∙sin 36°∙cos 36° = 2∙hello_html_6eec8aff.gifhello_html_m6becc472.gifhello_html_6eec8aff.gifhello_html_m5963e3b6.gif=hello_html_6eec8aff.gifhello_html_a6bd16.gif =hello_html_m40543d58.gif=hello_html_7eaf769b.gif

cos 72° =hello_html_1f7575d7.gif=hello_html_m8bee24b.gif=hello_html_140a6736.gif=hello_html_1ab512bc.gif=hello_html_56de9ef7.gif=hello_html_m1726f897.gif



  1. Аналогично можно вычислить sin 144°, cos 144°, sin 288°, cos 288° и т.д.



Вывод : Поставленную задачу решили. Без калькулятора и таблиц нашли sin 36° = hello_html_6eec8aff.gifhello_html_m6becc472.gif , а cos 360 = hello_html_6eec8aff.gifhello_html_m5963e3b6.gif .



IV. Заключение

Наши исследования подтвердили, что любую задачу на вычисление можно решить без калькулятора и таблиц.

Существует много приемов вычисления арифметических действий. Знание приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора.



























































V. Информационные ресурсы.



  1. Энциклопедический словарь юного математика. − М.: Педагогика, 1989.

  2. Википедия – свободная энциклопедия.

3. Калиничева Т. Вычисление без калькулятора //Лицейское и гимназическое образование. – 2007. - №7

4. ru.wikipedia. orgi/…/ Тригонометрические функции











Краткое описание документа:

Каждый человек входит в этот мир с феноменальными способностями к вычислениям

Яков Трахтенберг,

математик, педагог.

                                                         

Актуальность темы

Широкими возможностями в интеллектуальном развитии человека, в повышении его общей культуры располагает курс математики. Уровень математической подготовки учащихся зависит от сформированности общеучебных и общематематических умений, в частности, вычислительных навыков и умений.

 

Сегодня, в век развития электронных средств вычислительной техники, широкого внедрения их во все сферы жизни и в систему образования, задача формирования прочных вычислительных навыков, казалось бы, отодвинулась на второй план. Однако, вычислительные навыки, как составная часть математической культуры современного человека, имеют большое прикладное значение в учебной и в дальнейшей трудовой деятельности, являются тем запасом знаний и умений, который находит повсеместное применение.

Автор
Дата добавления 02.12.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров911
Номер материала 168454
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх