- 02.12.2014
- 927
- 0
МОУ «Новоуральская СОШ»
Муниципальная научно-практическая конференция НОУ «Поиск»
«Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без калькулятора и таблиц»
Секция: Математика, физика, информатика.
Выполнила: ученица 9а класса Каримжанова Гульнара Каирбаевна
Руководитель: Головенская Наталья Анатольевна, учитель математики
п. Новоуральский,2010г.
Содержание:
I. Введение………………………………………………………….2
II. Основная часть
Тригонометрические функции……………………………….......3
III. Наши исследования
Задача……………………………………………………..4-7
IV. Заключение……………………………………….………………7
V. Информационные ресурсы…………………………………….. 8
I. Введение
Каждый человек входит в этот мир с феноменальными способностями к вычислениям
Яков Трахтенберг,
математик, педагог.
Актуальность темы
Широкими возможностями в интеллектуальном развитии человека, в повышении его общей культуры располагает курс математики. Уровень математической подготовки учащихся зависит от сформированности общеучебных и общематематических умений, в частности, вычислительных навыков и умений.
Сегодня, в век развития электронных средств вычислительной техники, широкого внедрения их во все сферы жизни и в систему образования, задача формирования прочных вычислительных навыков, казалось бы, отодвинулась на второй план. Однако, вычислительные навыки, как составная часть математической культуры современного человека, имеют большое прикладное значение в учебной и в дальнейшей трудовой деятельности, являются тем запасом знаний и умений, который находит повсеместное применение.
Цель работы: найти способ вычислить sin 360 и cos 360 без таблиц и калькулятора.
Задача: вычислить sin 360 и cos 360 без таблиц и калькулятора.
Методы, используемые в работе:
1. Анализ литературы.
2. Метод моделирования.
3. Метод вычисления.
4. Методы анализа, сравнения и обобщения документации.
Гипотеза: любую задачу на вычисление можно решить без калькулятора и таблиц
Объект исследования: тригонометрические функции
Предмет исследования: тригонометрические функции sin 360 и cos 360
II. Основная часть
Тригонометрические функции возникли в Древней Греции в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике, которые по существу и есть тригонометрические функции, встречаются уже в III в. до н. э. в работах Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и других. Современную форму теории тригонометрических функций и вообще тригонометрии придал Л. Эйлер. Ему принадлежат определения тригонометрических функций и принятая в наши дни символика.[1]
Тригонометрические функции (от греческих слов trigonon – «треугольник» и metreo – «измеряю») – один из важнейших классов функций.
В 8 классе мы определили тригонометрические функции и выучили их значения для стандартных углов. Но в материалах Википедии – свободной энциклопедии мы видим таблицу «Значения тригонометрических функций нестандартных углов».[2]
В
ней sin 36°= 
∙
, а cos 360
= ∙
. Мы решили найти значения этих
величин.
III. Наши исследования
Пример. Вычислить sin 36° (без калькулятора и таблиц).
Задачу решали геометрическим способом.
1. Рассмотрим сектор BOA окружности с центром в точке O и радиуса 1, ∠BOA=72°. Тогда ∠OBA=∠OAB=54°.
Проведем хорду AB, на отрезке AK построим точку C так, чтобы BC=BA, при этом ∠BAC=∠ACB=54°, а ∠CBA=72°.
Пусть AB=x, тогда BC=x, x>0.
2. Рассмотрим
и 
.
∠AOB=∠CBA=72°
⇒
по второму признаку подобия 
, а значит 
⇒
⇒
AC=
, тогда CO=
, KC=
.
Так как 
⇒
x
, x
.
Так как 
⇒
-
.
3. 
- прямоугольный (т.к. ∠В
опирается на диаметр)
KB = 
= 
4. ∠KBC = ∠KBA - ∠CBA = 90° - 72° = 18°
∠CBO = ∠CBA
– ∠OBC = 72°- 54°=18°
⇒ BC
– биссектриса 
⇒
справедлива пропорция 
⇒
= (
= 
∙(4 - )
4 - 4 + 
= (-2+1)∙(4-)
4 - 4 + = 4- 8+ 4-
+2-
4 - 4 + - 4+ 8- 4+- 2+ = 0
- 5+ 5=0
(- 5+5)=0
=0 или 
- 5+ 5=0
=0 ⇒
x=0,
не удовл. усл. x>0
- 5+5=0
Обозначим =t ⇒
-5t+5=0
= 
= 
=
; 
=
=
⇒
=
=
не удовл. усл. -
<x<
=- не удовл. усл. x>0
=
⇒
=
=- не удовл. усл. x>0
=
удовлетворяет всем
условиям задачи ⇒ x=
5. 
- равнобедренный. OH
– медиана, биссектриса, высота
– прямоугольный
∠HOA=36°,
HA = 
, OA=1
sin 36° =
⇒ sin 36°=
=
x ⇒
sin 36° =∙
6. cos
36=
= 
=
=∙
7. Найдем sin 72°.
sin 2
=2∙sin
∙cos
sin 72° = sin 2∙36° = 2∙sin 36°∙cos
36° = 2∙∙∙∙
=∙
=
=
cos 72° =
=
=
=
=
=
8. Аналогично можно вычислить sin 144°, cos 144°, sin 288°, cos 288° и т.д.
Вывод
: Поставленную задачу решили. Без
калькулятора и таблиц нашли sin
36° = ∙ , а cos
360 = ∙ .
IV. Заключение
Наши исследования подтвердили, что любую задачу на вычисление можно решить без калькулятора и таблиц.
Существует много приемов вычисления арифметических действий. Знание приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора.
V. Информационные ресурсы.
1. Энциклопедический словарь юного математика. − М.: Педагогика, 1989.
2. Википедия – свободная энциклопедия.
3. Калиничева Т. Вычисление без калькулятора //Лицейское и гимназическое образование. – 2007. - №7
4. ru.wikipedia. orgi/…/ Тригонометрические функции
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Каждый человек входит в этот мир с феноменальными способностями к вычислениям
Яков Трахтенберг,
математик, педагог.
Актуальность темы
Широкими возможностями в интеллектуальном развитии человека, в повышении его общей культуры располагает курс математики. Уровень математической подготовки учащихся зависит от сформированности общеучебных и общематематических умений, в частности, вычислительных навыков и умений.
Сегодня, в век развития электронных средств вычислительной техники, широкого внедрения их во все сферы жизни и в систему образования, задача формирования прочных вычислительных навыков, казалось бы, отодвинулась на второй план. Однако, вычислительные навыки, как составная часть математической культуры современного человека, имеют большое прикладное значение в учебной и в дальнейшей трудовой деятельности, являются тем запасом знаний и умений, который находит повсеместное применение.
6 655 350 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Головенская Наталья Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
10 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.