Инфоурок Другое Научные работыВыпускная квалификационная работа «Элементы теории вероятностей в курсе средней школы в рамках подготовки к ЕГЭ»

Выпускная квалификационная работа Амирханова Заира Р. «Элементы теории вероятностей в курсе средней школы в рамках подготовки к ЕГЭ» Научный руководитель

Скачать материал
Скачать материал

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • Выпускная квалификационная работаАмирханова Заира Р.
«Элементы теории вероятн...

    1 слайд

    Выпускная квалификационная работа
    Амирханова Заира Р.
    «Элементы теории вероятностей в курсе средней школы в рамках подготовки к ЕГЭ»
    Научный руководитель
    к.ф.-м.н., доцент
    Гаджиева Зульфия Джамаловна

  • СодержаниеВведение…………………………………………………………………………..2...

    2 слайд




























    Содержание
    Введение…………………………………………………………………………..2
    Глава 1. Основные понятия теории вероятности……………………………5
    1.1. Испытания и события………………………………………………………..6
    1.2. Классическое определение вероятности……………………………………8
    1.3. Основные формулы комбинаторики……………………………………….11
    1.4. Примеры непосредственного вычисления вероятностей…………………13
    1.5. Относительная частота……………………………………………………...14
    1.6. Статистическое определение вероятности ………………………………..15
    1.7. Геометрические вероятности……………………………………………….16
    Глава 2. Основные теоремы теории вероятностей…………………………17
    2.1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий………………..17
    2.2. Полная группа событий…………………………………………………….19
    2.3. Противоположные события………………………………………………...20
    2.4. Произведение событий……………………………………………………...20
    2.5. Условная вероятность……………………………………………………….21
    2.6. Теорема умножения вероятностей…………………………………………22
    2.7. Независимые события. Теорема умножения для независимых
    событий………………………………………………………………………….24
    2.8. Теорема сложения вероятностей совместных событий…………………...30
    2.9. Формула полной вероятности. Формула Бейеса…………………………..31
    2.10. Повторение испытаний. Формула Бернулли……………………………..34
    Глава 3. Приложения теории вероятностей…………………………………36
    3.1. Задачи ЕГЭ…………………………………………………………………..54
    Заключение…………………………………………………………………………61
    Литература………………………………………………………………………….62
     
     

  • Введени...

    3 слайд












    Введение

    В современном информационно переполненном мире в условиях бурного развития науки и техники меняются и запросы общества. Перед школой ставятся новые задачи воспитания личности, которая могла бы самостоятельно и критически мыслить, сопоставлять и анализировать факты, находить различные варианты решения возникающих проблем, выбирая из них оптимальные, учитывая различные условия и конкретные ситуации. Не обладая вероятностно-статистической грамотностью, современному человеку очень трудно воспринимать социальную, политическую, экономическую информацию.

  • Одним из направлений модернизации содержания математического образован...

    4 слайд








    Одним из направлений модернизации содержания математического образования на сегодняшний день является включение элементов комбинаторики и теории вероятностей в обязательный компонент школьного курса математики, усиливающим прикладное и практическое значение математики.

  • Теория вероятностей один из разделов, введенный в школьный курс, пр...

    5 слайд











    Теория вероятностей один из разделов, введенный в школьный курс, представляющий несомненную ценность для общего образования. Полезность получаемых знаний состоит как в том значении, которое имеют эти знания для понимания и познания закономерностей окружающего нас мира, так и возможности их непосредственного применения при изучении других наук и в повседневной жизненной практике.

  • Теория вероятностей – это такой раздел математики, который позволя...

    6 слайд












    Теория вероятностей – это такой раздел математики, который позволяет обучать учащихся логике на практике. В процессе освоения теоретических фактов решается задача развития у учащихся навыков проведения логических рассуждений, способностей абстрагировать т.е. выделять в конкретной ситуации сущность вопроса, отвлекаясь от несущественных деталей. Изучая теорию вероятностей, учащиеся овладевают умениями анализировать рассматриваемый вопрос, обобщать, находить пути решения поставленной задачи. Все это формирует мышление учащихся и способствует развитию их речи, особенно таких качеств выражения мысли, как порядок, ясность, обоснованность.

  • Объект исследования: теория вероятностей в школьном курсе мат...

    7 слайд

















    Объект исследования: теория вероятностей в школьном курсе математики
    Предмет исследования: процесс обучения элементам теории вероятностей в курсе средней школы в рамках подготовки к ЕГЭ
    Цель исследования: Разработать систему использования элементов теории вероятностей направленное на подготовку к ЕГЭ в средней школе

  • Задачи исследования:1.Изучить и проанализировать психолого-...

    8 слайд


















    Задачи исследования:
    1.Изучить и проанализировать психолого-педагогическую и методическую литературу для ознакомления данного вопроса
    2. обобщить роль системы задач в усвоении элементарных знаний о теории вероятностей
    3. Показать основные подходы к решению задач по теории вероятностей в школьном курсе математики
    4. Разработать систему задач направленные на обучение теории вероятностей в рамках подготовки к ЕГЭ.
    Гипотеза: Изучение элементов теории вероятностей позволит улучшить успешность сдачи ЕГЭ.
    Теоретическая значимость исследования заключается в том, чтобы теоретически изучить основные понятия и теоремы теории вероятностей.
    Практическая значимость работы: разработана система задач по теории вероятностей в рамках подготовки к ЕГЭ.
    Структура работы:
    Выпускная квалификационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы.
     

  • Актуальность темы   Я считаю, что вопрос исследованный в...

    9 слайд





















    Актуальность темы
    Я считаю, что вопрос исследованный в моей работе, является актуальным по ряду причин:
    Очень часто в жизни мы, оценивая возможность наступления какого-либо события, говорим: "Это невозможно", "Это непременно произойдет", "Это маловероятно", "Это обязательно случится". Купив лотерейный билет можно выиграть, а можно и не выиграть; при выстреле можно попасть в мишень, а можно не попасть; при покупке батарейки можно купить бракованную, а можно и не купить. Обыденные и довольно привычные ситуации и выражения имеют серьезные научные математические корни. 
    Умение проанализировать создавшуюся или возможную ситуацию, умение спрограммировать успешность или неудачу, умение аргументировано отстоять свою позицию – это составляющие компетентности будущего выпускника школы, молодого специалиста, востребованного на рынке труда.
    С недавнего времени в школьный курс математики включены вопросы теории вероятностей, но вопросы эти очень сильно разбросаны по классам, количество часов, выделяемое на изучение теории вероятностей ничтожно мало. Поэтому существует потребность каким-то образом систематизировать разрозненные факты и представить в виде целостного блока, содержащего и теоретический материал, и демонстрацию способов решения, и примеры решения задач.
    В ходе работы я использовала следующие методы:
    -исследование литературы по теме
    -проведение поиска задач по теме

  • Любой возможный исход (результат) опыта (испытания, эксперимента)...

    10 слайд












    Любой возможный исход (результат) опыта (испытания, эксперимента) называется событием.

    Событие называется случайным, если при осуществлении определенной совокупности условий А оно может либо произойти, либо не произойти.

    Пример 2. В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара, определенного цвета- событие.
    Событие называются достоверным, если при осуществлении данного опыта оно обязательно наступит.

    Например, достоверным будет появление одного из шести чисел 1,2,3,4,5,6 при одном бросании игральной кости.

    Другой пример: извлечение одного шара из урны содержащее белые шары. Событие А- появление белого шара. Это событие является достоверным т.к. в урне только белые шары и при извлечении появится именно белый шар.

    1.1. Испытания и события

  • Событие называется невозможным, если оно при данном опыте вообще...

    11 слайд













    Событие называется невозможным, если оно при данном опыте вообще не может наступить.

    События А1, А2…Аn называется

    -равновозможными, если не существует объективных причин, в следствии которых одно из них наступает чаще чем любое другое;

    -единственно возможными, если при осуществлении опыта наступает одно из них;

    -элементарными, если они в единстве возможны и равновозможны.
     


  • Опыт: Одноразовое бросание игрального кубика, события (А1, А2…Аn) состоящие...

    12 слайд


    Опыт: Одноразовое бросание игрального кубика, события (А1, А2…Аn) состоящие в появлении соответственно одного из двух 6 очков является элементарными, поскольку они в единстве возможны и равновозможны.

    События А и В в данном опыте называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступления другого события.

    События А и В в данном опыте называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого события.


  • События А1, А2…Аn- называются попарно несовместными, если никакие дв...

    13 слайд










    События А1, А2…Аn- называются попарно несовместными, если никакие два из них не могут наступить одновременно.

    Пример:
    Опыт: Извлечение наугад одной карты из полной колоды карт. События А появления «дамы», В- появления «короля» с появления десятки является попарно несовместными.

  • Два события при данном опыте называются противоположными, если одно из них не...

    14 слайд

    Два события при данном опыте называются противоположными, если одно из них непременно произойдет и наступления одного события означает не наступления другого события.

    Противоположные события будут обозначаться через А и А¯.
    Например: Выпадение герба и выпадение цифры при однократном бросании монеты являются противоположными.
     
    Существует три подхода к определению вероятности случайного события: классический, статистический и геометрический.

  • 1.2. Классическое опред...

    15 слайд
































    1.2. Классическое определение вероятности




    Вероятность- одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим.



    Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих наступлению события А к общему числу n всех элементарных событий. Итак, вероятность события А определяется формулой

    Р(А)=m/n,
    где m- число элементарных исходов, благоприятствующих А; n- число всех возможных элементарных исходов испытания.


















  • 16 слайд

  • Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условия...

    17 слайд

    Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества.

    Размещение из n элементов по n называется перестановкой элементов. Число всех возможных перестановок обозначается Рn и вычисляется по формуле:
    Рn=n!,
    где n!= 1*2*3…n.
    Заметим, что удобно рассматривать 0! пологая, по определению, 0!=1

    Пример 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?
    Р е ш е н и е. Искомое число трехзначных чисел
    Р3=3!=1*2*3=6.
    1.3. Основные формулы комбинаторики.

  • Любая строка длиной m составленная из элементов n-элементного множества назыв...

    18 слайд

    Любая строка длиной m составленная из элементов n-элементного множества называется размещением с повторениями из n элементов по m. Число размещений с повторениями из n элементов по m обозначается Аnm
      
    Любая строка (х1, х2,…, хm) длиной m в которой все элементы различны составленная из элементов n- элементного множества где (m ≤ n) называется размещением без повторений из n по m. Число всех размещений из n- элементов по m обозначается Аnm и вычисляется по следующей формуле:
    Аnm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1).

    Пример 2. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?
    Р е ш е н и е. Искомое число сигналов
    А62=6*5=30.

  • Любое m- элементное множество n- элементного множества где (m ≤ n) назы...

    19 слайд







    Любое m- элементное множество n- элементного множества где (m ≤ n) называется сочетанием из n элементов по m. Число всех элементов сочетаний обозначается Cnm и вычисляется по следующей формуле:

    Cnm =


    Пример 3. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

    Р е ш е н и е. искомое число способов
    С102=10!/(2!8!)=45.

    =

  • П р а в и л о  с у м м ы. Если некоторый элемент х можно выбрать n способа...

    20 слайд




    П р а в и л о с у м м ы. Если некоторый элемент х можно выбрать n способами, а некоторый элемент у можно выбрать m способами, причем любой способ выбора элементах отличен от любого способа выбора элемента у то выбор «х или у» можно сделать n+m.

    П р а в и л о п р о и з в е д е н и я. Пусть элемент х1 можно выбрать n1 способами и при каждом выборе элемента х1 элемент х2 может быть выбран n2 способами; при каждом выборе пары х1, х2 элемент х3 может быть выбран n3 способами и т.д. наконец при каждом выборе системы элементов х1, х2,…,хn-1 элемент xn может быть выбран nn способами, тогда число различных строк (х1, х2,…,хn) равно произведению n1, n2,…,nn

  • 1.4.Примеры непосредственного вычисления вероятностейПример1. Набирая номер...

    21 слайд

    1.4.Примеры непосредственного вычисления вероятностей

    Пример1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.
    Р е ш е н и е. Обозначим через А событие- набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможность элементарных исходов равна 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
     
    Р(А)=1/10.

  • Пример 2. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероя...

    22 слайд



















    Пример 2. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.
    Р е ш е н и е. Общее число возможных элементарных исходов испытания равна числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 6 элементов (С106).
     
    Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию А (среди шести взятых деталей 4 стандартных). Четыре стандартные детали можно взять из семи стандартных деталей С74 способами; при этом остальные 6-4=2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из 10-7=3 нестандартных деталей можно С32 способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равна С74*С23.
    Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
    Р(А)=(С74*С23)/С106=1/2.


  • 1.5. Относительная частотаОтносительная частота наряду с вероятностью принад...

    23 слайд

    1.5. Относительная частота

    Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит к основным понятиям теории вероятностей.
    Относительная частота обладает свойством устойчивости, то есть при большом количестве испытаний частота принимает все более устойчивые значения.
    Относительная частота события называют появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота А определяется формулой
    W(A)=m/n,
    где m- число испытаний в которых событие А наступает, n- общее число испытаний.

  • 1.6. Статистическое определениеСтатистическое определение применяется в том...

    24 слайд

    1.6. Статистическое определение

    Статистическое определение применяется в том случае, если испытание проводилось реально и предварительно определены вероятности его исходов.
    Вероятность случайного события А есть относительная частота случаев происхождения случайного события (или число, близкое к ней).
    Относительная частота случайного события А (ω(А)) это отношение числа испытаний т, в которых случайное событие проявилось к общему числу произведенных испытаний п:

  • Недостатком статистического определения является неоднозначность ст...

    25 слайд











    Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; так, в приведенном в качестве вероятности события можно принять не только 0,4, но и 0,39; 0,41 и т.д.

  • 1.7. Геометрическое определение  вероятности Пусть...

    26 слайд












    1.7. Геометрическое определение вероятности


    Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L на удачу поставлена точка, если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предложениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством
    Р=Длина l/Длину L.

  • Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На наудач...

    27 слайд











    Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На наудачу брошена точка, если предположить, что вероятность попадания брошенной точки на фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от его расположения относительно G, не от формы g, то вероятность попадания точки на фигуру g определяется равенством:
    Р=Площадь g/ Площадь G.

  • Глава 2. Основные теоремы теории вероятностей 2.1. Теорема сложения...

    28 слайд









    Глава 2. Основные теоремы теории вероятностей

    2.1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
     
    Сумма А+В двух событий А и В называют событие С, которая считается наступившим при наступлении хотя бы одного из событий А и В.

    Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.
    Например, события А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий: A, B, C, A и B, A и C, B и C, B, А и В и С.


  • Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух несовместн...

    29 слайд














    Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух несовместных событий А и В, равна сумме вероятностей этих событий:
     Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
     
    Доказательство. Введем обозначение: n- общее число возможных элементарных исходов испытания;  m1- число исходов, благоприятствующих событию A; m2- число исходов, благоприятствующих событию B.
    Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо событии В, равно m1+ m2. Следовательно,
        P(A+B)=(m1+m2)/n=m1/n+m2/n.
    Приняв во внимание, что m1/n=P(A) и m2/n=P(B), окончательно получим
          Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

  •  Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Най...

    30 слайд

     













    Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.
     
    Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появление красного шара в (событие А)
          Р(А)=10/30=⅓.
    Вероятность появления синего шара (событие В)
              Р(В)=5/30=⅙
    События A и B несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.
    Искомая вероятность
    Р(А+В) = Р(А)+Р(В)=⅓+⅙=½.
     

  • Пример 2. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Ве...

    31 слайд












    Пример 2. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадёт либо в первую, либо во вторую область.
    Решение. Событие А-” стрелок попал в первую область” и В-” стрелок попал во вторую область”- несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность
    Р(А+В) = Р(А)+Р(В)=0,45+0,35=0,80.
     

  •                           2.2. Полная группа событий Теорема. Сум...

    32 слайд

                              








    2.2. Полная группа событий
     
    Теорема. Сумма вероятностей событий А1, А2, ….,Аn, образующих полную группу, равна единице:
    Р(А1)+Р(А2)+...+Р(Аn)=1
     
    Доказательство. Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то
     
    Р(А1+А2+...+Аn)=1. (*)
    Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения:
    Р(А1+А2+...+Аn)= Р(А1)+Р(А2)+...+Р(Аn). (**)
    Сравнивая (*) и (**), получим
    Р(А1)+Р(А2)+...+Р(Аn)=1

  • Пример. Консультационный пункт института получает пакеты с контро...

    33 слайд













    Пример. Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов A, B и C. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города B- 0, 2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города C.
     
    Решение. События “пакет получен из города A”, пакет получен из города В”, “пакет получен из города C” образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:
                                                       0,7+0,2+p=1
     
    Отсюда искомая вероятность
                                                        p=1-0.9=0.1.

  • 2.3.Противоположные событияДва события при данном опыте назы...

    34 слайд
















    2.3.Противоположные события

    Два события при данном опыте называются противоположными, если одно из них непременно произойдет и наступление одного события означает не наступления другого события.
    Если одно из двух противоположных событий обозначена через А то другое принято обозначать через ¯A.
    Пример 1. Из ящика наудачу взятая деталь. Событие “появилось стандартная деталь” и “появилась нестандартная деталь”- противоположные.

    Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:  
    P(A)+ P(¯A)=1.
     
     
    Доказательство: Противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.
     

     

  • Пример 2. Вероятность того, что день будет дождливым, р= 0,7. Найт...

    35 слайд












    Пример 2. Вероятность того, что день будет дождливым, р= 0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным.


    Решение. События “день дождливый” и “день ясный”- противоположное, поэтому искомая вероятность
    q=1-p=1-0.7=0.3.
     

  • 2.4. Произведение событий. Произведение двух событий А и В называе...

    36 слайд









    2.4. Произведение событий.
     
    Произведение двух событий А и В называется событие С, которая считается наступившим при совместном наступлении событии А и В.
     
    Например, если А- деталь годная, B - деталь окрашенная, то AB- деталь годна и окрашена.

  •                         2.5. Условная вероятностьВероятностью со...

    37 слайд

     









     2.5. Условная вероятность


    Вероятностью события А при условии, что событие В уже произошло называется условной вероятностью и обозначается РА(В)
        
    Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А),
    Р е ш е н и е. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность

    РА(В)=3/5.

  •  2.6. Теорема умножения вероятностейТеорема. Вероятность совмест...

    38 слайд











     2.6. Теорема умножения вероятностей

    Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположение, что первое событие уже наступило:
    Р(АВ)=Р(А) РА(В).
     
    Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению условной вероятности,
    РА(В)=Р(АВ)/Р(А).
    Отсюда
    Р(АВ)=Р(А) РА(В).

  • Пример 1. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валико...

    39 слайд














    Пример 1. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков- конусный, а второй - эллиптический.

       Р е ш е н и е. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие А),
    Р(А)=3/10.
        Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик-  конусный, т.е.  условная вероятность
     
    РА(В)=7/9.
         По теореме умножения, искомая вероятность
      
    Р(АВ)=Р(А) РА(В) = (3/10)*(7/9)=7/30.

  • Пример 2. Урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое...

    40 слайд






















    Пример 2. Урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором- чёрный (событие В) и при третьем- синий
    (события C).
     
    Р е ш е н и е. Вероятность появления белого шара в первом испытании
    Р(А)=5/12.
    Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная предположение, что в первом испытании появится белый шар, т. е. Условная вероятность
    РА(В) =4/11.
    Вероятность появления синего шара в третьем испытание, вычисленная в предположение, что в первом испытании появился белый шар, а во втором- чёрный, т. е. условная вероятность
    РАВ(С)=3/10.
     
     
    Искомая вероятность

    Р(АВС)=Р(А) РА(В) РАВ(С) = (5/12)*(4/11)*(3/10)=1/22.
     

  • 2.7. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.События...

    41 слайд

    2.7. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.

    События А и В называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не зависит от вероятности наступления или не наступления другого события.
    События А и В называются зависимыми, если вероятность наступления одного из них зависит от вероятности наступления или не наступления другого события.
    Пример 1. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (события А)  равна 0,8, а вторым (событием В) равна-  0,7.
     
       Р е ш е н и е. События A и B независимы и, поэтому, по теореме умножения, искомая вероятность
    Р(АВ)=Р(А) Р(В)=0,7*0,8=0,56.

  • Пример 2. Найти вероятность совместного появления герба...

    42 слайд






















    Пример 2. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет
        Р е ш е н и е. Вероятность появления герба первой моменты (событие А)
    Р(А)=1/2.
    Вероятность появления герба второй монеты (события В)
    Р(В)=1/2.
    События A и B независимые, поэтому искомая вероятность по теореме умножения равна
     

  •   Пример 3. Имеется три ящика, содержащие по 10 деталей. В первом ящике 8, во...

    43 слайд

      Пример 3. Имеется три ящика, содержащие по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.
     Р е ш е н и е. Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие А),
    Р(А)=8/10=0,8.
    Вероятность того вероятность того что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие В),
    Р(В)=7/10=0,7
    Вероятность того что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие C),
    Р(С)=9/10=0,9.
    Так как события A, B и C независимые в совокупности, то искомая вероятность по (теореме умножения) равна
    Р(АВС)=Р(А) Р(В) Р(С)=0,8*0,7*0,9=0,504.
    Приведем пример совместного применения теорем сложения и умножения.
     

  • Вероятность появления хотя бы одного события. Теорема. Вероятность появлени...

    44 слайд

    Вероятность появления хотя бы одного события.
     

    Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2,..., Аn, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий ¯А1, ¯А2,..., ¯Аn:
    Р(А)=1-q1 q 2…qn. (*)
     
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через A событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий
    А1, А2,..., Аn. События А и ¯А1, ¯А2... ¯Аn (ни одно из событий не наступило) противоположные, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:
    Р(А)+Р(¯А1, ¯А2,..., ¯Аn)=1.
    Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим
    Р(А)=1- Р(¯А1, ¯А2,..., ¯Аn)=1- Р(¯А1) Р(¯А2)…Р(¯Аn),
    или
    Р(А)=1-q1 q 2…qn.

  • Ч а с т н ы й  с л у ч а й. Если события А1, А2,..., Аn и...

    45 слайд





















    Ч а с т н ы й с л у ч а й. Если события А1, А2,..., Аn имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий
    Р(А)=1-qn. (**)
    Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р1=0,8; р2=0,7; р3=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (события А) при одном залпе из всех орудий.
    Р е ш е н и е. Вероятность попадания в цель каждой из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события А1 (попадания первого орудия), А2 (попадание второго орудия) и A3 (попадания третьего орудия) независимы в совокупности.
    Вероятности событий, противоположных событий А1, А2 и A3 (т.е. вероятность промахов), соответственно равны:
    q1=1-p1=1-0,8=0,2;
    q2=1-p2=1-0,7=0,3;
    q3=1-p3=1-0,9=0,1.
    Искомая вероятность
    P(A)=1-q1 q2 q3=1-0,2*0,3*0,1=0,994.

  • Пример 2. В типографии имеются 4 полоска печатных машины дл...

    46 слайд



















    Пример 2. В типографии имеются 4 полоска печатных машины для каждой машины вероятность того, что оно работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событий А).
    P е ш е н и е. События «машина работает» и «машины не работает» (в данный момент) -противоположные, поэтому сумма их вероятности равны единице:
    P+q=1
    Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна
    q=1-p=1-0,9=0,1.
    Искомая вероятность
    P(A)=1-q4=1-0,14=0,9999.
     

  • 2.8. Теорема сложения вероятностей совместных событий. ...

    47 слайд





















    2.8. Теорема сложения вероятностей совместных событий.
     
    Была рассмотрена теорема сложения для несовместных событий. Здесь будет изложена теорема сложения для совместных событий.
    Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

    Пример 1. А- появление четырех очков при бросании игральной кости B- появление четного числа очков. События А и В совместные.
    Пусть события A и B совместные, причём даны вероятности этих событий Вероятность их совместного появления. Как найти вероятность события А+В состоящего в том, что появится хотя бы одно из событий A и B? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей совместных событий.

    Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
    Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).
     

  • Пример 2. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и вто...

    48 слайд













    Пример 2. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р1=0,7;
    р2=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из двух орудий) хотя бы одним из орудий.

    Р е ш е н и е. Вероятность попадания в цель каждого из орудий не зависит от результатов стрельбы из другого орудия, поэтому событие А (попадание первого орудия) и В (попадания второго орудия) независимы.
     
    Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание)
    Искомая вероятность
    Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=0,7+0,8-0,56=0,94.
     

  • 2.9.Формула полной вероятности Пусть событие А может наступить...

    49 слайд














    2.9.Формула полной вероятности
     
    Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B1, B2,.. Вn, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условной вероятности PB1(A), PB2(A),…, PBn(A), события А. Как найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
     
    Теорема. Вероятность события А, которая может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) B1, B2,.. Вn, образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А.
    Р(А)=Р(B1) PB1(A)+ Р(B2) PB2(A)+,…,+Р(Вn) PBn(A).

  • Пример 1. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что де...

    50 слайд
















    Пример 1. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора)- стандартная.
    Р е ш е н и е. Обозначим через А событие «извлеченная деталь стандартна».
    Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событий B1), либо из второго (событий B2).
    Вероятность того, что деталь вынута из первого набора, Р(B1)=1/2.
    Вероятность того, что деталь вынута из второго набора, Р(B2)=1/2.
    Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, PB1(A)=0,8.
    Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь, PB2(A)=0,9.
    Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь стандартная, по формуле полной вероятности равна
    Р(А)=Р(B1) PB1(A)+ Р(B2) PB2(A)=0,5*0,8+0,5*0,9=0,85.
     

  • Пример 2. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стан...

    51 слайд












    Пример 2. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке -10 ламп 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.



    Р е ш е н и е. Обозначим через А события «из первой коробки извлечена стандартная лампа».
    Из второй коробки могла быть извлечена либо стандартная лампа
    (событие B1), либо нестандартной (событие B2).
    Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная лампа, Р(B1)=9/10.
    Вероятность того, что из второй коробки извлечено нестандартная лампа, Р(B2)=1/10.
    Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки первую было переложена стандартная лампа, равна PB1(A)=19/21.


    Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена нестандартная лампа, по формуле полной вероятности равна
     
    Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена стандартная лампа, по формуле полной вероятности равна
     
    Р(А)=Р(B1) PB1(A)+ Р(B2) PB2(A)=(9/10)*(19/21)+(1/10)*(18/21)=0,9.
     
     


  • Формула Бейеса.Пусть событие А может наступить при условии появления одного...

    52 слайд

    Формула Бейеса.

    Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) B1, B2,..,Вn, которая образует полную группу событий, если событие А уже наступило, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Бейеса.
    Р(А)=Р(B1) PB1(A)+ Р(B2) PB2(A)+,…,+Р(Вn) PBn(A)

  • Пример. Деталей, изготовляемые цехом завода, попадают...

    53 слайд

























    Пример. Деталей, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадёт попадает к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму- 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.
    Р е ш е н и е. Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предположения:
     
     
    Деталь проверил первый контролер (гипотеза В1);
    Деталь проверил второй контролер (гипотеза В2);
    Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контролер, найдем по формуле Бейеса:
    PА(В1) = P(В1) PВ1(А)/ P(В1) PВ1(А)+ P(В2) PВ2(А).



  • По условию задачи имеем:Р(B1) = 0,6 (вероятность того, что деталь попадает к...

    54 слайд

    По условию задачи имеем:
    Р(B1) = 0,6 (вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру); Р(B2) = 0,4 (вероятность того что деталь попадает ко второму контролеру); Р(B3) =0,94 (вероятность того, что годная деталь будет признана первым контролером стандартной);
    Р(B4) =0,98 (вероятность того, что годная деталь будет признана вторым контролером стандартной).
    Искомая вероятность

    PА(В1) = (0,6*0,94) / (0,6*0,94+0,4*0,98) =0,59
    Как видно, что до испытания вероятность гипотезы B1 равнялась 0,6, а после того, как стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы (точнее, условная вероятность) изменилась и стала равной 0,59. Таким образом использование формул Бейеса позволило переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы.
     

  • 2.10 Повторение испытаний. Формула Бернулли.Вероятность того, что в n незави...

    55 слайд

    2.10 Повторение испытаний. Формула Бернулли.

    Вероятность того, что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события равна p где
    0 ≥ p <1, событие наступит ровно k раз .
    Pn(k)= Cnk pk qn-k
     
    или
    Pn(k)= n!/ k!(n-k)!* pk qn-k.
     
    Полученную форму назвать формулой Бернулли.

  • Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжении одних суто...

    56 слайд

    Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжении одних суток не превысит установленной нормы, равна р=0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 соток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит формы нормы.
     
    Р е ш е н и е. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжении каждом из 6 суток постоянна и равна р=0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q=1-p=1-0,75=0,25.
    Искомая вероятность по формуле Бернулли равна
     
    Р6(4)=С64 р4 q2=C62 p4 q2=6*5/1*2 (0,75)4 * (0,25)2=0,30.
     

  • Глава 3. Приложения теории вероятностейПримеры решения задач о выборе объект...

    57 слайд

    Глава 3. Приложения теории вероятностей
    Примеры решения задач о выборе объектов из набора. Теория вероятностей

  • 3.1 Задачи из ЕГЭЕдиный государственный экзамен по матема...

    58 слайд


















    3.1 Задачи из ЕГЭ


    Единый государственный экзамен по математике базового уровня состоит из 20 заданий. В задании 10 проверяются навыки решения задач по теории вероятностей. Школьник должен знать основные формулы по теории вероятностей, а также уметь применять их на практике.
     
    В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 35 спортсменов: 7 из России, 12 из Китая, 9 из Японии и 7 из США. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из России.

  • Алгоритм выполнения:Вспомнить определение вероятности.Определить из условия...

    59 слайд

    Алгоритм выполнения:
    Вспомнить определение вероятности.
    Определить из условия задачи необходимые величины.
    Подставить значения и вычислить вероятность.
    Решение:
    Вспомним определение вероятности.
    Вероятность – это отношение возможности происшествия одного или нескольких конкретных событий к общему числу возможных результатов.
    Для того, чтобы определить вероятность происшествия конкретного события (в данном случае – что первым будет россиянин) нужно разделить число благоприятных исходов на общее число событий.
    Определим из условия задачи необходимые величины.
    Вариантов благоприятного исхода 7, так как россиян 7 и каждый из них имеет равные шансы выступать первым.
    Всего общее число вариантов 35, так как спортсменов всего 35 и каждый из них может выступать первым.
    Подставим значения и вычислим вероятность.
    7/35 = 1/5 = 0,2
    Ответ: 0,2.

  • 2. В чемпионате по гимнастике участвуют 55 спортсменок: 22 из Арген...

    60 слайд











    2. В чемпионате по гимнастике участвуют 55 спортсменок: 22 из Аргентины, 22 из Бразилии, остальные- из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая

  • Алгоритм выполнения:
Вспомнить определение вероятности.
Определить из условия...

    61 слайд

    Алгоритм выполнения:
    Вспомнить определение вероятности.
    Определить из условия задачи необходимые величины.
    Подставить значения и вычислить вероятность.
    Решение:
    Вспомним определение вероятности.
    Вероятность – это отношение возможности происшествия одного или нескольких конкретных событий к общему числу возможных результатов.
    Для того, чтобы определить вероятность происшествия конкретного события (в данном случае – что первой будет спортсменка из Парагвая) нужно разделить число благоприятных исходов на общее число событий.
    Определим из условия задачи необходимые величины.
    Вариантов благоприятного исхода равна 11 т.к. 55-22-22=11
    Всего общее число вариантов 55, так как спортсменок всего 55 и каждая из них может выступать первой.
    Подставим значения и вычислим вероятность.
    11/55 = 0,2
    Ответ: 0,2.

  • 3. Олег, Петя, Миша и Дима бросили жребий- кому начинать игру. Найдите вероят...

    62 слайд

    3. Олег, Петя, Миша и Дима бросили жребий- кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет не Миша.

  • Алгоритм выполнения:
Вспомнить определение вероятности.
Определить из условия...

    63 слайд

    Алгоритм выполнения:
    Вспомнить определение вероятности.
    Определить из условия задачи необходимые величины.
    Подставить значения и вычислить вероятность.
    Решение:
    Вспомним определение вероятности.
    Вероятность – это отношение возможности происшествия одного или нескольких конкретных событий к общему числу возможных результатов.
    Для того, чтобы определить вероятность происшествия конкретного события (в данном случае – что игру должен будет начинать не Миша) нужно разделить число благоприятных исходов на общее число событий.
    Определим из условия задачи необходимые величины.
    Вариантов благоприятного исхода 3, так как «не Миш» трое и каждый из них имеет равные шансы начинать игру. Всего общее число вариантов 4, так как мальчиков всего 4 и каждый из них может начинать игру.
    Подставим значения и вычислим вероятность.
    3/4 = 0,75

  • 4. Вася, Петя, Олег, Коля и Леша бросили жребий- кому начинать игру. Найдите...

    64 слайд

    4. Вася, Петя, Олег, Коля и Леша бросили жребий- кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Вася или Петя.

  • Алгоритм выполнения:
Вспомнить определение вероятности.
Определить из условия...

    65 слайд

    Алгоритм выполнения:
    Вспомнить определение вероятности.
    Определить из условия задачи необходимые величины.
    Подставить значения и вычислить вероятность.
    Решение:
    Вспомним определение вероятности.
    Вероятность – это отношение возможности происшествия одного или нескольких конкретных событий к общему числу возможных результатов.
    Для того, чтобы определить вероятность происшествия конкретного события (в данном случае – что игру должен будет начинать Вася или Петя) нужно разделить число благоприятных исходов на общее число событий.
    Определим из условия задачи необходимые величины.
    Вариантов благоприятного исхода 2, так как Вася и Петя – это два мальчика, каждый из них имеет равные шансы начинать игру.
    Всего общее число вариантов 4, так как мальчиков всего 5 и каждый из них может начинать игру.
    Подставим значения и вычислим вероятность. 2/5 = 0,4

  • 5. Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Вероятность перегоран...

    66 слайд








    5. Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,1. Найдите вероятность того, что в течение года обе лампы перегорят.

  • Алгоритм выполнения:
Определить вероятность каждого со...

    67 слайд
























    Алгоритм выполнения:
    Определить вероятность каждого события в отдельности.
    Перемножить вероятности событий. Это даст вероятность того, что события произойдут последовательно.
    Решение:
    Определим вероятность каждого события в отдельности.
    Вероятность того, что перегорит первая лампа по условию 0,1.
    Вероятность того, что перегорит вторая лампа по условию 0,1.
    Перемножим вероятности событий. Это даст вероятность того, что события произойдут последовательно.

    Ответ: 0,01.

  • 6. Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Вероятность перегора...

    68 слайд









    6. Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,15. Найдите вероятность того, что в течение года обе лампы перегорят.


  • Алгоритм выполнения:
Определить вероятность каждого...

    69 слайд


























    Алгоритм выполнения:
    Определить вероятность каждого события в отдельности.
    Перемножить вероятности событий.
    Это даст вероятность того, что события произойдут последовательно.
    Решение:
    Определим вероятность каждого события в отдельности.
    Вероятность того, что перегорит первая лампа по условию 0,15.
    Вероятность того, что перегорит вторая лампа по условию 0,15.
    Перемножим вероятности событий.
    Это даст вероятность того, что события произойдут последовательно.

    Ответ: 0,0225.

  • 7. Из каждых 100 лампочек, поступающих в продажу, в среднем 3 неисп...

    70 слайд











    7. Из каждых 100 лампочек, поступающих в продажу, в среднем 3 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампочка окажется исправной?

  • Данная задача даже проще, чем предыдущая. В начале, нам необходимо найти коли...

    71 слайд

    Данная задача даже проще, чем предыдущая. В начале, нам необходимо найти количество исправных лампочек:
    100 - 3 = 97
    После этого находим вероятность, она равна отношению количества исправных лампочек к общему количеству:
    97 / 100 = 0,97
    Ответ: 0,97 

  • 8. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе...

    72 слайд









    8. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе не пишет, равна 0,21. Покупатель, не глядя, берет одну шариковую ручку из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

  • Решение.
Вероятность того, что ручка пишет хо­ро­шо - про­ти­во­по­лож­ное со...

    73 слайд

    Решение.
    Вероятность того, что ручка пишет хо­ро­шо - про­ти­во­по­лож­ное со­бы­тие тому, что ручка пишет плохо или вовсе не пишет. Таким образом, ве­ро­ят­ность того, что ручка пишет хорошо: 1-0,21=0,79
    Ответ: 0,79


  • 9. Фабрика выпускает сумки. В среднем из 200 сумок 6 сумок имеют скры...

    74 слайд









    9. Фабрика выпускает сумки. В среднем из 200 сумок 6 сумок имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что случайно выбранная сумка окажется с дефектом.

  • Решение.
Пусть событие А означает выбор сумки с дефектом. Число благоприятных...

    75 слайд

    Решение.
    Пусть событие А означает выбор сумки с дефектом. Число благоприятных
    исходов для события А равно m=6 (так как в среднем 6 сумок с дефектом), а общее число
    событий равно n=200. Искомая вероятность, равна

    .
    Ответ: 0,03.

  • ЗаключениеИтак, познакомившись с темой «Вероятность» в различных...

    76 слайд













    Заключение
    Итак, познакомившись с темой «Вероятность» в различных учебниках и дополнительной литературе, я пришла к выводу, что, владея такими знаниями, человек более уверенно идет по жизни, так как события, которые его окружают, становятся прогнозируемыми.
    Приведенные в работе задачи раскрывают широкий круг на виды задач, решаемые при помощи понятий теории вероятностей, а также повышают интерес к изучаемой теме. Подобранные задачи с решениями можно использовать при изучении тем теории вероятностей в старших классах.
    В результате проделанной мной работы, мы добились реализации поставленных перед нами задач:

  • во-первых, изучила методическую литературу, для ознакомления данной темы; 
во...

    77 слайд

    во-первых, изучила методическую литературу, для ознакомления данной темы;
    во-вторых, показала роль системы задач о теории вероятностей, уточнила основные подходы к решению задач по теории вероятностей классический подход, статистический подход и геометрический;
    в-третьих, исследовав вероятность успешной сдачи обучающимися 11 класса ЕГЭ по математике, мы пришли к выводу, что только систематическая и добросовестная учеба в школе позволит выпускнику хорошо подготовиться к сдаче ЕГЭ.
    Цель была достигнута, была разработана система задач, направленная на подготовку к ЕГЭ
     

  •  
Литература 
Афанасьев В.В., Суворова М.А. Школьникам о вероятности в играх....

    78 слайд

     
    Литература 
    Афанасьев В.В., Суворова М.А. Школьникам о вероятности в играх. Введение в теорию вероятностей для учащихся 8-11 классов: учебное пособие. Ярославль: Академия развития, 2006. - 192 с. 
    Афанасьев В.В. Теория вероятностей: Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности «математика»
    М.: Владос, 2007. – 350 с.
    Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов- 8-е изд., стер.-М.:Высш.шк., 2002 -479 с.:ил.
    Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для вузов/В. Е. Гмурман. - 7-е изд., доп. -М.:Высш.шк., 2003. -479 с.:ил.
    Колягин Ю. М. и др. алгебра и начала анализа. 11 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений / Ю.М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин.- 3-е изд.- М.: Мнемозина, 2003.- 240 с.: ил.
    Афанасьев В.В., Мамонтов С.И. Случайные события: Учебное пособие. Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К.Д. Ушинского, 1999. – 48с.
    Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Доп. Параграфы к курсу алгебры 7-9 кл. М.: Мнемозина, 2004. – 112 с.
    Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Айрис – пресс, 2004. – 256с.

  • Ткачева М.В. Элементы статистики и вероятность: Учебное пособие для 7-9 класс...

    79 слайд

    Ткачева М.В. Элементы статистики и вероятность: Учебное пособие для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2005. – 112 с.
    Шадриков В.Д. Подготовка учителя математики: Инновационные подходы: Учеб.пособие.М.:Гардарики, 2002. – 383 с.
    Алимов Ш.А.Алгебра и начала математического анализа.10-11 классы: учеб.для общеобразовательных учреждений: базовый уровень. М.:Просвещение,2010.
    Бродский Я.С. «Статистика. Вероятность. Комбинаторика»-М.: Оникс; Мир и Образование, 2008 г.
    Бунимович Е.А., Суворова С.Б. Методические указания к теме «Статистические исследования»//Математика в школе.-2003.-№3.
    Гусев В.А. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.-М.:Просвещение,1984.
    Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей.-М.:Просвещение 1990.
    Макарычев Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений-М.:Просвещение,2007.
    Ожегов С.И. Словарь русского языка:.М.:Рус.яз.,1989.
    Федосеев В.Н .Элементы теории вероятностей для VII-IX классов средней школы.//Математика в школе.-2002.-№4,5.
    Вихляева В.В., Попова С.В. Вероятность как инструмент поиска
    оптимального решения в условиях неопределенности. –Современные наукоемкие технологии. 2014. No 5- 2. С. 146-148



  • Ресурсы:
https://infourok.ru/issledovatelskaya-rabota-teoriya-veroyatnosti-v-...

    80 слайд

    Ресурсы:
    https://infourok.ru/issledovatelskaya-rabota-teoriya-veroyatnosti-v-zadaniyah-ege-1818265.html
    https://videouroki.net/razrabotki/issledovatelskaya-rabota-matematika-v-azartnykh-igrakh.html
    https://infourok.ru/issledovatelskaya-rabota-teoriya-veroyatnostey-1400071.html
    https://infourok.ru/nauchno_issledovatelskaya_rabota_po_teme_elementy_teorii_veroyatnostey__v_azartnyh_igrah-432220.htm


Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 189 547 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 02.04.2020 480
    • PPTX 731.6 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Амирханова Заира Руслановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Амирханова Заира Руслановна
    Амирханова Заира Руслановна
    • На сайте: 3 года
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 15029
    • Всего материалов: 20

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой