Выступление по теме: "Теорема Лагранжа и её применение в математическом анализе"

Теорема Лагранжа и её применение в математическом анализе

Знание производной некоторой функции даёт возможность судить о характерных особенностях в поведении данной функции. Существует определённое множество простых теорем, лежащих в основе подобных исследований, и они имеют большое теоретическое и практическое значение и называются теоремами о среднем в дифференциальном исчислении.

Теорема Лагранжа входит в число теорем о среднем в дифференциальном исчислении. Приведём её формулировку.

Теорема Лагранжа. Если функция  непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале, то существует как минимум одна такая точка , что справедливо равенство

.

Следствие 1. Если производная функции равна нулю в некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.

Следствие 2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

В настоящее время в математическом анализе существует достаточно много различных задач, которые более эффективно и легко решаются при помощи производной, а именно, при помощи теоремы Лагранжа.

Доказательство неравенств. В процессе доказательства неравенств при помощи теоремы Лагранжа рассматривается функция  принадлежащая отрезку  и удовлетворяющая условиям данной теоремы. Затем для неё записывается формула

,

после чего оценивается .

Пример [5, с.312]. Доказать, что  справедливо при .

Решение. Легко заметить, что данное неравенство справедливо при . Рассмотрим функцию

,

тогда для заданной функции для  на отрезке  справедливы условия теоремы Лагранжа, следовательно, найдётся такая внутренняя точка с этого отрезка, что

, т.е. .

Поскольку , то , следовательно,

, т.е. .

Таким образом, нами было доказано, что  при .

Нахождение числа корней уравнения. Пусть функция  всюду непрерывна и дифференцируема, покажем, что если функция  имеет два действительных корня, то ее производная  имеет как минимум один корень.

Пусть  и  являются корнями данной функции. Учитывая условие, функция  непрерывна и дифференцируема на отрезке , следовательно, к ней применима формула Лагранжа:

 .

Поскольку , то

.

Таким образом, производная  имеет как минимум один корень.

Отметим, что у производной может быть более одного корня (например, функция  на отрезке, в которой производная имеет два корня). Теорема Лагранжа позволяет доказать существование по меньшей мере одного корня.

Рассмотренную выше схему можно также обобщить на случай  корней и производной  порядка. Если функция имеет три действительных корня, то первая производная будет иметь как минимум два корня, а вторая производная − соответственно, хотя бы один корень. В общем случае, если функция имеет  действительных корней, то производная -го порядка будет иметь хотя бы один корень[7].

Пример [2, с.151]. Определить число критических точек данной функции:

Решение. Поскольку степень многочлена

равна 5, то его производная  есть многочлен четвертой степени и имеет не более четырех действительных корней. Далее, к данной функции применим теорему Лагранжа  на отрезках, учитывая, что

.

На всех таких отрезках существуют такие внутренние точки соответственно,  что

  

т.е.

,

а учитывая, что  корни многочлена  четвертой степени, следует вывод, что корней, отличных от полученных, не существует и, следовательно, функция   имеет четыре критические точки.

Решение уравнений. Уравнение  

при справедливости условия теоремы имеет как минимум один такой корень , который принадлежит промежутку .

Расположение этого корня или корней зависит от вида функции , а именно, если функция квадратичная, то следует уравнение первой степени, корень которого находится на середине интервала , т.е.

.

Для других функций это свойство справедливо приблизительно, а именно, если  имеет постоянное значение, а  стремится к , один из корней стремится к середине отрезка , т.е.  при , исключением же является тот, когда вторая производная  равна нулю или не существует.

Пример [1, с.372]. Решить уравнение .

Решение. Путём подстановки можно заметить, что  является корнем данного нам уравнения. Допустим, что существует еще как минимум один действительный корень _. Числа  и являются нулями функции

,

и, следовательно,

Применим теорему Лагранжа к данной функции  на отрезке, если , или на отрезке , если . Согласно ей, найдется такая внутренняя точка с этого отрезка, что будет выполняться

.

 Учитывая, что  получим

,

 т.е. число с – корень уравнения . Но производная положительна для каждого х, а значит, уравнение  не имеет корней. Из полученного противоречия следует, что найденный корень  является единственным.

Доказательство тождеств. Подобные задания легко решаются благодаря первому и второму следствию из теоремы Лагранжа, а именно: на некотором промежутке рассматривается либо одна функция , такая, что ее производная  и функция постоянна, т.е. имеет вид , либо две функции  и , такие, что, и делается вывод, что , где  – постоянная. Эту постоянную находят, положив  равным некоторому значению .  В частности, данный алгоритм можно использовать при выводе формул элементарной математики.

Пример [4, с.238]. Вывести формулу , без использования основного тригонометрического тождества.

Решение. Рассмотрим функцию

,

она непрерывна на всей числовой прямой, значит, далее найдем производную этой функции:

.

Условие  выполняется для каждого действительного значения , поэтому, основываясь условием постоянства функции, можно прийти к выводу, что функция  постоянна, т.е. . Для того, чтобы определить постоянную, положим . Получим , т.е.

.

Следовательно,  и поэтому , из чего получим:

 или .

Таким образом, теорема Лагранжа в математическом анализе может быть использована при доказательстве неравенств, решении уравнений, нахождении числа корней уравнения и доказательстве тождеств.