Векторный
анализ, элементы теории поля.
Для описания
физической реальности математикам стало не хватать основных видов чисел (целые,
рациональные, иррациональные, комплексные и др.), поэтому для того, чтобы
указать направления величин, было введено понятие вектора. Следовательно,
вектор - направленный отрезок прямой. Перемещение, скорость, ускорение и др.
являются примерами физических векторных величин.
Термин «вектор»
(от лат. vector- несущий) предложил Гамильтон в 1845 г. Так же Гамильтону
принадлежат термины «скаляр», «векторное произведение» и «скалярное
произведение».
После введения
понятия вектора были более детально разработаны правила операций над векторами,
что привело к появлению сначала векторной алгебры, а затем и векторного
анализа. Основными понятиями векторного анализа являются «градиент»,
«дивергенция», «ротор» («вихрь») и «лапласиан».
Многие результаты
векторного исчисления получены Германом Грассманом и Уильямом Клиффордом.
Окончательный вид векторная алгебра и векторный анализ приобрели в трудах
американского физика и математика Джозайн Уилларда Гиббса, который в 1901г.
опубликовал обширный учебник по векторному анализу.
Изучение
векторного анализа сводится к изучению дифференциального и интегрального
исчисления, включающего криволинейные и поверхностные интегралы, их основные
свойства и понятия; а также теорию поля, которая является обобщением основных
понятий векторного анализа.
Теория поля –
крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные,
векторные и тензорные поля. Теория поля устанавливает и исследует связи между
величинами, характеризующими поле.
Итак, полем
называется область V пространства, в каждой точке которой
определено значение некоторой величины. Если каждой точке М этой
области соответствует определенное число ,
то задано скалярное поле. Значит скалярное поле – это скалярная функция вместе
с ее областью определения. Если же каждой точке М области
пространства соответствует некоторый вектор ,
то задано векторное поле.
Примерами
скалярных полей является поле плотности, давления, температур и т.д. А примерами
векторных полей: магнитное поле, поле силы тяжести, скорости и т.д.
Рассмотрим трехмерное пространство, тогда
функция поля
,
где –
координаты точки M.
Если поле изменяется со временем τ,
то
.
Поле, не зависящее от времени, называется
стационарным, в противном случае нестационарным.
В работе будем рассматривать только
стационарные поля.
Если скалярная функция зависит
только от двух переменных ,
то скалярное поле называется
плоским.
Если же вектор рассмотреть,
как векторную функцию, зависящую от трех скалярных аргументов ,
тогда .
Вектор можно
представить в виде
(1)
где –
проекция вектора на
оси координат, –
орты (единичные вектора) декартовой системы координат.
Если в выбранной системе координат одна
из проекций вектора равна
0, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется
плоским.
Предположим, что функция поля (скалярное и
векторное поля) непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Тогда как
будет изменяться функции при
переходе из одной точки пространства в другую? Для ответа на этот вопрос
рассмотрим геометрическое место точек
(2)
где .
Такое геометрическое место точек называется поверхностью уровня. Если скалярное
поле задаётся в плоской области двух переменных, то есть
(3)
вместо поверхностей рассматриваются линии
уровня.
Рассмотрим основные элементы векторного
анализа.
1. Оператор Гамильтона.
Вильям Роуэн Гамильтон, основатель
векторного анализа, ввел в математику символический вектор (atled),
но Оливер Хевисайд стал называть его «набла», или оператор Гамильтона [4].
.
(4)
Тогда
.
(5)
2. Градиент скалярного поля и его
свойства.
Пусть задано скалярное поле ,
которое дифференцируемо в некоторой область V.
Градиентом функции в точке называется
вектор, выходящий из точки ,
имеющей своими координатами частные производные функции
.
(6)
Исходя из формулы градиента, проекции
градиента на оси координат и его длина (модуль) выражается формулами:
;
(7)
(8)
Рассмотрим свойство градиента. Пусть
заданы производная поля по направлению и градиент поля:
,
(9)
,
(10)
.
(11)
Максимальное
значение производной по направлению равно модулю градиента:
(12)
Вектор направлен
в сторону возрастания поля.
Вектор всегда
нормален к поверхности (линии) уровня поля (эквипотенциальной поверхности).
Дифференциальные свойства градиента:
Если
скалярное поле есть сумма двух полей,
.
градиент
сложной функции.
3. Дивергенция векторного поля и его свойства.
Пусть задано векторное поле
.
Дивергенцией (расходимостью) векторного
поля называется
скалярная функция, определяемая равенством:
(13)
где объем
области внутри поверхности,
диаметр
области [12].
Отсюда следует, что формула
(14)
используется для вычисления в декартовых
координатах. Используя оператор Гамильтона дивергенцию можно записать, как
(15)
или в виде скалярного произведения
.
(16)
Как мы уже выяснили, дивергенция
векторного поля является скалярной функцией и имеет некоторые свойства:
(свойство
линейности)
где .
Пусть скалярное
поле, тогда
.
4. Ротор векторного поля и его свойства.
Ротор векторного поля в декартовых
координатах выражается формулой:
.
(17)
Через символический вектор Гамильтона
вихревой вектор записывается как векторное произведение вектора на
вектор поля :
.
(18)
Если в некоторой точке поля ,
то поле в этой точке называется безвихревым.
Поле градиента безвихревое:
.
(19)
Ротор является векторной функцией и
обладает теми же свойствами, что и дивергенция:
(свойство
линейности)
где .
Пусть скалярное
поле, тогда
.
5. Оператор Лапласа.
Можно вывести оператор Лапласа. Мы знаем,
что
,
а так как
,
то скалярный квадрат имеет вид:
.
(20)
Теперь ведем символический оператор
подобный оператору Гамильтона:
(21)
где оператор
Лапласа [6].
Векторный анализ –
раздел математики, изучающий вещественный анализ векторов в двух или более
измерениях. Методы векторного анализа находят большее применение в физике и
инженерии, а также в электротехнике, математике и других технических
дисциплинах. Основой теории поля являются рассмотренные нами понятия градиента,
потока, потенциала, дивергенции, ротора, циркуляции и др. Эти понятия важны и в
усвоении основных идей математического анализа функций многих переменных.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.