Зачет № 3 по теме «Многогранники.
Площадь поверхности призмы, пирамиды»
I уровень
Карточка № 1
1. Призма. Площадь боковой
поверхности прямой призмы.
2. Основания прямой призмы - ромб
со стороной 5 см и тупым углом 120°. Боковая поверхность призмы имеет площадь
240 см2. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и
меньшую диагональ основания.
3. Сторона правильной треугольной
пирамиды равна 6 см, а высота √13
см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Карточка № 2
1. Пирамида. Площадь боковой
поверхности правильной пирамиды.
2. Основание прямой призмы - ромб
с острым углом 60°. Боковое ребро призмы равно 10 см, а площадь боковой
поверхности - 240 см2. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через
боковое ребро и меньшую диагональ основания.
3. Боковое ребро правильной
треугольной пирамиды равно 5 см, а высота √13
см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
II уровень
Карточка № 1
1. Правильные многогранники.
2. Основание прямого
параллелепипеда - ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда,
если площади его диагональных сечений Р и Q.
3. Основание пирамиды -
прямоугольный треугольник с катетом 4√3 см и противолежащим углом 60°. Все
боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды.
Карточка № 2
1. Площадь боковой поверхности
правильной усеченной пирамиды.
2. Диагональное сечение правильной
четырехугольной призмы имеет площадь Q. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
3. Основание пирамиды -
прямоугольный треугольник с острым углом 30°. Высота пирамиды равна 4 см и
образует со всеми боковыми ребрами углы 45°. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды.
III уровень
Карточка № 1
1. Призма. Площадь боковой
поверхности прямой призмы.
2. В прямой призме АВСА1В1С1 АВ =
13, ВС = 21, АС = 20. Диагональ боковой грани А1С составляет с плоскостью грани
СС1В1В угол 30°. Найдите площадь полной поверхности призмы.
3. В правильной четырехугольной
пирамиде сторона основания равна а, угол между смежными боковыми гранями равен
120°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Карточка № 2
1. Пирамида. Площадь боковой
поверхности правильной пирамиды.
2. В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AD = 17, DC = 28, АС = 39. Диагональ боковой
грани A1D составляет с плоскостью боковой грани DD1C1C угол 45°. Найдите площадь полной поверхности
параллелепипеда.
3. В правильной треугольной
пирамиде сторона основания равна m. Угол между смежными боковыми гранями равен 120°. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды.
Решения
I уровень (карточка 1)
№ 1. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямая
призма. ABCD
- ромб. AD = 5 см; ∠B = 120°; S6ок. = 240 см2.
Найти: Sсеч.
Решение: Сечение, проходящее через боковое ребро и меньшую
диагональ основания BB1D1D. BB1D1D - прямоугольник.Sсеч. = BD · DD1. AA = 180° - 120° =
60°, так как ABDC - ромб, то ΔABD - равносторонний и BD = AD = 5 см. (Ответ:
60 см2.)
№ 2. Дано: DABC - правильная треугольная пирамида АВ = ВС = АС = 6 см. DO - высота; DO = √3.
Найти: Sбок.
Решение: Так как пирамида правильная, то О - центр описанной и
вписанной в ΔАВС окружности. где ha - апофема боковой
грани. Росн. = 3 · 6 = 18 см. Рассмотрим ΔАА1С: (Ответ: Sбок. = 36 см2.)
I уровень (карточка 2)
№ 1. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямая
призма. ABCD - ромб. ∠A = 60°. AA1 = 10 см. Sбок. = 240 см2.
Найти: Sсеч.
Решение: Сечение, проходящее через боковое ребро и меньшую
диагональ основания BB1D1D. BB1D1D - прямоугольник.Sсеч. = BD · DD1. AB = DC = АС (по условию).
АВ = 24/4 = 6 см. Рассмотрим ΔABD, так как ∠А = 60°, то ΔABD - равносторонний. BD = 6 см. Sсеч = 6 · 10 = 60 см. (Ответ: 60 см.)
№ 2. Дано: DABC - правильная треугольная пирамида DC = DB = AD = 5 см. DO - высота; DO = √13 cm.
Найти: Sбок.
Решение: где ha – апофема боковой
грани. Рассмотрим ΔAOD: Итак, hа = 4 (см). Рассмотрим
ΔАВС - равносторонний. (Ответ: Sбок.= 36
см2.)
II уровень (карточка 1)
№ 1. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямой
параллелепипед. ABCD - ромб. SAC1CA = Р; SB1D1DB = Q.
Найти: Sбок.
Решение:
1)
2)
3) Диагонали ромба, пересекаясь, делятся пополам и взаимно
перпендикулярны.
(Ответ: )
№ 2. Дано: DABC - пирамида ∠C = 90°; СА = 4√3 (см); ∠B = 60°; ∠DBO = ∠DAO = ∠DCO = 45°.
Найти: Sбок.
Решение: Так как ребра пирамиды наклонены под одним и тем же
углом, то ОА = ОВ = СО. Точка О - центр описанной около ΔАВС окружности и
является серединой гипотенузы.
1) Рассмотрим ΔADB: ΔDAO – равнобедренный (∠DAO = 45°).
Следовательно, AO = DO. АО = 1/2AВ. АВ определим из ΔABC.
2) Рассмотрим ΔCDA: DM определим из ΔDOM. ОМ
определим из ΔАВС. ОМ = 1/2BС. ВС =1/2АВ (катет против угла в 30°). ВС = 4 см. МО = 2 см.
3) Рассмотрим ΔCDB:
(Ответ: )
II уровень (карточка 2)
№ 1. Дано: ABCDA1B1C1D1 - правильная
четырехугольная призма. ABCD - квадрат. SACA1C1 =Q.
Найти: Sбок.
Решение: Рассмотрим
ΔADC: AC2 = AD2 + DC2, так как ABCD - квадрат,
то AC2= 2AD2.
(Ответ: )
№ 2. Дано; DABC - пирамида. ΔАВС - прямоугольный; ∠С = 90°; ∠В = 30°; DO - высота; DO = 4 см. ∠ADO = ∠BDO = ∠CDO
Найти: Sбок.
Решение: ΔADO = ΔDBO = ΔCDO (по катету и острому углу). Следовательно, АО = ОB = ОС. Значит,
точка О - центр описанной около ΔАВС окружности и, следовательно, - середина
гипотенузы. Из равенства треугольников следует АО = ОВ = ОС = OD (равнобедренные,
прямоугольные). АО = 4 см. АВ = 8 см. Рассмотрим ΔАВС:
1. Рассмотрим ΔADB:
2. Рассмотрим ΔADC:
(Ответ: )
III уровень (карточка 1)
№ 1. Дано: ABCA1B1C1 - прямая
призма. AB = 13, BС = 21, АС = 20; ∠АСМ = 30°.
Найти: Sполн.
Решение: Угол между А1С и плоскостью ВВ1С1С равен 30°. Это угол
между прямой А1С и ее проекцией на плоскость ВВ1С1С. А1М ⊥ В1С1, МС -
проекция А1С на плоскость BB1CC1. ∠ACM = 30°. Рассмотрим
ΔА1МС: А1М - высота и Рассмотрим ΔA1MC: (то
есть ∠A1CM = 30°); А1С = 24
и (Ответ: )
№ 2. Дано: MABCD - правильная четырехугольная пирамида. DA = а; ∠BKD = 120°.
Найти: Sбок.
Решение: Угол между гранями BМС и DMC равен 120°; DK ⊥ MC; так как ΔВМС = ΔDMC, то BK ⊥ MC и ∠BKD - линейныйугол двугранного угла с ребром МС; ha = MN; BD = а√2
(диагональ квадрата); ΔBKD -равнобедренный. Следовательно, ∠OKD = 60°, а ∠ODK = 30° и Рассмотрим
ΔDMC: или Из ΔDKC: Из
ΔMNC: (Ответ: )
III уровень (карточка 2)
№ 1. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямой
параллелепипед. ABCD - параллелограмм; AD = 17 см; DC = 28, AC = 39; ∠A1DK = 45°.
Найти: Sполн.
Решение. ; SABCD = 420. Угол
между A1D и грань DD1C1C - это угол
между A1D и проекцией A1D на плоскость DD1CC1. А1К ⊥ В1С1,
то ∠A1DK= 45°. ΔA1KD-
равнобедренный прямоугольный. A1K = DK; А1D найдем
из ΔA1KD: А1А
найдем из ΔA1AD:
(Ответ: )
№ 2. Дано: МАВС - правильная треугольная пирамида. АВ = ВС = АС
= m. ∠AKC = 120°.
Найти: Sбок.
Решение: Угол между гранями АМВ и CMD равен линейному
углу СК ⊥ MB, так как ΔАМВ = ΔСМВ, то АК ⊥ MB ⇒ ∠AKC- линейный двугранного
угла при ребре MB. ∠AKC =
120°. MN - апофема боковой
грани. Рассмотрим ΔАКС: равнобедренный. КР ⊥ АС и ΔMNB ~ ΔKBC (∠B - общий
прямоугольника); КВ
найдем из ΔCKB:
(Ответ: )
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.