Зачет по математике по теме "Подобные треугольники" (8 класс)

Зачет по теме: «Подобие треугольников», 8 класс.

Составитель: Мишина Е.Р., учитель математики МБОУ гимназии №1 г.Североморск Мурманской области

Билет №1.

1.      Укажите номера верных утверждений

1)        Любые два прямоугольных треугольника подобны.

2)        Если три стороны одного треугольника соот­ветственно равны трем сторонам другого треуголь­ника, то такие треугольники подобны.

3)        Если два угла одного треугольника равны 45° и 75°, а два угла другого треугольника равны 60° и 45°, то такие треугольники подобны.

4)        Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине другой его стороны.

2.       Сформулируйте и докажите третий признак подобия треугольников.

3.      Длина тени дерева равна 10,2 м, а длина тени человека, рост которого 1,7 м, равна 2,5 м. Найдите высоту дерева.

4.      Стороны одного треугольника равны 3 см, 6 см и 7 см, а стороны подобного ему треугольника равны 15 см и 35 см. Найдите длину третьей стороны.

5.      В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведена высота h.

а). Докажите, что .

б). Найдите высоту, если катеты прямоугольного треугольника равна 6 и 8.

Билет №2.

1.      Укажите номера верных утверждений

1)      Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия в квадрате.

2)      Стороны одного треугольника имеют длины 4 м, 5 м и 6 м. Стороны другого треугольника равны 12 м, 8 м и 10 м. Тогда эти треугольники подобны.

3)      Если каждую сторону треугольника умень­шить в 2,5 раза, то получится треугольник, подоб­ный первоначальному.

4)      Два треугольника называются подобными, если их углы и стороны соответственно равны.

2.      Сформулируйте и докажите первый признак подобия треугольника.

3.      Через точки М и N, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая МN, параллельная стороне АС. Найдите длину СN, если ВС = 6, МN = 4 и АС = 9.

4.      Стороны одного треугольника равны 3 см, 7 см и 6 см, а две стороны подобного ему треугольника равны 10,5 см и 4,5 см. Найдите длину третьей стороны.

5.      В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведена высота h. Докажите, что .

Билет №3.

1.      Укажите номера верных утверждений

1) Любые два прямоугольных равнобедренных треугольника подобны.

2) Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно пропорциональны.

3)  Если два треугольника подобны, то их соответствующие стороны равны.

4) Если два угла одного треугольника равны 60° и 50°, а два угла другого треугольника равны 50° и 80°, то такие треугольники подобны.

2.      Сформулируйте и докажите второй признак подобия треугольника.

3.       Из одной точки проведены к кругу две касательные. Длина касательной равна 156, а расстояние между точками касания равно 120. Найдите радиус круга.

4.      Прямая, параллельная основанию треугольника, отсекает от него треугольник, площадь которого в 8 раз меньше площади оставшейся части. Периметр большего треугольника равен 27. Найдите периметр меньшего треугольника.

5.      Диагональ АС трапеции ABCD делит ее на два подобных треугольника.

а).  Докажите, что АС² = a  b, где a и b – основания трапеции.

б). Найдите длину диагонали АС, если основания трапеции равны 4 см и 9 см.

Билет №4.

1.      Укажите номера верных утверждений

1) Любые два равнобедренных треугольника подобны.

2) Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна  половине этой стороны.

3) Если внешний угол одного треугольника соответственно равен внешнему углу другого треугольника, то такие треугольники подобны.

4) Периметры подобных многоугольников отно­сятся как сходственные стороны.

2.      Докажите, что четырехугольник  - ромб, если его вершинами являются середины сторон прямоугольника.

3.      Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 4:5. Периметр образовавшегося треугольника равен 20 см. Найдите периметр данного треугольника.

4.      Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 25 см. Из точки на основании этого треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.

5.      На стороне ВС треугольника АВС взята точка D так, что  . Докажите, что AD – биссектриса треугольника АВС.

Билет №5.

1.      Укажите номера верных утверждений

1) Любые два равнобедренных прямоугольных треугольника подобны.

2) Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна  половине этой стороны.

3) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники подобны.

4) Площади подобных многоугольников отно­сятся как сходственные стороны.

2.      Докажите, что четырехугольник  - ромб, если его вершинами являются середины сторон равнобедренной трапеции.

3.      Стороны двух равносторонних треугольников равны 5 см и 25 см. Найдите отношение площадей этих треугольников.

4.      Через точки E и F, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая EF, параллельная стороне АС. Найдите длину BС, если EF = 10, AC = 15 и FC = 9.

5.      Стороны угла О пересечены параллельными прямыми АВ и CD.

а). Докажите, что отрезки .

б). Найдите ОС, если ОВ = 3 см, АС = 10 см, BD  = 2 см.

Билет №6.

1.        Укажите номера верных утверждений

1)      Два равнобедренных треугольника подобны, если угол при основании одного треугольника равен углу при основании другого.

2)      Если три стороны одного треугольника соот­ветственно равны трем сторонам другого треуголь­ника, то такие треугольники подобны.

3)      Если два угла одного треугольника равны 45° и 75°, а два угла другого треугольника равны 75° и 45°, то такие треугольники подобны.

4)      Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине другой его стороны.

2.         Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников.

3.         Стороны треугольника имеют длину 12 см, 15 см, 24 см. определите меньшую сторону ему подобного треугольника, если его большая сторона равна 72 см.

4.         В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Площадь треугольника DOC равна 4, площадь треугольника AOD равна 9. Найдите площадь трапеции.

5.         Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника АВС пересекает прямую ВС в точке D.

а). Докажите, что отрезки .

б). Найдите АС, если BD  = 10 см, АВ = 4 см, DC = 8 см.

Билет №7.

1.      Укажите номера верных утверждений

1) Два равнобедренных треугольника подобны, если боковые стороны одного треугольника пропорциональны боковым сторонам другого треугольника.

2) Два равнобедренных треугольника подобны, если их углы при вершине равны между собой.

3) Два равных треугольника подобны.

4) Два прямоугольных треугольника подобны, если они имеют равные гипотенузы.

2.      Сформулируйте и докажите теорему об отношении периметров подобных треугольников.

3.      Основание треугольника больше средней линии, параллельной данному основанию, а 3 см. Чему равна сумма средней линии и основания треугольника.

4.      Ученик 8 класса, рост которого 1 м 65 см стоит рядом с деревом. Длина тени ученика равна 62 см, а длина тени дерева 3 м 10 см. Вычислить высоту дерева.

5.      Дан параллелограмм ABCD. Через точку D и точку L, принадлежащую стороне параллелограмма ВС, и такую, что BL : LC  = 4 : 3, проведена прямая д пересечения с продолжением стороны АВ в точке К. найдите длину ВК и отношение площадей треугольников BKL и ADK, если АВ = 30 см.

Билет №8.

1.    Укажите номера верных утверждений

1)      Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

2)      Стороны одного треугольника имеют длины 4 м, 5 м и 4 м. Стороны другого треугольника равны 10 м, 8 м и 12 м. Тогда эти треугольники подобны.

3)      Если каждую сторону треугольника умень­шить в 2,25 раза, то получится треугольник, подоб­ный первоначальному.

4)      Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно пропорциональны и стороны равны.

2.    Сформулируйте и докажите теорему о свойстве медиан треугольника.

3.    Стороны треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Меньшая сторона подобного ему второго треугольника равна 4 см. Вычислить периметр второго треугольника.

4.    Че­ло­век ро­стом 1,7 м стоит на рас­сто­я­нии 8 шагов от стол­ба, на ко­то­ром висит фо­нарь. Тень че­ло­ве­ка равна че­ты­рем шагам. На какой вы­со­те (в мет­рах) рас­по­ло­жен фо­нарь?

5.  В равнобедренной трапеции ABCDдиагональ АС перпендикулярна боковой стороне CD, BE  AC (E  AC), основания трапеции равны 6 см и 10 см. Найдите АЕ : ЕС.

Таблица ответов

№ п/п	1 вариант	2 вариант	3 вариант	4 вариант	5 вариант	6 вариант	7 вариант	8 вариант
1	2	2; 3	1	2; 4	1; 2	2; 3; 4	2; 3	1; 3
3	6,936		65	30	1 : 25	36	9	18
4	30	9	9	46	27	25	8 м 25 см	5,1
5	4,8	Задача на док-во	6	Задача на док-во	25	3,2	40 см,

Литература.

1.    Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия 7 – 9, учебник для ООУ.

2.    Л.Д.Лаппо, М.А.Лаппо. Математика  ОГЭ. Сборник заданий 2016. Изд. «Экзамен», М,2016.

3.     Ященко И.В. ОГЭ (ГИА). 3000 задач с ответами по математике. Изд. «Экзамен», М, 2015.

4.    Г.В. Сычёва, Н.Б. Гусева, В.А. Гусев. Математика. Тема геометрия. Тестовые задания частей 1 и 2. Изд. «Астрель», М, 2014.