Зачет по теме "Производная"

                                 

                                                 10 класс.

Разработал:

 учитель математики МБОУ «Краснооктябрьская СОШ» 

п. Десятуха Стародубского района Брянской области

Хандус Татьяна Елисеевна.

1.       Найдите производную функции в заданной точке x₀.

а) y = (-5x+11)⁴,  x₀ =  2.

б) y = 6x - tg x,  x₀ = 0.

в) y =  ,  x₀ =.

г) y = 2x + ctg x,  x₀  = .

д) y =  - √x.

е) y = 2x ³√x + cos²x.

ж) y = -cos² 2x - sin²2x.

з) y =  cos 5x cos 3x  + sin 5x sin 3x.

 и) y =  ctg x +  , x₀  = .

к) y =  ,  x₀  = .

л) y = 6(2x – 1)².

м) y =  .

н) y = √x (2x -4).

о) y = 17.

2.Геометрический смысл производной.

а) Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой  x₀  = , если 

f (x)  = 2x + ctg x.

б) Угловой коэффициент касательной к графику функции y = f (x)  в точке  (-2;7), равен 4. Найдите f`(-2).

в) Найдите абсциссу точки графика  функции  y = x² - 5x +6 , в которой угловой коэффициент касательной равен -4.

 г) Найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику данной функции через точку с абсциссой  x₀  = 2, если f (x)  =x³ - ½ x.

д) Касательная в точке М графика  функции y= 3x² + 15x +2 параллельна оси абсцисс.

 Найдите абсциссу точки М.

 е) Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции y = f (x)  в точке 

C(-6; 12). Найдите f`(-6).

3.Физический смысл производной.

1. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2t³+ 3t+1. Найдите её ускорение в момент времени t = 3с.

2. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = t³- 3t. Найдите её скорость  и  ускорение в момент времени

 t = 1с.

3. Тело движется  по закону x(t) = t⁵ + t. Определите x( t ) в момент, когда её скорость 65 м/с.

4. Тело движется  по закону x(t) = 3 cos 2t. При каких  значениях  t ускорение точки положительно?

5. Тело движется  по закону x(t) = 3t³- 6t. Найдите ускорение точки в момент, когда её скорость 30 м/с.

6. Тело движется  по закону x(t) = 7t + 5t² + t³. Определите скорость точки в момент, когда её ускорение 70 м/с².

7. Тело движется  по закону x(t) = -t⁴ - 4t³+ 6t². Определите скорость точки в момент, когда её ускорение максимально.

4.Касательная к  графику функции.

1. Прямая y = -3x + 5 параллельна касательной  к графику функции y = x² + 6x + 8. Найдите абсциссу точки касания.

2. Прямая y = 5x + 14  параллельна касательной  к графику функции y = x³ - 4x² + 9x  +14. Найдите абсциссу точки касания.

3. Составьте уравнение касательной к графику функции y = x³ - 2x  +1 в точке с абсциссой x₀  =2 .

4. Дана кривая y = -x² + 1. Найдите точку её графика, в которой  касательная параллельна прямой y = 2x + 3. Написать уравнение касательной.

5. Найдите координаты точки, в которой  касательная  к графику функции y = x² + √3x -10 образует угол 60° с Оx.

6. Найдите угол между прямой x = 2 и параболой  y = x² + 2.

7. Составьте уравнение касательной к графику функции y =   в точке пересечения с осью ординат.

8. Составьте уравнение касательной к графику функции y =   в точке пересечения с осью  абсцисс.

9. На графике функции y = x(x – 4)³. Найти точки, в  которых касательные параллельны оси абсцисс.

10. Под каким углом кривая y =  sin3x пересекает ось абсцисс в начале координат?

11. В каких точках касательные к кривой  y =  - x² - x +1 параллельны прямой y = 2x – 1.

12. . Под каким углом к оси Оx наклонена касательная, проведённая к кривой y = x³ - x² - 7x + 6 в точке М₀(2;-4)?

13. Известно, что прямая y =  - x -   является  касательной к линии, заданной уравнением y = 0,5x⁴ - x. Найдите координаты точек касания.

14) Составьте уравнения  касательных к кривым y = 2x² - 5 и y = x² -3x + 5, проведённых через точки их пересечения.

15) Найти угол, который образует с осью ординат касательная к кривой y = x⁵ - x³, проведённая в точку с абсциссой  x = 1.

5. Применение про­из­вод­ной к ис­сле­до­ва­нию функций

5.1. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−6; 8).

Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на.

5.2. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции  от­ри­ца­тель­на.

5.3.  На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мойy = 6 или сов­па­да­ет с ней.

5.4. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 12). Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x).

5.5.  На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . В какой точке от­рез­ка  функ­ция  при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние?

5.6.  На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . В какой точке от­рез­ка   при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние?

 5.7.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 14). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−6; 9].

5.8. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . Най­ди­те ко­ли­че­ство точек ми­ни­му­ма функ­ции  на от­рез­ке .

5.9. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−11; 11). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−10; 10].

5.10. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 4). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

5.11. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 7). Най­ди­те про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

5.12. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−11; 3). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.

5.13. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 12). Най­ди­те про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.

5.14.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−10; 2). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции f(x) па­рал­лель­на пря­мой y = −2x−11 или сов­па­да­ет с ней.

5.15. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−4; 8). Най­ди­те точку экс­тре­му­ма функ­цииf(x) на от­рез­ке [−2; 6].

5.16. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции f(x) равна 0.

5.17.На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик  про­из­вод­ной функ­ции  и во­семь точек на оси абс­цисс:    , . В сколь­ких из этих точек функ­ция  воз­рас­та­ет?

5.18.На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик  про­из­вод­ной функ­ции  и во­семь точек на оси абс­цисс:    ,. В сколь­ких из этих точек функ­ция  убы­ва­ет?

5.19. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции  и от­ме­че­ны точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек зна­че­ние про­из­вод­ной наи­мень­шее? В от­ве­те ука­жи­те эту точку.

5.20.

5.21. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции  и от­ме­че­ны точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек зна­че­ние про­из­вод­ной наи­боль­шее? В от­ве­те ука­жи­те эту точку.