Зачётная работа в форме ЕГЭ 2023 (математика: профильный уровень)

ЕГЭ: профильный уровень

Вариант - Ⅰ

№1. В прямоугольном треугольнике ABC  , сторона AB = 13. . CH – высота. Найдите BH.

№2. В прямоугольный параллелепипед вписан цилиндр. Высота цилиндра равна радиусу основания цилиндра. . Найдите объём параллелепипеда.

№3. В классе 26 человек. Всех школьников разделили на две равные группы. Среди 26 человек есть два друга: Валерий и Валентин. Найдите вероятность того, что оба мальчика окажутся в одной группе.

№4. В таблице указано распределение случайной величины X. Найдите EX – математическое ожидание случайной величины.

Значения X	-2	0	1	3
Вероятности	0,4	0,1	0,2	0,3

№5. Решите уравнение:

№6. Вычислите: , если

№7. На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция   — одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

№8. При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон , где p – давление газа в паскалях, V – объём газа в кубических метрах, k=3/5. Найдите объём газа в кубических метрах , которых он будет занимать при давлении .

№9. Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч.

№10. На рисунке изображён график функции . Найдите a.

№11. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке [-2,5; 0]

№12. а) Решите уравнение

          б) Найдите все корни уравнения, принадлежащими отрезку []

№13. SABC – правильная треугольная пирамида. Грань SBC перпендикулярна отрезку SA. P и K – середины ребер AB и BC соответственно. Плоскость  проходит через точки P, K и S.

а) Докажите, что треугольник SPK – равносторонний,

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости .

№14. Решите неравенство

№15. Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же сумму положил на два года в другой банк под 15% годовых. Через два года Паша решил продлить срок вклада еще на 2 года. Однако к тому времени процентная ставка по вкладам в этом банке изменилась и составляла уже p% годовых. В итоге через четыре года на счету у Паши оказалась большая сумма, чем у Саши, причем эта разность составила менее 10% от суммы, вложенной каждым первоначально. Найдите наибольшее возможное целое значение процентной ставки.

№16. На сторонах AC, AB и BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вне треугольника ABC построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC, ALB и BMC с прямыми углами K, L и M соответственно.

а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM.

б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 4.

№17. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых среди значений функции  есть ровно одно целое число.

№18. Все члены последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 11 раз больше, либо в 11 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 2231.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трех членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

ЕГЭ: профильный уровень

Вариант - Ⅱ

№1. В треугольнике ABC известно, что AC=BC, высота AH равна 8, BH = 20. Найдите .

№2. В кубе  найдите угол между прямыми  и BD. Ответ дайте в градусах.

№3. В классе 16 мальчиков и 9 девочек. Для подготовки классной комнаты к занятиям случайным образом выбирают двух дежурных. Найдите вероятность того, что дежурить будут 2 мальчика.

№4. Чтобы поступит в институт на специальность «Архитектура», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 75 баллов по каждому из трёх предметов – математике, русскому языку и истории. Чтобы поступить на специальность «Телевидение», нужно набрать не менее 75 баллов по каждому из трёх предметов – русскому языку, литературе и истории. Вероятность того, что абитуриент Кирилл получит не менее 75 баллов по математике равна 0,6, по русскому языку – 0,8, по истории – 0,5 и по литературе – 0,7. Найдите вероятность того, что Кирилл сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

№5. Решите уравнение .

№6. Найдите значение выражения .

№7. Материальная точка движется прямолинейно по закону. Найдите скорость в момент времени t = 9с, если x -расстояние от точки отсчёта (м), t – время, измеренное от начала движения (с). Ответ дайте в м/с.

№8. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону , где t – время в секундах, прошедшее с момента открытия крана,  = 20 – начальная высота столба воды, k = – отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g – ускорение свободного падения (). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

№9. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

№10. На рисунке изображён график функции вида , где a, b и c – целые числа. Найдите f (13).

№11. Найдите точку минимума функции .

№12. а) Решите уравнение: ,

          б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку [].

№13. Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 18 и 8. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом .

          а) Докажите, что существует точка O, являющаяся центром вписанной сферы, одинаково удалённая ото всех граней пирамиды,

          б) Найдите площадь полной поверхности данной пирамиды.

№14. Решите неравенство .

№15. 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита, следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

№16. На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.

         а) Докажите, что точки A, B, K и E – лежат на одной окружности,

         б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 12, CH = 5.

№17. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции                        содержит отрезок [2; 3].

№18. Два игрока ходят по очереди. Перед началом игры у них есть поровну горошин. Ход состоит в передаче сопернику любого числа горошин. Не разрешается передавать такое количество горошин, которое до этого уже кто‐то в этой партии передавал. Ноль горошин тоже передавать нельзя. Тот, кто не может сделать очередной ход по правилам, — считается проигравшим. Начинающий или его соперник победит в этой игре, как бы ни играл партнёр?

Рассмотрите случаи:

а) у каждого по две горошины;

б) у каждого по три горошины;

в) у каждого по N горошин.