Инфоурок / Математика / Конспекты / Задача Архимеда. Урок одной задачи.
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Задача Архимеда. Урок одной задачи.

библиотека
материалов


Урок одной задачи

в 9 классе физико-математического профиля.


Тема: Задача Архимеда.

Цели:

- познакомить учащихся с авторской задачей Архимеда, позволяющей понять его гениальность;

- повторить теоретические положения планиметрии;

- рассмотреть несколько способов решения задачи;

- воспитывать у учащихся умение видеть красоту и изящество решения геометрических задач, культуру геометрического построения;

- развивать способность анализировать, умение по-разному взглянуть на один и тот же вопрос.


I. Ребята, сегодня мы с вами решим следующую задачу Архимеда.


Зhello_html_61dd9489.pngадача:

Хорды АВ CD окружности радиуса R перпендикулярны и делятся точкой пересечения на отрезки а, b, с и d (рис. 1). Докажите, что сумма квадратов этих (отрезков есть величина постоянная для данной окружности, равная квадрату ее диаметра, то есть

hello_html_m49ac482f.gif




Рис. 1


Мы посвятим урок данной задаче, потому что эта задача:

1) задача Архимеда (287-212 гг. до н.э.), позволяющая понять его гениальность;

2) она - конкурсная - во многих вузах ее предлагают на вступительных экзаменах;

3) она позволяет повторить ряд важнейших фактов и задач планиметрии;

4) она трудная!;

5) она решается удивительно красиво и изящно и различными способами.


II. Решение задачи различными способами.


1) Авторское решение задачи.

Пусть а, b, с, d - данные отрезки хорд АВ и СD (рис. 2). Пусть АD = х, ВС = у. Тогда по теореме Пифагора для треугольника АED:

hello_html_8adef0e.gif (1)

А по теореме Пифагора для треугольника ВЕС:

hello_html_m6fcd64ae.gif (2)

Проведем АК // СD. Тогда ВК = 2R - диаметр (так как hello_html_7707454f.gifКАВ = 90°).

hello_html_739dce22.png

Рис.2


CKAD - равнобочная трапеция, поскольку в окружность можно вписать только равнобокую трапецию, СК =АD = х. hello_html_7707454f.gifКСВ = 90° (опирается на диаметр). Тогда по теореме Пифагора для треуголь­ника КСВ имеем:

hello_html_53e64fe3.gif

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получаем требуемое:

hello_html_m49ac482f.gif

Задача решена!


2) Решение задачи с использованием тригонометрических формул.

К тем же обозначениям (рис. 1 и 2) добавим следующие (рис. 3):

hello_html_7707454f.gifСАЕ = hello_html_2e28ff68.gif, hello_html_7707454f.gifАСЕ = hello_html_m51b46b7f.gif

(из прямоугольного треугольника АЕС). Тогда по расширенной теореме синусов для треугольника САВ:

hello_html_m2e4953b6.gifили hello_html_m850b5fe.gif.

hello_html_m55a0a9fd.png

Рис. 3


Для треугольника АСD по расширенной теореме синусов имеем

hello_html_3d06622f.gifили hello_html_1b6b3121.gif.

Итак,

hello_html_43bfa7d8.gif, (3)

hello_html_169d2281.gif. (4)

Возведем обе части равенств (3) и (4) в квадрат и сложим:

hello_html_m3cf3f78e.gif

С учетом равенств (1) и (2) задача решена:

hello_html_m49ac482f.gif


3) Использование симметрии.

1-ый способ.

Воспользуемся свойством угла с вершиной внутри круга.

hello_html_m3694a30.png



hello_html_11638023.gif








Рис. 4


Согласно свойству угла с вершиной внутри круга полусумма дуг АD и ВС равна 90° (рис. 5).

hello_html_m7e62c1d1.png

Рис.5

Тогда

hello_html_m1892df5d.gifAD+hello_html_m1892df5d.gifBC=180°. (*)

Проведем прямую hello_html_m23b673a1.gif, содержащую диаметр, так что hello_html_m23b673a1.gif// АВ. Из соображений симметрии

DK=BC=y.

Тогда и дуга DК равна дуге ВС (равные хорды стягиваются равными дугами). Значит,

hello_html_m1892df5d.gifAD+hello_html_m1892df5d.gifDK=180°.

Если это так, то АК - диаметр, и hello_html_7707454f.gifADK= 90°. По теореме Пифагора для треугольника АDK

hello_html_48a0c7ff.gif,

что равносильно решению задачи.


2-ой способ.

Построим отрезок ТК, симметричный АВ относительно центра окружности O (рис.6).

hello_html_m36b6c284.png

Рис. 6


В силу симметрии ТК=АВ, СР=ЕD=d, РК=ВЕ=b. Очевидно, что РD=c. Из прямоугольного треугольника DРК имеем

hello_html_m23a8d495.gif

Очевидно, что АК - диаметр (так как АВКТ - прямоугольник), и тогда hello_html_7707454f.gifADK = 90°. По теореме Пифагора для треугольника АDК

hello_html_m7c4a3751.gif, или hello_html_m49ac482f.gif

Задача решена!


3-ий способ

Воспользуемся тем же рисунком. ВК = с - d; АВ = a + b, и hello_html_7707454f.gifABK = 90°АВК - 90° (опирается на диаметр). Тогда

hello_html_15163213.gif,

или

hello_html_b9ee591.gif

Но по известной задаче о равенстве произведений отрезков хорд ab=cd. Тогда 2аb и -2cd сократятся! Решение задачи получено.


4) Использование формулы hello_html_3bc93fbe.gif.

Проведем в треугольнике АВС высоту АК (рис. 7).

hello_html_4bfd0799.png

Рис. 7


Тогда H - ортоцентр (точка пересечения высот) в треугольнике АВС. Покажем, что АН =AD = х.

Действительно, hello_html_7707454f.gifАDС = hello_html_7707454f.gifАВС = hello_html_2e28ff68.gif(вписанные, опирающиеся на одну дугу). Тогда hello_html_7707454f.gif1 = 90° - hello_html_2e28ff68.gif (из hello_html_2e85d6ba.gifАВК) и hello_html_7707454f.gif2 = 90° - hello_html_2e28ff68.gif (из hello_html_2e85d6ba.gifАDE). Поскольку АЕ - высота и биссектриса в hello_html_2e85d6ba.gifАDH, то он - равнобедренный, и

АН = AD = x.

Далее применим хорошо известную нам формулу

hello_html_2fb30de3.gif. (5)

Следовательно,

hello_html_724d72a8.gif, т.е. hello_html_415bbd11.gif.


5) Использование свойства ортоцентра.

Свойство ортоцентра: «Точки, симметричные ортоцентру относительно сторон треугольника, принадлежат описанной окружности».

hello_html_5f87ceff.png

Рис.8


Точки Н и Н' симметричны друг другу относительно стороны ВС (рис. 8).


С учетом вышесказанного способ выглядит так (хорда СО опущена вниз для удобства работы с рис. 9):

hello_html_3e0c7a57.gif,

hello_html_14702121.gif,

hello_html_143ff796.gif.

hello_html_62797d81.png

Рис.9


Но аb = cd - из равенства произведения отрезков хорд. Тогда

hello_html_m49ac482f.gif

Задача решена!

6) Векторное решение.

hello_html_5505d74f.png

Рис. 10


hello_html_m7ce073fa.gif; hello_html_217ad362.gif

hello_html_1b48df82.gif,

hello_html_m218e6d51.gif, (6)

hello_html_22e67930.gif, hello_html_m27debecf.gif.

Докажем, что hello_html_m31c63f04.gif;

hello_html_m1892df5d.gifAD+hello_html_m1892df5d.gifBC=180° - см. формулу (*),

А углы hello_html_2e28ff68.gif и hello_html_m154a5599.gif - центральные, равные соответственно дугам AD и ВС.

Тогда hello_html_4447b7de.gif, и hello_html_2e1abac1.gif, откуда следует, что

hello_html_m75008e5c.gif.

По формуле (6):

hello_html_415bbd11.gif.

Задача решена!



III. Итоги урока

IV. Домашнее задание. Решить задачу Архимеда методом координат.


Общая информация

Номер материала: ДВ-181897

Похожие материалы