Задача №20 из экзамена по математике(база)

Задача про кузнечика (кузнечик прыгает вдоль прямой)

Кузнечик прыгает вдоль прямой в любом направлении. Длина прыжка равна единичному отрезку. Сколько существует точек, в которых кузнечик может оказаться, сделав 5 прыжков?

Решение:

Пусть изначально кузнечик находится в точке 0.

Тогда после первого прыжка он может оказаться либо в точке 1, либо в точке -1.  То есть всего 2 варианта: 1; -1.

2 прыжок: из точки 1 кузнечик может прыгнуть либо в 0, либо в 2. Из точки -1 - в точку -2 или 0. Поэтому всего 3 варианта: -2, 0, 2.

3 прыжок: из точки -2 кузнечик может попасть либо в -3, либо в -1; из точки 0 - либо в 1, либо в -1; из точки 2 - либо в 1, либо в 3. получаем 4 варианта: -3, -1, 1, 3.

4 прыжок: соответственно получаем 5 вариантов: -4, -2, 0, 2, 4.

5 прыжок: будет 6 вариантов: -5, -3, -1, 1, 3, 5.

Ответ: 6.

На самом деле, все точки , в которых может оказаться кузнечик на k-ом прыжке описываются формулой 2n+k, -k≤n≤0, и их количество соответственно равно k+1.