Задача о треугольнике, отсекаемом двумя высотами.

Задача о треугольнике, отсекаемом двумя высотами.

Эта задача хороша тем, что к ней можно возвращаться несколько раз, а именно:  после изучения признаков подобия треугольников, после прохождения тригонометрических функций угла, после прохождения темы «Окружность»,  тем самым вспомная   подобие треугольников  и оценивая многовариантность подходов к решению задач.  Кроме того, задача хороша своим результатом, а именно расстановкой углов в данной конструкции.

 При итоговом повторении планиметрии к этой задаче обязательно нужно вернуться, рассмотрев все варианты доказательства этого факта.

Впервые с задачей  о треугольнике, отсекаемом двумя высотами знакомимся в 8 классе при прохождении признаков подобия треугольников.

Задача.

Доказать, что в остроугольном треугольнике АВС две высоты отсекают треугольник, подобный исходному.

Задача 1.

В АВС с тупым углом АВС проведены высоты АC1 и СA1. Доказать, что А1ВС1 и АВС подобны.

Чертёж должен помогать решать задачу, «оживать» в процессе решения:

Треугольники подобны, расставляем сходственные стороны

Задача 2.

Доказать, что в остроугольном треугольнике АВС две высоты отсекают подобный треугольник. А1ВС1 АВС.

Первый вариант доказательства:

Треугольники подобны, расставляем сходственные стороны

, следовательно равны углы

Углы  равны, так как каждый из них дополняет угол    до 900.

Таким образом, А1ВС1 АВС по двум углам (∠ = ∠ ; ∠В общий ).

Второй вариант доказательства:

 СВС1 АВА1 по двум углам (∠ = ∠ ; ∠В общий

 =  ;  значит  =

Таким образом, А1ВС1 АВС по двум сторонам и углу между ними (∠В общий  )

Из подобия отсекаемого и исходного треугольников вытекает равенство углов:

∠ = ∠;  ∠ = ∠; что стоит запомнить.

После знакомства с тригонометрическими функциями угла возвращаемся к этой задаче:

Если в остроугольном треугольнике проведены две высоты, то отсечённый треугольник подобен исходному.

СВС1;  =	АВА1;  =
	=  = ∠В общий   Таким образом,  А1ВС1 АВС по двум сторонам и углу между ними

Пройдя окружность, возвращаемся к этой задаче.

прямоугольный, С1М медиана С1М = АМ = МС  прямоугольный, А1М медиана А1М = АМ = МС Точки А, С1, А1, С лежат на окружности
+ ∠2 = 1800	∠1 = ∠1 (дополняют ∠2 до 1800)

Таким образом, отсечённый и исходный треугольники подобны по двум углам. (∠1 = ∠1; ∠В общий).