504506
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 1.410 руб.;
- курсы повышения квалификации от 430 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 90%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до конца апреля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыЗадачи для подготовки к олимпиаде по математике (8 класс).

Задачи для подготовки к олимпиаде по математике (8 класс).

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Задача 1: Отец с двумя сыновьями отправились навестить бабушку, которая живёт в 33 км от города. У отца есть мотороллер, скорость которого 25 км/ч, а с пассажиром — 20 км/ч (двух пассажиров на мотороллере перевозить нельзя). Каждый из братьев идёт по дороге со скоростью 5 км/ч. Как им надо действовать, чтобы через три часа всей компанией оказаться у бабушки?

(А.Шаповалов)

Решение: Представляется разумным действовать так. Сначала отец довозит одного из сыновей до места, с которого сын к исходу третьего часа доберется до бабушки, потом возвращается за вторым сыном, и они вместе едут к бабушке. Пусть расстояние до места, где отец должен высадить первого сына, равно x км. Тогда первому сыну до бабушки останется идти 33 – x км, откуда http://zaba.ru/images/img2000.gif. Эти 24 км отец с сыном проедут за 1,2 часа. Второй сын за это время пройдет 6 км. Затем они с отцом начнут сближаться со скоростью 25 + 5 = 30 км/ч и встретятся через http://zaba.ru/images/img2001.gif часа в точке, отстоящей от места старта на 5*1,8 = 9 км. Оставшиеся до дома бабушки 24 км они проедут на мотороллере за http://zaba.ru/images/img2002.gif часа. Одновременно с ними там же окажется и первый сын.

Задача 2: К натуральному числу A приписали справа три цифры. Получившееся число оказалось равным сумме всех натуральных чисел от 1 до A. Найдите A.

(И.Акулич)

Решение:

Ответ: 1999. Пусть приписанные цифры образуют число B, 0 ≤ B ≤ 999. Тогда получившееся число равно, с одной стороны, 1000A + B, а с другой — 1 + 2 +  …  + A = ½A(A + 1). Равенство 1000A + B = ½A(A + 1) преобразуется к виду A(A – 1999) = 2B. Понятно, что число A удовлетворяет условию задачи тогда и только тогда, когда 0 ≤ A(A – 1999) ≤ 1998. Поскольку левое неравенство здесь возможно только при A ≥ 1999, а правое — при A < 2000, то единственным решением задачи является A = 1999.

Задача 3: На сторонах BC, CA, AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A1, B1, C1 так, что медианы A1A2, B1B2, C1C2 треугольника A1B1C1 соответственно параллельны прямым AB, BC, CA. Определите, в каком отношении точки A1, B1, C1 делят стороны треугольника ABC.

(А.Шаповалов)

Решение: Пусть M — точка пересечения медиан  ∆ A1B1C1 и A3, B3, C3 — точки, в которых продолжения медиан пересекают стороны  ∆ ABC (см. рис). Из условия следует, что MC3CB1 — параллелограмм, поэтому MC3 = CB1.

Далее, прямая C1C3 проходит через середину отрезка A1B1 и параллельна AC, поэтому MC3 — средняя линия http://zaba.ru/images/img2003.gif. Но A2A3 — средняя линия http://zaba.ru/images/img2004.gif, значит, AA3 = A3B1 = B1C и точка B1 делит сторону AC в отношении 2:1, считая от вершины A. Аналогично, CA1:A1B = BC1:C1A = 2:1.

http://zaba.ru/images/img2005.gif

Задача 4: Имеется 40 газовых баллонов, значения давления газа в которых нам неизвестны и могут быть различны . Разрешается соединять любые баллоны друг с другом в количестве, не превосходящем заданного натурального числа k, а затем разъединять их; при этом давление газа в соединяемых баллонах устанавливается равным среднему арифметическому давлений в них до соединения. При каком наименьшем k существует способ уравнивания давлений во всех 40 баллонах независимо от первоначального распределения давлений в баллонах?

(И.Акулич)

Решение:

Ответ: 5. При k = 5 годится следующий способ уравнивания давлений. Разделив баллоны на 8 групп по 5 баллонов, уравняем давления в баллонах каждой из этих групп. Затем образуем 5 новых групп так, чтобы каждая из них состояла из 8 баллонов, входивших ранее в разные группы. Равенства давлений в баллонах каждой из новых групп (а значит, и во всех 40 баллонах) достигнем, соединив сначала баллоны по четыре, а затем — по два, беря в каждую пару баллоны из разных четвёрок.

Покажем, что при k ≤ 4 нужного способа не существует.

Пусть значение давления в одном из баллонов равно 2, а в каждом из остальных — 1; тогда после уравнивания значение давления в каждом баллоне должно оказаться равным http://zaba.ru/images/img2006.gif.

Но после каждого соединения все значения будут выражаться несократимыми дробями, знаменатели которых не делятся на 5. В самом деле, если перед каким-либо соединением ни один из знаменателей на 5 не делился, то и знаменатель среднего арифметического соответствующих двух, трёх или четырёх дробей, являясь удвоенным, утроенным или учетверённым наименьшим общим кратным их знаменателей, не может оказаться кратным 5. А так как 40 кратно 5, то уравнять давление при указанных первоначальных их значениях мы не сможем.

Задача 5: Докажите, что из чисел от 1 до 15 нельзя выбрать два числа, произведение которых равно сумме остальных тринадцати.

(Н.Агаханов)

Решение: Пусть такое разбиение возможно и в A вошли числа x и y, x < y. Тогда сумма чисел в B равна 1 + 2 +  …  + 15 – x – y = 120 – x – y, т.е. xy = 120 – x – y. Переписав это равенство в виде (x + 1)(y + 1) = 121, получаем, что либо x + 1 = 1, y + 1 = 121, либо x + 1 = y + 1 = 11, что невозможно.

Задача 6: Дан треугольник ABC. Точка A1 симметрична вершине A относительно прямой BC, а точка C1 симметрична вершине C относительно прямой AB. Докажите, что если точки A1, B и C1 лежат на одной прямой и C1B = 2A1B, то угол CA1B — прямой.

(Н.Агаханов)

Решение: По условию BC — серединный перпендикуляр к отрезку AA1, т.е. AB = BA1 и   A1BC =   ABC. Аналогично, C1B = BC и   C1BA =   ABC. Итак, 3  ABC = 180, т.е.   ABC = 60. Рассмотрим  ∆ CBA1. В нём   CBA1 = 60, CB = C1B = 2BA1. Проведём CA2  BA1. В прямоугольном треугольнике CA2B   BCA2 = 30, поэтому BA2 = ½BC, т.е. BA2 = BA1. Точки A2 и A1 совпали, значит,   CA1B = 90.

http://zaba.ru/images/img2007.gif

Задача 7: В коробке лежит полный набор костей домино. Два игрока по очереди выбирают из коробки по одной кости и выкладывают их на стол, прикладывая к уже выложенной цепочке с любой из двух сторон по правилам домино. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выиграет при правильной игре?

(Д.Храмцов)

Решение:

Ответ: выигрывает первый игрок.

Опишем выигрышную стратегию I игрока. Вначале он выкладывает на стол 0:0, II отвечает 0:a, тогда I выкладывает кость a:a. Теперь II делает ход либо 0:n, либо a:n. В первом случае I выкладывает кость n:a, во втором — n:0. Тогда после хода I игрока на концах цепочки будут 0 или a. Это же произойдёт после того, как на ход II игрока 0:m (a:m) I ответит m:a (m:0). Кости вида 0:n и a:n (n ≠ 0,a) разбиваются на пары, поэтому последний ход останется за первым игроком.

Задача 8: Из 54 одинаковых единичных картонных квадратов сделали незамкнутую цепочку, соединив их шарнирно вершинами. Любой квадрат (кроме крайних) соединён с соседями двумя противоположными вершинами. Можно ли этой цепочкой квадратов полностью закрыть поверхность куба 3 × 3 × 3?

(А.Шаповалов)

Решение:

Ответ: нельзя.

Предположим противное: закрыть удалось. Тогда, очевидно, каждая грань будет покрыта 9 единичными квадратами. Проведём в каждом квадрате цепочки по диагонали из вершины с шарниром. Получится ломаная из диагоналей на поверхности куба (возможно, пересекающая себя в вершинах звеньев).

Заметим, что из всех ее вершин, кроме, может быть, первой и последней, выходит чётное число ее звеньев (2 или 4). Теперь раскрасим вершины квадратов 1 × 1 в черный и белый цвета в шахматном порядке так, чтобы один из концов ломаной был черным (нетрудно убедиться, что это возможно). Идя по ломаной, видим, что любое ее звено соединяет две черные вершины. Поскольку наша ломаная проходит через все квадраты, она состоит в точности из всех их диагоналей, соединяющих две черные вершины.

Но среди чёрных вершин окажутся 4 вершины куба, а из каждой такой вершины выходит 3 диагонали в другие черные вершины. Получается, что у нашей ломаной должно быть минимум 4 вершины, из которых выходит нечетное число звеньев. Однако мы уже показали, что таких вершин у нее может быть не больше двух. Противоречие.

Краткое описание документа:

Как добиться успешного участия школьника в математической олимпиаде? А как добиться хороших результатов в спорте? Тренироваться, тренироваться и ещё раз тренироваться. Для успеха в конкурсной математике, конечно, нужно решать задачи. Успех связан не только со способностями, но и со знанием классических олимпиадных задач. Поэтому к олимпиаде надо серьёзно готовиться.

Основная цель школьных олимпиад:

  • выявление талантливых ребят,
  • развитие творческих способностей и интереса к научно-исследовательской деятельности у обучающихся,
  • создание необходимых условий для поддержки одаренных детей,
  • распространение научных знаний среди молодежи.
Общая информация

Номер материала: 304535

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.