Инфоурок Алгебра Другие методич. материалыЗадачи ЕГЭ на составление математических моделей.

Задачи ЕГЭ на составление математических моделей.

Скачать материал

Задачи ЕГЭ на составление различных математических моделей

Задача 1. За время хра­не­ния вкла­да в банке про­цен­ты по нему на­чис­ля­лись еже­ме­сяч­но сна­ча­ла в раз­ме­ре 5%, затем 12%, потом  и, на­ко­нец, 12,5% в месяц. Из­вест­но, что под дей­стви­ем каж­дой новой про­цент­ной став­ки вклад на­хо­дил­ся целое число ме­ся­цев, а по ис­те­че­нии срока хра­не­ния пер­во­на­чаль­ная сумма уве­ли­чи­лась на  Опре­де­ли­те срок хра­не­ния вкла­да.

Решение: Математической моделью задачи является уравнение с четырьмя неизвестными, решаемое в натуральных числах.

Ответ:1+1+3+2=7.

Задача 2.  Фаб­ри­ка, про­из­во­дя­щая пи­ще­вые по­лу­фаб­ри­ка­ты, вы­пус­ка­ет блин­чи­ки со сле­ду­ю­щи­ми ви­да­ми на­чин­ки: ягод­ная и тво­рож­ная. В дан­ной ниже таб­ли­це при­ве­де­ны се­бе­сто­и­мость и от­пуск­ная цена, а также про­из­вод­ствен­ные воз­мож­но­сти фаб­ри­ки по каж­до­му виду про­дук­та при пол­ной за­груз­ке всех мощ­но­стей толь­ко дан­ным видом про­дук­та.

Вид на­чин­ки

Се­бе­сто­и­мость
(за 1 тонну)

От­пуск­ная цена
(за 1 тонну)

Про­из­вод­ствен­ные
воз­мож­но­сти

ягоды

70 тыс. руб.

100 тыс. руб.

90 (тонн в мес.)

тво­рог

100 тыс. руб.

135 тыс. руб.

75 (тонн в мес.)

 

Для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти, ко­то­рые предъ­яв­ля­ют­ся тор­го­вы­ми се­тя­ми, про­дук­ции каж­до­го вида долж­но быть вы­пу­ще­но не менее 15 тонн. Пред­по­ла­гая, что вся про­дук­ция фаб­ри­ки на­хо­дит спрос (ре­а­ли­зу­ет­ся без остат­ка), най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ную при­быль, ко­то­рую может по­лу­чить фаб­ри­ка от про­из­вод­ства блин­чи­ков за 1 месяц.

Ре­ше­ние.

Пусть x — доля мощ­но­стей за­во­да, за­ня­тых под про­из­вод­ство блин­чи­ков с ягод­ной на­чин­кой, а y — доля мощ­но­стей, за­ня­тых под про­из­вод­ство блин­чи­ков с тво­рож­ной на­чин­кой. Тогда x + y = 1, при этом блин­чи­ков с ягод­ной на­чин­кой про­из­во­дит­ся 90x тонн, а с тво­рож­ной на­чин­кой — 75y тонн. Кроме того, из усло­вия ас­сор­ти­мент­но­сти сле­ду­ет, что   от­ку­да   от­ку­да  .При­быль за­во­да с одной тонны про­дук­ции с ягод­ной на­чин­кой равна 100 − 70 = 30 тыс. руб., при­быль с одной тонны про­дук­ции с тво­рож­ной на­чин­кой равна 135 − 100 = 35 тыс. руб., а общая при­быль с про­из­ведённой за месяц про­дук­ции равна 30 · 90x + 35 · 75y = 2700x + 2625y.

Таким об­ра­зом, не­об­хо­ди­мо найти наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния 75 · (36x + 35y) при вы­пол­не­нии сле­ду­ю­щих усло­вий:

 

 

Под­став­ляя у = 1 − x в вы­ра­же­ние 36x + 35y, по­лу­ча­ем: 36x + 35(1 − x) = 35 + x. Вы­ра­же­ние 35 + x при усло­ви­ях  при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние при 

Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния 36x + 35y ,при вы­пол­не­нии усло­вий си­сте­мы, до­сти­га­ет­ся при   По­это­му мак­си­маль­но воз­мож­ная при­быль за­во­да за месяц равна 2685 тыс. руб. 

Ответ: 2685 тыс. руб.

 

Задача 3. Пер­вич­ная ин­фор­ма­ция раз­де­ля­ет­ся по сер­ве­рам №1 и №2 и об­ра­ба­ты­ва­ет­ся на них. С сер­ве­ра №1 при объёме Гбайт вхо­дя­щей в него ин­фор­ма­ции вы­хо­дит 20t Гбайт, а с сер­ве­ра №2 при объёме  Гбайт вхо­дя­щей в него ин­фор­ма­ции вы­хо­дит 21t  Гбайт об­ра­бо­тан­ной ин­фор­ма­ции; 25 < t < 55. Каков наи­боль­ший общий объём вы­хо­дя­щей ин­фор­ма­ции при общем объёме вхо­дя­щей ин­фор­ма­ции в 3364 Гбайт?

Ре­ше­ние:

Пусть на сер­ве­ре №1 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся  а на сер­ве­ре №2 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся  Гбайт из всей пер­вич­ной ин­фор­ма­ции. Тогда  а об­ра­бо­та­но будет  Гбайт ин­фор­ма­ции. Тре­бу­ет­ся найти наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции   - точка максимума, попадающая в указанный в задаче интервал. Таким образом

 Ответ:  Гбайт.

 

Задача 4. Гри­го­рий яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в раз­ных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры, но на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, ис­поль­зу­ет­ся более со­вер­шен­ное обо­ру­до­ва­ние. В ре­зуль­та­те, если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t2 часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 3t еди­ниц то­ва­ра; если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t2 часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 4t еди­ниц то­ва­ра. За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из за­во­дов) Гри­го­рий пла­тит ра­бо­че­му 500 руб­лей. Гри­го­рий готов вы­де­лять 5 000 000 руб­лей в не­де­лю на опла­ту труда ра­бо­чих. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра можно про­из­ве­сти за не­де­лю на этих двух за­во­дах?(500)

 

Задача 5. Вла­ди­мир яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в ра­зных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры, но на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, ис­поль­зу­ет­ся более со­вер­шен­ное обо­ру­до­ва­ние. В ре­зуль­та­те, если ра­бочие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, трудт­ся сум­мар­но t 2 часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 2t еди­ниц то­ва­ра; если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t 2 часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 5t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из за­во­дов) Вла­ди­мир пла­тит ра­бо­че­му 500 руб­лей. Вла­ди­ми­ру нужно каж­дую не­де­лю про­из­во­дить 580 еди­ниц то­ва­ра. Какую наи­мень­шую сумму при­дет­ся тра­тить еже­не­дель­но на опла­ту труда ра­бо­чих? (5 800 000)

 

Задача 6. Име­ет­ся три па­ке­та акций. Общее сум­мар­ное ко­ли­че­ство акций пер­вых двух па­ке­тов сов­па­да­ет с общим ко­ли­че­ством акций в тре­тьем па­ке­те. Пер­вый пакет в 4 раза де­шев­ле вто­ро­го, а сум­мар­ная сто­и­мость пер­во­го и вто­ро­го па­ке­тов сов­па­да­ет со сто­и­мо­стью тре­тье­го па­ке­та. Одна акция из вто­ро­го па­ке­та до­ро­же одной акции из  пер­во­го па­ке­та на ве­ли­чи­ну, за­клю­чен­ную в пре­де­лах от 16 тыс. руб. до 20 тыс. руб., а цена акции из тре­тье­го па­ке­та не мень­ше 42 тыс. руб. и не боль­ше 60 тыс. руб. Опре­де­ли­те, какой наи­мень­ший и наи­боль­ший про­цент от об­ще­го ко­ли­че­ства акций может со­дер­жать­ся в пер­вом па­ке­те.

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния так, как по­ка­за­но в таб­ли­це (вы­де­ле­но цве­том), и затем за­пол­ним остав­ши­е­ся ячей­ки по дан­ным из усло­вия:

 

Пер­вый пакет

Вто­рой пакет

Тре­тий пакет

Цена одной акции, тыс. руб.

x

Ко­ли­че­ство акций в па­ке­те, шт

y

ly

y(l+1)

Цена па­ке­та, тыс. руб.

xy

4xy

5xy

 

За­ме­тим, что цена одной акции из вто­ро­го па­ке­та равна  тыс. руб., а цена одной акции из тре­тье­го па­ке­та равна тыс. руб. Тре­бу­ет­ся опре­де­лить наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ние ве­ли­чи­ны    ,  вы­ра­жен­ное в про­цен­тах. Из усло­вия имеем:

 

 

 

 

От­рез­ки [ab] и [cd] пе­ре­се­ка­ют­ся тогда и толь­ко тогда, когда а ≤ d и с ≤ b од­но­вре­мен­но, по­это­му по­лу­чен­ная си­сте­ма имеет ре­ше­ния тогда и толь­ко тогда, когда:

 

 

Решим эту си­сте­му на ин­тер­ва­ле (1; 4):

 

 

 

т. е. ис­ко­мая доля ме­ня­ет­ся от 12,5% до 15%.

 

Ответ: 12,5% и 15%.

 

 

Задача 7. Садовод привез на рынок 91 кг яблок, которые после транспортировки разделил на три сорта. Яблоки первого сорта он продавал по 40 руб., второго сорта – по 30 руб., третьего сорта –  по 20  руб.  за килограмм.  Выручка  от  продажи всех яблок  составила  2170  руб.  Известно,  что  масса  яблок  2го  сорта  меньше  массы  яблок  3го  сорта  на  столько  же  процентов,  на  сколько  процентов  масса  яблок  1го  сорта  меньше  массы  яблок 2го сорта. Сколько килограммов яблок второго сорта продал садовод?(21)

Ре­ше­ние:

Сорт яблок

Масса

Цена

Стоимость

1

x

40

40x

2

y

30

30y

3

z

20

20z

Решая систему,  получаем y=21.

Ответ:21.

 

Задача 8. Бриллиант  массой  20  карат  был  разбит  на  две  части,  после  чего  его  стоимость  уменьшилась на 25,5 %.

а) Найдите массы частей, на которые был разбит бриллиант, если известно, что цена бриллианта пропорциональна квадрату его массы.

б)  На  какое  максимальное  число  процентов  может  уменьшиться  цена  бриллианта, разбитого на две части?

Ре­ше­ние: Пусть х и у массы частей, на которые разбит бриллиант х + у=20. Тогда стоимость первой части, второй - , суммарная стоимость частей

+=k 0,745×Корни уравнения 17 и 3. Исследуя функцию = на минимум, получаем x=10, что составляет 50% от первоначальной массы.

Ответ: а) 17 и 3; б) 50%.

 

Задача9.Незадолго до выборов социологический опрос показал, что 60% избирателей уже решили,  за  кого  из  двух  кандидатов  они  будут  голосовать.  При  этом  55%  из  них  решили голосовать за кандидата А. Какой процент из тех, кто еще не определил своего  избранника,  должен  голосовать  за  кандидата  А,  чтобы  за  него  проголосовала  по  крайней мере половина избирателей?

Ре­ше­ние: Пусть общее количество избирателей х. Тогда 0,6×0,55x=0,33x кандидатов определились с выбором. Пусть у еще не определились. Таким образом, 0,33x+0,4у x=0,5x. y=0,425.

Ответ: 42,5%

 

Задача10.По прогнозу экспертов, цены на квартиры в Москве через год упадут: в рублях на  20%,  в  евро  на  40%.  А  в  Сочи  цены  в  рублях  упадут  на  10%.  На  сколько  процентов  упадут цены в Сочи в евро?

Ре­ше­ние: Пусть 1 рубль стоит x евро. Тогда в процессе падения цен имеем соотношение

0,8 от одного рубля соответствует 0,6x. Таким образом? 1 рубль составляет  евро, что соответствует падению евро по отношению к рублю на 25%. В Сочи 0,9 от рубля составляет 0,9 евро и составляет 0,675х.

Ответ: 32,5%.

 

Задача11. Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% – в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект – от 22% до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.

Ре­ше­ние: Пусть у банка имеется А средств. Для того, чтобы получить максимальную и минимальную прибыль составляем выражения:

Ответ: максимальная прибыль 20%, минимальная 5%.

 

Задача12. В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составляла х % годовых, тогда как в январе 2001 года - y % годовых, причем известно, что x+y=30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение x при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.

Ре­ше­ние:

Математическая модель задачи представляет собой функцию, для которой нужно найти точку максимума. Пусть А – первоначальная сумма, которая есть у вкладчика.

Точка максимума функции х=25.

Ответ: 25%.

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Задачи ЕГЭ на составление математических моделей."

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Товаровед-эксперт

Получите профессию

Методист-разработчик онлайн-курсов

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 626 985 материалов в базе

Материал подходит для УМК

  • «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

    «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

    Больше материалов по этому УМК
Скачать материал

Другие материалы

Презентация по теме "Теория вероятностей "
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • Тема: Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей
  • 22.10.2016
  • 3155
  • 8
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 22.10.2016 3284
    • DOCX 38.5 кбайт
    • 20 скачиваний
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Семидоцкая Елена Витальевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Семидоцкая Елена Витальевна
    Семидоцкая Елена Витальевна
    • На сайте: 7 лет и 5 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 17481
    • Всего материалов: 12

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Методист-разработчик онлайн-курсов

Методист-разработчик онлайн-курсов

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 70 человек из 35 регионов

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к проведению ВПР в рамках мониторинга качества образования обучающихся по учебному предмету "Математика" в условиях реализации ФГОС ООО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 206 человек из 53 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 431 человек из 74 регионов

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к сдаче ЕГЭ по математике в условиях реализации ФГОС СОО

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 192 человека из 56 регионов

Мини-курс

Успешный педагог: навыки самозанятости, предпринимательства и финансовой грамотности

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 55 человек из 22 регионов

Мини-курс

Психические защиты и психоаналитический взгляд на личное развитие

10 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 28 человек из 14 регионов

Мини-курс

Методики воспитания и развитие в СПО

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе