Задачи ЕГЭ по теории вероятностей (с решениями)

1. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 спортсменов, среди которых 10 участников из России, в том числе Григорий Поддубный. Найдите вероятность того, что в первом туре Григорий Поддубный будет играть с каким-либо спортсменом из России?

Решение.  Пусть Поддубный попал в одну из групп, тогда для остальных 9 россиян осталось  75 мест.

 Ответ:   0,12.

2. В группе иностранных туристов51 человек, среди них два француза. Для посещения маленького музея  группу случайным образом делят на три подгруппы, одинаковые по численности. Найдите вероятность того, что французы окажутся в одной подгруппе.

Решение. В каждой подгруппе 17 человек. Будем считать, что один француз уже занял место в какой-то подгруппе. Надо найти вероятность того, что второй француз окажется в той же подгруппе. Для второго француза осталось 50 мест , а в  подгруппе -16 мест. Размещения туристов случайны, значит события  равновозможны. Поэтому вероятность того, что второй француз попадёт в ту же подгруппу :  Р

Ответ: 0,32.

3. Петя подкинул три монеты. С какой вероятностью они выпали одной стороной?

Решение:

Орёл-О, решка-Р. Все возможные случаи:

ООО,  ООР, ОРО,  ОРР,  РРР,  РОР,  РРО,  РОО. Их восемь. Благоприятных исходов два.
 Р=

Ответ: 0, 25

4. Какова вероятность того, что случайно выбранное число будет делиться  нацело на 195? Ответ округлить до тысячных.

Решение. Количество трёхзначных чисел: 999-99=900. Количество чисел, делящихся на 195: 5 (195, 195∙2, 195∙3, 195∙4. 195∙5=985).
Р=

Ответ.0,006.

5.В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

Решение.

	1	2	3	4	5	6
1
2
3
4
5
6

Закрасим ячейки, где  сумма равна 7, их шесть.
 Р=.

Ответ. 0,17.

6.Двое военнослужащих на учениях независимо друг от друга проходят полосу препятствий. Для первого вероятность пройти ее равна 0,8, а для второго 0,5. Найдите вероятность того, что они оба не пройдут это испытание.

Решение:

Вероятность того, что первый не пройдёт препятствие: 1-0,8=0,2, а второго : 1-0,5= 0,5. Так как эти события  независимы друг от друга, то
 Р= 0,2∙0,5=0,1.

Ответ: 0,1.

7.Стрелок стреляет в мишень три раза. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,9.Найдите вероятность  того, что стрелок промахнётся все три раза.

Решение. Вероятность того, что стрелок промахнётся: 1-0,9 =0,1.Так как три выстрела─ независимые друг от друга события, то Р = 0,1∙0,1∙0,1= 0,001.

Ответ. 0,001.

8.Вероятность того, что Андрей сдаст экзамен по математике  равна 0,99, а вероятность того, что он  сдаст экзамен по русскому языку . равна 0,98. Найдите вероятность того, что он сдаст оба эти   экзамена.

Решение. Так как эти события  независимы друг от друга, то Р=0,99∙0,98=0,9702.

Ответ.0,9702.

9. Вероятность того, что телевизор прослужит больше 5 лет равна 0,92.Вероятность того, что телевизор прослужит больше 10  лет равна 0,39. Найдите вероятность того, что он прослужит больше 5, но меньше 10 лет.

Решение.

0,92- 0,39=0,53.

Ответ.0,53.

10.Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (одним из выстрелов).

Решение.

Р(Á) = 1 - Р(А) = 1 - 0,6= 0,4 - вероятность того, что в первый раз стрелок промахнется.

Заметим, что вероятность события С, что стрелок попадет в цель 2-й раз равна 0,6 (так как она не зависит, первый раз стрелок стреляет или второй), то есть Р(С) = 0,6.

Получим Р(В) = Р(Á*С) = 0,4*0,6 = 0,24.

Значит, Р(А+В) = 0,6+0,24 = 0,84.

Ответ: 0,84.

11. Две фабрики выпускают одинаковые лампочки. Первая фабрика выпускает 60% лампочек, вторая - 40%. Среди продукции первой фабрики 3% лампочек дефектные, среди продукции второй фабрики - 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленная в магазине лампочка окажется дефектной.

Решение.

 По условию задачи первая фабрика выпускает 60% лампочек из 100%. Другими словами она выпускает 60/100 = 6/10 доли от общего производства двух фабрик. Вторая фабрика аналогично выпускает 40% = 40/100 = 4/10 доли от общего числа лампочек. Среди этих 6/10 по условию 3% брака, что значит 3/100 от 6/10, это равно: 3/100 * 6/10 = 18/1000. То есть от всего объема выпущенных лампочек 18/1000 окажутся дефектными с первой фабрики. Аналогично найдем долю дефектных лампочек со второй фабрики: 2/100 * 4/10 = 8/1000. Всего бракованных лампочек с обеих фабрик будет: 18/1000 + 8/1000 = 26/1000 = 0,026. Это и будет равно вероятности того, что случайно выбранная в магазине лампочка окажется дефектной.

 Ответ: 0,026.

12. За круг­лый стол на 5 сту­льев в слу­чай­ном по­ряд­ке рас­са­жи­ва­ют­ся 3 маль­чи­ка и 2 де­воч­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что обе де­воч­ки будут си­деть рядом.

Решение.

«Фиксируем» одну из девочек на одном из стульев. Благоприятной ситуацией для нас будет посадка второй девочки на один из двух стульев, стоящих рядом со стулом, занятым первой девочкой. Всего свободных стульев для второй девочки – 4.Итак, ве­ро­ят­ность того, что обе де­воч­ки будут си­деть рядом есть , то есть 0,5.

Ответ: 0,5 

13. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение.

А = {кофе закончится в первом автомате}

В = {кофе закончится во втором автомате}

С = A U B = {кофе закончится хотя бы в одном автомате}

По условию: Р(А) = Р(В) = 0,2,   Р(А ∩ В) = 0,16

По смыслу задачи события А и В являются

совместными. Имеем:

Р(С) = Р(A U B) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∩ В) =

= 0,2 + 0,2 – 0,16 = 0,24.

Р( A U B) = 1 – 0,24 = 0,76.

Ответ: 0,76

14.В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 30%. Найдите вероятность того, что в случайный момент все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга)

Решение.

Р = Р(А+В+С)= Р(А)+Р(В)+Р(С)= 0,3+0,3+0,3=0,9

Ответ.0,9.

15. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах.   60% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а во втором хозяйстве – 30% яиц высшей категории. Всего высшей категории получается 54% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из второго хозяйства. Решение.

Составим уравнение:     0,6·(1-х) + 0,3·х = 0,54

                                         0,6-0,6х+0,3х=0,54

                                         -0,3х= -0,06

                                            х=0,2

Ответ: 0,2

16. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 6, но не дойдя до отметки 9 часов.

Решение.

На циферблате между шестью  и девятью часами   располагаются три часовых деления.

Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна:

Ответ: 0,25. 

17. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение.

Джон хватает пристрелянный револьвер (вероятность этого 0,4) и промахивается (вероятность 1-0.9=0,1). Вероятность этого события  0,4*0,1=0,04

Джон хватает непристрелянный револьвер (вероятность этого 0,6) и промахивается (вероятность  1-0,3=0,7). Вероятность этого события  0,6*0,7=0,42

Искомая вероятность есть:

0,04+0,42=0,46

Ответ: 0,46.

18. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 3 августа погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 августа в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение.

Возможны следующие события (при условии, что 3 августа хорошая погода):

А) ХХХХ                E) ХООХ              

В) ХОХХ               F) ХХОО

С) ХХОХ               J) ХООО              

D) ХХХО              H) ХОХО

 («X» – «хорошая погода», «O» – «отличная погода»)

Интересующие нас события (6 августа – отличная погода): D, F, J, H.

Событие D: XХXO произойдет с вероятностью 0,8*0,8*0,2=0,128

Событие F: ХХОО произойдет с вероятностью 0,8*0,2*0,8=0,128

Событие J: ХOОО произойдет с вероятностью 0,2*0,8*0,8=0,128

Событие H: ХОXО произойдет с вероятностью 0,2*0,2*0,2=0,008

Тогда вероятность того, что 6 августа в Волшебной стране будет отличная погода есть  3*0,128+0,08=0.392

Ответ: 0,392.

19. При ар­тил­ле­рий­ской стрель­бе ав­то­ма­ти­че­ская си­сте­ма де­ла­ет вы­стрел по цели. Если цель не уни­что­же­на, то си­сте­ма де­ла­ет по­втор­ный вы­стрел. Вы­стре­лы по­вто­ря­ют­ся до тех пор, пока цель не будет уни­что­же­на. Ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния не­ко­то­рой цели при пер­вом вы­стре­ле равна 0,4, а при каж­дом по­сле­ду­ю­щем — 0,6. Сколь­ко вы­стре­лов по­тре­бу­ет­ся для того, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее 0,98?

Решение. Переформулируем вопрос задачи:

Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность промаха была бы меньше 0,02?

При одном  выстреле вероятность промаха  – 0,6.

При двух выстрелах вероятность промаха –0,6*0,4=0,24 (первый выстрел – промах и второй выстрел – промах).

При трех выстрелах вероятность промаха –0,6*0,4*0,4=0,096 

При четырех выстрелах вероятность промаха –0,6*0,4*0,4*0,4=0,0384 

При пяти выстрелах вероятность промаха –0,6*0,4*0,4*0,4*0,4=0,01536

Замечаем, что . 0,01536<0,02

Итак, пяти выстрелов достаточно, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее 0,98.

Ответ: 5.

20. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что у 6% пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат. Найдите вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно болен гепатитом. Ответ округлите до тысячных.

Решение.

Пусть р – вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно болен гепатитом.

Тогда (1-р) – вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, не болен гепатитом.

Так как по условию задачи  у 6% пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат,  то    Р*0,9+(1-р)*0,01=0,06

                              0,9р-0,01р=0,05

                               0,89р=0,05    

Ответ: 0,056.