Задачи к уроку по теме "Угол между скрещивающимися прямыми в многогранниках"

1)                  Длина ребра пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра ABCD равна 1. Най­ди­те угол между пря­мы­ми  и где  — се­ре­ди­на ребра  — се­ре­ди­на ребра 

Ре­ше­ние.

Пусть  пря­мая па­рал­лель­ная пря­мой  и  точка ее пе­ре­се­че­ния с  Тогда ис­ко­мый угол между пря­мы­ми  и  равен углу  Обо­зна­чим угол  бук­вой   — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка  по­это­му:

Вы­ра­зим квад­рат от­рез­ка  по тео­ре­ме ко­си­ну­сов в двух тре­уголь­ни­ках:  и  

По­сколь­ку  и    под­став­ляя чис­ло­вые дан­ные, по­лу­чим:

От­ку­да   

Ответ: 

2)                  Длина ребра пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра ABCD равна  Най­ди­те угол между пря­мы­ми  и где M — се­ре­ди­на ребра   — се­ре­ди­на ребра 

Ре­ше­ние.

Пусть пря­мая  па­рал­лель­ная пря­мой  пе­ре­се­ка­ет пря­мую  в точке  Тогда ис­ко­мый угол между пря­мы­ми  и  равен углу  Обо­зна­чим угол  бук­вой   — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка  по­это­му

Вы­ра­зим квад­рат от­рез­ка  по тео­ре­ме ко­си­ну­сов в двух тре­уголь­ни­ках:  и

По­сколь­ку  и  под­став­ляя чис­ло­вые дан­ные, по­лу­чим:

От­ку­да 

Ответ: 

3)      В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 1, а бо­ко­вые ребра равны 2, най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми SB и AD.

Ре­ше­ние.

Пря­мая  па­рал­лель­на пря­мой  Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый угол —  В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке  про­ведём ме­ди­а­ну и вы­со­ту  Имеем:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  по­лу­ча­ем: 

₄₎       Сто­ро­на пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ равна 8. Вы­со­та этой приз­мы равна 6. Найти угол между пря­мы­ми CA₁ и AB₁

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим приз­му в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит ромб ABDC. Эта приз­ма яв­ля­ет­ся пря­мым па­рал­ле­ле­пи­пе­дом. По­это­му  Зна­чит, ис­ко­мый угол  Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим:  Ана­ло­гич­но,  В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке  сто­ро­на  равна  Зна­чит, 

5)      Сто­ро­на пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ равна 8. Вы­со­та этой приз­мы равна 6. Найти угол между пря­мы­ми CA₁ и AB₁.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим приз­му в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит ромб  Эта приз­ма яв­ля­ет­ся пря­мым па­рал­ле­ле­пи­пе­дом. По­это­му  Зна­чит, ис­ко­мый угол  Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим: Ана­ло­гич­но,  В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке  сто­ро­на  равна  Зна­чит,

При­ме­ча­ние.

Для на­хож­де­ния угла можно было вос­поль­зо­вать­ся тео­ре­мой ко­си­ну­сов:

От­ку­да 

Ответ:  или 

6)В пи­ра­ми­де DABC пря­мые, со­дер­жа­щие ребра DC и AB, пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а) По­строй­те се­че­ние плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку E — се­ре­ди­ну ребра DB, и па­рал­лель­но DC и AB. До­ка­жи­те, что по­лу­чив­ше­е­ся се­че­ние яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

б) Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми этого пря­мо­уголь­ни­ка, если DC = 24, AB =10

Ре­ше­ние.

а) По­стро­им пря­мые  такие что:  тогда  ис­ко­мое се­че­ние па­рал­ле­ло­грамм  По­ка­жем, что  пря­мо­уголь­ник:

б)  и  — се­ре­ди­на  тогда  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка  зна­чит  ана­ло­гич­но  Так как  пря­мо­уголь­ник, по­лу­ча­ем: