Задачи к зачету "Площадь треугольника" 8-9 класс

Задачи к зачету по теме «Площадь треугольника»

8-9 класс

      Данный подбор задач предназначен для подготовки к ОГЭ, а также для отработки темы «Площади».

Материал для ознакомления выдается за две недели до зачета, что позволяет учащимся заранее выявить проблемные области. В ходе консультаций решаются возникшие вопросы и трудности, обеспечивая всестороннюю поддержку учащимся.

На зачете каждому учащемуся раздаются карточки с номерами задач из предложенного списка, от 5 до 10 задач в неопределенном порядке. Это гарантирует, что все ученики получат разные задачи, тем самым исключая возможность списывания. Существует общий банк заданий, из которого формируются индивидуальные карточки, что позволяет учитывать уровень знаний каждого учащегося.

Материал подготовили

    учителя ГБОУ школы №962:

Арфикян Галина Петровна,

Ханина Елена Евгеньевна.

Зачет по теме «Площадь треугольника»

1	Какие из предложенных формул могут быть использованы в задачах по теме «Площадь треугольника»?
	1.      S = а · b; 2.     S =  · а·h; 3.      S = a · b ·Sin α; 4.     S =  · a · b; 5.     S =  · (a + b) · h; 6.      S = a · h; 7.     S = p · r, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной окружности; 8.    S =  · a · b · Sin α; 9.    S =  d1 · d2; 10. S =   , где R – радиус описанной окружности; 11. S = a2  ; 12. S =  , где p – полупериметр треугольника; 13.  =  , если h1 = h2; 14. S =  · d1· d2 Sinα; 15. S = a2; 16.  = , если α1=α2; 17. = k 2, где k – коэффициент подобия.
2	На клетчатой бумаге с размером 1×1 изображен треугольник. Найдите его площадь.
3	На клетчатой бумаге с размером 1×1 изображен треугольник. Найдите его площадь.
4	На клетчатой бумаге с размером 1×1 изображен треугольник. Найдите его площадь.
5	На клетчатой бумаге с размером 1×1 изображен треугольник. Найдите его площадь.
6	Сторона треугольника равна 18, а высота, проведенная к этой стороне,  равна 17. Найдите площадь этого треугольника.
7	Два катета прямоугольного треугольника равны 9 и 6. Найдите площадь этого треугольника.
8	Катеты прямоугольного треугольника как 3:4, а его площадь равна 96. Найдите меньший катет.
9	Площадь прямоугольного треугольника равна 69. Один из его катетов равен 23. Найдите другой катет.
10	Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4, а угол между боковыми сторонами равен 30 0 . Найдите площадь данного треугольника.
11	Найдите площадь треугольника,  две  стороны которого 43 и 6, а угол между ними 1500 .
12	Площадь треугольника ABC равна 168. М –середина АВ, N – середина ВС. Найдите площадь треугольника MBN.
13	Площадь прямоугольного треугольника равна 65. Один из его катетов на 3 больше другого. Найдите меньший катет.
14	Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13, а один из катетов равен 12. Найдите его площадь.
15	Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 25, а основание равно 30. Найдите площадь этого треугольника.
16	Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 300 . Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 81.
17	Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом при основании 150  и боковой стороной, равной 4.
18	BK – медиана треугольника ABC. Площадь треугольника  АВС равна 72. Найдите площадь треугольника ABK.
19	На стороне  AB треугольника ABC взяли точку М, которая делит сторону АВ в отношении 1:3, считая от вершина A. Площадь треугольника ABC равна 44. Найдите площадь треугольника AMC.
20	В треугоьнике ABC известно, что AB = 15, BC = 8, Sin ABC =  . Найдите площадь треугольника ABC.
21	Стороны треугольника равны 6 и 10. Высота, проведенная к меньшей стороне равна 7. Найдите высоту, проведенную к большей стороне.
22	Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.
23	Сторона правильного треугольника равна 2. Найдите его площадь. Ответ разделите на .
24	Биссектриса равностороннего треугольника равна 6 . Найдите площадь треугольника.
25	Площадь треугольника ABC равна 40. На стороне AB взяли точку N, а на стороне AC - точку  K. AB = 15, AN = 3, AC = 16, AK =4. Найдите площадь треугольника ANK.
26	Площадь треугольника равна 8 . Две стороны этого треугольника равны 4 и 8. Найдите угол между  данными сторона.
27	Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки 4 и 9. Найдите площадь этого треугольника.
28	Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника равна 6 . Найдите площадь данного треугольника.
29	Медина прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе равна 10, а один из катетов равен 16. Найдите площадь данного треугольника.
30	Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь треугольника.
31	Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус вписанной окружности.
32	Стороны треугольника равны 13, 14, 15. Найдите радиус вписанной окружности.
33	Стороны треугольника 10,10, 16. Найдите радиус описанной окружности.
34	Две стороны треугольника рвыны 27 и 29, а медиана, проведенная к третьей стороне равна 26. Найдите площадь треугольника.
35	Стороны треугольника 13, 14, 15. Окружность с центром на средней стороне касается двух других сторон. Найдите её радиус.
36	Сторона AB треугольника ABC равна 4 . Медиана AM равна . Угол BAC равен 450 . Найдите площадь треугольника АВС.
37	Площадь треугольника ABC равна 21. Сторона AB  равна 7.Медиана BK равна 3 . AK – наименьшая сторона треуголька              ABK. Найдите сторону AC треугольника ABC.
38	В треугольнике ABC со стороной AB равной 5 и  стороной BC   равной 4, проведена биссектриса BD. Найдите отношение площадей треугольников ABD и DBC.
39	В треугольнике ABC проведены медианы, пересекающиеся  в точке О. Площадь треугольника ABC равна 24. Найдите  площадь треугольника AOC.

1	Какие из предложенных формул могут быть использованы в задачах по теме «Площадь треугольника»?
	: 2, 4, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 16, 17.
2	На клетчатой бумаге с размером 1×1 изображен треугольник. Найдите его площадь. Ответ: 40
3	На клетчатой бумаге с размером 1×1 изображен треугольник. Найдите его площадь. Ответ: 17,5
4	На клетчатой бумаге с размером 1×1 изображен треугольник. Найдите его площадь. Ответ: 16
5	На клетчатой бумаге с размером 1×1 изображен треугольник. Найдите его площадь. Ответ: 22
6	Сторона треугольника равна 18, а высота, проведенная к этой стороне,  равна 17. Найдите площадь этого треугольника. Ответ: 153
7	Два катета прямоугольного треугольника равны 9 и 6. Найдите площадь этого треугольника. Ответ: 27
8	Катеты прямоугольного треугольника как 3:4, а его площадь равна 96. Найдите меньший катет. Решение. 96=  3х·4х; 6х2 = 96; х2 = 96 : 6; х2 = 16; х = 4, х ˃ 0, меньший катет равен 12. Ответ: 12
9	Площадь прямоугольного треугольника равна 69. Один из его катетов равен 23. Найдите другой катет. Ответ: 6
10	Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4, а угол между боковыми сторонами равен 30 0 . Найдите площадь данного треугольника. Решение. S = 4 · 4 · Sin 300 =  · 16 ·  = 4. Отве: 4
11	Найдите площадь треугольника,  две  стороны которого 43 и 6, а угол между ними 1500 . Решение. Sin 1500 =Sin 300 =  . S =  · 43 · 6 ·  = 64,5. Ответ: 64,5
12	Площадь треугольника ABC равна 168. М –середина АВ, N – середина ВС. Найдите площадь треугольника MBN. Решение. ΔABC   ̴ ΔNBM; S ΔABC : S ΔNBM = 4 : 1; S ΔNBM =168 : 4 = 42. Ответ: 42
13	Площадь прямоугольного треугольника равна 65. Один из его катетов на 3 больше другого. Найдите меньший катет.  Решение. Пусть меньший катет равен х, тогда больший катет равен х+3. Так как площадь равна 65, то составим уравнение:  х(х + 3)·  = 65; х2 + 3х -130 = 0; х = -13; х = 10. Меньший катет равен 10. Ответ: 10
14	Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13, а один из катетов равен 12. Найдите его площадь. Решение. Используя теорему Пмфагора, находим второй катет. Второй катет равен 5. S = 30. Ответ: 30
15	Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 25, а основание равно 30. Найдите площадь этого треугольника. Ответ: 300
16	Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 300 . Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 81. Решение. Пусть бковая сторона равнобедренного треугольника равна х. Так как известна его площадь, составим уравнение.  · х2 Sin 300  = 81; х2= 81· 4; х = 18; х˃0. Ответ: 18
17	Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом при основании 150  и боковой стороной, равной 4. Решение. Если угол при основании равен 150, то угол пр вершине равен 1800-(150+150)=1500. S =  · 4 · 4  =4. Ответ: 4
18	BK – медиана треугольника ABC. Площадь треугольника  АВС равна 72. Найдите площадь треугольника ABK. Решение. Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих по площади. S ΔABK =72 : 2 = 36. Ответ: 36
19	На стороне  AB треугольника ABC взяли точку М, которая делит сторону АВ в отношении 1:3, считая от вершина A. Площадь треугольника ABC равна 44. Найдите площадь треугольника AMC. Решение. Отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению сторон, к которым были проведены данные высоты. S ΔAMC = 44 : 4 =11. Ответ: 11
20	В треугоьнике ABC известно, что AB = 15, BC = 8, Sin ABC =  . Найдите площадь треугольника ABC. Решение. S ΔABC  =  · 15 · 8 ·  = 112,5. Ответ: 50
21	Стороны треугольника равны 6 и 10. Высота, проведенная к меньшей стороне равна 7. Найдите высоту, проведенную к большей стороне. Решение.  · 6 · 7 =  · 10 · h; h = 4,2. Ответ: 4,2
22	Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе. Решение. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10.  · 6 · 8 =  · 10 · h; h = 4,8. Ответ: 4,8
23	Сторона правильного треугольника равна 2. Найдите его площадь. Ответ разделите на . Решение. S = a2  ; Ответ: 3
24	Биссектриса равностороннего треугольника равна 6 . Найдите площадь треугольника. Ответ разделите на . Решение. Биссектриса равностороннего треугольника является его высотой. h= a ; 6 =  a ; а = 12; S = a2 S = 36. Ответ: 36
25	Площадь треугольника ABC равна 40. На стороне AB взяли точку N, а на стороне AC - точку  K. AB = 15, AN = 3, AC = 16, AK =4. Найдите площадь треугольника ANK. Решение.  =;  =; S ΔANK = 2. Ответ: 2
26	Площадь треугольника равна 8 . Две стороны этого треугольника равны 4 и 8. Найдите угол между  данными сторона. Решение. S =  · a · b · Sin α; 8  · 4· 8 · Sin α; Sin α = : α = 600. Ответ: 600
27	Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки 4 и 9. Найдите площадь этого треугольника. Решение. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой. h = ; h = 6; c = 4+9=13. S =  · 13 · 6 = 39  Ответ: 39
28	Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника равна 6 . Найдите площадь данного треугольника. Решение. Пусть каждый катет прямогольного треугольника равен х. Тогда, исползуя теорему Пифагора, получим х2 + х2 =(6 ) 2 ; х = 6. S =  · 6 · 6 = 18. Ответ: 18
29	Медина прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе равна 10, а один из катетов равен 16. Найдите площадь данного треугольника. Решение. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине  гипотенузы. Значит, гипотенуза равна 20, тогда второй катет равен 12, а площадь равна 96. Ответ: 96
30	Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь треугольника. Решение. S = p · r, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной окружности; S = 6 · 1 = 6. Ответ: 6
31	Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус вписанной окружности. Решение. h= a ; h= ·   = 1,5; r =  · 1,5 = 0,5. Ответ: 0,5
32	Стороны треугольника равны 13, 14, 15. Найдите радиус вписанной окружности. Решение. S =  , где p – полупериметр треугольника. p = (13+ 14 + 15): 2 = 21. S =   = 84; S = p · r, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной окружности; r = 84 : 21 = 4. Ответ: 4
33	Стороны треугольника 10,10, 16. Найдите радиус описанной окружности. Решение. Данный треугольник – равнобедренный, высота, проведенная  к основанию, равна 6.  S = 48. Найдем радиус описанной окружности, используя формулу: S =   , где R – радиус описанной окружности. 48 = ; R = 8. Ответ: 8
34	Две стороны треугольника рвыны 27 и 29, а медиана, проведенная к третьей стороне равна 26. Найдите площадь треугольника. Решение. Продолжим медиану BK на отрезок KN, равный BK. Получим два равновеликих треугольника ABC и NBC (BC – общая сторона, AH -общая высота, так как ABCN – параллелограмм, его диагонали разделились пополам). BN =52, BC =29, NC =AB = 27. По формуле Герона найдем  площадь треугольника BNC.   S =  , где p – полупериметр треугольника. p = (29+ 27 + 52): 2 = 54. S =   = 270. S ΔBNC = S ΔBAC = 270. Ответ: 270
35	Стороны треугольника 13, 14, 15. Окружность с центром на средней стороне касается двух других сторон. Найдите её радиус.   Решение. Проведем OK= OH = R, где K и H – точки касания окружности сторон треугольника. Отрезок OB разбивает треугольник ABC на два треугольника AOB и BOC. S ΔABC = S ΔBAO  +S ΔBOC . S =  , где p – полупериметр треугольника. p = (13+ 14 + 15): 2 = 21. S =   = 84; 84 =  · 13 · R +  · 15 · R. OK и  OH – высоты треугольников AOB и BOC. 84 =  · R · ( 13+15); R = 6. Ответ: 6
36	Сторона AB треугольника ABC равна 4 . Медиана AM равна . Угол BAC равен 450 . Найдите площадь треугольника АВС.   Решение. Проведем высоту BH. Получим прямоугольный треугольник ABH со стороной, равной 4 (гипотенуза прямоугольного треугольника равна a , где a  - катет равнобедренного прямоугольного треугольника). BH = 4. Проведем  MK ⊥ AC. BH || MK, по теореме Фалеса HK = KC. MK = 2, как средняя линия треугольника HBC. В треугольнике AMK найдем катет AK из теоремы Пифагора. AK =  = 5; HK = 5 -4 =1, KC = 1. S ABC =  · 6 · 4 = 12. Ответ: 12
37	Площадь треугольника ABC равна 21. Сторона AB  равна 7.Медиана BK равна 3 . AK – наименьшая сторона треуголька ABK. Найдите сторону AC треугольника ABC.  Решение. Медиана треугольника делит его на два треугольника, равновеликих по площади. ; S ABK =  ; S ABK  = =  · 3 Sin α;    =  ·  ·3 Sin α; Sin α = ; α = 450. По теореме косинусов найдем сторону  AK. AK 2= 49 + 18 – 2 · 7 · 3 Cos450 ; AK 2 = 25; AK = 5, AС = 10. Ответ: 10
38	В треугольнике ABC со стороной AB равной 5 и  стороной BC   равной 4, проведена биссектриса BD. Найдите отношение площадей треугольников ABD и DBC.   Решение. Биссектрисса треугольника делит противоположную сторону на части, которые пропорциональны прилегающим сторонам.  =  =  =  = 1,25. Ответ: 1,25
39	В треугольнике ABC проведены медианы, пересекающиеся  в точке О. Площадь треугольника ABC равна 24. Найдите  площадь треугольника AOC.   Решение. Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольника. S AOD = 24 : 6 = 4. S AOС = 2 · S AOD = 2 · 4 = 8. Ответ: 8