Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Задачи на нахождение площади поверхности и объема. (подготовка к итоговой аттестации)

Задачи на нахождение площади поверхности и объема. (подготовка к итоговой аттестации)


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Консультации, 11 класс, Подготовка к ЕГЭ Жаркова Е.И.

Задачи на нахождение площади поверхности и объема.

hello_html_m18ad2d61.png



  1. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра,

радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.



hello_html_m5d0ad1a6.png

  1. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см.

Боковые ребра равны 4 см.Найдите объем цилиндра,

описанного около этой призмы.





hello_html_612850fc.png

  1. В прямоугольный параллелепипед вписан шар радиуса 1 см. Найдите объем параллелепипеда.







  1. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 12 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 2 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.


  1. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

hello_html_1a8104b7.png

  1. Через среднюю линию основания

треугольной призмы, объем которой равен 32,

проведена плоскость, параллельная боковому

ребру. Найдите объем отсеченной треугольной

призмы.


hello_html_761670e0.jpg



  1. Во сколько раз увеличится площадь поверхности

октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?




hello_html_1d72d1ed.png




  1. Объем параллелепипеда равен 9.

Найдите объем треугольной пирамиды ABDA1.




  1. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной

пирамиды, основанием которой является грань куба,

а вершиной — центр куба.




  1. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10 см. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.


  1. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен hello_html_m323b49ff.gif.

  2. Найдите объем конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов.

hello_html_m7f00ac31.png

  1. Найдите объем призмы, в основаниях которой

лежат правильные шестиугольники со сторонами

2, а боковые ребра равны 2hello_html_m323b49ff.gifи наклонены

к плоскости основания под углом 30 градусов.


hello_html_m779d927e.png

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна hello_html_m789c5e7.gif

и образует углы 30, 30 и 45 градусов с плоскостями

граней параллелепипеда.

Найдите объем параллелепипеда.



  1. hello_html_m15d9eef6.png

Объем треугольной пирамиды равен 15.

Плоскость проходит через сторону основания этой

пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро

в точке, делящей его в отношении 1 :2 ,

считая от вершины пирамиды.

Найдите больший из объемов пирамид, на которые

плоскость разбивает исходную пирамиду.




Решения


Задача 14.

Проекцией диагонали hello_html_m4ebf43bf.pngна нижнее основание будет отрезок hello_html_m2d3592db.png. Пусть диагональ образует угол hello_html_3af8b27d.pngградусов именно с плоскостью нижнего основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_m511c7457.png. По теореме Пифагора, hello_html_m56dae7ed.png. Итак, мы нашли высоту параллелепипеда.

Проекцией hello_html_m4ebf43bf.pngна переднюю грань будет отрезок hello_html_73effe12.png.
Из прямоугольного треугольника hello_html_m228b8da3.pngнайдем hello_html_m37186bc3.png. Мы нашли ширину параллелепипеда. А его длина (то есть отрезок hello_html_m1bb7ec43.png) находится аналогично. Она тоже равна hello_html_m6a2653c4.png. Объем параллелепипеда равен hello_html_m30cb901a.png.

Ответ: hello_html_4d2f24bb.png.

Задача 15.

Эта задача hello_html_40916207.pngуже поинтереснее — ей и до hello_html_m6ba9437e.pngнедалеко. Прежде всего, что значит «точка делит боковое ребро в отношении hello_html_1faebe10.png, считая от вершины»? Это значит, что она делит его на отрезки, длины которых hello_html_m38b1bd83.pngи hello_html_m106553c0.png.

Плоскость hello_html_768d516b.pngделит пирамиду hello_html_m2523ab06.pngна две. У пирамид hello_html_m3ce5840c.pngи hello_html_m2523ab06.pngобщее основание hello_html_m7a1b2b75.png. Ясно, что отношение их объемов равно отношению высот.

Пhello_html_5a3becb0.pngроведем перпендикуляры hello_html_4181cf7b.pngи hello_html_m140eeea8.pngк плоскости основания пирамиды. hello_html_4181cf7b.png— высота пирамиды ABC\mkern -2muS, hello_html_m140eeea8.png— высота пирамиды hello_html_m3ce5840c.png. Очевидно, что отрезок hello_html_4181cf7b.pngпараллелен отрезку hello_html_m140eeea8.png, поскольку два перпендикуляра к одной плоскости параллельны друг другу. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, причем только одну. Итак, точки hello_html_m148b612.pngи hello_html_m725e953f.pngлежат в одной плоскости, то есть мы от стереометрической задачи перешли к плоской, планиметрической.

Треугольники hello_html_1503f833.pngи hello_html_m289978b2.pngподобны, hello_html_m4152d843.png.

Значит, hello_html_79b4dbd7.png. Объем пирамиды hello_html_m3ce5840c.pngравен hello_html_23f606ca.pngобъема пирамиды hello_html_m2523ab06.png.

Ответ: hello_html_m4017746c.png.

Ответы; №1. 4, №2 100, №3 8, №4 3, №5 2, №6 8, №8 1.5, №9 2, № 10 12, №11 3, №12 1, № 13 18


57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 02.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров391
Номер материала ДВ-116835
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх