Задачи
на смеси и сплавы. Подготовка к ЕГЭ и ГИА.
Задачи на смеси и сплавы при первом
знакомстве с ними вызывают у учащихся общеобразовательных классов затруднения.
Самостоятельно справиться с ними могут немногие.
Задачи на смеси и сплавы, ранее
встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и
олимпиадах, сейчас включены в сборники для подготовки к ЕГЭ и ГИА. Эти задачи,
имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления
учащихся.
Трудности при решении этих задач
могут возникать на различных этапах:
·
составления математической модели (уравнения,
системы уравнений, неравенства и т. п.;
·
решения полученной модели;
·
анализа математической модели (по причине кажущейся
ее неполноты: не хватает уравнения в системе и пр.).
Все сложности преодолимы при
тщательном анализе задачи. Этому способствуют чертежи, схемы, таблицы и пр.
Каждый учащийся сам для себя делает вывод об уровне сложности той или иной
задачи и месте, где эта сложность возникает.
Основными компонентами в этих
задачах являются:
- масса раствора (смеси, сплава);
- масса вещества;
- доля (% содержание) вещества.
Теоретические
сведения.
m1 – масса первой смеси (сплава)
m2 – масса второй смеси (сплава)
р1 – концентрация некоторого вещества в
первой смеси (сплаве)
р2 - концентрация этого вещества во второй
смеси (сплаве)
р – концентрация этого
вещества в новой смеси (сплаве)
m1+m2 масса новой смеси (сплава)
р1m1+р2m2=р(m1+m2)
Примечание
С математической точки зрения растворы,
смеси, сплавы не отличаются друг от друга. Поэтому доля или процентное
содержание одного вещества в растворе, смеси, сплаве определяются по одному
правилу.
Выделение
основных компонентов в задачах
При решении большинства задач этого
вида, с моей точки зрения, удобнее использовать таблицу, которая
нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие
определенного расположения величин в таблице дает дополнительную информацию,
облегчающую процесс решения задачи и её проверки.
Таблица для решения задач имеет
следующий вид:
Наименование веществ, растворов, смесей,
сплавов
|
% содержание вещества (доля содержания
вещества)
|
Масса раствора (смеси, сплава)
|
Масса вещества
|
|
|
|
|
Рассмотрим решения задач с
применением таблицы.
Задача 1. Смешали 4 л 15%-ного раствора соли с 5
л 20%-ного соли к смеси добавили 1 л чистой воды. Какова концентрация
полученной смеси?
Решение.
Наименование
веществ, смесей
|
%
содержание (доля) вещества
|
Масса
раствора (л)
|
Масса
вещества (л)
|
I раствор
|
15 %
= 0,15
|
4
|
0,15·4
|
II раствор
|
20 %
= 0,2
|
5
|
0,2·5
|
вода
|
0%
|
1
|
0
|
Смесь
|
х % =
0,01х
|
10
|
0,01х·10
|
Уравнение для решения задачи имеет вид:
0,15·4 + 0,2·5=0,01х·10
0,1х = 1,6
х = 16
Ответ: концентрация смеси 16 %.
Задача 2. Смешав 40 % и 15
% растворы кислоты, добавили 3 кг чистой воды и получили 20 % раствор кислоты.
Если бы вместо 3 кг воды добавили 3 кг 80 %раствора той же кислоты, то получили
бы 50 %-ый раствор кислоты. Сколько килограммов 40 % -го и 15 %растворов
кислоты было смешано?
Решение.
Наименование
веществ, смесей
|
%
содержание (доля) вещества
|
Масса
раствора (кг)
|
Масса
вещества (кг)
|
I раствор
|
40 %
= 0,4
|
х
|
0,4х
|
II раствор
|
15 %
= 0,15
|
у
|
0,15у
|
Вода
|
0%
|
3
|
0%
|
Смесь I
|
20 %
= 0,2
|
х + у
+3
|
0,2(х
+ у +3)
|
Получаем уравнение:0,4х + 0,15у = 0,2(х + у +3)
Выполним вторую операцию:
I раствор
|
40 %
= 0,4
|
х
|
0,4х
|
II раствор
|
15 %
= 0,15
|
у
|
0,15у
|
Кислота
|
80 %
= 0,8
|
3
|
0,8·3
|
Смесь II
|
50 %
= 0,5
|
х + у
+3
|
0,5(х
+ у +3)
|
Итак, 0,4х + 0,15у + 0,8·3 = 0,5(х + у +3).
Для решения задачи получаем систему уравнений:
Решаем систему уравнений:
Ответ:3,4 кг 40 % кислоты и 1,6
кг 15 % кислоты.
Задача 3. Имеется три
сосуда. В первый сосуд налили 4 кг 70 % сахарного сиропа, а во второй – 6
кг 40 % сахарного сиропа. Если содержимое первого сосуда смешать с содержимым
третьего сосуда, то получим в смеси 55 % содержание сахара, а если содержимое
второго сосуда смешать с третьим, то получим 35 % содержание сахара. Найдите
массу сахарного сиропа в третьем сосуде сиропа и концентрацию сахара в нем.
Решение.
Наименование
веществ, смесей
|
%
содержание (доля) вещества
|
Масса
раствора
(кг)
|
Масса
вещества (кг)
|
I сосуд
|
70 %
= 0,7
|
4
|
0,7·4=2,8
|
II сосуд
|
40 %
= 0,4
|
6
|
0,4·6
= 2,4
|
III сосуд
|
у % =
0,01у
|
х
|
0,01ху
|
I и III сосуды
|
55 %
= 0,55
|
4+х
|
0,55(4+х)
или
2,8+0,01ху
|
II и III сосуды
|
35 %
= 0,35
|
6+х
|
0,35(6+х)
или
2,4+0,01ху
|
Итак, получаем систему уравнений :
Решаем её:
Ответ :1,5 кг сахарного сиропа 15 % концентрации.
Задача 4. Сплав
меди и олова массой 10 кг содержит 70% олова. К этому сплаву добавили 8
кг меди. Сколько нужно добавить килограмм олова, чтобы его концентрация стала
в 3 раза больше, чем концентрация меди?
Решение.
Наименование
веществ, смесей
|
%
содержание (доля) олова
|
Масса
сплава (кг)
|
Масса
олова (кг)
|
I сплав
|
70 %
= 0,7
|
10
|
0,7·10=7
|
медь
|
0%
|
8
|
0
|
олово
|
100%=1
|
х
|
х
|
II сплав
|
75 %
= 0,75
|
18+х
|
0,75(18+х)
|
Пусть концентрация меди равна t%, тогда концентрация олова 3t%, так как суммарная
концентрация меди и олова должна быть равной 100% (других компонентов в сплаве
нет), имеем уравнение t + 3t = 100,
откуда концентрация меди равна 25%, а концентрация олова равна 75%.
7+х=0,75(18+х)
7+х=13,5+0,75х
0,25х = 6,5;
х = 26.
Ответ: 26
кг.
Задача 5. Первоначально
влажность зерна составляла 25%. После того как 200
кг зерна просушили, оно потеряло в массе 30
кг. Вычислить влажность просушенного зерна.
Решение. В данной ситуации мы имеем дело не с раствором, а со
смесью "твердого" зерна и воды. Запишем условие задачи в виде
таблицы, учитывая тот факт, что сушка приводит к уменьшению массы воды в смеси
и массу самой смеси.
Наименование
веществ, смесей
|
%
содержание (доля) олова
|
Масса
сплава (кг)
|
Масса
вещества (кг)
|
I смесь
|
25 %
= 0,25
|
200
|
0,25·200=50
|
вода
|
100%=1
|
30
|
30
|
II смесь
|
х % =
0,01х
|
170
|
1,7х
|
Составляем
уравнение:
50-30=1,7х
Ответ:
11,8%
Задача 6. Имеются два
сплава, состоящие из золота и меди. В первом сплаве отношение масс золота и
меди равно 8 :3, а во втором - 12 :5. Сколько килограммов золота и меди
содержится в сплаве, приготовленном из 121
кг первого сплава и 255 кг второго сплава?
Решение.
Наименование
веществ, смесей
|
Доля
вещества
|
Масса
сплава
(кг)
|
Масса
вещества (кг)
|
золото
|
медь
|
всего
|
золото
Мз
|
медь
Мм
|
I сплав
|
8
|
3
|
11
|
121
|
·121
|
·121
или
121- Мз
|
II сплав
|
12
|
5
|
17
|
255
|
·255
|
255-
Мз
|
III сплав
|
-
|
-
|
-
|
376
|
Сумма
I и II сплавов
|
Сумма
I и II сплавов
|
·121 = 88 (кг)
– масса золота в I сплаве
·255 = 180 (кг)
масса золота в II сплаве
121+255=376 (кг) – масса III сплава
88+180=268 (кг) -масса золота в III сплаве
376-268=108 (кг) масса меди в III сплаве
Ответ :268 кг золота и 108
кг меди.
Задача 7. Одна смесь
содержит вещества А и В в отношении 4 :5, а другая смесь содержит те же
вещества, но в отношении 6 :7. Сколько частей каждой смеси надо взять, чтобы
получить третью смесь, содержащую те же вещества в отношении 5 :6.
Наименование
веществ, смесей
|
Доля
вещества в смеси
|
Масса
смеси
(кг)
|
Масса
вещества (кг)
|
А
|
В
|
всего
|
А
|
В
|
I смесь
|
4
|
5
|
9
|
х
|
х
|
х
|
II смесь
|
6
|
7
|
13
|
у
|
у
|
у
|
III смесь
|
5
|
6
|
|
х+ у
|
х + у
|
х + у
|
По условию задачи А :В = 5 :6, тогда
В данном случае получилось одно уравнение с двумя переменными.
Решаем уравнение относительно .Получим =.
Ответ : 9 частей первой смеси и 13 частей второй смеси.
Заключение.
Решение задач на “растворы, смеси и сплавы” являются хорошим
накоплением опыта решения задач. В заключении очень полезно дать учащимся
составить свои задачи. При этом получаются задачи и не имеющие решения, это
позволяет им моделировать реальные ситуации и процессы в жизни. Такой вид
работы делает мышление учащихся оперативным, воспитывает творческое отношение к
тем задачам, которые ставит жизнь, учит учащихся прогнозированию.
В задачах этого типа прослеживается системный подход к решению
задач. Происходит успешная отработка и закрепление интеллектуальных
умений(анализ, синтез, аналогия, обобщение, конкретизация и т.д.).
Опыт показал, что учащиеся не знавшие вначале, как подойти к
решению этих задач, в конце успешно их решали.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.