Задачи на смеси и сплавы - подготовка к ЕГЭ

Задачи на смеси и сплавы. Подготовка к ЕГЭ и ГИА.

Задачи на смеси и сплавы при первом знакомстве с ними вызывают у учащихся общеобразовательных классов затруднения. Самостоятельно справиться с ними могут немногие.

Задачи на смеси и сплавы, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в сборники для подготовки к ЕГЭ и ГИА. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся.

Трудности при решении этих задач могут возникать на различных этапах:

·  составления математической модели (уравнения, системы уравнений, неравенства и т. п.;

·  решения полученной модели;

·  анализа математической модели (по причине кажущейся ее неполноты: не хватает уравнения в системе и пр.).

Все сложности преодолимы при тщательном анализе задачи. Этому способствуют чертежи, схемы, таблицы и пр. Каждый учащийся сам для себя делает вывод об уровне сложности той или иной задачи и месте, где эта сложность возникает.

Основными компонентами в этих задачах являются:

• масса раствора (смеси, сплава);
• масса вещества;
• доля (% содержание) вещества.

Теоретические сведения.

m₁ – масса первой смеси (сплава)

m₂ – масса второй смеси (сплава)

р₁ – концентрация некоторого вещества в первой смеси (сплаве)

р₂ - концентрация этого вещества во второй смеси (сплаве)

р – концентрация этого вещества в новой смеси (сплаве)

m₁+m₂ масса новой смеси (сплава)

р₁m₁+р₂m₂=р(m₁+m₂)

Примечание

С математической точки зрения растворы, смеси, сплавы не отличаются друг от друга. Поэтому доля или процентное содержание одного вещества в растворе, смеси, сплаве определяются по одному правилу.

Выделение основных компонентов в задачах

При решении большинства задач этого вида, с моей точки зрения, удобнее использовать таблицу, которая нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие определенного расположения величин в таблице дает дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задачи и её проверки.

Таблица для решения задач имеет следующий вид:

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	% содержание вещества (доля содержания вещества)	Масса раствора (смеси, сплава)	Масса вещества

Рассмотрим решения задач с применением таблицы.

Задача 1. Смешали 4 л 15%-ного раствора соли с 5 л 20%-ного соли к смеси добавили 1 л чистой воды. Какова концентрация полученной смеси?

Решение.

Наименование веществ, смесей	% содержание (доля) вещества	Масса раствора (л)	Масса вещества (л)
I раствор	15 % = 0,15	4	0,15·4
II раствор	20 % = 0,2	5	0,2·5
вода	0%	1	0
Смесь	х % = 0,01х	10	0,01х·10

Уравнение для решения задачи имеет вид:

0,15·4 + 0,2·5=0,01х·10

0,1х = 1,6

х = 16

Ответ: концентрация смеси 16 %.

Задача 2. Смешав 40 % и 15 % растворы кислоты, добавили 3 кг чистой воды и получили 20 % раствор кислоты. Если бы вместо 3 кг воды добавили 3 кг 80 %раствора той же кислоты, то получили бы 50 %-ый раствор кислоты. Сколько килограммов 40 % -го и 15 %растворов кислоты было смешано?

Решение.

Наименование веществ, смесей	% содержание (доля) вещества	Масса раствора (кг)	Масса вещества (кг)
I раствор	40 % = 0,4	х	0,4х
II раствор	15 % = 0,15	у	0,15у
Вода	0%	3	0%
Смесь I	20 % = 0,2	х + у +3	0,2(х + у +3)

Получаем уравнение:0,4х + 0,15у = 0,2(х + у +3)

Выполним вторую операцию:

I раствор	40 % = 0,4	х	0,4х
II раствор	15 % = 0,15	у	0,15у
Кислота	80 % = 0,8	3	0,8·3
Смесь II	50 % = 0,5	х + у +3	0,5(х + у +3)

Итак, 0,4х + 0,15у + 0,8·3 = 0,5(х + у +3).

Для решения задачи получаем систему уравнений:

Решаем систему уравнений:

Ответ:3,4 кг 40 % кислоты и 1,6 кг 15 % кислоты.

Задача 3. Имеется три сосуда. В первый сосуд налили 4 кг 70 % сахарного сиропа, а во второй – 6 кг 40 % сахарного сиропа. Если содержимое первого сосуда смешать с содержимым третьего сосуда, то получим в смеси 55 % содержание сахара, а если содержимое второго сосуда смешать с третьим, то получим 35 % содержание сахара. Найдите массу сахарного сиропа в третьем сосуде сиропа и концентрацию сахара в нем.

Решение.

Наименование веществ, смесей	% содержание (доля) вещества	Масса раствора (кг)	Масса вещества (кг)
I сосуд	70 % = 0,7	4	0,7·4=2,8
II сосуд	40 % = 0,4	6	0,4·6 = 2,4
III сосуд	у % = 0,01у	х	0,01ху
I и III сосуды	55 % = 0,55	4+х	0,55(4+х) или 2,8+0,01ху
II и III сосуды	35 % = 0,35	6+х	0,35(6+х) или 2,4+0,01ху

Итак, получаем систему уравнений :

Решаем её:

Ответ :1,5 кг сахарного сиропа 15 % концентрации.

Задача 4. Сплав меди и олова массой 10 кг содержит 70% олова. К этому сплаву добавили 8 кг меди. Сколько нужно добавить килограмм олова, чтобы его концентрация стала в 3 раза больше, чем концентрация меди?

Решение.

Наименование веществ, смесей	% содержание (доля) олова	Масса сплава (кг)	Масса олова (кг)
I сплав	70 % = 0,7	10	0,7·10=7
медь	0%	8	0
олово	100%=1	х	х
II сплав	75 % = 0,75	18+х	0,75(18+х)

Пусть концентрация меди равна t%, тогда концентрация олова 3t%, так как суммарная концентрация меди и олова должна быть равной 100% (других компонентов в сплаве нет), имеем уравнение t + 3t = 100, откуда концентрация меди равна 25%, а концентрация олова равна 75%.

7+х=0,75(18+х)

7+х=13,5+0,75х

0,25х  =  6,5;

 х  =  26.

Ответ: 26 кг.

Задача 5. Первоначально влажность зерна составляла 25%. После того как 200 кг зерна просушили, оно потеряло в массе 30 кг. Вычислить влажность просушенного зерна.

Решение. В данной ситуации мы имеем дело не с раствором, а со смесью "твердого" зерна и воды. Запишем условие задачи в виде таблицы, учитывая тот факт, что сушка приводит к уменьшению массы воды в смеси и массу самой смеси.

Наименование веществ, смесей	% содержание (доля) олова	Масса сплава (кг)	Масса вещества (кг)
I смесь	25 % = 0,25	200	0,25·200=50
вода	100%=1	30	30
II смесь	х % = 0,01х	170	1,7х

Составляем уравнение:

50-30=1,7х

Ответ: 11,8%

Задача 6. Имеются два сплава, состоящие из золота и меди. В первом сплаве отношение масс золота и меди равно 8 :3, а во втором - 12 :5. Сколько килограммов золота и меди содержится в сплаве, приготовленном из 121 кг первого сплава и 255 кг второго сплава?

Решение.

Наименование веществ, смесей	Доля вещества			Масса сплава (кг)	Масса вещества (кг)
	золото	медь	всего		золото Мз	медь Мм
I сплав	8	3	11	121	·121	·121 или 121- Мз
II сплав	12	5	17	255	·255	255- Мз
III сплав	-	-	-	376	Сумма I и II сплавов	Сумма I и II сплавов

·121 = 88 (кг) – масса золота в I сплаве

·255 = 180 (кг) масса золота в II сплаве

121+255=376 (кг) – масса III сплава

88+180=268 (кг) -масса золота в III сплаве

376-268=108 (кг) масса меди в III сплаве

Ответ :268 кг золота и 108 кг меди.

Задача 7. Одна смесь содержит вещества А и В в отношении 4 :5, а другая смесь содержит те же вещества, но в отношении 6 :7. Сколько частей каждой смеси надо взять, чтобы получить третью смесь, содержащую те же вещества в отношении 5 :6.

Наименование веществ, смесей	Доля вещества в смеси			Масса смеси (кг)	Масса вещества (кг)
	А	В	всего		А	В
I смесь	4	5	9	х	х	х
II смесь	6	7	13	у	у	у
III смесь	5	6		х+ у	х + у	х + у

По условию задачи А :В = 5 :6, тогда

В данном случае получилось одно уравнение с двумя переменными.

        

Решаем уравнение относительно .Получим =.

Ответ : 9 частей первой смеси и 13 частей второй смеси.

Заключение.

Решение задач на “растворы, смеси и сплавы” являются хорошим накоплением опыта решения задач. В заключении очень полезно дать учащимся составить свои задачи. При этом получаются задачи и не имеющие решения, это позволяет им моделировать реальные ситуации и процессы в жизни. Такой вид работы делает мышление учащихся оперативным, воспитывает творческое отношение к тем задачам, которые ставит жизнь, учит учащихся прогнозированию.

В задачах этого типа прослеживается системный подход к решению задач. Происходит успешная отработка и закрепление интеллектуальных умений(анализ, синтез, аналогия, обобщение, конкретизация и т.д.).

Опыт показал, что учащиеся не знавшие вначале, как подойти к решению этих задач, в конце успешно их решали.