Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Задачи на смеси и сплавы - подготовка к ЕГЭ
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Задачи на смеси и сплавы - подготовка к ЕГЭ

библиотека
материалов

Задачи на смеси и сплавы. Подготовка к ЕГЭ и ГИА.

Задачи на смеси и сплавы при первом знакомстве с ними вызывают у учащихся общеобразовательных классов затруднения. Самостоятельно справиться с ними могут немногие.

Задачи на смеси и сплавы, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в сборники для подготовки к ЕГЭ и ГИА. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся.

Трудности при решении этих задач могут возникать на различных этапах:

  • составления математической модели (уравнения, системы уравнений, неравенства и т. п.;

  • решения полученной модели;

  • анализа математической модели (по причине кажущейся ее неполноты: не хватает уравнения в системе и пр.).

Все сложности преодолимы при тщательном анализе задачи. Этому способствуют чертежи, схемы, таблицы и пр. Каждый учащийся сам для себя делает вывод об уровне сложности той или иной задачи и месте, где эта сложность возникает.

Основными компонентами в этих задачах являются:

  • масса раствора (смеси, сплава);

  • масса вещества;

  • доля (% содержание) вещества.

Теоретические сведения.

m1 – масса первой смеси (сплава)

m2 – масса второй смеси (сплава)

р1 – концентрация некоторого вещества в первой смеси (сплаве)

р2 - концентрация этого вещества во второй смеси (сплаве)

р – концентрация этого вещества в новой смеси (сплаве)

m1+m2 масса новой смеси (сплава)

р1m12m2=р(m1+m2)

Примечание

С математической точки зрения растворы, смеси, сплавы не отличаются друг от друга. Поэтому доля или процентное содержание одного вещества в растворе, смеси, сплаве определяются по одному правилу.

Выделение основных компонентов в задачах

При решении большинства задач этого вида, с моей точки зрения, удобнее использовать таблицу, которая нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие определенного расположения величин в таблице дает дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задачи и её проверки.

Таблица для решения задач имеет следующий вид:

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов

% содержание вещества (доля содержания вещества)

Масса раствора (смеси, сплава)

Масса вещества

 

 

 

 

Рассмотрим решения задач с применением таблицы.

Задача 1. Смешали 4 л 15%-ного раствора соли с 5 л 20%-ного соли к смеси добавили 1 л чистой воды. Какова концентрация полученной смеси?

Решение.

Наименование веществ, смесей

% содержание (доля) вещества

Масса раствора (л)

Масса вещества (л)

I раствор

15 % = 0,15

4

0,15·4

II раствор

20 % = 0,2

5

0,2·5

вода

0%

1

0

Смесь

х % = 0,01х

10

0,01х·10

Уравнение для решения задачи имеет вид:

0,15·4 + 0,2·5=0,01х·10

0,1х = 1,6

х = 16

Ответ: концентрация смеси 16 %.

Задача 2. Смешав 40 % и 15 % растворы кислоты, добавили 3 кг чистой воды и получили 20 % раствор кислоты. Если бы вместо 3 кг воды добавили 3 кг 80 %раствора той же кислоты, то получили бы 50 %-ый раствор кислоты. Сколько килограммов 40 % -го и 15 %растворов кислоты было смешано?

Решение.

Наименование веществ, смесей

% содержание (доля) вещества

Масса раствора (кг)

Масса вещества (кг)

I раствор

40 % = 0,4

х

0,4х

II раствор

15 % = 0,15

у

0,15у

Вода

0%

3

0%

Смесь I

20 % = 0,2

х + у +3

0,2(х + у +3)

Получаем уравнение:0,4х + 0,15у = 0,2(х + у +3)

Выполним вторую операцию:

I раствор

40 % = 0,4

х

0,4х

II раствор

15 % = 0,15

у

0,15у

Кислота

80 % = 0,8

3

0,8·3

Смесь II

50 % = 0,5

х + у +3

0,5(х + у +3)

Итак, 0,4х + 0,15у + 0,8·3 = 0,5(х + у +3).

Для решения задачи получаем систему уравнений:

Image187

Решаем систему уравнений:

Image188

Ответ:3,4 кг 40 % кислоты и 1,6 кг 15 % кислоты.

Задача 3. Имеется три сосуда. В первый сосуд налили 4 кг 70 % сахарного сиропа, а во второй – 6 кг 40 % сахарного сиропа. Если содержимое первого сосуда смешать с содержимым третьего сосуда, то получим в смеси 55 % содержание сахара, а если содержимое второго сосуда смешать с третьим, то получим 35 % содержание сахара. Найдите массу сахарного сиропа в третьем сосуде сиропа и концентрацию сахара в нем.

Решение.

Наименование веществ, смесей

% содержание (доля) вещества

Масса раствора

(кг)

Масса вещества (кг)

I сосуд

70 % = 0,7

4

0,7·4=2,8

II сосуд

40 % = 0,4

6

0,4·6 = 2,4

III сосуд

у % = 0,01у

х

0,01ху

I и III сосуды

55 % = 0,55

4+х

0,55(4+х)

или

2,8+0,01ху

II и III сосуды

35 % = 0,35

6+х

0,35(6+х)

или

2,4+0,01ху

Итак, получаем систему уравнений :

Image189

Решаем её:

Image190

Ответ :1,5 кг сахарного сиропа 15 % концентрации.

Задача 4. Сплав меди и олова массой 10 кг содержит 70% олова. К этому сплаву добавили 8 кг меди. Сколько нужно добавить килограмм олова, чтобы его концентрация стала в 3 раза больше, чем концентрация меди?

Решение.

Наименование веществ, смесей

% содержание (доля) олова

Масса сплава (кг)

Масса олова (кг)

I сплав

70 % = 0,7

10

0,7·10=7

медь

0%

8

0

олово

100%=1

х

х

II сплав

75 % = 0,75

18+х

0,75(18+х)


Пусть концентрация меди равна t%, тогда концентрация олова 3t%, так как суммарная концентрация меди и олова должна быть равной 100% (других компонентов в сплаве нет), имеем уравнение t + 3t = 100, откуда концентрация меди равна 25%, а концентрация олова равна 75%.

7+х=0,75(18+х)

7+х=13,5+0,75х

0,25х  =  6,5;

 х  =  26.

Ответ: 26 кг.

Задача 5. Первоначально влажность зерна составляла 25%. После того как 200 кг зерна просушили, оно потеряло в массе 30 кг. Вычислить влажность просушенного зерна.

Решение. В данной ситуации мы имеем дело не с раствором, а со смесью "твердого" зерна и воды. Запишем условие задачи в виде таблицы, учитывая тот факт, что сушка приводит к уменьшению массы воды в смеси и массу самой смеси.

Наименование веществ, смесей

% содержание (доля) олова

Масса сплава (кг)

Масса вещества (кг)

I смесь

25 % = 0,25

200

0,25·200=50

вода

100%=1

30

30

II смесь

х % = 0,01х

170

1,7х

Составляем уравнение:

50-30=1,7х

Ответ: 11,8%

Задача 6. Имеются два сплава, состоящие из золота и меди. В первом сплаве отношение масс золота и меди равно 8 :3, а во втором - 12 :5. Сколько килограммов золота и меди содержится в сплаве, приготовленном из 121 кг первого сплава и 255 кг второго сплава?

Решение.

Наименование веществ, смесей

Доля вещества

Масса сплава

(кг)

Масса вещества (кг)

золото

медь

всего

золото

Мз

медь

Мм

I сплав

8

3

11

121

Image191·121

Image192·121

или

121- Мз

II сплав

12

5

17

255

Image193·255

255- Мз

III сплав

-

-

-

376

Сумма I и II сплавов

Сумма I и II сплавов

Image191·121 = 88 (кг) – масса золота в I сплаве

Image193·255 = 180 (кг) масса золота в II сплаве

121+255=376 (кг) – масса III сплава

88+180=268 (кг) -масса золота в III сплаве

376-268=108 (кг) масса меди в III сплаве

Ответ :268 кг золота и 108 кг меди.



Задача 7. Одна смесь содержит вещества А и В в отношении 4 :5, а другая смесь содержит те же вещества, но в отношении 6 :7. Сколько частей каждой смеси надо взять, чтобы получить третью смесь, содержащую те же вещества в отношении 5 :6.

Наименование веществ, смесей

Доля вещества в смеси

Масса смеси

(кг)

Масса вещества (кг)

А

В

всего

А

В

I смесь

4

5

9

х

Image194х

Image195х

II смесь

6

7

13

у

Image196у

Image197у

III смесь

5

6

 

х+ у

Image194х + Image196у

Image195х + Image197у

По условию задачи А :В = 5 :6, тогда

Image198

В данном случае получилось одно уравнение с двумя переменными.

Image199Image200

Решаем уравнение относительно Image201.Получим Image201=Image202.

Ответ : 9 частей первой смеси и 13 частей второй смеси.

Заключение.

Решение задач на “растворы, смеси и сплавы” являются хорошим накоплением опыта решения задач. В заключении очень полезно дать учащимся составить свои задачи. При этом получаются задачи и не имеющие решения, это позволяет им моделировать реальные ситуации и процессы в жизни. Такой вид работы делает мышление учащихся оперативным, воспитывает творческое отношение к тем задачам, которые ставит жизнь, учит учащихся прогнозированию.

В задачах этого типа прослеживается системный подход к решению задач. Происходит успешная отработка и закрепление интеллектуальных умений(анализ, синтез, аналогия, обобщение, конкретизация и т.д.).

Опыт показал, что учащиеся не знавшие вначале, как подойти к решению этих задач, в конце успешно их решали.



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 11.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров429
Номер материала ДВ-052119
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх