Задачи олимпиады школьного этапа по информатике

Олимпиады по математике. 10 класс. Вариант 1.

Задача 1 :

Докажите, что уравнение  x⁴– 4x³ + 12x² – 24 x +24 = 0  не имеет решений.


Задача 2 :

Докажите, что в ходе любого сыгранного футбольного матча был момент, когда одна из команд забила голов столько же, сколько другой осталось забить.


Задача 3 :

Хорда удалена от центра окружности на расстояние  h. В каждый из двух сегментов круга, стягиваемый этой хордой, вписан квадрат так, что пара его соседних вершин лежит на хорде, а другая пара соседних вершин – на соответствующей дуге окружности.
Найдите разность длин сторон квадратов.


Задача 4 :

Найдите многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого является число
√2 + √3.


Задача 5 :

Первый член числовой последовательности равен 1, каждый из двух следующих равен 2, каждый из трех следующих за ними равен 3 и т.д.
Чему равен 2005-й член этой последовательности?

---

Решение задач :

Задача 1 :

Уравнение x⁴ – 4x³ + 12x² – 24x + 24 = 0  преобразовать к виду (x2 – 2x)² + 8(x – 1,5)² + 6 = 0,
которое не имеет решений.

Задача 2 :

Пусть первая из команд забила за весь матч m голов, вторая n голов.
Сумма числа голов в ходе матча изменяется с шагом 1 от 0 до m + n , значит, в какой-то момент она будет равна m.
Данный момент и будет искомым в задаче, потому что при этом число голов, уже забитых второй командой,
равно разности m и числа голов, уже забитой первой командой, т. е. числу голов,
которое еще предстоит забить первой команде.
Аналогично можно рассуждать и с первой командой.

Задача 3 :

Обозначим длины сторон большого и малого квадратов через 2х и 2у соответственно, радиус окружности – через R. Тогда расстояния от центра окружности до вершин вписанных квадратов, лежащих на окружности дают выражения
(2 – h)² + x² = R²,   (2y + h)² + y² = R².
Отсюда получим x - y = (4/5)h.  Тогда, разность длин сторон квадратов будет равна (8/5)h.

Задача 4 :

Обозначим √2 + √3 =a. Тогда a² = 5 + 2√6, а  (a² – 5)² = (2√6)²или a⁴ – 10a² + 25 = 24,
которое равносильно a⁴ – 10a² + 1 = 0.
А это и означает, что а является корнем многочлена
 x⁴ – 10x² + 1.

Задача 5 :