Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Задачи по геометрии по теме "Подобие треугольников"(с решением,8 класс).

Задачи по геометрии по теме "Подобие треугольников"(с решением,8 класс).

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs


Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Решение задач.

По теме «Подобие треугольников»



hello_html_932cc9b.png

1. АО : ОС = ВО : ОD. Докажите, что АВСD – трапеция или параллелограмм.

Решение

По второму признаку подобия треугольников hello_html_m45d62464.gifАВО hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifCОD, поэтому
hello_html_m23d40380.gifBАО = hello_html_m23d40380.gifОСD, тогда АВ || DС.

АВСD – трапеция.

hello_html_6d769db4.png

2. М и N – середины сторон АВ и ВС. Докажите, что MN || АС.

Решение

По второму признаку подобия треугольниковhello_html_m45d62464.gif АВС hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifМВN, поэтому
hello_html_m23d40380.gifBMN = hello_html_m23d40380.gifАВС, тогда MN || AС.



567.

hello_html_m6f486264.png

Решение

1) MN – средняя линия hello_html_m45d62464.gifАВD.

MN || DВ и MN = hello_html_3f2b66ef.gif.

2) РQ – средняя линия hello_html_m45d62464.gifСВD.

PQ || DВ и PQ = hello_html_3f2b66ef.gif.

3) Имеем MN || DВ и PQ || DВ, поэтому MN || PQ.

4) Получили MN PQ и MN = PQ = hello_html_3f2b66ef.gif, следовательно, четырехугольник MNPQ – параллелограмм.









570.

hello_html_m3ea0354.png

Решение

1) hello_html_m45d62464.gifАМО hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifСDО (по двум углам hello_html_m23d40380.gifMАО = hello_html_m23d40380.gifDСО и hello_html_m23d40380.gifАОМ =
=
hello_html_m23d40380.gifСОD).

2) hello_html_m3f3d43ed.gif.



571.

hello_html_m4e24bd0f.png

Решение

1) Пусть СС1 – медиана треуголь-ника АВС, СD и ОЕ – высоты треугольников АВС и АОВ.

2) Так как hello_html_265f55ca.gif, то hello_html_4c5b4845.gif, то есть СD = 3 · ОЕ.

3) SАВС = 3SАОВ = 3S.


568 (а).

Решение

hello_html_33d63bdc.png

1) РМ || АC и РМ = hello_html_3f2b66ef.gifАС.

2) KН || АC и KН = hello_html_3f2b66ef.gifАС.

3) РМ || KН и РМ = KН, поэтому PMНK – параллелограмм.

4) hello_html_m45d62464.gifРВМ = hello_html_m45d62464.gifНСМ = hello_html_m45d62464.gifНDK =
=
hello_html_m45d62464.gifРАK по двум катетам.

5) РMНK – ромб.







617.

Решение

hello_html_m6f9ac55e.png

1) Аналогично доказывается, что MNQP – параллелограмм,

2) MQСD – параллелограмм, так как МD = QC, МD || QC, поэтому MQ = DС.

3) Аналогично в параллелограмме NBCP NP = ВС.

4) Имеем MQ = DС = ВС = NP.

5) Параллелограмм MNQP – прямоугольник.



618:

hello_html_m53f097ca.png

1) MN – средняя линия hello_html_m45d62464.gifВСD, МN || BD и MN = hello_html_3f2b66ef.gifBD.

2) hello_html_m45d62464.gifВМК hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifDАК (по двум углам).

hello_html_m6bbd55a0.gif.

3) ВD = ВK + KD, ВD = ВK + 2ВK, ВK = hello_html_1deb4a3a.gifВD.

4) hello_html_m45d62464.gifАМN hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifАKЕ (МN || BD).

hello_html_m734b8095.gif, 2MN = 3KE.

5) ВD = 2 МN = 3, то есть KЕ = hello_html_1deb4a3a.gifВD.

6) ВK = KЕ = ЕD = hello_html_1deb4a3a.gifВD.





572 (а, в).

а) Решение.

h = hello_html_4ee26bbc.gif = 5 ∙ 4 = 20.

c = ac + bc = 25 + 16 = 41.

a = hello_html_m2f0e7713.gif.

b = hello_html_m49ef629.gif.

в) Решение.

b = hello_html_m6e137d6b.gif; b2 = cbc, 144 = c ∙ 6, c = 24.

c2 = a2 + b2; 576 = a2 + 144; a2 = 432; a = 12hello_html_m65ff6f86.gif.

a = hello_html_41a8fbc6.gif; a2 = cac; 432 = 24 ∙ ac; ac = 18.

573

ac = hello_html_4e398437.gif; bc = hello_html_m1d0ca3ce.gif.

574 (а). I способ.

Решение

hello_html_m4e4da73b.gif

II способ.Решение

hello_html_b797d86.gifили hello_html_54e22d94.gif.

575.

1) Пусть k – коэффициент пропорциональности, тогда а = 3k, b = 4k.

По теореме Пифагора с2 = а2 + b2;

502 = 9k2 + 16k2 ;

k2 = 100;

k = 10;

a = 30 (мм), b = 40 (мм).

2) ac = hello_html_23e31a88.gif = 18 (мм);

bc = hello_html_m217f8cbd.gif = 32 (мм).



576.

Решение

Пусть АВ = 6х, тогда ВС = 5х.

hello_html_m6d5c0739.png

По теореме Пифагора

AC = hello_html_8bb44e6.gif=hello_html_m178eafca.gif=
=
hello_html_m1e56e3b7.gif.

По доказанному в задаче № 573

AO = hello_html_55db2f11.gif, OC = hello_html_4783684e.gif,

AOOC = hello_html_m3848bf9b.gif = hello_html_m458e2563.gifx.

АО – ОС = 11, поэтому hello_html_m29d8352d.gif.

АС = 61 см.

1. № 577.

Решение

Треугольник является прямоугольным, так как в нем выполняется теорема Пифагора:

132 = 122 + 52.

2) Пусть = х см, тогда

СВ2 = · АВ; 25 = х · 13, х = 1hello_html_m7ccec905.gif (см).

АD = АВ – DВ = 13 – 1hello_html_m7ccec905.gif = 11hello_html_56e89d93.gif (см).

hello_html_m2630716c.png











614.

Решение

hello_html_m98c402.png

1) hello_html_m45d62464.gifАОD hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifВАD, поэтому
hello_html_m23d40380.gif1 = hello_html_m23d40380.gif2, тогда

2) hello_html_m45d62464.gifАDС hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifВАD

hello_html_m403f094.gif;

CD = hello_html_6155545a.gif= 2hello_html_680ebf01.gif (см).

3) hello_html_m45d62464.gifАВD, hello_html_m23d40380.gifА = 90°, по теореме Пифагора: ВD = hello_html_40d98687.gif=
=
hello_html_5c00ab07.gif(см).

4) hello_html_m45d62464.gifВСK, hello_html_m23d40380.gifK = 90° по теореме Пифагора

ВС = hello_html_21a70327.gif=
=
hello_html_m62982105.gif(см).

555

Доказать, что в прямоугольном треугольнике квадрат медианы, проведенной к катету, равен разности квадрата гипотенузы и трех четвертей квадрата соответствующего медиане катета.

Решение

hello_html_640dcbdf.png

1) В hello_html_m45d62464.gifАСD, hello_html_m23d40380.gifС = 90°, по теореме Пифагора hello_html_m1381edb.gif;

2) в hello_html_m45d62464.gifАСВ по теореме Пифагора
b2 = c2a2;

3) Имеем hello_html_281c28bd.gif;

hello_html_m7e497301.gif.






Таблица

Элементы
прямоугольного треугольника

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

a

6

5





1



12



b

8


24






40


5


c


13

25

100

29







10

hc







hello_html_m3ca156d1.gif

144

8hello_html_m48e707ad.gif



4,8

ac




36


3


108


7,2

5


bc





15hello_html_m5c73f493.gif

13







Ответы:

1) 10; 4,8; 3,6; 6,4.

2) 12; 4hello_html_6e8c88b8.gif; 1hello_html_m73de3667.gif; 11hello_html_5aedac2e.gif.

3) 7; 6,72; 1,96; 23,04.

4) 60; 80; 48; 64.

5) 20; 21; 14hello_html_4edf56c8.gif; 13hello_html_m42ba14dc.gif.

6) hello_html_36fd533.gif

7) 3; hello_html_3741d3d5.gif

8) 180; 240; 300; 192.

9) 9; 41; 1hello_html_21db46d6.gif; 39hello_html_m20f982de.gif.

10) 16; 20; 9,6; 12,8.

11) hello_html_m4c39cc23.gif

12) 8; 6; 6,4; 3,6.









589.

Решение

hello_html_72b04773.pnghello_html_m772010a1.png


hello_html_m6cd1ef37.png

Дано: Анализ (устно). Пусть hello_html_m45d62464.gifАВС – искомый. Тогда любой треугольник А1В1С1, в котором А1В1 || АВ (А1 hello_html_m23c1e839.gif АС, В1 hello_html_m23c1e839.gifВС), подобен треугольнику АВС по первому признаку подобия (hello_html_m23d40380.gifА1 = hello_html_m23d40380.gifА, hello_html_m23d40380.gifС – общий). Следовательно, А1В1 : А1С = 2 : 1. hello_html_m23d40380.gifА1 = hello_html_m23d40380.gifhk. Таким образом, достаточно построить какой-нибудь треугольник А1В1С, в котором А1В1 : А1С = 2 : 1, hello_html_m23d40380.gifА1 = hello_html_m23d40380.gifhk, а затем отложить на луче СВ1 отрезок СВ = PQ и через точку В провести прямую, параллельную прямой А1В1. Точка А пересечения этой прямой с прямой А1С является вершиной искомого треугольника.

hello_html_m5469f8e3.png

Построение.

1. Строим угол МА1N, равный данному углу hk.

2. Отмечаем произвольную точку С на луче А1N.

3. На луче А1М откладываем отрезок А1В1, равный 2А1С.

4. На луче СВ1 откладываем отрезок СВ, равный данному отрезку РQ.

5. Через точку В проведем прямую, параллельную А1В1. Она пересекает прямую А1С в точке А. Треугольник АВС – искомый.

Доказательство. hello_html_m45d62464.gifАВС hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifА1В1С1 по двум углам (hello_html_m23d40380.gifА = hello_html_m23d40380.gifА1 =
=
hello_html_m23d40380.gifhk, так как АВ || А1В1, hello_html_m23d40380.gifС – общий), поэтому АВ : АС = А1В1 : А1С =
= 2 : 1. Треугольник
АВС – искомый, так как hello_html_m23d40380.gifА = hello_html_m23d40380.gifhk, ВС = РQ по построению АВ : АС = 2 : 1.

Исследование (устно). Указанный способ решения задачи показывает, что задача всегда имеет решение. Все треугольники, удовлетворяющие условиям задачи, подобны по второму признаку подобия треугольников. (hello_html_m23d40380.gifА = hello_html_m23d40380.gifhk, АВ : АС = 2 : 1), следовательно, их углы соответственно равны, а так как в любом из этих треугольников ВС = РQ, то все они равны по второму признаку равенства треугольников. Таким образом, задача имеет единственное решение.





586.Дано: hello_html_m23d40380.gifА, hello_html_m23d40380.gifВ, hello_html_m23d40380.gifВ > hello_html_m23d40380.gifА, АK – биссектриса hello_html_m23d40380.gifА.

Построить hello_html_m45d62464.gifАВС.

hello_html_m1c68efc3.png

hello_html_2b66dd6c.png

hello_html_7377388c.png

Построение.

1) От произвольного отрезка АР отложим углы hello_html_m23d40380.gifА и hello_html_m23d40380.gifР = hello_html_m23d40380.gifВ.

2) Точка О пересечения сторон углов А и Р.

3) Разделим hello_html_m23d40380.gifА пополам биссектрисой АМ.

4) На луче АМ отложим отрезок АK.

5) Проведем через точку K прямую СВ || ОР.

6) Полученный треугольник АВС – искомый.

587.Решение

Дано: hello_html_m23d40380.gifА, hello_html_m23d40380.gifВ, Н – высота, проведенная из вершины hello_html_m23d40380.gifС.

Построить hello_html_m45d62464.gifАВС.

hello_html_7fdf14f9.png

hello_html_m2547eaf8.pnghello_html_a288b66.png

hello_html_m499aa9af.png

Построение.

1) От произвольного отрезка ЕF отложим углы hello_html_m23d40380.gifЕ = hello_html_m23d40380.gifА, hello_html_m23d40380.gifF = hello_html_m23d40380.gifB.

2) C – точка пересечения сторон hello_html_m23d40380.gifЕ и hello_html_m23d40380.gifF, отличных от EF.

3) Из точки С опустим перпендикуляр к отрезку EF.

4) О – точка пересечения перпендикуляра и отрезка ЕF.

5) От точки С на луче СО отложим высоту СD = Н.

6) Проведем через точку D прямую АВ || EF до пересечения с продолжением отрезков СЕ и СF.

7) Полученный треугольник АВС – искомый.

590.

Решение

Дано:

hello_html_m1808f2db.pnghello_html_m5b99908.pnghello_html_93f62fc.png

Построить: hello_html_m45d62464.gifАВС, hello_html_m23d40380.gifС = 90°, АВ = PQ, hello_html_m32a8bff9.gif.

Анализ. Задачу будем решать методом подобия. Сначала можно построить какой-нибудь прямоугольный треугольник АВ1С1 (hello_html_m23d40380.gifС1 = 90°) так, чтобы hello_html_276a91b7.gif, а затем, используя условие АВ = PQ, построить искомый треугольник АВС.

hello_html_m73260e13.png

Построение.

1. Строим треугольник АВ1С1 так, чтобы hello_html_m23d40380.gifС1 = 90°, С1А = Р1Q, С1В1 = Р2Q2 (п. 38, зад. 1).

2. На луче АВ1 отложим отрезок АВ = РQ.

3. Через точку В проведем прямую, параллельную В1С1. Она пересекает луч АС1 в точке С. Треугольник АВС – искомый.

Доказательство.

hello_html_m45d62464.gifАВС hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifА1В1С1 по первому признаку подобия треугольников (hello_html_m23d40380.gifА – общий, hello_html_m23d40380.gifС = hello_html_m23d40380.gifС1, так как ВС || В1С1), поэтому hello_html_m23d40380.gifС = 90°, hello_html_61096df6.gif.

Сторона АВ равна данному отрезку PQ по построению. Итак, треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование.

Из построения следует, что задача при любых данных отрезках PQ, Р1Q1 и P2Q2 имеет решение. Задача имеет единственное решение. В самом деле, если hello_html_m45d62464.gifА1В1С1 и hello_html_m45d62464.gifА2В2С2 удовлетворяют условиям задачи, то они подобны, а так как А1В1 = РQ, А2В2 = РQ, то А1В1 = А2В2 и, значит, hello_html_m45d62464.gifА1В1С1 = hello_html_m45d62464.gifА2В2С2.





622.

Дано: hello_html_m45d62464.gifАВС.

Построить hello_html_m45d62464.gifА1В1С1 : hello_html_m1017795a.gif = 2SАВС и hello_html_m45d62464.gifА1В1С1 hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifАВС.

Построение.

1) Построим hello_html_m45d62464.gifАВF так, чтобы АВ hello_html_m1cbd65c2.gifВF и BF = АВ (как описано в задаче № 290).

2) Построим hello_html_m45d62464.gifАCЕ так, чтобы СЕhello_html_m1cbd65c2.gif АС и СЕ = АС аналогично.

3) На лучах АВ и АС отложим соответственно отрезки АВ1 = AF и АС1 = АЕ.

4) Проведем отрезок В1С1.

5) Тогда hello_html_m45d62464.gifАВ1С1 – искомый.

hello_html_m42636e0c.png

Доказательство.

1) По теореме Пифагора

hello_html_469ebf2c.gif

hello_html_f24361a.gif

2) по построению AB1 = AF = hello_html_m448ead62.gifAB.

AC1 = AE = hello_html_m448ead62.gifAC.

3) hello_html_m70ed91c8.gif.

4) hello_html_m45d62464.gifА1В1С1 hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifАВС (по второму признаку).

5) hello_html_68b8145c.gif = 2.

Поэтому hello_html_m45d62464.gifАВ1С1 удовлетворяет всем условиям задачи.








588.

Дано: hello_html_m23d40380.gifА, hello_html_mc2a8a23.gif, AM – медиана.

Построить: АВС.

Построение.

hello_html_m2e55811a.png

hello_html_m49480fbd.png


hello_html_m698638d9.pnghello_html_m4a9254dd.pnghello_html_m515f5ff2.png

1) На произвольной прямой отметим произвольно точку А и отложим hello_html_m23d40380.gifА.

2) Пусть а – произвольный единичный отрезок.

3) На сторонах hello_html_m23d40380.gifА отложим отрезки АВ1 = 2а и АС1 = 3а.

4) Проведем В1С1 и разделим его пополам точкой О.

hello_html_5c33b816.png

5) Проведем луч АО и отложим отрезок АМ.

6) Через точку М проведем прямую b || B1C1; точки пересечения со сторонами угла А обозначим В и С.

7) hello_html_m45d62464.gifАВС – искомый.

Доказательство.

1) hello_html_m45d62464.gifАВС hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifАВ1С1 (hello_html_m23d40380.gifA – общий, hello_html_m23d40380.gif1С1 = hello_html_m23d40380.gifAВС, как соответственные при ВС || B1C1 и секущей АВ).

2) hello_html_6bd4c07d.gif.

3) Аналогично доказывается, что hello_html_m9422693.gif= 1.

4) Полученный hello_html_m45d62464.gifАВС – искомый, так как АМ – медиана, hello_html_mc2a8a23.gif по доказанному.



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 25.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров2204
Номер материала ДВ-483026
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх