Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Задачи по геометрии по теме "Подобие треугольников"(с решением,8 класс).
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Задачи по геометрии по теме "Подобие треугольников"(с решением,8 класс).

библиотека
материалов

Решение задач.

По теме «Подобие треугольников»



hello_html_932cc9b.png

1. АО : ОС = ВО : ОD. Докажите, что АВСD – трапеция или параллелограмм.

Решение

По второму признаку подобия треугольников hello_html_m45d62464.gifАВО hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifCОD, поэтому
hello_html_m23d40380.gifBАО = hello_html_m23d40380.gifОСD, тогда АВ || DС.

АВСD – трапеция.

hello_html_6d769db4.png

2. М и N – середины сторон АВ и ВС. Докажите, что MN || АС.

Решение

По второму признаку подобия треугольниковhello_html_m45d62464.gif АВС hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifМВN, поэтому
hello_html_m23d40380.gifBMN = hello_html_m23d40380.gifАВС, тогда MN || AС.



567.

hello_html_m6f486264.png

Решение

1) MN – средняя линия hello_html_m45d62464.gifАВD.

MN || DВ и MN = hello_html_3f2b66ef.gif.

2) РQ – средняя линия hello_html_m45d62464.gifСВD.

PQ || DВ и PQ = hello_html_3f2b66ef.gif.

3) Имеем MN || DВ и PQ || DВ, поэтому MN || PQ.

4) Получили MN PQ и MN = PQ = hello_html_3f2b66ef.gif, следовательно, четырехугольник MNPQ – параллелограмм.









570.

hello_html_m3ea0354.png

Решение

1) hello_html_m45d62464.gifАМО hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifСDО (по двум углам hello_html_m23d40380.gifMАО = hello_html_m23d40380.gifDСО и hello_html_m23d40380.gifАОМ =
=
hello_html_m23d40380.gifСОD).

2) hello_html_m3f3d43ed.gif.



571.

hello_html_m4e24bd0f.png

Решение

1) Пусть СС1 – медиана треуголь-ника АВС, СD и ОЕ – высоты треугольников АВС и АОВ.

2) Так как hello_html_265f55ca.gif, то hello_html_4c5b4845.gif, то есть СD = 3 · ОЕ.

3) SАВС = 3SАОВ = 3S.


568 (а).

Решение

hello_html_33d63bdc.png

1) РМ || АC и РМ = hello_html_3f2b66ef.gifАС.

2) KН || АC и KН = hello_html_3f2b66ef.gifАС.

3) РМ || KН и РМ = KН, поэтому PMНK – параллелограмм.

4) hello_html_m45d62464.gifРВМ = hello_html_m45d62464.gifНСМ = hello_html_m45d62464.gifНDK =
=
hello_html_m45d62464.gifРАK по двум катетам.

5) РMНK – ромб.







617.

Решение

hello_html_m6f9ac55e.png

1) Аналогично доказывается, что MNQP – параллелограмм,

2) MQСD – параллелограмм, так как МD = QC, МD || QC, поэтому MQ = DС.

3) Аналогично в параллелограмме NBCP NP = ВС.

4) Имеем MQ = DС = ВС = NP.

5) Параллелограмм MNQP – прямоугольник.



618:

hello_html_m53f097ca.png

1) MN – средняя линия hello_html_m45d62464.gifВСD, МN || BD и MN = hello_html_3f2b66ef.gifBD.

2) hello_html_m45d62464.gifВМК hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifDАК (по двум углам).

hello_html_m6bbd55a0.gif.

3) ВD = ВK + KD, ВD = ВK + 2ВK, ВK = hello_html_1deb4a3a.gifВD.

4) hello_html_m45d62464.gifАМN hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifАKЕ (МN || BD).

hello_html_m734b8095.gif, 2MN = 3KE.

5) ВD = 2 МN = 3, то есть KЕ = hello_html_1deb4a3a.gifВD.

6) ВK = KЕ = ЕD = hello_html_1deb4a3a.gifВD.





572 (а, в).

а) Решение.

h = hello_html_4ee26bbc.gif = 5 ∙ 4 = 20.

c = ac + bc = 25 + 16 = 41.

a = hello_html_m2f0e7713.gif.

b = hello_html_m49ef629.gif.

в) Решение.

b = hello_html_m6e137d6b.gif; b2 = cbc, 144 = c ∙ 6, c = 24.

c2 = a2 + b2; 576 = a2 + 144; a2 = 432; a = 12hello_html_m65ff6f86.gif.

a = hello_html_41a8fbc6.gif; a2 = cac; 432 = 24 ∙ ac; ac = 18.

573

ac = hello_html_4e398437.gif; bc = hello_html_m1d0ca3ce.gif.

574 (а). I способ.

Решение

hello_html_m4e4da73b.gif

II способ.Решение

hello_html_b797d86.gifили hello_html_54e22d94.gif.

575.

1) Пусть k – коэффициент пропорциональности, тогда а = 3k, b = 4k.

По теореме Пифагора с2 = а2 + b2;

502 = 9k2 + 16k2 ;

k2 = 100;

k = 10;

a = 30 (мм), b = 40 (мм).

2) ac = hello_html_23e31a88.gif = 18 (мм);

bc = hello_html_m217f8cbd.gif = 32 (мм).



576.

Решение

Пусть АВ = 6х, тогда ВС = 5х.

hello_html_m6d5c0739.png

По теореме Пифагора

AC = hello_html_8bb44e6.gif=hello_html_m178eafca.gif=
=
hello_html_m1e56e3b7.gif.

По доказанному в задаче № 573

AO = hello_html_55db2f11.gif, OC = hello_html_4783684e.gif,

AOOC = hello_html_m3848bf9b.gif = hello_html_m458e2563.gifx.

АО – ОС = 11, поэтому hello_html_m29d8352d.gif.

АС = 61 см.

1. № 577.

Решение

Треугольник является прямоугольным, так как в нем выполняется теорема Пифагора:

132 = 122 + 52.

2) Пусть = х см, тогда

СВ2 = · АВ; 25 = х · 13, х = 1hello_html_m7ccec905.gif (см).

АD = АВ – DВ = 13 – 1hello_html_m7ccec905.gif = 11hello_html_56e89d93.gif (см).

hello_html_m2630716c.png











614.

Решение

hello_html_m98c402.png

1) hello_html_m45d62464.gifАОD hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifВАD, поэтому
hello_html_m23d40380.gif1 = hello_html_m23d40380.gif2, тогда

2) hello_html_m45d62464.gifАDС hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifВАD

hello_html_m403f094.gif;

CD = hello_html_6155545a.gif= 2hello_html_680ebf01.gif (см).

3) hello_html_m45d62464.gifАВD, hello_html_m23d40380.gifА = 90°, по теореме Пифагора: ВD = hello_html_40d98687.gif=
=
hello_html_5c00ab07.gif(см).

4) hello_html_m45d62464.gifВСK, hello_html_m23d40380.gifK = 90° по теореме Пифагора

ВС = hello_html_21a70327.gif=
=
hello_html_m62982105.gif(см).

555

Доказать, что в прямоугольном треугольнике квадрат медианы, проведенной к катету, равен разности квадрата гипотенузы и трех четвертей квадрата соответствующего медиане катета.

Решение

hello_html_640dcbdf.png

1) В hello_html_m45d62464.gifАСD, hello_html_m23d40380.gifС = 90°, по теореме Пифагора hello_html_m1381edb.gif;

2) в hello_html_m45d62464.gifАСВ по теореме Пифагора
b2 = c2a2;

3) Имеем hello_html_281c28bd.gif;

hello_html_m7e497301.gif.






Таблица

Элементы
прямоугольного треугольника

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

a

6

5





1



12



b

8


24






40


5


c


13

25

100

29







10

hc







hello_html_m3ca156d1.gif

144

8hello_html_m48e707ad.gif



4,8

ac




36


3


108


7,2

5


bc





15hello_html_m5c73f493.gif

13







Ответы:

1) 10; 4,8; 3,6; 6,4.

2) 12; 4hello_html_6e8c88b8.gif; 1hello_html_m73de3667.gif; 11hello_html_5aedac2e.gif.

3) 7; 6,72; 1,96; 23,04.

4) 60; 80; 48; 64.

5) 20; 21; 14hello_html_4edf56c8.gif; 13hello_html_m42ba14dc.gif.

6) hello_html_36fd533.gif

7) 3; hello_html_3741d3d5.gif

8) 180; 240; 300; 192.

9) 9; 41; 1hello_html_21db46d6.gif; 39hello_html_m20f982de.gif.

10) 16; 20; 9,6; 12,8.

11) hello_html_m4c39cc23.gif

12) 8; 6; 6,4; 3,6.









589.

Решение

hello_html_72b04773.pnghello_html_m772010a1.png


hello_html_m6cd1ef37.png

Дано: Анализ (устно). Пусть hello_html_m45d62464.gifАВС – искомый. Тогда любой треугольник А1В1С1, в котором А1В1 || АВ (А1 hello_html_m23c1e839.gif АС, В1 hello_html_m23c1e839.gifВС), подобен треугольнику АВС по первому признаку подобия (hello_html_m23d40380.gifА1 = hello_html_m23d40380.gifА, hello_html_m23d40380.gifС – общий). Следовательно, А1В1 : А1С = 2 : 1. hello_html_m23d40380.gifА1 = hello_html_m23d40380.gifhk. Таким образом, достаточно построить какой-нибудь треугольник А1В1С, в котором А1В1 : А1С = 2 : 1, hello_html_m23d40380.gifА1 = hello_html_m23d40380.gifhk, а затем отложить на луче СВ1 отрезок СВ = PQ и через точку В провести прямую, параллельную прямой А1В1. Точка А пересечения этой прямой с прямой А1С является вершиной искомого треугольника.

hello_html_m5469f8e3.png

Построение.

1. Строим угол МА1N, равный данному углу hk.

2. Отмечаем произвольную точку С на луче А1N.

3. На луче А1М откладываем отрезок А1В1, равный 2А1С.

4. На луче СВ1 откладываем отрезок СВ, равный данному отрезку РQ.

5. Через точку В проведем прямую, параллельную А1В1. Она пересекает прямую А1С в точке А. Треугольник АВС – искомый.

Доказательство. hello_html_m45d62464.gifАВС hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifА1В1С1 по двум углам (hello_html_m23d40380.gifА = hello_html_m23d40380.gifА1 =
=
hello_html_m23d40380.gifhk, так как АВ || А1В1, hello_html_m23d40380.gifС – общий), поэтому АВ : АС = А1В1 : А1С =
= 2 : 1. Треугольник
АВС – искомый, так как hello_html_m23d40380.gifА = hello_html_m23d40380.gifhk, ВС = РQ по построению АВ : АС = 2 : 1.

Исследование (устно). Указанный способ решения задачи показывает, что задача всегда имеет решение. Все треугольники, удовлетворяющие условиям задачи, подобны по второму признаку подобия треугольников. (hello_html_m23d40380.gifА = hello_html_m23d40380.gifhk, АВ : АС = 2 : 1), следовательно, их углы соответственно равны, а так как в любом из этих треугольников ВС = РQ, то все они равны по второму признаку равенства треугольников. Таким образом, задача имеет единственное решение.





586.Дано: hello_html_m23d40380.gifА, hello_html_m23d40380.gifВ, hello_html_m23d40380.gifВ > hello_html_m23d40380.gifА, АK – биссектриса hello_html_m23d40380.gifА.

Построить hello_html_m45d62464.gifАВС.

hello_html_m1c68efc3.png

hello_html_2b66dd6c.png

hello_html_7377388c.png

Построение.

1) От произвольного отрезка АР отложим углы hello_html_m23d40380.gifА и hello_html_m23d40380.gifР = hello_html_m23d40380.gifВ.

2) Точка О пересечения сторон углов А и Р.

3) Разделим hello_html_m23d40380.gifА пополам биссектрисой АМ.

4) На луче АМ отложим отрезок АK.

5) Проведем через точку K прямую СВ || ОР.

6) Полученный треугольник АВС – искомый.

587.Решение

Дано: hello_html_m23d40380.gifА, hello_html_m23d40380.gifВ, Н – высота, проведенная из вершины hello_html_m23d40380.gifС.

Построить hello_html_m45d62464.gifАВС.

hello_html_7fdf14f9.png

hello_html_m2547eaf8.pnghello_html_a288b66.png

hello_html_m499aa9af.png

Построение.

1) От произвольного отрезка ЕF отложим углы hello_html_m23d40380.gifЕ = hello_html_m23d40380.gifА, hello_html_m23d40380.gifF = hello_html_m23d40380.gifB.

2) C – точка пересечения сторон hello_html_m23d40380.gifЕ и hello_html_m23d40380.gifF, отличных от EF.

3) Из точки С опустим перпендикуляр к отрезку EF.

4) О – точка пересечения перпендикуляра и отрезка ЕF.

5) От точки С на луче СО отложим высоту СD = Н.

6) Проведем через точку D прямую АВ || EF до пересечения с продолжением отрезков СЕ и СF.

7) Полученный треугольник АВС – искомый.

590.

Решение

Дано:

hello_html_m1808f2db.pnghello_html_m5b99908.pnghello_html_93f62fc.png

Построить: hello_html_m45d62464.gifАВС, hello_html_m23d40380.gifС = 90°, АВ = PQ, hello_html_m32a8bff9.gif.

Анализ. Задачу будем решать методом подобия. Сначала можно построить какой-нибудь прямоугольный треугольник АВ1С1 (hello_html_m23d40380.gifС1 = 90°) так, чтобы hello_html_276a91b7.gif, а затем, используя условие АВ = PQ, построить искомый треугольник АВС.

hello_html_m73260e13.png

Построение.

1. Строим треугольник АВ1С1 так, чтобы hello_html_m23d40380.gifС1 = 90°, С1А = Р1Q, С1В1 = Р2Q2 (п. 38, зад. 1).

2. На луче АВ1 отложим отрезок АВ = РQ.

3. Через точку В проведем прямую, параллельную В1С1. Она пересекает луч АС1 в точке С. Треугольник АВС – искомый.

Доказательство.

hello_html_m45d62464.gifАВС hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifА1В1С1 по первому признаку подобия треугольников (hello_html_m23d40380.gifА – общий, hello_html_m23d40380.gifС = hello_html_m23d40380.gifС1, так как ВС || В1С1), поэтому hello_html_m23d40380.gifС = 90°, hello_html_61096df6.gif.

Сторона АВ равна данному отрезку PQ по построению. Итак, треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование.

Из построения следует, что задача при любых данных отрезках PQ, Р1Q1 и P2Q2 имеет решение. Задача имеет единственное решение. В самом деле, если hello_html_m45d62464.gifА1В1С1 и hello_html_m45d62464.gifА2В2С2 удовлетворяют условиям задачи, то они подобны, а так как А1В1 = РQ, А2В2 = РQ, то А1В1 = А2В2 и, значит, hello_html_m45d62464.gifА1В1С1 = hello_html_m45d62464.gifА2В2С2.





622.

Дано: hello_html_m45d62464.gifАВС.

Построить hello_html_m45d62464.gifА1В1С1 : hello_html_m1017795a.gif = 2SАВС и hello_html_m45d62464.gifА1В1С1 hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifАВС.

Построение.

1) Построим hello_html_m45d62464.gifАВF так, чтобы АВ hello_html_m1cbd65c2.gifВF и BF = АВ (как описано в задаче № 290).

2) Построим hello_html_m45d62464.gifАCЕ так, чтобы СЕhello_html_m1cbd65c2.gif АС и СЕ = АС аналогично.

3) На лучах АВ и АС отложим соответственно отрезки АВ1 = AF и АС1 = АЕ.

4) Проведем отрезок В1С1.

5) Тогда hello_html_m45d62464.gifАВ1С1 – искомый.

hello_html_m42636e0c.png

Доказательство.

1) По теореме Пифагора

hello_html_469ebf2c.gif

hello_html_f24361a.gif

2) по построению AB1 = AF = hello_html_m448ead62.gifAB.

AC1 = AE = hello_html_m448ead62.gifAC.

3) hello_html_m70ed91c8.gif.

4) hello_html_m45d62464.gifА1В1С1 hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifАВС (по второму признаку).

5) hello_html_68b8145c.gif = 2.

Поэтому hello_html_m45d62464.gifАВ1С1 удовлетворяет всем условиям задачи.








588.

Дано: hello_html_m23d40380.gifА, hello_html_mc2a8a23.gif, AM – медиана.

Построить: АВС.

Построение.

hello_html_m2e55811a.png

hello_html_m49480fbd.png


hello_html_m698638d9.pnghello_html_m4a9254dd.pnghello_html_m515f5ff2.png

1) На произвольной прямой отметим произвольно точку А и отложим hello_html_m23d40380.gifА.

2) Пусть а – произвольный единичный отрезок.

3) На сторонах hello_html_m23d40380.gifА отложим отрезки АВ1 = 2а и АС1 = 3а.

4) Проведем В1С1 и разделим его пополам точкой О.

hello_html_5c33b816.png

5) Проведем луч АО и отложим отрезок АМ.

6) Через точку М проведем прямую b || B1C1; точки пересечения со сторонами угла А обозначим В и С.

7) hello_html_m45d62464.gifАВС – искомый.

Доказательство.

1) hello_html_m45d62464.gifАВС hello_html_4491afc3.pnghello_html_m45d62464.gifАВ1С1 (hello_html_m23d40380.gifA – общий, hello_html_m23d40380.gif1С1 = hello_html_m23d40380.gifAВС, как соответственные при ВС || B1C1 и секущей АВ).

2) hello_html_6bd4c07d.gif.

3) Аналогично доказывается, что hello_html_m9422693.gif= 1.

4) Полученный hello_html_m45d62464.gifАВС – искомый, так как АМ – медиана, hello_html_mc2a8a23.gif по доказанному.




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 25.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров6991
Номер материала ДВ-483026
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх