Задачи по геометрии по теме "Прямоугольный параллелепипед"

Задачи по геометрии по теме

«Прямоугольный параллелепипед»

Учитель математики

высшей квалификационной категории

МОУ Левобережной СОШ г.Тутаева

Борисова Елена Леонидовна

УМК:

1.           Геометрия 10 -11: учеб. для общеобрзова. учреждений/ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бетусов, С.Б. Кажомцев и др./ - 12-е изд. – М.: Просвещение, 2012 –206 с.

Ре­ше­ние.

Задачи по теме «Прямоугольный параллелепипед»

1.    Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 3 и 4. Пло­щадь по­верх­но­сти этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 94. Най­ди­те тре­тье ребро, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны.

2.    Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2. Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 16. Най­ди­те его диа­го­наль.

3.    Пло­щадь грани пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 12. Ребро, пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани, равно 4. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

4.    Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 4. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

5.    Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 3. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 36. Най­ди­те его диа­го­наль.

6.    Най­ди­те угол пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го , , . Дайте ответ в гра­ду­сах.

7.    В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­ны длины рёбер: , , . Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через вер­ши­ны , и .

8.    В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро CD = 2, ребро ребро CC₁ = 2. Точка K — се­ре­ди­на ребра DD₁. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через точки C₁, B₁ и K. Ре­ше­ние.

Решение задачСе­че­ние пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные грани по па­рал­лель­ным от­рез­кам. По­это­му че­ты­рех­уголь­ник  — па­рал­ле­ло­грамм. Кроме того, ребро пер­пен­ди­ку­ляр­но гра­ням и , по­это­му углы и — пря­мые. Сле­до­ва­тель­но, се­че­ние  — пря­мо­уголь­ник.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем

Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна:

Ответ:5.

Ответ: 5

Се­че­ние пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные грани по па­рал­лель­ным от­рез­кам. По­это­му че­ты­рех­уголь­ник Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем  

1.   Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 3 и 4. Пло­щадь по­верх­но­сти этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 94. Най­ди­те тре­тье ребро, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны.

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим из­вест­ные ребра за и , а не­из­вест­ное за . Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да вы­ра­жа­ет­ся как . Вы­ра­зим : , от­ку­да не­из­вест­ное ребро

.

Ответ: 5.

2.   Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2. Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 16. Най­ди­те его диа­го­наль.

Ре­ше­ние.

Пусть длина тре­тье­го ребра, ис­хо­дя­ще­го из той же вер­ши­ны, равна , тогда пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да даётся фор­му­лой . По усло­вию пло­щадь по­верх­но­сти равна 16, тогда от­ку­да

Длина диа­го­на­ли пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна квад­рат­но­му корню из суммы квад­ра­тов его из­ме­ре­ний, по­это­му .

Ответ: 3.

При­ме­ча­ние о том, как не надо ре­шать эту за­да­чу.

Обо­зна­чим из­вест­ные ребра за и , а не­из­вест­ное за . Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да вы­ра­жа­ет­ся как . Вы­ра­зим :

,

от­ку­да не­из­вест­ное ребро

,

Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да на­хо­дит­ся как

.

Ответ: 3.

3.   Пло­щадь грани пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 12. Ребро, пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани, равно 4. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ре­ше­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен , где – пло­щадь грани, а — вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­но­го к ней ребра. Имеем

.

Ответ: 48.

4.   Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 4. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ре­ше­ние: Длина диа­го­на­ли па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна

.

Длина тре­тье­го ребра тогда . По­лу­чим, что объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да

.

Ответ: 32.

5.   Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 3. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 36. Най­ди­те его диа­го­наль.

Ре­ше­ние.

Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен

.

От­сю­да най­дем тре­тье ребро:

.

Длина диа­го­на­ли па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна

.

Ответ: 7.

6.   Най­ди­те угол пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го , , . Дайте ответ в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

В пря­мо­уголь­ни­ке от­ре­зок яв­ля­ет­ся диа­го­на­лью, По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный: , зна­чит, его ост­рые углы равны

Ответ: 45.

7.   В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­ны длины рёбер: , , . Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через вер­ши­ны , и .

Ре­ше­ние.

Се­че­ние пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные грани по па­рал­лель­ным от­рез­кам. По­это­му се­че­ние  −  па­рал­ле­ло­грамм. Кроме того, ребро пер­пен­ди­ку­ляр­но гра­ням и . По­это­му углы и − пря­мые.По­это­му се­че­ние  — пря­мо­уголь­ник.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка най­дем

Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна:

Ответ:572.

8.   В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро CD = 2, ребро ребро CC₁ = 2. Точка K — се­ре­ди­на ребра DD₁. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через точки C₁, B₁ и K.

Ре­ше­ние.

Се­че­ние пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные грани по па­рал­лель­ным от­рез­кам. По­это­му че­ты­рех­уголь­ник  — па­рал­ле­ло­грамм. Кроме того, ребро пер­пен­ди­ку­ляр­но гра­ням и , по­это­му углы и — пря­мые. Сле­до­ва­тель­но, се­че­ние  — пря­мо­уголь­ник.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем

Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна:

Ответ:5.

Используемые источники:

1.   Геометрия 10: учеб. для общеобрзова. учреждений/ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бетусов, С.Б. Кадомцев и др./ - 12-е изд. – М.: Просвещение, 2014 –с384 с.

2.   Поурочные разработки по геометрии: 10 класс/Сост. В.А.Яровенко  . – М.: ВАКО, 2007. – 336 с. –(В помощь школьному учителю)

3.    http://reshuege.ru/

4.   http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2014/04/04/metodicheskie-rekomendatsii-po-ispolzovaniyu-elektronnoy

Ответ: 3

Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна:

Ответ:5.

Ответ: 5

ü   Автор дает согласие использовать данный ресурс только для ознакомления и проведения уроков.

ü   Нельзя присваивать себе авторство данного ресурса, даже если будут внесены изменения.

ü   Нельзя публиковать данный ресурс без согласия автора.

ü   В случае частичного использования ресурса, ссылка на источник обязательна.

Пояснительная записка
1.	Автор (ФИО, должность)	Борисова Елена Леонидовна, учитель математики
2.	Название ресурса	Задачи по геометрии по теме «Прямоугольный параллелепипед»
3.	Вид ресурса	Задачи с решениями
4.	Предмет, УМК	1.         Геометрия 10: учеб. для общеобрзова. учреждений/ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бетусов, С.Б. Кадомцев и др./ - 12-е изд. – М.: Просвещение, 2014 –с384 с.
5.	Цель и задачи ресурса	Цели и задачи работы: ·           Оценить результаты усвоения материала по теме «Прямоугольный параллелепипед» ·           Подготовиться к контрольной работе по теме «Прямоугольный параллелепипед».
6.	Возраст учащихся, для которых предназначен ресурс	10 класс
7.	Программа, в которой создан ресурс	Windows 7
8.	Методические рекомендации по использованию ресурса	Задания можно использовать для проверки  усвоения материала и для подготовки к контрольной работе по теме «Прямоугольный параллелепипед».
9.	Источники информации (обязательно!)
	Используемые источники: 1.      Геометрия 10: учеб. для общеобрзова. учреждений/ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бетусов, С.Б. Кадомцев и др./ - 12-е изд. – М.: Просвещение, 2014 –с384 с. 2.      Поурочные разработки по геометрии: 10 класс/Сост. В.А.Яровенко  . – М.: ВАКО, 2007. – 336 с. –(В помощь школьному учителю) 3.       http://reshuege.ru/ 4.      http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2014/04/04/metodicheskie-rekomendatsii-po-ispolzovaniyu-elektronnoy