Инфоурок Алгебра Другие методич. материалыЗадачи по теме "Арифметическая прогрессия"

Задачи по теме "Арифметическая прогрессия"

Скачать материал
библиотека
материалов

Арифметическая прогрессия

Задачи обязательного уровня

1. Определите, является ли заданная последовательность арифметической прогрессией.

  1. 2; 4; 6; 8; 10; 12;…

  2. б) 3; 1; 3; 1; 3; …

2. Доказать, что последовательность, заданная формулой n-ого члена an=-1,5+4n, является арифметической прогрессией.

3. Записать первые шесть членов арифметической прогрессии, если

а) a1=-3; d=2 b) an=3-2n

  1. Ответ: -3; -1; 1; 3; 5; 7.

  2. Ответ: 1; -1; -3; -5; -7; -9.

4. Найдите сто тридцатый член арифметической прогрессии, если a1=-1,2; d=

Ответ: a130=7,8

5. Число –29 является членом арифметической прогрессии 21; 16; 11; …

  1. Найдите номер этого члена. a11=-29.

б) Является ли число –10 членом этой прогрессии? нет

в) Является ли число 30 членом этой прогрессии? нет

6. Найдите разность арифметической прогрессии 100; 90; 80; 70; …

Ответ: d=10

7. Решить следующие задачи, где по трем известным величинам требуется определить две неизвестные.

a1

d

N

an

Sn

1.

1,5

1,5

3,6

54

999

2.

-28

7

9

28

0

3.

10

10

14

140

1050

4.

0

0,5

11

5

27,5

5.

-38

2

15

-10

-360

6.

-9

0,5

25;12

3;-3,5

-75

7.

1

2/3

100

67

3400

8.

-45

3

31

45

0

9.

0,2

0,1

51

5,2

137,7

Полезно научить учащихся выражать неизвестную величину из формулы n-ого члена и суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

an=a1+(n-1)d

3. an=a1+nd-d



3.

1. a1=an-(n-1)d

2.

1.

2.

8. Составьте формулу n-ого члена арифметической прогрессии 2; 5; 8; 11; …

Ответ: an=3n-1

9. Найдите двенадцатый член арифметической прогрессии, если известно, что a11+a13=122.

Ответ:а12=61

10. Найдите a3+a15, если известно, что a1+a17=35. a3+a15= a1+a17=35

Задачи среднего уровня

11. Выясните, является ли последовательность, заданная формулой n-ого члена, арифметической прогрессией? Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.

а) an=3*2n нет

б) an= d=-1. Да, a1=.

12. Запишите формулу n-ого члена арифметической прогрессии, если известно, что a7=-5; a12=55.

Ответ: an=12n-89 .

13. Найдите седьмой член арифметической прогрессии, если известно, что a3+a11=20.

Ответ: а7=10

14. Сколько нужно взять членов в арифметической прогрессии, первый член которой равен 16, а разность равна 8, чтобы сумма членов составила 1840?

Ответ: n=20.

15. Найдите те значения x, при которых числа 5х+2; 7х+1; 3х-6 образуют арифметическую прогрессию.

Ответ: х=-1.

16. Между числами –8 и –35 вставьте два числа так, чтобы получились четыре последовательных члена арифметической прогрессии.

Ответ: -17; -26.

17. Найдите сумму всех натуральных чисел от 2 до 98 включительно.

Ответ: S97=4850.

18. Начиная с какого номера n все члены арифметической прогрессии будут больше заданного числа А, если an=7n-121; A=?

Ответ: n=18.

19. Являются ли числа 4,6 и –1,2 членами арифметической прогрессии, заданной формулой n-ого члена an=13-0,4n? Да, нет

20. Второй член арифметической прогрессии составляет 96% от первого. Сколько % от первого члена составляет семнадцатый член этой прогрессии?

Ответ: 36%

21. Найдите сумму всех трехзначных чисел, не делящихся на 19.

Ответ: 468653.

22. Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии и сумму ее первых двадцати членов, если известно, что a7=-100; a9=-78.

Ответ: a15= -12; S20=1850.

23. Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30см, а за каждую следующую минуту – на 5см больше, чем за предыдущую. За какое время улитка достигнет вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его основания?

Ответ: 10 минут.

24. Определить первый член и разность арифметической прогрессии, в которой:

а) a7-a3=8; a2*a7=75 б) a4:a6=-1; a2*a8=-1 в) a42+a122=1170; a7+a15=60

Ответ: а) a1=3; d=2 или a1=-17; d=2 б) a1=4/3; d=-1/3 или a1=-4/3; d=1/3 в) a1=-12; d=4,2 или a1=0; d=3.

25. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с шестого по двадцать пятый включительно, если первый ее член равен 21, а разность равна –0,5?

Решение задачи сводится к нахождению суммы S=S25-S5.

Задачи повышенной сложности

26. При каких значениях a корни уравнения 3х3-(а+1)х2+(а-2)х=0, взятые в определенном порядке, составляют арифметическую прогрессию?

Ответ: a=-1; 3,5; 8

27. Найти х из уравнения (х+1)+(х+4)+(х+7)+…+(х+28)=155

Ответ: x=1.

28. В арифметической прогрессии Sn-a1-an=21; Sn-a2-an-a1-an-1=7. Найдите Sn и n.

Ответ: Sn=35; n=5.

29. Вычислите первый член арифметической прогрессии с разностью 8, зная, что сумма первых десяти членов в 4 раза больше суммы первых пяти членов.

Ответ: a1=4.

30. Найти сумму первых тридцати нечетных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1.

Ответ: S30=4380.

31. Найти арифметическую прогрессию с положительными членами, если дано: a1+a2+a3+a4+a5=25 (1) a1*a2*a3*a4*a5=945 (2)

Ответ: 1; 3; 5; 7; 9; …

32. Найти m-ый член арифметической прогрессии, в которой Sn=pn+qn2.

Ответ: am=2qm+p-q.

33. Первый член арифметической прогрессии равен числу, логарифм которого при основании равен 1,5. Если произведение первых трех членов арифметической прогрессии разделить в отдельности на каждый из них, то сумма полученных частных равна 167. Найти сумму десяти первых членов этой прогрессии.

Ответ: S10= -600 или S10=255.

34. Сумма n членов арифметической прогрессии определяется из уравнения

, где an=7n-6. Определить число членов n прогрессии.

Ответ: n=8

35. Найдите стороны прямоугольного треугольника, если известно, что они составляют арифметическую прогрессию, разность которой d=25.

Ответ: 75; 100; 125.

36. Доказать, что для арифметической прогрессии с отличными от 0 членами имеет место равенство:



Задачи для самостоятельного решения

37. В возрастающей арифметической прогрессии а4 и а7 являются корнями квадратного уравнения 0,1х2-5х+58,9=0. Сумма n членов на 30 больше наименьшего целого числа, которое при делении на 37 дает остаток 33, а при делении на 53 – остаток 12. определить число членов n.

Ответ: n=30

38. Найти сумму четырех членов арифметической прогрессии, содержащей целые и положительные члены, если известно, что произведение этих чисел равно 1680, а разность прогрессии равна модулю при переходе от системы логарифмов с основанием 81 к системе логарифмов с основанием 3.

Ответ: 32

39. Определить х из уравнения 1+7+13+ … +х=280

Ответ: х=55

40. Найти все арифметические прогрессии с целыми и положительными членами, в которых S5=35

Ответ: 1) a1=5; d=1 2) a1=3; d=2 3) a1=1; d=3

41. В арифметической прогрессии a1+a3+a5+ … +a2n+1=25; a1+a2n-1=10. Найдите n.

Ответ: n=4

42. В арифметической прогрессии Sn=7; S2n=34; a1+a2n=17. Найти S30.

Ответ: S30=2205.

43. Найти Sn арифметической прогрессии, любой член которой равенam=2m-1.

Ответ: Sn=n2

44. Найти n= таких дробей, числители которых составляют возрастающую арифметическую прогрессию, а знаменатели – арифметическую убывающую. Разности обеих этих прогрессий по абсолютной величине равны между собой. Предпоследняя из искомых дробей равна обратному значению последней; знаменатель второй больше ее числителя на n единиц, а сумма всех числителей искомых дробей относится к сумме их знаменателей, как (n-1):(n+2).

Ответ:

45. Разность арифметической прогрессии равна 27; седьмой и восьмой члены ее соответственно равны квадратам двух последовательных натуральных чисел. Найти эту прогрессию.

Ответ: 7; 34; 61; …

46. Определить при каком значении m корни уравнения x4-(3m-5)x2+(m+1)2=0 составляют арифметическую прогрессию.

Ответ: m=-25; -.



  • Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
    Пожаловаться на материал
Скачать материал
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:

Данный методический материал содержит задачи трех уровней; обязательного, среднего, повышенного. Предусмотрены задачи для самостоятельного решения. Ко всем задачам есть ответы.

Данный материал можно использовать для учащихся 9-11 классов.

Данный материал можно использовать как в общеобразовательных классах, так и в классах с углубленным изучением математики.

Общая информация
Учебник: «Алгебра», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Тема: § 7. Арифметическая прогрессия

Номер материала: ДБ-365065

Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика написания учебной и научно-исследовательской работы в школе (доклад, реферат, эссе, статья) в процессе реализации метапредметных задач ФГОС ОО»
Курс повышения квалификации «Педагогическая риторика в условиях реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Маркетинг в организации как средство привлечения новых клиентов»
Курс профессиональной переподготовки «Организация менеджмента в туризме»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс повышения квалификации «Методы и инструменты современного моделирования»
Курс профессиональной переподготовки «Корпоративная культура как фактор эффективности современной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Информационная поддержка бизнес-процессов в организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.