Методы решения комбинаторных задач
Перебор возможных вариантов
Простые
задачи решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов без составления
различных таблиц и схем.
Задача
1.
Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
Ответ: 11,
12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51,
52, 53, 54, 55.
Задача
2.
В финальном забеге на 100 м участвуют Иванов, Громов и Орлов. Назовите
возможные варианты распределения призовых мест.
Ответ:
Вариант1: 1) Иванов, 2) Громов, 3) Орлов.
Вариант2: 1) Иванов, 2) Орлов, 3) Громов.
Вариант3: 1) Орлов, 2) Иванов, 3) Громов.
Вариант4: 1) Орлов, 2) Громов, 3) Иванов.
Вариант5: 1) Громов, 2) Орлов, 3) Иванов.
Вариант6: 1) Громов, 2) Иванов, 3) Орлов.
Задача
3.
В кружок бального танца записались Петя, Коля, Витя, Олег, Таня, Оля, Наташа,
Света. Какие танцевальные пары девочки и мальчика могут образоваться?
Ответ:
1) Таня - Петя, 2) Таня - Коля, 3) Таня - Витя, 4) Таня - Олег, 5) Оля - Петя,
6) Оля - Коля, 7) Оля - Витя, 8) Оля - Олег, 9) Наташа - Петя, 10) Наташа -
Коля, 11) Наташа - Витя, 12) Наташа - Олег, 13) Света - Петя, 14) Света - Коля,
15) Света - Витя, 16) Света - Олег.
Дерево возможных вариантов
Самые
разные комбинаторные задачи решаются с помощью составления специальных схем.
Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда и название метода - дерево
возможных вариантов.
Задача
4.
Какие трехзначные числа можно составить из цифр 0, 2, 4?
Решение. Построим
дерево возможных вариантов, учитывая, что 0 не может быть первой цифрой в
числе.
Ответ: 200,
202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442,
444.
Задача
5.
Школьные туристы решили совершить путешествие к горному озеру. Первый этап пути
можно преодолеть на поезде или автобусе. Второй этап - на байдарках,
велосипедах или пешком. И третий этап пути - пешком или с помощью канатной
дороги. Какие возможные варианты путешествия есть у школьных туристов?
Решение. Построим
дерево возможных вариантов, обозначив путешествие на поезде П, на автобусе - А,
на байдарках - Б, велосипедах - В, пешком - Х, на канатной дороге - К.
Ответ: На
рисунке перечислены все 12 возможных вариантов путешествия школьных туристов.
Задача
6.
Запишите все возможные варианты расписания пяти уроков на день из предметов:
математика, русский язык, история, английский язык, физкультура, причем
математика должна быть вторым уроком.
Решение. Построим
дерево возможных вариантов, обозначив М - математика, Р - русский язык, И -
история, А - английский язык, Ф - физкультура.
Ответ: Всего
24 возможных варианта:
Р
М
И
А
Ф
|
Р
М
И
Ф
А
|
Р
М
А
И
Ф
|
Р
М
А
Ф
И
|
Р
М
Ф
И
А
|
Р
М
Ф
А
И
|
И
М
Р
А
Ф
|
И
М
Р
Ф
А
|
И
М
А
Р
Ф
|
И
М
А
Ф
Р
|
И
М
Ф
Р
А
|
И
М
Ф
А
Р
|
А
М
Р
И
Ф
|
А
М
Р
Ф
И
|
А
М
И
Р
Ф
|
А
М
И
Ф
Р
|
А
М
Ф
Р
И
|
А
М
Ф
И
Р
|
Ф
М
Р
И
А
|
Ф
М
Р
А
И
|
Ф
М
И
Р
А
|
Ф
М
И
А
Р
|
Ф
М
А
Р
И
|
Ф
М
А
И
Р
|
Задача
7.
Саша ходит в школу в брюках или джинсах, к ним одевает рубашки серого,
голубого, зеленого цвета или в клетку, а в качестве сменной обуви берет туфли
или кроссовки.
а) Сколько дней Саша сможет выглядеть по-новому?
б) Сколько дней при этом он будет ходить в кроссовках?
в) Сколько дней он будет ходить в рубашке в клетку и джинсах?
Решение. Построим
дерево возможных вариантов, обозначив Б - брюки, Д - джинсы, С - серая рубашка,
Г - голубая рубашка, З - зеленая рубашка, Р - рубашка в клетку, Т - туфли, К -
кроссовки.
Ответ: а)
16 дней; б) 8 дней; в) 2 дня.
Составление таблиц
Решить
комбинаторные задачи можно с помощью таблиц. Они, как и дерево возможных
вариантов, наглядно представляют решение таких задач.
Задача
8.
Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?
Решение. Составим
таблицу: слева первый столбец - первые цифры искомых чисел, вверху первая
строка - вторые цифры.
Ответ: 28.
Задача
9.
Маша, Оля, Вера, Ира, Андрей, Миша и Игорь готовились стать ведущими на
Новогоднем празднике. Назовите возможные варианты, если ведущими могут быть
только одна девочка и один мальчик.
Решение. Составим
таблицу: слева первый столбец - имена девочек, вверху первая строка - имена
мальчиков.
Ответ: Все
возможные варианты перечисляются в строках и столбцах таблицы.
Правило умножения
Этот
метод решения комбинаторных задач применяется, когда не требуется перечислять
все возможные варианты, а нужно ответить на вопрос - сколько их существует.
Задача
10.
В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для
трусов и футболок использовали белый, красный, синий и зеленый цвета, причем
были представлены все возможные варианты. Сколько команд участвовали в турнире?
Решение.
Трусы могут быть белого, красного, синего или зеленого цвета, т.е. существует 4
варианта. Каждый из этих вариантов имеет 4 варианта цвета майки.
4 х 4
= 16.
Ответ: 16
команд.
Задача
11.
6 учеников сдают зачет по математатике. Сколькими способами их можно
расположить в списке?
Решение.
Первым в списке может оказаться любой из 6 учеников,
вторым в списке может быть любой из оставшихся 5 учеников,
третьим - любой из оставшихся 4 учеников,
четвертым - любой из оставшихся 3 учеников,
пятым - любой из оставшихся 2 учеников,
шестым - последний 1 ученик.
6 х 5
х 4 х 3 х 2 х 1 = 720.
Ответ: 720
способами.
Задача
12.
Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 4, 6, 7?
Решение.
Первой в двузначном числе может быть 5 цифр (цифра 0 не может быть первой в
числе), второй в двузначном числе может быть 4 цифры (0, 2, 4, 6, т.к. число
должно быть четным).
5 х 4 = 20.
Ответ: 20
чисел.
Приложение
Карточка ученика.
1.Сколько
трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и5?
Ответ: 8
2. Андрей
зашел в магазин, чтобы купить майки. В магазине оказались майки четырех цветов:
белые, голубые, красные, черные.
а) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет
купить две майки?
Подсказка: обозначьте цвета маек буквами Б, Г, К, Ч.
Составьте дерево возможных вариантов
б) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет
купить две майки разного цвета?
3. В
классе три человека хорошо поют, двое других играют на гитаре, а еще один умеет
показывать фокусы. Сколькими способами можно составить концертную бригаду из
певца, гитариста и фокусника?
4. Наташа
сшила кукле десять разных платьев, а Даша сшила своему мишке трое штанишек и четыре
футболки. Как вы думаете, у кого больше разных нарядов – у куклы или у мишки?
5. Для начинки пирогов у Наташи
есть капуста, яйца, зелень лук и клубничное варенье. Сколько различных начинок
можно приготовить из этих продуктов? При этом не надо забывать, что пироги
должны быть вкусными. Вряд ли кто из вас захочет съесть пирог с начинкой из
капусты с клубничным вареньем.
6. Хоккейная комбинация. На поле 5
игроков. Начал комбинацию игрок № 1, продолжили игроки с другими номерами, а
забил гол игрок № 5. Каждый хоккеист ударил по шайбе только один раз. На
рисунке с помощью стрелок изображен один из возможных вариантов передачи шайбы
между игроками в данной комбинации. Изобразите в тетради все другие возможные
варианты передачи шайбы.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.