3 задачи по теме «Пирамида у которой две грани перпендикулярны основанию» (10 класс)

«Пирамида у которой две грани перпендикулярны основанию»

Пирамида у которой две грани перпендикулярны основанию, тогда и только тогда, когда:

I случай (смежные боковые грани):

1.     Боковое ребро пирамиды перпендикулярно к плоскости основания. По рис.1 АДС АВС

2.     Высота пирамиды совпадает с боковым ребром.

По рис.1 , АД - высота.

3.     Вершина пирамиды проектируется в вершину основания.                По рис.1 вершина  Д  проектируется в  А.

4.     Угол основания является линейным углом двугранного угла при боковом ребре пирамиды.

         II случай (несмежные боковые грани):

5.     Высота пирамиды принадлежит линии пересечения плоскостей двух граней.

По рис.2 , ДА – высота пирамиды ДКЕСВ.

  Рис.1                                                                                                                       Рис.2

Задача 1: Основанием пирамиды SАВСД является квадрат. Ребро SA перпендикулярно основанию. Площадь основания в m раз меньше площади боковой поверхности. Найти двугранные углы при рёбрах ВС и СД.

        Дано:

SАВСД – пирамида,

        АВСД – квадрат,

   ,.

         Найти:

         ?

         ?

Решение:

1)  линейный угол двугранного угла , так как , это следует из условия, что АВСД -  квадрат.  По теореме о трёх перпендикулярах  .

2)  линейный угол двугранного угла , так как  , это следует из условия, что АВСД – квадрат.  По теореме о трёх перпендикулярах  .

3) Рассмотрим  и , они равны по двум катетам: SA – общая сторона и АД=АВ как стороны квадрата.

4) Рассмотрим  и , они равны по трём сторонам: SC- общая сторона,  ДС=ВС как стороны квадрата и SB=SD как гипотенузы равных треугольников  и .

5) Пусть АВ=а. По условию ,

                                      ;

;

Рассмотрим  - прямоугольный, по теореме Пифагора: ,

;

;

, SD>0, так как - длина;

;

;

  / : ;

 / :;

 / *;

;

.

5)  ;

     ;

      ;

     .

Ответ:  .

Задача 2:  Основание пирамиды – прямоугольная трапеция, у которой меньшее основание равно 3, а меньшая боковая сторона равна 2 и острый  угол равен . Две её боковые грани перпендикулярны к плоскости основания. Найдите площадь боковой поверхности и объём пирамиды, если высота пирамиды равна 4.

При решении данной задачи, возможны пять случаев.

Рассмотрим 1 случай:

                      Дано:

SABCD – пирамида,

                                                                 ABCD – прямоугольная трапеция,

                                                                   BC=3, AB=2, , SB=4,

                                                  .

    Найти:

                                    ?

                                ?

Решение:

1);

 .

Дополнительное построение: проведём .

Рассмотрим - равнобедренный и прямоугольный, так как   и .

Следовательно, СК=КД=АВ=2.

АК=ВС, так как АВСК – прямоугольник.

АД=АК+КД=3+2=5;

  кв. ед.

 куб. ед.

2) Рассмотрим  -  прямоугольный, так как SB – высота пирамиды.

кв. ед.

3) Рассмотрим  - прямоугольный, так как SB -  высота пирамиды.

 кв. ед.

4) Рассмотрим  - прямоугольный, так как  в прямоугольной трапеции ABCD и SA – наклонная, тогда по теореме о трёх перпендикулярах .

;

 кв. ед.

5) Дополнительное построение: .

 по теореме обратной теореме о трёх перпендикулярах , 

- прямоугольный.

ВН=НС=.

Из прямоугольного  , по теореме Пифагора:

.

6)  кв. ед.

7) ;

     кв. ед.

Ответ:  куб. ед.,  кв. ед.

Рассмотрим 2 случай:

             Дано:

   SABCD – пирамида,

   ABCD – прямоугольная трапеция,

   BC=3, AB=2, , SС=4,  

   .

    Найти:

    ?

    ?

Решение:

1) ;

 .

Дополнительное построение: проведём .

Рассмотрим - равнобедренный и прямоугольный, так как   и .

Следовательно, СК=КД=2.

АК=ВС, так как АВСК – прямоугольник.

АД=АК+КД=3+2=5;

  кв. ед.

 куб. ед.

2) Рассмотрим - прямоугольный.

 кв. ед.

3) Рассмотрим  - прямоугольный.

.

По теореме Пифагора: .

 кв. ед.

4) Рассмотрим  - прямоугольный, так как по теореме о трёх перпендикулярах: SA – наклонная, ВС – проекция SA на (АВС),

.

Из прямоугольного , по теореме Пифагора:

;

 кв. ед.

5) Рассмотрим  .

Дополнительное построение: SK.

По теореме о трёх перпендикулярах: SK – наклонная, СK – проекция SK,

 . Значит SK – высота .

;

По теореме Пифагора: ;

 кв. ед.

6) ;

     кв. ед.

Ответ:  куб. ед.,  кв. ед.

Рассмотрим 3 случай:

                           Дано:

              SABCD – пирамида,

              ABCD – прямоугольная трапеция,

           BC=3, AB=2, , SD=4,

   .

              Найти:

             ?

              ?

Решение:

1) ;

 .

Дополнительное построение: проведём .

Рассмотрим - равнобедренный и прямоугольный, так как   и.

Следовательно, СК=КД=АВ=2.

АК=ВС, так как АВСК – прямоугольник.

АД=АК+КД=3+2=5;

  кв. ед.

 куб. ед.

2) Рассмотрим  - прямоугольный, так как SD – высота пирамиды.

.

Из прямоугольного, по теореме Пифагора: .

 кв. ед.

3) Рассмотрим - прямоугольный, так как SD – высота пирамиды.

;

 кв. ед.

4) Рассмотрим   - прямоугольный, так как  по теореме о трёх перпендикулярах: SA – наклонная, АD – проекция SA,

.

Из прямоугольного , по теореме Пифагора: .

 кв. ед.

5)  Дополнительное построение:  проведём .

По теореме обратной теореме  о трёх перпендикулярах: SH – наклонная,    DH – проекция SH,    .

Следовательно, SH – высота .

.

По теореме Пифагора: .

 кв. ед.

6) ;

     кв. ед.

Ответ:  куб. ед.,  кв. ед.

Рассмотрим 4 случай:

               Дано:

   SABCD – пирамида,

   ABCD – прямоугольная трапеция,

   BC=3, AB=2, , SА=4,

   .

    Найти:

    ?

    ?

Решение:

1) ;

   кв. ед.,

 куб. ед.

2) Рассмотрим  -  прямоугольный, так как SА – высота пирамиды.

кв. ед.

3) Рассмотрим - прямоугольный, так как SА – высота пирамиды.

;

 кв. ед.

4) Рассмотрим  - прямоугольный так как по теореме о трёх перпендикулярах: SB – наклонная, AB – проекция SB, .

По теореме Пифагора: .

.

5) Дополнительное построение: , SH.

Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах: SH – наклонная, AH -  проекция SH,  .

Значит, SH – высота .

Рассмотрим - прямоугольный и равнобедренный. Обозначим за .

По теореме Пифагора:  ;

                                      ;

                                      ;

                                      ;

.

Из прямоугольного , по теореме Пифагора:

.

 кв. ед.

6) ;

     кв. ед.

Ответ:  куб. ед.,  кв. ед.

Рассмотрим 5 случай:

                Дано:

     SABCD – пирамида,

 ABCD – прямоугольная трапеция,

     BC=3, AB=2, , SH=4,

    .

      Найти:

      ?

       ?

Решение:

1) ;

 

Рассмотрим - равнобедренный и прямоугольный,  так как по условию.

Следовательно, СК=КД=2.

АК=ВС, так как АВСК – прямоугольник.

АД=АК+КД=3+2=5;

  кв. ед.

 куб. ед.

2) Рассмотрим - прямоугольный, так как по теореме о трёх перпендикулярах:  - наклонная, AH – проекция , .

Рассмотрим - равнобедренный и прямоугольный, так как , как соответственные углы.

Следовательно, ВН=СВ=3;

АН=АВ+ВН=2+3=5.

Из прямоугольного, по теореме Пифагора: .

Из прямоугольного , по теореме Пифагора: .

3) Рассмотрим - прямоугольный, так как .

 кв. ед.

4) Рассмотрим - тупоугольный, так как по теореме о трёх перпендикулярах: SB – наклонная, НВ – проекция SB, ;

 кв. ед.

6) Рассмотрим - тупоугольный, SH – высота.

.

Из прямоугольного , по теореме Пифагора: .

кв. ед.

7) ;

     кв. ед.

Ответ:  куб. ед.,  кв. ед.