Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / 3 задачи по теме «Пирамида у которой две грани перпендикулярны основанию» (10 класс)

3 задачи по теме «Пирамида у которой две грани перпендикулярны основанию» (10 класс)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

















«Пирамида у которой две грани перпендикулярны основанию»











Пирамида у которой две грани перпендикулярны основанию, тогда и только тогда, когда:

I случай (смежные боковые грани):

  1. Боковое ребро пирамиды перпендикулярно к плоскости основания. По рис.1 АДС hello_html_514ba55e.gifАВС

  2. Высота пирамиды совпадает с боковым ребром.

По рис.1 hello_html_5d082ce9.gif, АД - высота.

  1. Вершина пирамиды проектируется в вершину основания. По рис.1 вершина Д проектируется в А.

  2. Угол основания является линейным углом двугранного угла при боковом ребре пирамиды.

II случай (несмежные боковые грани):

  1. Высота пирамиды принадлежит линии пересечения плоскостей двух граней.

По рис.2 hello_html_m6386da75.gif, ДА – высота пирамиды ДКЕСВ.C:\Users\Анна\Desktop\Элементарная математика\2.png

C:\Users\Анна\Desktop\Элементарная математика\1.png

Рис.1 Рис.2



Задача 1: Основанием пирамиды SАВСД является квадрат. Ребро SA перпендикулярно основанию. Площадь основания в m раз меньше площади боковой поверхности. Найти двугранные углы при рёбрах ВС и СД.



Дано:

SАВСД – пирамида,C:\Users\Анна\Desktop\Элементарная математика\3.png

АВСД – квадрат,

hello_html_7bf24a3d.gif,hello_html_me70949e.gif.

Найти:

hello_html_m6498cb94.gif?

hello_html_m7d4cf65a.gif?







Решение:

1) hello_html_m66639f45.gif линейный угол двугранного угла hello_html_m23eb10a7.gif, так как hello_html_17f1daa3.gif, это следует из условия, что АВСД - квадрат. По теореме о трёх перпендикулярах hello_html_m4bfa5413.gif hello_html_2f5f9640.gif.

2) hello_html_577f38ab.gif линейный угол двугранного угла hello_html_m10327fb7.gif, так как hello_html_m3f5ad7ac.gif, это следует из условия, что АВСД – квадрат. По теореме о трёх перпендикулярах hello_html_m4bfa5413.gif hello_html_249ec618.gif.

3) Рассмотрим hello_html_7e2d1772.gif и hello_html_m6173c831.gif, они равны по двум катетам: SA – общая сторона и АД=АВ как стороны квадрата.

4) Рассмотрим hello_html_m2d9c9e2e.gif и hello_html_151cf144.gif, они равны по трём сторонам: SC- общая сторона, ДС=ВС как стороны квадрата и SB=SD как гипотенузы равных треугольников hello_html_7e2d1772.gif и hello_html_m6173c831.gif.

5) Пусть АВ=а. По условию hello_html_me70949e.gif,

hello_html_36386084.gif;

hello_html_m47ee607d.gif;

Рассмотрим hello_html_7e2d1772.gif - прямоугольный, по теореме Пифагора: hello_html_m11acc746.gif,

hello_html_55bd3958.gif;

hello_html_290d284f.gif;

hello_html_m420f208b.gif, SD>0, так как hello_html_55bd3958.gif- длина;

hello_html_54de3990.gif;

hello_html_m850264.gif;

hello_html_79288ecb.gif/ : hello_html_m19c2984a.gif;

hello_html_3add1226.gif/ :hello_html_m6522ce91.gif;

hello_html_5165cfd2.gif/ *hello_html_68e3c55d.gif;

hello_html_m6393c2d5.gif;

hello_html_m139a307c.gif.

5) hello_html_52bea6dc.gif;

hello_html_m34c09c97.gif;

hello_html_1c7d573f.gif;

hello_html_m77d728e2.gif.

Ответ: hello_html_m77d728e2.gif.

Задача 2: Основание пирамиды – прямоугольная трапеция, у которой меньшее основание равно 3, а меньшая боковая сторона равна 2 и острый угол равен hello_html_m6b0bad01.gif. Две её боковые грани перпендикулярны к плоскости основания. Найдите площадь боковой поверхности и объём пирамиды, если высота пирамиды равна 4.

При решении данной задачи, возможны пять случаев.

Рассмотрим 1 случай:

Дано:C:\Users\Анна\Desktop\Элементарная математика\4.png

SABCD – пирамида,

ABCD – прямоугольная трапеция,

BC=3, AB=2, hello_html_31b26fc3.gif, SB=4,

hello_html_32c13126.gif.

Найти:

hello_html_461afe94.gif?

hello_html_m24c15f5f.gif?

Решение:

1)hello_html_m59b53e07.gif;

hello_html_3ef24555.gif.

Дополнительное построение: проведём hello_html_6219c81f.gif.

Рассмотрим hello_html_ae4226f.gif- равнобедренный и прямоугольный, так как hello_html_6219c81f.gif и hello_html_m623377f.gif.

Следовательно, СК=КД=АВ=2.

АК=ВС, так как АВСК – прямоугольник.

АД=АК+КД=3+2=5;

hello_html_8905f09.gifкв. ед.

hello_html_m73ce6e0b.gifкуб. ед.

2) Рассмотрим hello_html_5f27a7d5.gif - прямоугольный, так как SB – высота пирамиды.

hello_html_m30804f40.gifкв. ед.

3) Рассмотрим hello_html_151cf144.gif - прямоугольный, так как SB - высота пирамиды.

hello_html_2fcaf34f.gifкв. ед.

4) Рассмотрим hello_html_7e2d1772.gif - прямоугольный, так как hello_html_m4a3a754d.gif в прямоугольной трапеции ABCD и SA – наклонная, тогда по теореме о трёх перпендикулярах hello_html_36a7c368.gif.

hello_html_187b562.gif;

hello_html_36264d89.gifкв. ед.

5) Дополнительное построение: hello_html_6448a8ac.gif.

hello_html_6448a8ac.gifhello_html_m4bfa5413.gifпо теореме обратной теореме о трёх перпендикулярах hello_html_m4bfa5413.gifhello_html_m4bf074e0.gif,

hello_html_38893d1e.gif- прямоугольный.

ВН=НС=hello_html_m7785e8d0.gif.

Из прямоугольного hello_html_m474eefa1.gif, по теореме Пифагора:

hello_html_m4c4b3996.gif.

6) hello_html_m1af61ba4.gif кв. ед.

7) hello_html_m3aa86a7e.gif;

hello_html_1df74efe.gifкв. ед.

Ответ: hello_html_32d2979d.gif куб. ед., hello_html_m50b3f99d.gif кв. ед.



Рассмотрим 2 случай:

Дано:

SABCD – пирамида,C:\Users\Анна\Desktop\Элементарная математика\4.png

ABCD – прямоугольная трапеция,

BC=3, AB=2, hello_html_31b26fc3.gif, SС=4,

hello_html_20dff0f5.gif.

Найти:

hello_html_461afe94.gif?

hello_html_m24c15f5f.gif?



Решение:

1) hello_html_madcd813.gif;

hello_html_63bcab35.gif.

Дополнительное построение: проведём hello_html_6219c81f.gif.

Рассмотрим hello_html_ae4226f.gif- равнобедренный и прямоугольный, так как hello_html_6219c81f.gif и hello_html_m623377f.gif.

Следовательно, СК=КД=2.

АК=ВС, так как АВСК – прямоугольник.

АД=АК+КД=3+2=5;

hello_html_8905f09.gifкв. ед.

hello_html_m73ce6e0b.gifкуб. ед.

2) Рассмотрим hello_html_151cf144.gif- прямоугольный.

hello_html_2fcaf34f.gifкв. ед.

3) Рассмотрим hello_html_2abae8da.gif - прямоугольный.

hello_html_52fce97b.gif.

По теореме Пифагора: hello_html_6b5709dd.gif.

hello_html_2e81c3c6.gifкв. ед.

4) Рассмотрим hello_html_5f27a7d5.gif - прямоугольный, так как по теореме о трёх перпендикулярах: SA – наклонная, ВС – проекция SA на (АВС),

hello_html_7c19d076.gif.

Из прямоугольного hello_html_151cf144.gif, по теореме Пифагора:

hello_html_2aba816d.gif;

hello_html_m2a247606.gifкв. ед.

5) Рассмотрим hello_html_7e2d1772.gif.

Дополнительное построение: SK.

По теореме о трёх перпендикулярах: SK – наклонная, СK – проекция SK,

hello_html_m44b21fb2.gif. Значит SK – высота hello_html_7e2d1772.gif.

hello_html_7e414483.gif;

По теореме Пифагора: hello_html_52bb9faa.gif;

hello_html_m75b1f62e.gifкв. ед.

6) hello_html_m3aa86a7e.gif;

hello_html_1d67cea.gifкв. ед.

Ответ: hello_html_32d2979d.gifкуб. ед., hello_html_m5daf562e.gif кв. ед.



Рассмотрим 3 случай:

Дано:

SABCD – пирамида,C:\Users\Анна\Desktop\Элементарная математика\4.png

ABCD – прямоугольная трапеция,

BC=3, AB=2, hello_html_31b26fc3.gif, SD=4,

hello_html_13e12f24.gif.

Найти:

hello_html_461afe94.gif?

hello_html_m24c15f5f.gif?



Решение:

1) hello_html_m3a6ab626.gif;

hello_html_63bcab35.gif.

Дополнительное построение: проведём hello_html_6219c81f.gif.

Рассмотрим hello_html_ae4226f.gif- равнобедренный и прямоугольный, так как hello_html_6219c81f.gif иhello_html_m623377f.gif.

Следовательно, СК=КД=АВ=2.

АК=ВС, так как АВСК – прямоугольник.

АД=АК+КД=3+2=5;

hello_html_8905f09.gifкв. ед.

hello_html_m73ce6e0b.gifкуб. ед.

2) Рассмотрим hello_html_2abae8da.gif - прямоугольный, так как SD – высота пирамиды.

hello_html_52fce97b.gif.

Из прямоугольногоhello_html_ae4226f.gif, по теореме Пифагора: hello_html_6b5709dd.gif.

hello_html_2e81c3c6.gifкв. ед.

3) Рассмотрим hello_html_m6a826fe4.gif- прямоугольный, так как SD – высота пирамиды.

hello_html_3312836b.gif;

hello_html_462fed4d.gifкв. ед.

4) Рассмотрим hello_html_5f27a7d5.gif - прямоугольный, так как hello_html_4b78aeed.gif по теореме о трёх перпендикулярах: SA – наклонная, АD – проекция SA,

hello_html_m465c89ca.gif.

Из прямоугольного hello_html_5f27a7d5.gif, по теореме Пифагора: hello_html_4b878437.gif.

hello_html_m4b9a013b.gifкв. ед.

5) Дополнительное построение: проведём hello_html_7ebc50a6.gif.

По теореме обратной теореме о трёх перпендикулярах: SH – наклонная, DH – проекция SH, hello_html_3da3f636.gifhello_html_m4bfa5413.gif hello_html_m5ff0672a.gif.

Следовательно, SH – высота hello_html_5764a10d.gif.

hello_html_m7ff6552.gif.

По теореме Пифагора: hello_html_15b42ab5.gif.

hello_html_m3a4e939.gifкв. ед.

6) hello_html_m3aa86a7e.gif;

hello_html_4eb61ede.gifкв. ед.

Ответ: hello_html_32d2979d.gifкуб. ед., hello_html_4eb61ede.gif кв. ед.



Рассмотрим 4 случай:

Дано:C:\Users\Анна\Desktop\Элементарная математика\4.png

SABCD – пирамида,

ABCD – прямоугольная трапеция,

BC=3, AB=2, hello_html_31b26fc3.gif, SА=4,

hello_html_m74312fcf.gif.

Найти:

hello_html_461afe94.gif?

hello_html_m24c15f5f.gif?



Решение:

1) hello_html_m10f505d1.gif;

hello_html_mab70710.gifкв. ед.,

hello_html_52319753.gifкуб. ед.

2) Рассмотрим hello_html_5f27a7d5.gif - прямоугольный, так как SА – высота пирамиды.

hello_html_m30804f40.gifкв. ед.

3) Рассмотрим hello_html_7e2d1772.gif- прямоугольный, так как SА – высота пирамиды.

hello_html_39717683.gif;

hello_html_2c8678c5.gifкв. ед.

4) Рассмотрим hello_html_151cf144.gif - прямоугольный так как по теореме о трёх перпендикулярах: SB – наклонная, AB – проекция SB, hello_html_765f590e.gif.

По теореме Пифагора: hello_html_19eba11b.gif.

hello_html_57802d08.gif.

5) Дополнительное построение: hello_html_m37cd2d86.gif, SH.

Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах: SH – наклонная, AH - проекция SH, hello_html_m37cd2d86.gifhello_html_m4bfa5413.gif hello_html_4c1d4ff8.gif.

Значит, SH – высота hello_html_2abae8da.gif.

Рассмотрим hello_html_242f75b7.gif- прямоугольный и равнобедренный. Обозначим за hello_html_d9c1cdf.gif.

По теореме Пифагора: hello_html_675b9fe0.gif;

hello_html_m4e5c949f.gif;

hello_html_73c9e957.gif;

hello_html_394a98e1.gif;

hello_html_m2732358b.gif.

Из прямоугольного hello_html_5404b4b0.gif, по теореме Пифагора:

hello_html_47b871ed.gif.

hello_html_74ceb614.gifкв. ед.

6) hello_html_m3aa86a7e.gif;

hello_html_32b488d1.gifкв. ед.

Ответ: hello_html_32d2979d.gifкуб. ед., hello_html_m457925db.gif кв. ед.



Рассмотрим 5 случай:

Дано:

SABCD – пирамида,C:\Users\Анна\Desktop\Элементарная математика\4.png

ABCD – прямоугольная трапеция,

BC=3, AB=2, hello_html_31b26fc3.gif, SH=4,

hello_html_3bc869ea.gif.

Найти:

hello_html_461afe94.gif?

hello_html_m24c15f5f.gif?



Решение:

1) hello_html_5f7dc571.gif;

hello_html_63bcab35.gif

Рассмотрим hello_html_ae4226f.gif- равнобедренный и прямоугольный, так как по условиюhello_html_m623377f.gif.

Следовательно, СК=КД=2.

АК=ВС, так как АВСК – прямоугольник.

АД=АК+КД=3+2=5;

hello_html_m35e27b81.gifкв. ед.

hello_html_m53bb11ee.gifкуб. ед.

2) Рассмотрим hello_html_5404b4b0.gif- прямоугольный, так как по теореме о трёх перпендикулярах: hello_html_2bc382b0.gif - наклонная, AH – проекция hello_html_2bc382b0.gif, hello_html_m56f60bfd.gif.

Рассмотрим hello_html_7882c8b1.gif- равнобедренный и прямоугольный, так как hello_html_66e363cd.gif, как соответственные углы.

Следовательно, ВН=СВ=3;

АН=АВ+ВН=2+3=5.

Из прямоугольногоhello_html_m474eefa1.gif, по теореме Пифагора: hello_html_m6d77526b.gif.

Из прямоугольного hello_html_5404b4b0.gif, по теореме Пифагора: hello_html_1083e5dd.gif.

3) Рассмотрим hello_html_7e2d1772.gif- прямоугольный, так как hello_html_m56f60bfd.gifhello_html_6c3ccf72.gif.

hello_html_15444bb2.gifкв. ед.

4) Рассмотрим hello_html_5f27a7d5.gif- тупоугольный, так как по теореме о трёх перпендикулярах: SB – наклонная, НВ – проекция SB, hello_html_m24218e60.gif;

hello_html_m32ff505e.gifкв. ед.

6) Рассмотрим hello_html_2abae8da.gif- тупоугольный, SH – высота.

hello_html_m54fa96e6.gif.

Из прямоугольного hello_html_ae4226f.gif, по теореме Пифагора: hello_html_6b5709dd.gif.

hello_html_564a706e.gifкв. ед.

7) hello_html_m3aa86a7e.gif;

hello_html_2148d30b.gifкв. ед.

Ответ: hello_html_32d2979d.gifкуб. ед., hello_html_2148d30b.gif кв. ед.







Автор
Дата добавления 11.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров265
Номер материала ДВ-052072
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх