Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Задачи повышенной трудности (9 класс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Задачи повышенной трудности (9 класс)

библиотека
материалов

Решение задач повышенной трудности

Алгебра 9 класс. Москва «Просвещение» 2015. Ю.М.Колягин, М.В.Ткачёва и др.

721

Доказать, что если натуральное число не делится на 3, то остаток от деления квадрата этого числа на 3 равен 1.

Решение:

если число х не делится на 3, то х=3п+1 или х=3п+2, тогда х2=(3п+1)2=9п2+6п+1 или х2=(3п+2)2=9п2+12п+4=9п2+12п+3+1.

Остаток от деления на 3 этих чисел равен 1.

722

Доказать, что при любом натуральном п число 3п +2 не является квадратом целого числа.

Решение:

Число п может быть чётным: п =2а, или нечётным: п =2а+1, где а — натуральное число.. Допустим квадрат числа п равен 3п +2, тогда (2а)2=3(2а) +2, 4а2 =6а +2, 4а2-6а-2=0. Натуральные числа не являются решением этого уравнения. При нечётном п =2а+1, получим:(2а+1)2=3(2а+1)+2, 4а2+4а+1=6а+5, 4а2-2а-4=0, 2а2-а-2=0.

Натуральные числа не являются решением этого уравнения.

723

1) Доказать, что число 1070-361 делится на 27.

Решение:

1070-361=100...0-361=99...9639, в числе 100...0 семьдесят нулей, в числе 99...9639 первых 67 девяток. Число делится на 27, если частное при делении на 9 делится на 3. 99...9639:9:3=111...1071:3, в записи делимого первые 67 единиц. Сумма цифр делимого равна 67 + 0 +7 +1=75 и делится на 3, следовательно, 1070-361 делится на 27.

2) Доказать, что число 1080-298 делится на 99.

Решение:

Число делится на 99, если делится и на 9 и на 11. 1089-298=99...9702, в записи этого числа первые 77 девяток. 99...9702:9:11=11...1078:11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11. Проверим число 11...1078 на делимость на 11.

1-1+1-1...+1-0+7-8=0 делится на 11, следовательно, число 1080-298 делится на 99.

3) Доказать, что число 9150-1975 делится на 18.

Решение:

9150-1975=(90+1)50-(18+1)75=(18*5+1)50-(18+1)75= =((18*5)50+50*(18*5)49+...50*(18*5)*149+150)-(1875+75-1874+....+75*18+175) эта разность делится на 18 , так как 150-175=0 , а остальные компоненты кратны числу 18.

4) Доказать, что число (75*94)26+(39*56)25 делится на 19.

Решение:

(75*94)26+(39*56)25=(7050)26+(2184)25=(371*19+1)26+(115*19-1)25 первое слагаемое содержит 27 членов, первые 26 кратны числу 19, а последний член = 1, второе слагаемое содержит 26 членов, первые 25 кратны числу 19, а последний член = -1, следовательно сумма содержит слагаемые кратные числу 19 и (75*94)26+(39*56)25 и делится на 19.

724

Доказать,что если сумма цифр натурального числа не меняется при умножении его на 5, то это число делится на 9.

Решение:

Натуральное число п кратное числу 9: п=9к, тогда 5п=45к, сумма цифр числа равна сумме цифр числа 45к (4+5=9). Если число п не делится нацело на 9, то при умножении на 5 сумма цифр числа меняется

725

Пусть т, п-натуральные числа, и пусть т-1 делится на 3п. Доказать, что т3-1 делится на 3п+1.

Решение:

Так как т-1 делится на 3п, то т-1= 3пх, где х — натуральное число, тогда т=1+3пх,

т3-1=(1+3пх,)3-1=1+3*1* 3пх+3*1*( 3пх)2+( 3пх)3-1= 3пх(3+ 3пх+( 3пх)2)= 3пх*3(1+ 3пх+32п-1х2)=

3п+1х*(1+ 3пх+32п-1х2) делится на 3п+1.

726

Доказать, что не существует целых чисел х, у, для которых справедливо равенство х22=2014.

Решение:

(х-у)(х+у)=2*19*53. Рассмотрим системы уравнений: 1) х-у=2 и х+у=1007, 2)х-у=19 и х+у=106, 3) х-у=38 и х+у=53, ни одна из этих систем не имеет целого решения, следовательно, не существует целых чисел х, у, для которых справедливо равенство

х22=2014.

727

Пусть т и п -взаимно простые натуральные числа. Доказать, что не существует натуральных чисел х и у, удовлетворяющих уравнению тх+пу=тп.

Решение:

Допустим, что существуют натуральные числа х и у, удовлетворяющие уравнению тх+пу=тп, тогда пу=тп- тх, пу=т(п- х), следовательно, т и п — не взаимно простые, что противоречит условию. Значит, допущение неверно и не существует натуральных чисел х и у, удовлетворяющих уравнению тх+пу=тп.

728

Доказать, что число 7п2+1 не делится на 3 ни при каком натуральном п.

Решение:

Рассмотрим случаи, когда п кратно числу 3, п =3т, тогда 7п2+1 =7*2+1 не делится на 3 ни при каком натуральном т. Рассмотрим случаи, когда п не кратно числу 3, п =3т+1 или п =3т+2. Тогда 7п2+1 =7( 3т+1)2+1=63т2+42т+7+1= 63т2+42т+6+2 не делится на 3 ни при каком натуральном т. При п =3т+2 получим 7п2+1 =7( 3т+2)2+1= 63т2+84т+28+1= 63т2+84т+27+2 — не делится на 3 ни при каком натуральном т.

729

Доказать, что не существует целых чисел х и у удовлетворяющих уравнению 15х2=9+7у2.,

Решение:

х2=hello_html_meaabc1.gif, так как числитель дроби не делится нацело на 3, следовательно, не делится на 15, следовательно, не существует целых чисел х и у удовлетворяющих уравнению 15х2=9+7у2.,

730

Если т, п и к натуральные числа и т+п+к делится на 6, то т3+п33 также делится на 6.

Доказать

Решение:

( т+п+к)3=( т+п)3+3( т+п)2к+3( т+п)к233+3т2п+ 3тп2+п3+3( т+п)к(т+п+к)+к3,

т3+п33=( т+п+к)3-3тп(т+п)-3( т+п)к(т+п+к).

( т+п+к)3 и 3( т+п)к(т+п+к) делится на 6. Выражение 3тп(т+п) делится на 3 и на 2 при

т или п чётное, а если и т и п нечётные, то т+п- чётное.

.731

Доказать, что если натуральные числа т и п не делятся на 5, то число т4-п4 делится на 5.

Решение

Пусть т=5а+х, п=5в+у, где а, в, х, у — натуральные числа и х — остаток от деления числа т на 5, у — остаток от деления числа п на 5 могут быть числами: 1,2,3,4. т4-п4= (5а+х)4-( 5в+у)4 = ( 5а)4+4( 5а)3 х+6(5а)2 х2+4* 5а*х34-(( 5в)4+4( 5в)3у+6(5в)2у2+4( 5в)у34). Из полученных 10 одночленов на 5 не делятся х4 и у4 Рассмотрим разность х44, если х =у, то х44 = 0 и число т4-п4 делится на 5. Если х и у разные числа (2;1), (3;1), (4;1), (3;2), (4;2),(4;3), при всех допустимых значениях (х;у) разность х44 делится на 5 без остатка, следовательно, если натуральные числа т и п не делятся на 5, то число т4-п4 делится на 5.

732

Доказать, что для любых целых чисел т и п число т6п2-п6т2 делится на 30.

Решение:

т6п2-п6т2 = т2п2( т4-п4). Число делится на 30, если делится и на 2, и на 3, и на 5.

Если т или п кратно числу 5, то данное выражение делится на 5. Если т и п не делятся на 5, то т4-п4 кратно числу 5 (№732). Если т или п чётное число, то данное выражение делится на 2. Если т и п нечётные числа, то т4-п4-чётное число и данное выражение делится на 2.

Если т или п кратно числу 3, то данное выражение делится на 3. Если т и п не кратны числу 3, то т4-п4 = ( т2-п2)( т2+п2), а т2-п2 делится на 3 (№721). Следовательно, для любых целых чисел т и п число т6п2- п6т2 делится на 30 (и на 60).

733

Доказать, что дробь hello_html_m47755419.gif, где п -натуральное число, можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, разность которых равна двум.

Решение:

Рассмотрим числитель дроби: (п+1)4 + п4-1 = (п+1)4-1+ п4 = ((п+1)2-1)((п+1)2-1) + п4 =

(п2+2п)( п2+2п+2)+ п4 = 2п4+4п3+6п2+4п = 2n(n3+2n2+3n+2) =2n(n3+2n2+n+2n+2) =

= 2n(n(n+1)2+2{n+1)) = 2n(n+1)(n(n+1)+2) =2(n2+n)(n2+n+2). Получили:

hello_html_m47755419.gif=hello_html_579048ac.gif= (n2+n)(n2+n+2).

734

Доказать, что ни при каких натуральных числах т и п не может быть верным равенство:

1) т(т+1)=п(п+2)

Решение:

При т=п и при т<п левая часть равенства меньше правой части, при т>п левая часть равенства больше правой. Допустим, т > = n+1. Тогда (n+1 )(n+2) =п2+3п+2 > п2+2п, значит, т(т+1) > п(п+2) при m >n.

Левая часть равенства — произведение двух последовательных натуральных чисел всегда чётное число. Правая часть равенства — произведение двух последовательных натуральных чисел одинаковой чётности может быть или числом нечётным, или числом чётным. При нечётном п правая часть неравенства — нечётное число.

735

Доказать, что ни при каком натуральном числе п сумма п3+6п2+15п+15 не делится на п+2.

Решение:

Если бы выражение делилось на п+2, тогда п = -2 являлось бы корнем уравнения п3+6п2+15п+15 =0. При п = -2 получим (-2)3+6(-2)2+15п+15=0, -8+24-30+15=0, -38+39, 1 =0, неверно, следовательно, п = -2 не является корнем уравнения п3+6п2+15п+15 =0 и сумма п3+6п2+15п+15 не делится на п +2 ни при каком натуральном числе п.

736

Найти все натуральные числа п, при которых число п4+п2+1 является простым.

Решение:

Разложим на множители многочлен п4+п2+1. п4+п2+1 = п4+2п2-п2+1=( п2+1)2-п2 =

( п2+1+п)( п2+1-п). Так как простое число имеет только 2 делителя: 1 и само число, то или

п2+1+п =1 или п2+1+п =1. Из первого уравнения п1 =0, п2 =-1 числа не натуральные.

Из второго уравнения п1 =0, п2 =+1.Следовательно, только при п = 1 число п4+п2+1 является простым.

737

Найти все пары целых чисел х,у, удовлетворяющих уравнению х22+2у+13.

Решение:

х22-2у-1=12, х2-(у+1)2=12, (х-у-1)(х+у+1) = 12, так как х и у целые числа, то сомножители в левой части уравнения целые числа. Число 12 равно произведению чисел или 2 на 6 , или -2 на -6, или 3 на 4, или -3 на -4. Если множители равны числам 3 и 4, то значения х и у дробные, что не удовлетворяет условию. Получили 4 системы уравнений: 1) х-у-1 = 6 и х+у+1 = 2, 2) х-у-1 = -6 и х+у+1 = -2, 3) х-у-1 = -2 и х+у+1 = -6, 4 ) х-у-1 = 2 и х+у+1=6,

Ответ: (4;-3), (-4;1), (-4;-3), (4;1).

738

Найти четыре последовательных натуральных числа, произведение которых равно 50400

Решение;

Разложим на простые множители число 5040.

5040 = 23*32*7, значит 5040 = 7*8*9.

Ответ: 5040 = 7*8*9.

739

Пусть m,n,p,q - натуральные числа, и пусть значение многочлена mx3+nx2+px+q при любом х есть целое число, делящееся на 5. Доказать, что каждое из чисел m,n,p,q делится на 5.

Решение:

Если многочлен при любом х делится на 5, то при х = 0 получим q кратно числу 5. Значит и mx3+nx2+px кратно числу 5 при любом х.

х(mx2+nx+p) при любом х есть целое число, делящееся на 5, то mx2+nx+p кратно числу 5 при любом значении х. При х = 0 получим p кратно числу 5, тогда mx2+nx кратно числу 5 .

х(mx+n) при любом х есть целое число делящееся на 5, то mx+n кратно числу 5, при х = 0

п кратно числу 5, mх при любом х делится на 5 если m кратно числу 5.


740

Доказать, что если a,b, c- натуральные числа, то дискриминант D=b2-4ac квадратного трёхчлена не может принимать значение, равное 63.

Решение:

Допустим b2-4ac =63,тогда b2 =63+4ac, значит b нечётное число. Пусть b =2п+1,тогда (2п+1)2 = 63+4ac, 4п2+4п+1 = 63+4ac, 4п2+4п-4ас = 63-1, 4п2+4п-4ас = 62. Правая часть равенства делится на 4 нацело, а левая нет, значит, если a,b, c — натуральные числа, то дискриминант D =b2-4ac квадратного трёхчлена не может принимать значение, равное 63.


hello_html_617034be.gif

Автор
Дата добавления 02.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров155
Номер материала ДБ-310900
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх