Задачи с целыми числами. Вторая часть (материал для подготовки к ЕГЭ по математике (профильный уровень))

Задачи с целыми числами

Вторая часть.

Дихтярь М. Б.

Задачи на нахождение числа

54. Найдите все двузначные числа, удовлетворяющие следующим условиям: 1) сумма этого числа с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, является квадратом натурального числа; 2) разность этого числа с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, является кубом натурального числа.

Решение. Если искомое число  где  то число – это число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Из условия задачи следует, что существуют натуральные числа  и  такие, что  и  Имеем систему

Так как , , то из первого уравнения системы  (1) следует, что   и  Имеем систему

Искомые числа: 47 и 74.

Ответ. 47 и 74.

55. Найдите все трёхзначные числа, которые уменьшаются в 6 раз после зачёркивания в нём первой цифры.

Решение. Пусть  является искомым числом. По условию задачи: Так как  то из уравнения следует, что  Так как  то

Итак,  и . Так как , то возможны следующие случаи:  или или  или

Тогда искомыми числами являются числа: 120,  240,  360,  480.

Ответ. 120,  240,  360,  480.

56. Найдите четырёхзначное число, у которого совпадают первая и четвёртая цифры и совпадают вторая и третья цифры и которое является кубом некоторого натурального числа.

 Решение. Пусть  является искомым числом. И пусть существует натуральное число с такое, что

Отметим:  является четырёхзначным числом.

Из равенства  следует, что  кратно 11. Тогда делится на  Это означает, что существует  такое, что  Так как  четырёхзначное число, то только  удовлетворяет условию задачи. В этом случае

Ответ. 1331.

57. Найдите 1234 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного точного квадрата.

Решение. Отметим:  

Очевидно,  

Такими числами являются числа

Ответ. .

58. Произведение пятизначного числа на 17 есть четвёртая степень некоторого числа. Найдите пятизначное число.

Решение. Пусть х является искомым пятизначным числом. Так как 17х есть четвёртая степень некоторого числа у, то  Так натуральное число  делится на 17, то  кратно 17. Это означает, что существует  такое,  что 

Так как х является пятизначным числом, то

Если  то  

Ответ. 78 608.

59. Найдите два натуральных числа, произведение которых пятизначное число является четвёртой степенью некоторого числа, а частное этих чисел является кубом этого же числа.

Решение. Пусть a и b являются искомыми числами. Тогда для некоторого числа с, по условию, имеем

Так как  то  . И так как  – пятизначное число и , то  пятизначное число. Имеем

Из (1) следует, что  Так как  то

Ответ.4; 16 384

60. Найдите наименьшее натуральное число, которое при умножении на три становится кубом, а при умножении на 7 становится седьмой степенью.

Решение. Пусть х искомое число. По условию задачи существуют числа  такие, что

Из равенства  следует: так как а натуральное число, то оно принимает наименьшее значение, если  Тогда искомое число  

Ответ.

61. У натурального числа n ровно 9 натуральных делителей (включая единицу и само число). Сумма этих делителей равна 9517. Найдите такое число.

Решение. Пусть искомое натуральное число представлено в виде , где  – простые числа,  – натуральные числа. Число делителей числа n, включая единицу и число n, равно .

         Так как число делителей равно  9, то

Так как  – натуральные, не равные единицы числа, то возможны два случая.

1.

Если , то  

Найдём .

Делителями числа n являются числа:  По условию задачи

 

Рассмотрим уравнение . Так как , то из неравенства  следует, что , Проверкой убеждаемся, что ни  ни  не удовлетворяют уравнению (1).

Искомое число не может принимать вид  

2.

 Если ,  то  

Найдём  и .

Делителями числа n являются числа:

По условию задачи, имеем,

Таким образом,

Так как последнее уравнение симметрично относительно  и а числа 307, 31 – простые, то  находим из системы 

 

Так как  простые числа, то последней системе, удовлетворяют числа

Искомым числом, является число  

  Ответ. 7225.

В задачах 62 - 64 воспользуемся следующим:

62. Найдите трёхзначное число  которое удовлетворяет условию

Решение. По условию задачи:

 

        Таким образом, получили

Ответ. 857.

63. Шестизначное число начинается с цифры 4, если цифру 4 переставить в конец числа, то оно уменьшится в 1,5 раза. Найдите шестизначное число.

Решение. Пусть  является искомым числом. По условию задачи,  

 

        Таким образом,   

        Так как  то искомое число  

Ответ. 4285 71.

64. Найдите наименьшее натуральное число, которое увеличивается в 4 раза после перестановки последней цифры на первое место.

 Решение. Пусть  является искомым числом. По условию задачи,

         Так как , то из уравнения  следует, что  делится на 13.

        Перебором находим, что наименьшим числом  , которое делится на 13, является  число   Очевидно,

Итак,

         Так как , то  является пятизначным числом, а тогда  Так как надо найти наименьшее число, то

Так как  и , то , а тогда

Итак, наименьшим числом, удовлетворяющим условию задачи, является число 102 564.

Ответ. 102 564.

65. Найдите все четырехзначные числа, делящиеся на 11, у которых сумма цифр равна 34.

Решение. Пусть  искомое четырёхзначное число. По условию задачи  Так как число х делится на 11, то существует целое число т такое, что  Имеем систему

Так как  а  и  с  цифры числа, то   Тогда

Так как   то из первого второго уравнения системы (1) следует, что   а из второго уравнения системы (1) следует, что

Так как   цифры числа, то

из уравнения  следует:  или 

из уравнения  следует:  или 

Искомые числа:  9988,  9898,  8899,  8998.

Ответ: 9988, 9898, 8899, 8998.

66. Найдите трёхзначные числа кратные 17, у которых сумма цифр также кратна 17.

Решение. Пусть  является искомым числом.

Так как число  кратно 17, то  существует число   такое, что   и    

Так как сумма цифр числа при делении на 9 даёт остаток, равный  то и искомое число при делении на 9 даёт остаток, равный  Число  при делении на 9 даёт остаток, равный  если при делении на 9 число  даёт остаток, равный  1. Это означает, что существует число  такое, что  

Итак, число  при делении на 9 даёт остаток, равный  Так как   и ,  то

Надо найти трёхзначное число   где

Таким образом, имеем

если  то  не удовлетворяет условию;

если  то  не удовлетворяет условию;

если  то  удовлетворяет условию;

если  то  удовлетворяет условию;

если  то  удовлетворяет условию;

если  то  удовлетворяет условию;

Ответ. 476; 629; 782; 935.

67. Найдите все натуральные числа, меньше , которые делятся на  2998 и у которых сумма цифр равна 32.

Решение. Так как искомое число х делится на  2998, то существует натуральное число  такое что  Из условия задачи следует, что    

Остаток от деления числа 32 на 9 равен 5. Так как сумма цифр искомого числа равна 32, а число и сумма цифр этого числа имеют одинаковые остатки при делении на 9, то число  при делении на 9 имеет остаток, равный 5. Тогда, так как , то n при делении на 9 имеет остаток, равный 5. Так как   то n может принимать хотя бы одно из значений 5, 14, 23,  32.

Числа  где  удовлетворяют условию задачи, если  сумма цифр этих чисел равна 32. Имеем

если  то  (сумма цифр равна 23);

если  то  (сумма цифр равна 23);

если  то  (сумма цифр равна 32);

если  то  (сумма цифр равна 32).

Ответ. 68 954 и 95 936.

68. Четырёхзначное число делится на 7 и 3. После умножения его на 19 и делении на 43 получился остаток 34. Найдите наименьшее четырёхзначное число, которое удовлетворяет условию задачи.

Решение. Так как искомое четырёхзначное число А делится на простые числа 3 и 7, то число А делится на  Тогда существует  такое, что  Так как  является четырёхзначным числом, то

Так как после умножения числа А на 19 и делении на 43 получился

 остаток 34, то получили новое целое число х, такое, что

Найдём наименьшее натуральное число , при котором  целое число.   Преобразуем

         Итак,    

         Наименьшие значение  , при котором х является целым числом, находим из уравнения  

Так как искомое число , где , то 

Ответ. 1 113.

69. Найдите число, при делении на которое три числа 3 123,  3 927, и 4 932 имеют один и тот же остаток.

Решение.  Отметим: Если натуральное число х является делителем разности двух натуральных чисел а и b, то остатки при делении этих чисел на х будут равны.

Найдём разности данных чисел

         Общий делитель полученных разностей, а значит и данных чисел, равен 201.

Ответ. 201.

70. Найдите наименьшее натуральное число n, отличное от 1, которое при делении на каждое из чисел 5, 7, 9, 10, 12, 15 даёт соответственно остатки 3, 5, 7, 8, 10, 13.

Решение. По условию искомое натуральное число  может быть представлено в виде

 где

Итак,  делится без остатка на числа 5, 7, 9, 10, 12, 15. Тогда наименьшее значение  равно  Имеем

         Итак,

Ответ.

71. Найдите наименьшее натуральное число n такое, что n делится

на 17, а  n+2  делится на 74.

Решение. Так как по условию  то . Так как  и  чётные числа, то  тоже чётное число, а тогда  чётное число. Тогда   Итак, имеем

         Из уравнения  следует, что  кратно 17, а тогда

         Наименьшее натуральное число r, при котором уравнение  имеет решение, равно 1, при этом  Тогда требуемое наименьшее натуральное число n находим из уравнения

Ответ.

72. Найдите наименьшее натуральное число х, которое при делении на 19 даёт остаток, равный 12, при делении на 7 даёт остаток, равный 6.

 Решение. По условию, искомое натуральное число  может быть представлено в виде  где  Тогда

 

Число натуральное число, если  делится на 7. Наименьшим значением , при котором  делится на 7 является  Если  то  

Ответ.

73. Два трёхзначных числа, записанных одно за другим, образуют шестизначное число, которое делится на их произведение. Найдите эти числа.

 Решение. Пусть  и  искомые числа.

Рассмотрим  шестизначное число

       По условию число  делится на произведение ху. Тогда А делится на каждый сомножитель х и у. Так как А и слагаемое 1000х делится на х, то у делится на х. Так как у делится на х, то существует число  такое, что  Так как х и у трёхзначные числа, то

Имеем            

Так как  делится на , то  делится на , а тогда  1000 делится на . Так  и  делитель 1000, то  

Найдём трёхзначные числа  х  и  , где  из условия, что    делится на    

1) Пусть  Так как  делится на трёхзначное число , то  Так как  то  

2) Пусть  Так как  делится на трёхзначное число  то

3) Пусть  Так как  делится на трёхзначное число  где х трёхзначное число, то в этом случае . четырёхзначное число, но 4х трёхзначное число. Тогда

4) Пусть  Так как  делится на трёхзначное число  где х трёхзначное число, то в этом случае  четырёхзначное число, но 5х трёхзначное число. Тогда

5) Пусть  Так как  делится на трёхзначное число  где х трёхзначное число, то в этом случае  четырёхзначное число, но 8х трёхзначное число. Тогда

Ответ.  и ; ,

74. Найдите наименьшее число, куб которого оканчивается на 77.

Решение. Куб числа оканчивается на 7, тогда и только тогда, когда последняя цифра этого числа равна 3. Тогда искомое число  где . Число  оканчивается на 77, если существует число  такое, что  Тогда

Так как правая часть уравнения  кратно 10, то  кратно 10. Наименьшим числом при котором  кратно 10 является  Если  то

Итак, искомое число равно 53.

Ответ. 53.

75. После умножения числа Х на число 436 получили пятизначное число, которое оканчивается на 64. Найдите число Х.

Решение. Пусть . Так как У является пятизначным числом, то  

Так как  то  где целые числа a и b, удовлетворяют условиям  

Имеем   Так как число    оканчивается на 64, то число  тоже оканчивается на 64. Число  оканчивается на 64, если существует число  такое, что  

Так как  и   то

Произведение  оканчивается на 4 тогда и только тогда когда  или  

1) Пусть . Тогда (1) принимает вид

Из уравнения  следует, что   кратно 5. Так как  то это возможно, если  

Так как  где   и  то

2) Пусть . Тогда (1) принимает вид

Из уравнения  следует, что   кратно 5. Так как  то это возможно, если  

Так как  где   и  то

Ответ.

76. Найдите все натуральные числа, которые в 273 больше суммы своих цифр.

Решение. Если число делится на 9 (на 3) без остатка, то сумма цифр этого числа делится на 9 (на 3) без остатка.

1. Пусть натуральное число  больше в 273 раз суммы своих цифр. Тогда 

Так как число 273 делится на 3, то и число  делится на 3. Это означает, что число  делится на 3. А тогда  делится на 9. Это означает, что число , а значит и число , делится на 9. Тогда  Из двойного неравенства следует:  существует натуральное число k, удовлетворяющее условию  такое, что

2. Надо найти числа

 

Определим значения  n, при которых выполняется равенство (1).

Из (1) следует, что  

Оценим k:

         1) Если  то из  (2) следует, что

Если  и  то

Число 2457 не удовлетворяет условию задачи, так как

Если  и  то

Так как то число 4914 удовлетворяет условию задачи.

Если  и  то

Если  и  то

Проверкой убеждаемся, что числа 7371 и 9828 не удовлетворяет условию задачи.

2) Если  то из (2) следует: так как  и  то   Если  и  то  

Проверкой убеждаемся, что число 12285 не удовлетворяет условию задачи.

3)  Пусть   Отметим: если натуральное число  то

Из первого двойного неравенства системы (2) следует:  Сравним  и  если  

Итак, если  то  Но из второго двойного неравенства системы (2) следует:  Это означает, что не существуют натуральных чисел удовлетворяющих условию задачи.

Ответ. 4914.

77. Найдите все натуральные числа, которые в 115 больше суммы

своих цифр.

Решение. Пусть натуральное число  в 115 раз больше суммы своих цифр. Так как то  и число  делится на 5. Это означает, что  или  

1. Если  то

Так как  и цифры числа, то уравнение (1) не имеет решений.

2. Если  то

 

         Надо найти числа  где  или  которые удовлетворяют уравнению (2).

         1) Пусть  Тогда уравнение (2) принимает вид

         Так как ,     то из уравнения (3) следует, что

Если  то (2) принимает вид

Так как , то  кратно 7. Тогда  решения уравнения  

Так как то

Так как  то число 1380 удовлетворяет ли условию задачи.

2) Пусть  Тогда уравнение (2) принимает вид

         Так как  то из уравнения (4) следует, что

         Так как , то уравнение (4) принимает вид

Из уравнения  следует, что  кратно 7. Тогда, если

 то   если  то

         Так как то

Так как то  

Проверкой убеждаемся, что числа 1035 и 1725 удовлетворяют условию задачи.

3. Пусть  Тогда

Если  то в уравнении (5) коэффициент при не меньше 9885. Тогда  левая часть уравнения (5) не меньше 9885.

Оценим правую часть уравнения (5). Имеем

         Итак, если  то в уравнении (5) левая часть не меньше 9885, а правая часть – не больше 2106. Это означает: если  то не существуют натуральных чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ. 1035, 1380, 1725.

78. Найдите натуральное число, если для записи его шестой степени используются цифры: 2, 4, 5, 8, 8, 9, 9.

Решение. Пусть а искомое натуральное число.

Число  делится на 3 так как сумма цифр  числа n равна  Так как а натуральное число, то и число а, делится на 3.

Оценим число а:

 

Так как а является  натуральным числом, которое делится на три, то из двойного неравенства  следует, что  Тогда искомым натуральным числом является число  

Ответ.

79. Найдите шестизначное число, которое при умножении на 9 даёт число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Решение. Пусть  является искомым числом. По условию задачи имеем   .

         Так как число  является шестизначным, то из (1) следует, что  и так как  оканчивается на , то  Таким образом, имеем

         Получили уравнение  

1. Рассмотрим уравнение (2), если   то

        Так как  кратно 10, то и  кратно 10. Так как  и  кратно 10, то  Тогда уравнение (3) принимает вид

Так как  то из уравнения  следует, что

Так как  то из уравнения  следует, что

Итак, получили: Таким образом, искомым числом является число   109 989.

2. Рассмотрим уравнение  если

Оценим левую часть уравнения  (2)

 

Оценим правую часть уравнения  (2)

 

    Из (3) и (4) следует, что уравнение (2) имеет решение, если  Так как   кратно 10, то из двойного неравенства (5) следует, что  Так как то решениями последнего уравнения являются Тогда уравнение (2) принимает вид

Отметим:   

Уравнение (6) может иметь решение, если  Тогда уравнение (6) принимает вид  не целое число.

Итак, если  то уравнение (2) не имеет решений. Это означает, если  то не существует натуральных чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ. 10 989.

80. Найдите хотя бы два десятичных числа, делящихся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9.

 Решение. Отметим: Натуральное число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах и суммы цифр стоящих на четных местах, делится на  11.

Сумма нечётных цифр равна , сумма чётных цифр равна  .

Если первую сумму увеличим на 3, а вторую сумму уменьшим на 3, то получим

Получим требуемые числа, например, следующим образом:

1) на нечётные места в указанном порядке поставим цифры  а на чётные места в указанном порядке поставим цифры . Получим требуемое число 9 576 843 210;

2) на нечётные места в указанном порядке поставим цифры  а на чётные места в указанном порядке поставим цифры  Получим требуемое число 5 967 482 301.

Легко проверить, что разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах и суммы цифр стоящих на четных местах для полученных чисел делится на 11. Поэтому, полученные числа делятся на 11.

Отметим: например, если менять местами только цифры, стоящие на чётных местах, то получим 5! различных требуемых чисел.

Ответ.  9 576 843 210 и 5 967 482 301.

81. Найдите трёхзначное число, равное сумме факториалов своих цифр.

Решение. Пусть искомое трёхзначное число. По условию задачи  

Имеем

Так как  то ни одна цифра числа n не может быть больше 6, в противном случае число не будет трёхзначным.

Применим метод перебора.

1) Так как  то не более одной цифры числа n равно 6, а остальные две цифры меньше 6. Если одна цифра числа n равна 6, то  Из двойного неравенства следует:  что невозможно (так как, если  то число не будем трёхзначным, так как ). Поэтому все цифры искомого числа меньше 6.

2) Пусть три цифры числа  равны 5, тогда  По условию задачи:

Из последнего следует, что этот случай невозможен.

3) Пусть две цифры числа n равны 5, а третья цифра меньше 5. Так как  и так как факториал третьей цифры числа n не больше 24, то  Из двойного неравенства следует, что   Тогда  По условию задачи:

Из последнего следует, что этот случай невозможен.

4) Пусть одна цифра числа n равна 5, а остальные две цифры меньше 5. Так как  и так как сумма факториалов других цифр не меньше 2 и не больше 48, то  Из двойного неравенства следует, что   Так как  и только одна цифра числа n равна 5, то возможны два случая  или

а) Пусть    и   Тогда

С другой стороны, так как  то

Получили, что   и  

Из последнего следует, что  этот случай невозможен.

б) Пусть   и  Тогда

Так как  кратно 5, то из равенства  следует, что  кратно 5. Это возможно только в случае, если  Итак, имеем 

Искомым числом является число 145.

Ответ. 145.

Разные задачи.

82. Докажите, что в натуральном ряду существуют 3541 идущих подряд составных чисел.

Решение. Количество чисел  3542!+2,   3542!+3, …, 3542!+3542, равно 3541, все эти числа идут подряд и они составные, так как число 3542!+т, где , делится на т.

83. Докажите, что любое многозначное число больше произведения своих цифр. 

Решение. Пусть

 Так как  и  то

84. Докажите, что число  при любом  кратно 35.

Решение. Используя формулу бинома Ньютона, получим

Так как каждое слагаемое суммы делится на 35, то и сумма делится на 35. Итак, число  при любом N кратно 35.

85. Докажите: если p и q являются целыми числами, которые удовлетворяют условию   то .

Решение. Имеем

Так как  точный квадрат при любых значениях p и q, а  точный квадрат, только если  то равенство  возможно, если  

86. Числа n и 6 взаимно простые. Докажите, что при делении числа  на 24 остаток равен 1.

Решение. Так как n и  взаимно простые числа, то число n не делится на 6, а значит, не делится на 2 и не делится на 3.

1. Если число n не делится на 2, то оно нечётное число. Это означает, что существует положительное число   такое, что  Тогда  Число   делится на 8, так как произведение  двух последовательных чисел, делится на  2.

2. Если число n не делится на 3, то при делении этого числа на 3 остаток равен 1 или  Это означает, что  делится на 3.

3. Из (1) и (2) следует, что число  делится на взаимно простые числа  8  и  3. Тогда  делится на  Это означает, что существует число  такое, что  Так как   то при делении числа  на 24 остаток равен 1.

87. Можно ли представить число  а)   б)  в виде суммы 

249 последовательных нечётных натуральных чисел?

Решение. а) Имеем

Получили представление числа  в виде суммы 249 последовательных нечётных натуральных чисел от числа до числа

б) Так как сумма нечётного числа нечётных натуральных чисел является нечётным числом, то чётное число  нельзя представить в виде суммы 249 последовательных нечётных натуральных чисел.

Ответ. а) Можно; б) нельзя.

88. Даны 275 отличных от нуля чисел  причём  Докажите, что среди чисел  хотя бы одно число отрицательное.

             Решение. Пусть все числа    одного знака.

Тогда, так как количество чисел чётное, то

            Так как по условию  то   

            Из последнего следует, что предположение неверно и среди данных произведений есть числа разных знаков.

89. Число 1969 умножается на числа  Докажите, что если выписать три последние цифры у каждого из этих произведений, то все выписанные 969 трёхзначных «числа» (некоторые из них начинаются с 0) будут различны.

            Решение. Пусть последние три цифры числа , где  совпадают с последними тремя цифрами числа  где  

            Так как  и последние три цифры чисел  х  и  у совпадают,  то

 где

            Тогда  Кроме того  Таким образом, имеем  Левая часть последнего равенства делится на , а правая часть этого равенства не делится на , так как  Тогда   только в случае, если  Поэтому, предположение, что три последние цифры у каждого из произведений  ,  совпадают, неверно.

         90. Какое наименьшее положительное число можно получить путём расстановки перед числами  знаков плюс и минус и последующего выполнения указаний действий?

Решение. Отметим: алгебраическая сумма чётного количества нечётных чисел всегда чётное число.

1. Количество нечётных чисел в последовательности , равно 492 – чётное число. Поэтому,  при любой расстановки знаков плюс и минус перед данными числами и выполнении указанных действий, получаются чётные числа. Наименьшее положительное число, которое можно получить равно 2.

2. Число 984 кратно 4,  Для любых четырёх последовательных натуральных чисел  число 0 получаем следующим образом: , а число 2 получаем так:

Число 2 можно получить, например, следующим образом: разбиваем все данные числа на четвёртки подряд идущих чисел, в первой четвёртке расставляем знаки так:  а в следующих четвёртках , где  расставляем знаки следующим образом:  

Ответ. 2.

91. Какое наименьшее положительное число можно получить путём расстановки перед числами  знаков плюс и минус и последующего выполнения указаний действий?

Решение. Расставим знаки в четырёх последовательных натуральных чисел   следующим образом

 

Итак, из квадратов четырёх последовательных натуральных чисел можно получить число 4 или  Тогда из квадратов восьми последовательных натуральных чисел можно получить числа  

Число 984 кратно 8   

Числа  (этих чисел 984) разбиваем на восьмёрки подряд идущих чисел и расставляем знаки так чтобы получить ноль         Получили, что сумма всех членов последовательности, с указанной расстановкой знаков равна нулю. Поэтому, если первый член полученной последовательности взять со знаком плюс (он равен 1), то полученная сумма будет наименьшей, равной 1.

Ответ. 1.

92. Каждое из чисел  умножают на каждое из чисел  и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус и выполняют указанные действия. Какое наименьшее и какое наибольшее неотрицательное число можно получить в итоге?

Замечание Если. каждое из чисел последовательности  умножить на каждое из чисел последовательности   , то  получим последовательность

состоящую из  чисел.

Если все числа последней последовательности сложим, то получим

        Решение. Каждое из чисел первой последовательности умножаем на каждое из чисел второй последовательности и получаем последовательность из 36 чисел

Наибольшее число получим, если перед каждым произведением  последовательности (1) поставим знак плюс и полученные произведения сложим. В результате получим

Отметим: алгебраическая сумма нечётного количества нечётных чисел всегда нечётное число.

Так как сумма всех членов последовательности (1) нечётное число, то количество нечётных членов в этой последовательности нечётное. Поэтому, как бы мы не расставили знаки плюс и минус перед данными числами и не выполнили указанные действия, то получаются нечётные числа. Наименьшее неотрицательное число, которое можно получить равно 1.

Число 1 можно получить, например, следующим образом:

так как сумма чисел последовательности  равна 57, то знак плюс ставим перед числами, сумма которых равна 29, перед остальными числами ставим знак минус;

так как сумма чисел последовательности  равна 105, то знак плюс ставим перед числами, сумма которых равна 53, перед остальными числами ставим знак минус.

Итак, число 1, например, получим, если расставим знаки у членов последовательности (1) таким образом, что

Ответ. 5 985,  1.

93. Перед каждым из чисел  и  произвольным образом ставят знак плюс и минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первой последовательности отнимают каждое из образовавшихся чисел второй последовательности и выполняют указанные действия. Какое наименьшее и наибольшее положительное число можно получить в итоге?

Замечание. Даны последовательности  и . Если от каждого числа первой последовательности отнять каждое число второй последовательности, то получим последовательность

состоящую из  чисел.

Если все числа последней последовательности сложим, то получим

         Решение. 1. Наибольшее число получим, если поставим знаки плюсы перед всеми числами первой последовательности и минусы перед всеми числами второй последовательности. После этого от каждого числа полученной первой последовательности отнимаем каждое число полученной второй последовательности. В результате получим

         2. Перед каждым из чисел   и    некоторым образом расставим знак плюс и минус, после этого от каждого числа полученной первой последовательности отнимаем каждое число полученной второй последовательности. Получим новую последовательность. Все числа последней последовательности сложим. Из (1) следует, что полученная сумма, равна  где p и q соответственно суммы первой

 и второй последовательностей после расстановки знаков плюс и минус.

Итак,

        Наименьшее положительное значение, которое принимает S, равно 3. Тогда  

Равенство  выполняется, например, когда

Значение  можно получить, например, при такой расстановке знаков у первой последовательности

Тогда  

Замечание: так как сумма чисел последовательности  равна 171, то знак плюс ставим перед числами, сумма которых равна 85, перед остальными числами ставим знак минус.

Значение  можно получить, например, при такой расстановке знаков у второй последовательности

Тогда

Итак, наименьшее положительное число, равное 3, можно получить, например, следующим образом

 

Ответ. 1 431,  3.

В задачах  94-97  воспользуемся следующим

94. Докажите, что не существует натуральных чисел, которые увеличиваются в 5 раз после перестановки первой цифры в конец числа.

Решение. Пусть существует натуральное число , которые увеличиваются в 5 раз после перестановки первой цифры в конец числа.   Тогда

Отметим: так как  то

Получили равенство  где  Так как правая часть равенства  кратно 5, а  не кратно 5, то это равенство возможно только в случае, если  Тогда  

Так как , то  Так как последнее неравенство неверно, то предположение, что существует натуральное число, которые увеличиваются в 5 раз после перестановки первой цифры в конец неверно.

Таким образом, не существует натуральных чисел, которые увеличиваются в 5 раз после перестановки первой цифры в конец.

95. Докажите, что если между цифрами числа 1 331 вставить по равному количеству нулей, то получится куб.

 Решение. Имеем

96. Докажите, что число  является квадратом натурального числа.

Решение.  Отметим:

Имеем

 Итак, получили, что

Ответ.  

97. Может ли целое число при зачёркивании первой цифры уменьшится  а) в 38 раз;  б) в 37 раз.

 Решение. Пусть  произвольное число. Имеем

      

         Итак,      

Из (1) следует: число  при зачёркивании первой цифры уменьшится в k раз, если  где   и  

а) Если  то

Правая часть равенства (2) делится на простое число 37, левая часть этого равенства  не делится на 37, так как  и  не делятся на 37.

Итак, число  при зачёркивании первой цифры не уменьшится в 38 раз.

б) Если  то

Правая часть равенства (3)  делится на число 36. Очевидно, что  если  делится на 4 и не делится на 9. Тогда левая часть равенства (3) делится на 36, если  и . Итак, число  при зачёркивании первой цифры уменьшится в 37 раз, если  и .

Ответ. а) нет; б) да.

98. Докажите, что десятизначное число, первые 6 цифр которого девятки, не может быть квадратом целого числа.

Решение. 1. Данное число имеет вид

Последовательность чисел    является геометрической прогрессией, первый член которой равен 1, знаменатель равен 10, а последний член равен  Тогда     

Обозначим:  Очевидно,

Из (1) и (2) следует, что

Так как  и  то

         Итак,  

2. Воспользуемся следующим, если целые числа   и  а такие, что  то а не является квадратом целого числа.

Докажем, что найдётся целое число х такое, что

         Пусть  Тогда  и  Кроме того

         Так как   и, очевидно, что   то

Тогда    

Так как  то  А  не является квадратом целого числа.

            99. Записаны следующие числа  За один шаг разрешается стереть несколько записанных чисел и вместо них записать остаток от деления на 15 их суммы. В результате осталось два числа, одно из которых 334. Каким числом является второе из оставшихся чисел, если оно не больше 20?

            Решение. Сумма заданных чисел равна

            Получили, что сумма заданных чисел делится на 15 без остатка.

            Пусть  где  Тогда

            Так как  делится на 15 без остатка, то  делится на 15 без остатка. Очевидно, если сумму нескольких чисел при делении  на 15 заменить, полученным остатком, то сумма остатков  не измениться и, полученная сумма, будет делиться на 15.

            В результате всех действий осталось два числа: одно число при делении на 15, даёт остаток, равный 4; другое число х, которое удовлетворяет условию

            Так как  делится на 15, то

Ответ. 11.

100. Существует ли натуральное число, квадрат которого имеет сумму цифр, равную 3 467?

Решение. Пусть сумма цифр числа  равна 3 467.

1) Так как число 3 467 при делении 3 даёт остаток, равный 2, то и число  при делении 3 даёт остаток, равный 2.

2) Если натуральное число х кратно 3, то , а также сумма цифр числа , при делении на 3 даёт остаток ноль;

3) Если натуральное число х не кратно 3, то , а также сумма цифр числа , при делении на 3 даёт остаток единица.

Из 1) – 3) следует: не существует натурального числа, квадрат которого имеет сумму цифр, равную 3 467.

Ответ. Не существует.

101. Докажите, что сумма попарных произведений трёх последовательных нечётных натуральных чисел не может равняться 12 005.

Решение. Найдём сумму по парных произведений трёх натуральных чисел:  где  Имеем

Так как остаток при делении числа А на 12 равен  а остаток при делении числа 12 005 на 12 равен 5, то сумма попарных произведений трёх последовательных нечётных натуральных чисел не может равняться 12 005.

            102. Докажите, что число  является составным числом, при тех значениях  при которых числа  и  являются квадратами натуральных чисел.

Решение. Пусть числа  и  являются квадратами натуральных чисел. Тогда существуют натуральные числа  и  такие, что   и   Пусть простое число.

1. Выразим   через    Имеем

Получили

Так как , где простое число, то хотя бы один множитель делится на р. Если  делится на р, то  а тогда и  Если  делится на р, то   Итак, если  простое число, то

2. Так как  то

Так как  и  то

Из предположения, что  простое число, получили систему

Так как последняя система не имеет решений, то предположение, что простое число неверно. Значит составное число.

103. Найдите наименьшее натуральное число  такое, чтобы натуральное число  было целым числом при любом задании натуральных чисел  не делящихся на 3.

Решение. Так как число  не кратно  3, то

 

Итак, каждое слагаемое суммы  при делении на 3 даёт остаток 1. Поэтому сумма делится на 3, если число её слагаемых кратно 3. Так как , то наименьшее

Ответ.

104. Докажите, что число  при любом целом  делится на 11.

Решение. Любое целое число можно представить в виде  где  целое число.

Имеем  

Существует целое число m такое, что

Таким образом,

 где  целые числа,

    Рассмотрим число  если

         1) Если  то первый множитель числа А делится на 11, тогда при любом целом  число А делится на 11.

         Пусть , где  Число А при любом целом  будет делится на 11, если  делится на 11.

2) Если  то . Итак,  делится на 11.

3) Если  то  Итак,  делится на 11, так как

4) Если  то  Итак,  делится на 11,  так как

5) Если  то

Итак,  делится на 11, так как

6) Если  то

  

Итак,  делится на 11, так как

Из 1) – 6) следует: число  при любом целом  делится на 11.

105. Докажите, что не существуют натуральных чисел , для которых выполняется равенство

Решение. Преобразуем левую часть равенства (1). Имеем

         Итак,   

Любое натуральное число  можно представить в виде  где  Если  то

Равенство (2), если   принимает вид

         Рассмотрим равенство (3) при различных значениях .

1. Правая часть равенства (3) ни при каких значениях  и  не делится на 3, так как сумма цифр числа  не делится на 3.

2. Рассмотрим левую часть равенства (3).

а) Если  то множитель  при любых значениях  делится на 3

б) Если  то  Очевидно,  при любых значениях   делится на 3.

в) Если  то  Очевидно,  при любых значениях  делится на 3.

Так как правая часть равенства (3) ни при каких значениях  и  не делится на 3, а левая часть при любых значениях   и  делится на 3, то не существует натуральных чисел , для которых выполняется исходное равенство.

106. Докажите, что число  является составным.   

Решение. Так как  то

         Итак,

Очевидно,

Так как   то

Так как число А равно произведению натуральных чисел, которые больше 1, то оно является составным числом.

107. Докажите, что число  является составным.

Решение. Пусть   Тогда  Разложим число А на множители:

Так как число , где является произведением натуральных чисел, не равных 1, то число А является составным.

108. Докажите, что из n различных натуральных чисел можно выбрать одно или несколько чисел таких, чтобы их сумма делилась на n.

Решение. По условию задачи, даны n различных натуральных чисел:  

Рассмотрим  n  сумм:  

1) Если хотя бы одна из сумм делится на n, то та сумма, которая делится на n,удовлетворяет условию задачи.

2) Пусть не одна из сумм не делится на  n.

Так как не одна из сумм не делится на n, то при делении на n этих сумм, число различных остатков равно , а число сумм равно n. Тогда из n сумм хотя бы две из них при делении на n  имеют равные остатки. Это означает, что разность двух сумм с одинаковыми остатками является суммой, которая делится на n. Эта разность удовлетворяет условию задачи.

109. Докажите, что ни при каком N число  не делится на 289.

Решение. Отметим: если число делится на , то оно делится на 17.

 Пусть  где  

 Тогда

Так как  то из последней системы находим:   Итак,

Так как , то  и  одновременно делятся на 17.

Число  не делиться на 289. Так как, если произведение  делится на  но  не делится на 289.

         110. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из отрезка натурального ряда чисел 1 до 1972 так, чтобы сумма любых двух из них не делилась на их разность?

Решение. 1. Если берутся все заданные числа, то, например, для чисел и , где  сумма делится на их разность, так как  . 

2. Если из исходного натурального ряда берутся числа вида , где  то, например, для чисел  и , сумма  делится на разность  

3. Если из исходного натурального ряда берутся числа вида  где  то, например, для чисел  и , сумма  делится на разность  

4. Если из исходного натурального ряда берутся числа вида , где  то, например, для чисел  и , сумма  делится на разность  

5. Из исходного натурального ряда берутся числа вида , где  Если и  то  . Тогда сумма любых двух чисел (остаток от деления на 3 равен 2) не делится на их разность (остаток от деления на 3 равен 0). Число членов, последней последовательности: , равно 658.

Поэтому наибольшее количество чисел (в рассматриваемом случае), которое можно выбрать из отрезка натурального ряда чисел 1 до 1972, удовлетворяющих условию задачи, равно 658.

6. Из исходного натурального ряда берутся числа вида  где  Число членов, взятой последовательности: , равно 657. Число членов в этой последовательности меньше, чем в последовательности  где

7. Если из исходного натурального ряда берутся числа вида  где  то наибольшее количество чисел, которое можно выбрать из отрезка натурального ряда чисел 1 до 1972, удовлетворяющих условию задачи, меньше 658.

Ответ. 658.

111. Сколькими нулями оканчивается число, равное 111!.

Решение. Воспользуемся методом перебора.

1) Среди чисел       (1) выпишем произведения, которые оканчиваются на два нуля: .       (2) Это означает, что произведение  111! содержит число

2) Среди чисел  (1) имеется девять чисел, которые оканчиваются на один ноль, исключая число 50, которое находится среди чисел (2). Это числа: . Тогда произведение 111! содержит число

3) Выпишем произведения чётного числа, не кратного 10, на число, которое оканчивается на 5, (исключая числа 4, 14, 24, 25, 75 которое находится среди чисел (2).)Эти произведения оканчиваются на один ноль:

  

Это означает, что произведение 111! содержит число

Из 1) – 3) следует, что 111! делится на  (оканчивается 26 нулями).

Ответ. 26.

112. Найдите сумму трёхзначных и четырёхзначных чисел, которые при делении на 5 даёт в остатке единицу.

         Решение. Первое трёхзначное число, которое при делении на 5 даёт в остатке единицу это число 101, следующее число 106. Последним требуемым числом является четырёхзначное число 9996. Последовательность чисел 101, 106, …, 9996 является арифметической прогрессией с разностью , первым членом  и последним членом  Найдём число членов этой прогрессии:

         Найдём сумму прогрессии. Имеем

Ответ. 9 996 030.

113. Найдите все натуральные числа n, для которых числа 2160  и

3465  делятся на n и  соответственно.

Решение. Разложим числа 2 160 и 3 465 на простые множители:

Так как число  делится на , то существует натуральное число  такое, что  Тогда, так как 3 465 не делится на 2, то и  не делится на 2, а тогда и n не делится на 2. Так как n делитель числа 2 160 и n не делится на 2, то n является делителем числа  

Все возможные значения n и соответствующие ему значения  даны в таблице

n	1	3			5
	3	5	11	29	7	17	47	137

Из второй строки таблицы следует, что делителями числа  которые удовлетворяют условию задачи, являются числа 3, 5, 11, 7. Соответствующие им значения n равны 1, 3, 9, 5.

Ответ. 1,  3,  9,  5.

114. Совокупность А состоит из различных натуральных чисел. Количество чисел в А больше 3. Наименьшее общее кратное всех чисел из А равно 105. Для любых двух чисел из А наибольший общий делитель больше 1. Произведение всех чисел из А делится на 4 725 и является кубом целого числа. Найдите числа, из которых состоит А.

Решение. Разложим числа 105 и 4 725 на простые множители:

 

Число делителей числа 105, исключая единицу, равно 7:

Для того, чтобы найти совокупность А воспользуемся  следующим.

Так как произведение всех чисел из А делится на то в  А  должны входить

не менее трёх делителей числа 105, которые делятся на 3;

не менее двух делителей числа 105, которые делятся на 5 (включая те, которые делятся на 3);

не менее одного делителя числа 105, которые делятся на 7 (включая те, которые делятся на 3 и на 5);

все числа, входящие в А, не являются взаимно простыми (так как для любых двух чисел из А наибольший общий делитель больше 1).

Из чисел  составляем две совокупности.

 1) Пусть совокупность А состоит из следующих четырёх чисел

Все числа, входящие в совокупность не являются взаимно простыми и их произведение  делится на  но не является кубом целого числа. Итак, рассматриваемая совокупность не удовлетворяет условию задачи.

2) Пусть совокупность А состоит из следующих четырёх чисел

Все числа, входящие в совокупность не являются взаимно простыми, их произведение  делится на  является кубом целого числа, количество чисел в А больше 3. Итак, рассматриваемая совокупность удовлетворяет условию задачи.

Ответ.

115. Докажите, что сумма кубов трёх нечётных последовательных натуральных чисел делится на  9.

Решение. Числа:  где  являются трёмя нечётными последовательными натуральными числами. Докажем, что число  делится на 9. Имеем

         Итак,

Так как  произведение трёх последовательных натуральных чисел делится на 3, то число А делится на 9.

            116. Докажите, что из четырёх последовательных натуральных чисел всегда можно выбрать одно число взаимно простое с остальными.

            Решение. 1. Докажем, что любые соседние натуральные числа взаимно простые. Будем доказывать от противного. Пусть числа n и не являются взаимно простыми. Тогда существуют числа  такие, что       Таким образом,

            Так как  то из уравнения  следует, что Поэтому предположение, что  не верно, а тогда числа n и  являются взаимно простыми.

            2. Докажем, что любые нечётные соседние натуральные числа взаимно простые. Будем доказывать от противного. Пусть числа  не являются взаимно простыми. Тогда существуют числа  такие, что  где нечётное число. Таким образом,

            Так как  и нечётное число, то из уравнения  следует, что   Поэтому предположение, что  не верно, а тогда   числа   являются взаимно простыми.

            3. Рассмотрим последовательность из четырёх последовательных чисел:   

         Число  является взаимно простым числом с остальными:

число   взаимно простое с числами  числа соседние с числом  и это число взаимно простое с числом  нечётное число соседние с нечётным числом .

            4. Рассмотрим последовательность из четырёх последовательных чисел:   

            Число  является взаимно простым числом с остальными: число  взаимно простое с числами  числа соседние с числом  и это число взаимно простое с числом это нечётное число соседнее с нечётным числом

117. Докажите, что любая натуральная степень числа 376 оканчивается на 376.

Решение. Отметим:   оканчивается на 376.

Пусть  где а является значным числом и  где b является значным числом. Очевидно,  и  оканчиваются на 376.

Найдём произведение

Так как  оканчивается на 376, а  кратно 1000,  то  оканчивается на 376.

Так как произведение двух любых чисел, которые оканчиваются на 376, оканчивается на 376, то любая натуральная степень числа 376 оканчивается на 376.