Задачи (с
критериями) к олимпиаде по математике 6 класс
Учитель математики
МБОУ СОШ №15 г.Мичуринска
Летуновская Е.Н.
1. Вася может
получить число 100, используя десять троек, скобки и знаки арифметических
действий: 100 =
(33:3
–
3:3)(33: 3 – 3:3).
Улучшите его результат: используйте меньшее число троек и получите число 100. (Достаточно
привести один пример).
2. Разрежьте
фигуру на 3 равные части.
3. Как
отмерить 2 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10 л и 6
л? (2 л воды должны получиться в одном ведре).
4. Папа, Маша
и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша
делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали
400 шагов. Сколько шагов сделал папа? (Напишите решение задачи, а не только
ответ).
5. В музее 16
залов, расположенных как показано на рисунке. В половине из них выставлены
картины, а в половине скульптуры. Из любого зала можно попасть в любой соседний
с ним (имеющий общую стену). При любом осмотре музея залы чередуются: зал с
картинами – зал со скульптурами – зал с картинами и т.д. Осмотр начинается в
зале А, в котором висят картины, а заканчивается в зале Б.
a) Обозначьте крестиками все залы, в которых висят
картины.
б) Турист хочет осмотреть как можно больше залов
(пройти от зала А к залу Б), но при этом в каждом зале побывать не больше
одного раза. Какое наибольшее количество залов он сможет посмотреть? Нарисуйте
какой-нибудь его маршрут наибольшей длины и докажите, что большее
количество залов он посмотреть не мог.
1. Вася может
получить число 100, используя десять троек, скобки и знаки арифметических
действий: 100 =
(33:3
–
3:3)(33: 3 – 3:3).
Улучшите его результат: используйте меньшее число троек и получите число 100. (Достаточно
привести один пример).
Решение. Например:
1) 100
= 333:3 – 33:3, 2) 100 = 333 + 3:3. Есть и
другие решения.
2. Разрежьте фигуру
на 3 равные части.
Решение. Смотри рисунок.
3. Как отмерить 2 л
воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10 л и 6 л? (2 л
воды должно получиться в одном ведре).
Решение. Запишем в виде таблицы
последовательность наполнения ведер:
|
Ведро вместимостью 10 л
|
Ведро вместимостью 6 л
|
Комментарий
|
Сначала
|
0 л
|
0 л
|
|
1 шаг
|
10 л
|
0 л
|
Первое ведро наполнили из реки
|
2 шаг
|
4 л
|
6 л
|
Перелили из первого ведра во второе до его
наполнения
|
3 шаг
|
4 л
|
0 л
|
Вылили из второго ведра в реку
|
4 шаг
|
0 л
|
4 л
|
Перелили из первого ведра во второе
|
5 шаг
|
10 л
|
4 л
|
Первое ведро наполнили из реки
|
6 шаг
|
8 л
|
6 л
|
Перелили из первого ведра во второе до его
наполнения
|
7 шаг
|
8 л
|
0 л
|
Вылили из второго ведра в реку
|
8 шаг
|
2 л
|
6 л
|
Перелили из первого ведра во второе до его
наполнения
|
4. Папа, Маша и Яша
идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3
шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400
шагов. Сколько шагов сделал папа?
Ответ. 90 шагов.
Решение. 1 способ. Назовем
расстояние, равное 3 шагам Маши и 5 шагам Яши, шагом Великана. Пока Великан
делает один шаг, Маша и Яша делают вместе 8 шагов. Так как они сделали вместе
400 шагов, то Великан за это время сделал бы 400:8=50 великанских шагов. Если
Великан сделал 50 шагов, то Маша сделала 150 шагов. Посчитаем теперь их
«пятерками». 150 - это 30 раз по 5 шагов. Значит, папа сделал 30 раз по 3 шага,
то есть 90 шагов.
2 способ. Пока Маша делает 35 =15шагов, папа делает 33 = 9шагов, а Яша делает 55 = 25шагов. Вместе за это время Маша и
Яша сделают 15+25=40 шагов. А пока они сделают 400 шагов, папа сделает тоже в
10 раз больше шагов, т.е. 910 = 90шагов.
5. В музее 16
залов, расположенных, как показано на рисунке. В половине из них выставлены
картины, а в половине – скульптуры. Из любого зала можно попасть в любой
соседний с ним (имеющий общую стену). При любом осмотре музея залы чередуются:
зал с картинами – зал со скульптурами – зал с картинами и т.д. Осмотр
начинается в зале А, в котором висят картины, а заканчивается в зале Б.
a) Обозначьте
крестиками все залы, в которых висят картины.
Решение. Смотри рисунок.
б) Турист хочет
осмотреть как можно больше залов (пройти от зала А к залу Б), но при этом в
каждом зал побывать не больше одного раза. Какое наибольшее количество залов он
сможет посмотреть? Нарисуйте какой-нибудь его маршрут наибольшей длины и докажите,
что большее количество залов он посмотреть не мог.
Ответ. 15.
Решение. Один из возможных маршрутов
показан на рисунке.
Докажем, что если турист хочет побывать в
каждом зале не больше одного раза, он не сможет посмотреть больше, чем 15
залов. Заметим, что маршрут начинается в зале с картинами (А) и заканчивается в
зале с картинами (Б). Значит, число залов с картинами, которые прошел турист на
один больше числа залов со скульптурами. Так как залов с картинами, которые мог
пройти турист не больше 8, то залов со скульптурами – не больше 7. Итак,
маршрут не может проходить больше чем через 15 залов.
Задача 1.
Любой верный пример – 7 баллов. Два или несколько примеров, среди которых есть
верные и неверные – 5 баллов.
Задача 2. Верное
разрезание – 7 баллов. Обоснования не требуются. Разрезание на неравные фигуры
равной площади – 2 балла.
Задача 3.
Правильный алгоритм – 7 баллов. Разумные продвижения, например, отмерено 8 л –
до 3 баллов.
Задача 4.
Полное решение – 7 баллов. Решение на рисунке (по клеточкам и т.п.) без
достаточных объяснений – 4-5 баллов. Верное решение с арифметической ошибкой –
4 балла. Только ответ – 0 баллов.
Задача 5.
а) Верное решение – 1 балл.
б) Приведен пример верного маршрута
(конечно, не обязательно такого, как в решении выше) и доказано, что маршрут не
может быть длиннее – 6 баллов. Приведен пример верного маршрута, но не
доказано, что маршрут не может быть длиннее – 2 баллов.
6. Будет
ли сумма чисел 1 + 2 + 3 + ......+ 2005 + 2006 + 2007 делиться на 2007?
Ответ обоснуйте.
Ответ:
будет.
Решение.
Представим данную сумму в виде следующих слагаемых: (1
+ 2006) + (2 + 2005) + …..+ (1003 + 1004) + 2007.
Так как каждое слагаемое делится на 2007, то и вся сумма будет делиться на
2007.
Критерии оценивания:
0 баллов – ответ неверный;
4 балла - записаны
правильные действия, но без пояснения.
2 балла – дан верный ответ без
обоснования;
7 баллов – дан верный ответ с
обоснованием.
7.
Остаток от деления 100 на некоторое число равен 4. При
делении 90 на это же число в остатке получается
18.
На какое число делили? A - 18; B - 32; C - 24; D - 36; A – 48.
Ответ: С.
Решение.
Из условия следует, что 100-4=96 делится на искомое число.
Также 90-18=72 делится на искомое число.
Их разность также делится на искомое число: 96-72=24.
Следовательно, искомое число - 24, так как на него делится и 96, и 72.
Критерии оценивания:
0 баллов – ответ неверный;
4 балла – записаны правильные действия, но
без пояснения.
2 балла – дан верный ответ без обоснования;
7 баллов – дан верный ответ с
обоснованием.
8.
Одной черепахе 300 лет, а другой 15 лет. Через сколько
лет первая черепаха будет вдвое старше второй?
Ответ. Через 270
лет.
Решение. Разница
между черепахами всегда 300-15=285 лет. Одна будет вдвое старше другой, когда
второй будет столько лет, какова разница, т.е. 285. А 285 лет второй черепахе
исполнится через 285-15=270 лет.
Критерии
оценивания:
Верное
решение - 7 баллов.
Записаны
правильные действия, но без пояснения - 4 балла.
Только
ответ без всяких пояснений – 2 балла.
Неверное
решение – 0 баллов.
9. Сад разбит на квадраты. Садовник
начал обход с верхнего правого квадрата, обошел весь сад и вернулся в тот же
угловой квадрат. В закрашенных квадратиках он не был (там располагаются пруды).
Во всех остальных квадратиках он побывал по одному разу, причем через вершины
квадратов он не проходил. Начертите возможный путь садовника.
Критерии
оценивания:
Правильный
пример – 7 баллов.
Пример
незамкнутого пути или пути не по всем клеткам – 0 баллов.
10.Винни-Пуху дали полную тарелку манной каши. Он съел
половину и положил в тарелку еще столько же меда. Затем он съел треть
содержимого тарелки (каши с медом) и снова доложил мед. Потом съел четверть
содержимого и опять доложил медом, после чего с аппетитом все съел. Чего в
итоге Винни-Пух съел больше: каши или меда?
Ответ. Меда он
съел больше.
Решение. Видно, что Пух в итоге съел тарелку каши. Посчитаем, сколько
он съел меда: 1/2+1/3+1/4 = 13/12>1.
Критерии оценивания
Верное
решение - 7 баллов
Решение
верное, но не доведено до конца – 2 балла.
Вычислительная
ошибка – минус 1 балл (если вычислительных ошибок несколько, соответственно
вычитается больше).
Только
один ответ без решения - 1 балл.
Неверное
решение – 0 баллов.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.