Задачи с модулем и параметрами/ Программа элективного курса для обучающихся 10-11-х классов.

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №24

имени Бабенко Алексея Алексеевича»

Задачи с модулем и параметрами

Программа элективного курса  

для обучающихся 10-11-х классов.

                                                                     Составитель :

                                                                     Сутормина Надежда Петровна,

                                                                     учитель математики.

 

Кемерово, 2013

Содержание

1. Пояснительная записка…………………………………………….........…. 3

1. Учебно – тематический план.……………………………………........……7

3. Содержание обучения…………………………………………........……...10

4. Перечень ключевых понятий ………………….……………...….......…...13

5. Список литературы для обучающихся ……………………………...........15

6. Список литературы для учителя …………........………………......….…..16

7. Контрольные работы по курсу……………………………………….........17

8. Приложения...................................................................................................2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пояснительная записка.

 Актуальность данного курса возрастает в данное время, т.к. изучение элективного курса способствует процессу самоопределения обучающихся, помогает им адекватно оценить свои математические способности, обеспечивая системное включение ученика в процесс самостоятельного построения знаний.

          Предлагаемые в данном курсе задачи, интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и проверить свои способности к математике. Вместе с тем, содержание курса позволяет ученику любого уровня активно включаться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя: занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать в себя вопросы, доступные и интересные всем учащимся.

           Необходимость введения данного курса в системе профильной подготовки по математике обусловлена важностью формирования математического стиля мышления, проявляющего в определённых умственных навыках. В процессе решения задач с модулем и задач с параметрами в арсенал приёмов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия.

Особый акцент в программе сделан на углубление отдельных тем базовых и профильных общеобразовательных программ по математике, а также изучение некоторых тем, выходящих за их рамки.

  Курс дополняет дисциплины, включенные в учебный план, и способствует обеспечению прочного и сознательного овладения обучающимися системой математических знаний и умений, необходимых для изучения смежных дисциплин и продолжения образования, а также в профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры.

       Курс рекомендован обучающимся 10-11 классов.

Цель данного курса – создание условий для формирования у обучающихся умения решать задачи с модулем и параметрами.

Задачи данного курса:

ü углубить знания по математике, предусматривающие формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;

ü выявить и развить их математические способности;

ü расширить математические представления учащихся о приёмах и методах решения задач с модулем и параметрами;

ü повысить уровень  математического и логического мышления учащихся;

ü развить навыки исследовательской деятельности;

ü обеспечить подготовку к профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры;

ü развить умственные и волевые усилия;

ü развить внимание;

ü воспитать такие качества,  как  активность, творческая инициатива;

ü воспитать трудолюбие;

Работа спецкурса строится на принципах:         

-научности;

-доступности;

-опережающей сложности;

-вариативности;

-самоконтроля.

       В структуре изучаемой программы выделяются следующие основные разделы:

·              пояснительная записка;

·              учебно- тематический план;

·              содержание образования с распределением учебных часов;

·              перечень ключевых понятий;

·              список литературы для обучающихся;

·              список литературы для учителя;

·              контрольные работы по курсу.

       Программа предусматривает проведение традиционных уроков, чтение установочных лекций, обобщающих уроков, самостоятельных работ, семинаров. Последовательность изложения материала от простого к сложному, линейная.

         В ходе прохождения программы обучающиеся посещают лекционные занятия, занятия  – практикумы, участвуют в семинарах, занимаются индивидуально, а также имеют возможность работать с математическими сайтами.

 В программу курса содержит 4 контрольных работы, которые включают  в себя задания различного уровня сложности и различные типы задач с модулем и параметрами.

В результате изучения данного курса учащиеся  должны знать:

·       понятие модуля и параметра;

·       алгоритмы решений задач с модулем и параметрами;

·       зависимость количества решений неравенств, уравнений и их систем от значений параметра;

·       свойства функций в задачах с параметрами;

·       свойства функций, содержащих модули;

·       способы решений уравнений, неравенств и их систем, содержащих модуль.

должны уметь:

·       решать линейные, квадратные, рациональные уравнения с параметром;

·       решать неравенства с параметром;

·       находить корни квадратичной функции, содержащей параметр;

·       строить графики квадратичных функций, содержащей параметр;

·       исследовать квадратный трехчлен;

·       применять нестандартные приемы и методы решения уравнений, неравенств, содержащих параметры;

·       решать линейные, квадратные уравнения с модулем;

·       решать линейные, квадратные неравенства с  модулем;

·       строить графики уравнений, содержащие модули;

·       применять нестандартные приемы и методы решения уравнений, неравенств и систем.

Учебно тематический план

№ №	Наименование разделов и тем	К-во  учебных час							Форма контроля
		всего			теория			практика
Раздел 1: Линейные и квадратные уравнения с модулем (8 часов).
1.1	Модуль действительного числа. Геометрическая интерпретация. Линейное уравнение, содержащее абсолютную величину. Уравнение вида |х|= а, |ах+в|=0	2			1			1
1.2	Уравнений вида: |ах+в|=с, где с - любое действительное число, |ах+в|=|сх+д|.	1						1
1.3	Уравнения вида: |ах+в|+|сх+д|=т, |ах+в|+|сх+д|+пх=т.	1						1
1.4	Квадратное уравнение, содержащее абсолютную величину.	1
1.5	Метод замены переменной.	2			1			1
1.6	Самостоятельная работа.	1						1
Раздел 2: Линейные неравенства с модулем. (7 часов).
2.1	Неравенства вида  |ах+в|≤с. где с – любое  действительное число.	1						1
2.2	Графическое решение неравенства |ах+в|≤с, где с – любое  действительное число.	1			1
2.3	Неравенства вида: |ах+в|+|сх+д|<т,|ах+в|+ | сх+д|+ пх>т.	2			1			1
2.4	Неравенства вида: |ах+в|≤| сх+д|, |ах+в|≥| сх+д|, |ах+в|≤ сх+д, |ах+в|≥ сх+д. Графическая интерпретация	2						2
2.5	Самостоятельная работа по теме: «Линейные неравенства с модулем»	1						1
Раздел3: Функции, содержащие модуль.(5 часов)
3.1	Построение графиков функций у=f(|х|)	1						1
3.2	Построение графиков функций,  у=|f(х)|	1						1
3.3	Построение графиков функций |у|=f(х)	1						1
3.4	Обобщающий урок по теме: «Построение графиков функций, содержащих модули»	1						1
3.5	Контрольная работа по теме: «Функции, содержащие модуль»	1						1	Контрольная работа
Раздел 4: Нестандартные методы и приемы решения различных уравнений, неравенств и систем, содержащих модули. (14 часов).
4.1	Графические и аналитические методы решения задач, содержащих модули.  Классификация задач	1			1
4.2	Квадратные неравенства с модулем	1						1
4.3	Показательные уравнения и неравенства с модулем	2			1			1
4.4	Логарифмические уравнения и неравенства с модулем	2			1			1
4.5	Тригонометрические уравнения и неравенства с модулем	2			1			1
4.6	Решение систем неравенств с модулем	2						2
4.7	Решение систем уравнений с модулем	2						2
4.8	Контрольная работа по курсу «Задачи с модулем»	1							Контрольная работа
Раздел 5: «Линейное уравнение с параметрами (4 часа)».
5.1	Понятие параметра.	1 ч.
5.2	Линейное уравнение с параметрами. Общий метод решения уравнения вида ах= в,	2			1			1
5.3	Решение  линейных уравнений с параметрами, сводящихся к виду ах=в.	2						2
Раздел 6: «Линейные неравенства с параметрами (5 часов)».
6.1	Линейные неравенства с параметрами вида ах≤в, ах≥в.	2			1			1
6.2	Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся к линейным.	2			1			1
6.3	Самостоятельная работа по теме: «Линейные уравнения и неравенства с параметрами»	1						1
Раздел7: «Квадратные уравнения и неравенства с параметрами (6 часов)».
7.1	Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром. Исследование квадратного трехчлена.	3			1			2
7.2	Количество корней в зависимости от значений  параметров.	2			1			1
7.3	Контрольная работа  по теме: " Квадратные уравнения и неравенства с  параметрами»	1							Контрольная работа
Раздел 8: «Нестандартные методы и приемы решения уравнений, неравенств и систем, содержащих параметры (18 часов)».
8.1	Графические и аналитические методы. Классификация задач.	1	1
8.2	Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами	3	1			2
8.3	Показательные уравнения и неравенства с параметрами	4		1			3
8.4	Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами.	5		1			4
8.5	Свойства функций в задачах с параметрами и модулями.	2		1			1
8.6	Обобщающий урок по теме: «Задачи с параметрами»	1
8.7	Контрольная работа по курсу: «Задачи с параметрами»	2							Контольная работа

Содержание обучения (68 часов).

Раздел 1: Линейные и квадратные уравнения с модулем (8 часов).

1.1.          Модуль действительного числа. Геометрическая интерпретация.

Линейное уравнение, содержащее абсолютную величину. Уравнение  вида |х|= а, |ах+в|=0.

             Дать понятие модуля действительного числа. Научить решать уравнения вида |х|= а, |ах+в|=0, основываясь на определение.

1.2.          Методы решения уравнений вида: |ах+в|=с, где с – любое действительное число, |ах+в|=|сх+д|.

1.3.          Уравнения вида: |ах+в|+|сх+д|=т, |ах+в|+|сх+д|+пх=т.

Научить решать уравнения вида |ах+в|+|сх+д|=т, |ах+в|+|сх+д|+пх=т методом промежутков.

1.4.          Квадратное уравнение, содержащее абсолютную величину.

1.5.          Метод замены переменной. Решение уравнений.

Раздел 2: Линейные неравенства с модулем. (7 часов).

2.1. Неравенство вида |ах+в|≤с.

Дать понятие линейного неравенства, научить обучающихся алгебраическому  методу решения неравенства для любых действительных значений с.

 2.2. Графическое решение неравенства |ах+в|≤с, где с – любое  действительное число.

Научить обучающихся графическому методу решения неравенства |ах+в|≤с, где с – любое  действительное число.

2.3. Неравенства вида |ах+в|+|сх+д|<т,|ах+в|+| сх+д|+ пх>т.

Научить обучающихся решать неравенства вида |ах+в|+|сх+д|<т, |ах+в|+| сх+д|+ пх>т методом промежутков.

 2.4. Неравенства вида |ах+в|≤| сх+д|, |ах+в|≥| сх+д|, |ах+в|≤ сх+д, |ах+в|≥ сх+д. Графическая интерпретация.

Рассмотреть графические и аналитические методы решения неравенств вида |ах+в|≤| сх+д|, |ах+в|≥| сх+д|, |ах+в|≤ сх+д, |ах+в|≥ сх+д

Раздел 3: Функции, содержащие модуль. (5 часов)

3.1. График функции у= f(|х|.

3.2. График функции у=|f(х)|,),

3.3. График функции |у|= f(х).

Научить использовать алгоритмы построения графиков функций, содержащих модули.

Раздел 4: Нестандартные методы и приемы решения различных уравнений, неравенств и систем, содержащих модули. (14 часов).

4.1. Графические и аналитические методы. Классификация задач.

4.2. Квадратные неравенства.

4.3. Показательные уравнения и неравенства с модулем.

4.4. Логарифмические уравнения и неравенства с модулем.

4.5. Тригонометрические уравнения и неравенства с модулем.

4.6. Решение систем неравенств с модулем.

4.7. Решение систем уравнений с модулем.

Раздел 5: Линейное уравнение с параметрами (4 часа).

5.1.          Понятие параметра.

Что значит - решить уравнение или неравенство с параметрами. Что значит - исследовать уравнение (определить количество решений, найти положительные решения и т.д.), содержащее параметры.

5.2.  Линейное уравнение с параметрами. Общий метод решения

уравнения вида ах= в.

 Рассмотреть варианты решения при в=0, в¹0.

 5.3. Решение  линейных уравнений с параметрами, сводящихся к виду ах=в.

Рассмотреть линейные    уравнения с параметрами, содержащие дополнительные условия (корень равен данному числу, прямая проходит через точку с заданными координатами, уравнение имеет отрицательное решение и т.д.).

Раздел 6: Линейные неравенства с параметрами (5 часов)

 6.1. Линейные неравенства с параметрами вида ах≤в, ах≥в.

Рассмотреть записи решения неравенства, при а<0, а>0, а=0.

 6.2. Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся к линейным.

Приводить к линейным уравнения с параметрами, содержащие дополнительные условия.

Раздел 7: Квадратные уравнения и неравенства с параметрами (6 часов)

7.1. Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром. Исследование квадратного трехчлена.

7.2. Количество корней в зависимости от значений параметров. Параметр, как фиксированное число.

Раздел 8: Нестандартные методы и приемы решения различных уравнений, неравенств и систем, содержащих параметры. (18 часов).

8.1. Графические и аналитические методы. Классификация задач.

8.2. Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами.

8.3.  Показательные уравнения и неравенства с параметрами.

8.4.  Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами. 

8.5.  Свойства функций в задачах с параметрами и модулями.

Рассмотреть задачи на определение параметра, при котором данное уравнение имеет заданное число решений.

Перечень ключевых понятий.

Аргумент функции: зависимая переменная функции          

Асимптота: прямая, к которой неограниченно приближается ветвь кривой.                         

Возрастание и убывание функции: функция f( x) называется возрастающей на отрезке [a; b], если для любой пары точек  x₁ <  x₂, принадлежащих этому отрезку, выполняется неравенство f( x₁) < f( x₂), и убывающей, если f( x₁) > f( x₂).

Выпуклость и вогнутость: свойства графика функции  y = f( x) (кривой), заключающиеся в том, что каждая дуга кривой не выше (выпуклость книзу, или вогнутость кверху) или не ниже (вогнутость книзу, или выпуклость кверху) стягивающей ее хорды.

Касательная:  предельное положение, к которому стремится секущая  при приближении точки  к точке  М.

Косинус угла: одна из тригонометрических функций.

Котангенс:  одна из тригонометрических функций.

Логарифм данного числа  N при основании  а: показатель степени, в которую нужно возвести число  а, чтобы получить  N.

Множество значений функции: все возможные значения независимой переменной функции .

Модуль числа а: расстояние от числа а до 0 на координатной прямой

Неравенство: соотношение между числами или выражениями, указывающее, какое из них больше или меньше другого.

Обратная функция: функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Параметр: фиксированное, но неизвестное число.

Парабола: плоская кривая  2-го порядка.          

Перпендикуляр: прямая,  пересекающая данную прямую (плоскость) под прямым углом.

Симметрия: свойство геометрических фигур.

Синус: одна из тригонометрических функций.

Система координат: прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве (обычно с взаимно перпендикулярными осями).

Тангенс: одна из тригонометрических функции

Уравнение: равенство, содержащее переменную.

Функция: соответствие  y = f ( x) между переменными величинами, в силу которого каждому значению переменной  x  соответствует не более одного значения переменной у.

Список литературы для обучающихся:

1.     Башмаков, М.И. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. [Текст]: Учебн. пособие / М.И.Башмаков.- М.: Дрофа, 2006.- 400 с.

2.     Галицкий,  М.Л.  Сборник задач по алгебре [Текст]: Учебн. пособие/ М.Л. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И Звавич. - М.: Просвещение, 1999.- 189 с.

3.     Макарычев,  Ю.Н .  Алгебра 9. Дополнительные главы к школьному учебнику[Текст]:  Учебн. пособие/ Ю.Н. Макарычев,  Н.Г. Миндюк. –М.: Просвещение, 2001. -220с.

4.     Никольский, М.К. Алгебра и начала анализа. [Текст] Учебник для 10 кл. общеобразоват. учреждений базовый и профильный уровни/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.- М. Просвещение 2007.- 432 с.

5.     Семенов, В. И. По страницам учебника М.Л. Галицкого [Текст]: Учебн. пособие/ В.И. Семенов. – Кемерово, 1999. – с 18-32.

6.     Ястрибинецкий, Г.А.  Задачи с параметрами: [Текст]:  учебн. пособие/ Г.А Ястрибинецкий.- Дрофа , 2000.- 130 с.

Список литературы для учителя:

1.     Башмаков, М.И. Алгебра и начала анализа 10-11 кл.: [Текст], учебн. пособие / М.И.Башмаков.- М.: Дрофа, 1999.- 400 с.

2.     Виленкин, Н.Я. Алгебра для 9 класса: [Текст], учебн. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И. Кудрявцев.- М.: Просвещение, 1996.-384 с.

3.     Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами [Текст]: учебн. пособие/ П.И.Горнштейн, В.Б Полонский, М.С. Якир. -Дрофа , 1998.- 87с.

4.     Дорофеев,  Г.В. Решение задач, содержащих модули и параметры:/ [Текст], пособие для поступающих в вузы/ Г.В. Дорофеев, В.В. Затахавай.- Просвещение: АО «Учеб. лит.» 1996.- 320 с.

5.     Литвиненко, В.Н. Практикум по решению математических задач: [Текст]:  учебн. пособие/ В.Н.Литвиненко, А. Г Мордкович.- М.: Просвещение, 1998.-  с 134-168.

6.     Родионов, Е.М. Решение задач с модулями и параметрами [Текст]: пособие для поступающих в вузы/  Е.М. Родионов, М.: Просвещение, 1997.- 120 с.

7.     Шарыгин,  И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач.  [Текст], учебн. пособие /  И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. .- М.: Просвещение, 1997.-325 с.

8.     Ястрибинецкий, Г.А.  Задачи с параметрами: [Текст]:  учебн. пособие/ Г.А  Ястрибинецкий.- Дрофа , 2000.- 130 с.

Контрольные работы по курсу.

Контрольная работа № 1 по теме: «Функции, содержащие модуль»

1 вариант

1)  Построить график функции у=êх-2ê;

2)  Построить график функции

3)  Построить график функции, используя метод промежутков

у=ê2х-4ê+êх+3ê-5

2        вариант

1)  Построить график функции у=ê3-хê;

2)  Построить график функции

3)  Построить график функции, используя метод промежутков

у=ê2х-4ê+2х

Контрольная работа № 2 по теме: «Задачи с модулем»

Вариант 1

1.     Решите уравнения:

а) ê5-3хê=2х+1

б) ê3х-8ê-ê3х-2ê=6

в)  êêх+3ê-êх-1êê=2-х²

г)

д)

2.     Решите неравенство:

а) 2êх+1ê>х+4

б) ê5х-1ê-ê4х+2ê£êх-3ê

3. Построить график функции:

      а) у=êcosx-2ê

      б)ê yê=êlog(x+1)ê

Вариант 1

3.     Решите уравнения:

а) ê2х-3ê=3-2х

б) êх-1ê-êх-3ê=2х-4

в)  êêх²-3хê-5ê=х+1

г)

д)

4.     Решите неравенство:

а) 3êх-1ê£х+3

б) ê2х+5ê-ê3х-7ê>ê4х+1ê

3. Построить график функции:

      а) у=êlogx-2ê

      б)ê yê=êsin(x+1)ê

Контрольная работа №3 по теме: «Квадратные уравнения и неравенства с параметрами»

1 вариант

1)               Решить уравнение:

         (а-1)х²+2(2а+1)х+4а+3=0

2)               При каких значениях параметра а уравнение х²+2(а+1)х+9а-2=0 имеет 2 различных корня

3)               Найдите значение а, при котором данное неравенство

х²-2(а-1)х+2а+1£0 имеет решение.

2 вариант

1)               Решить уравнение:

            (а+1)х²+2(2а+1)х+3а+4=0

2)               При каких значениях параметра а уравнение ах²+2ах+9а-2=0 имеет 2 различных корня

3)               Найдите значение а, при котором данное неравенство

х²-2(а-1)х+2а£0 имеет решение.

Контрольная работа №4  по курсу: «Задачи с параметрами»

1 вариант

1.  Решить уравнение: (а²-4)х=а+2

2.  Решить неравенство: 3(2а-х)<ах+1

3.  Решить уравнение:

4.  При каком значении параметра  к уравнение х²+х-к=0 не имеет действительных корней?

5.  Для каждого значения параметра  а решите уравнение

            log₂(х²-х+а)=log₂(а-3х)

6.  Найдите все допустимые значения параметра а, при каждом из которых неравенство не имеет решения

2 вариант

1.  Решить уравнение: (а²-9)х=а+3

2.  Решить неравенство: 3(3а-х)<ах+2

3.  Решить уравнение:

4.  При каком значении параметра  к уравнение кх²+(к+1)х+2к-1=0 имеет один корень?

5.  Для каждого значения параметра  а решите уравнение log₂(х²-3х-а)=log₂(5х-а)

6.  Найдите все допустимые значения параметра а, при каждом из которых неравенство имеет хотя бы одно решение

Приложения

ПРИЛОЖЕНИЕ «А»                                     

Самостоятельная работа по теме: «Уравнения с модулем»

Вариант 1

1.   Решить уравнения двумя способами

êх-5ê=2

êх-2ê=ê4-2хê

2.   Решить методом промежутков

ê5-хê+ê2х-3ê=12

Вариант 2

1.   Решить уравнения двумя способами

ê2х-4ê=2

êх+2ê=ê6-2хê

2.   Решить методом промежутков

ê3-хê+ê4х-5ê=18

ПРИЛОЖЕНИЕ «Б»

Самостоятельная работа по теме: «Неравенства с модулем»

Вариант 1

1)                Решить неравенство

ê3-2хê£3

2)        Решить неравенство методом промежутков

êх-2ê+ê4-2хê+х-2Ð3

ê2+3хê£êх-2ê

Вариант 2

1)                Решить неравенство

ê3х-2ê£5

2)                Решить неравенство методом промежутков

ê3х-2ê+ê4-хê+х-2Ð4

ê2+4хê£ê5х-2ê

ПРИЛОЖЕНИЕ «В»

Самостоятельная  работа по теме: «Линейные уравнения и неравенства с параметрами».

1        вариант

1. Решите уравнение :

а) ах=х-2; б)

2. Решите неравенство

ах-2<3х-5

2 вариант

  3. Решите уравнение :

а) ах=х-5; б)

  4. Решите неравенство

3х+2<ах+5

ПРИЛОЖЕНИЕ «Г»

Построение графиков функций, содержащих знак модуля.

1.     у=|f(х)|

Чтобы построить график данной функции, надо сначала построить график функции у=f(х), затем участки графика, лежащие выше оси абсцисс, оставить

без изменения, а участки, лежащие ниже оси абсцисс стереть, предварительно отразив симметрично относительно оси абсцисс.

Задание 1.

 Построить график функции у=|х-6х+5|

а) построим параболу у=х-6х+5

б) участки, лежащие ниже оси абсцисс сотрем, предварительно отразив симметрично относительно оси абсцисс.

2.     у=f(|х|)

Чтобы построить график этой функции надо сначала построить график функции у=f(х), затем часть графика, расположенную левее оси у удалить, а часть графика, расположенную правее оси у, отобразить симметрично относительно этой оси.

Задание  2.

Построить график функции у=(|х|-2)

а) построим график функции у=(х-2)

б) часть графика, расположенную левее оси у удалим, а часть графика, расположенную правее оси у, отобразим симметрично относительно этой оси.

     3. у=|f |(х)| |

1.     Построить у=f(х), для неотрицательных значений х.

2.     Отобразить полученную часть графика симметрично оси у.

3.     Участки, расположенные ниже оси х, отобразить симметрично относительно оси х и стереть.

Задание 3.

Построить у=|2-|х||

а) построим у=2-х, для неотрицательных значений х.

б) отобразим полученную часть графика симметрично оси у.

 в) участки, расположенные ниже оси х, отобразим симметрично относительно оси х и сотрем.

     4. у|=f(х)

1.     Построить график функции у=f(х)

2.     Убрать ту часть графика, которая ниже оси х

3.     Оставшуюся часть графика отобразить симметрично относительно оси х, но не стирать.

Задание 4.

Построить график функции |у|= х-4х+3

а) построим график функции у= х-4х+3

б) уберем ту часть графика, которая ниже оси х

в) оставшуюся часть графика отобразим симметрично относительно оси х, но стирать не будем.

5. |у|=|f(х)|

1.     Построить у=|f(х)|

2.     Отобразить симметрично относительно оси х

Задание 5.

Построить график функции |у|=|х+2||

а) построим у=|х+2|

б) отобразим симметрично относительно оси х

Метод промежутков.

Пример.

Построить график функции у=|х-1|+|х-2|

1.     Найти абсциссы точек перелома графика

х-1=0                                   х-2=0

х=1                                      х=2                  

Раскрыть знаки модулей на полученных промежутках и построить графики полученных функций на каждом промежутке

а) (-  ;1]     у= -х+1-х+2

                      у= -2х+3   -прямая

б) [1;2]      у=х-1-х+2

                  у=1            -прямая, параллельная оси абсцисс

в) [2;  )    у=х-1 +х-2

                 у=2х-3       -прямая

Построить графики функций самостоятельно:

1.     у=(|х|-3)

2.     у=|х+2х|+1

3.     у=|х|+|х-3|

4.     у=||х-2|-1|

5.     |у|=√х-2

6.     |у|=|(х-3)-4|   

ПРИЛОЖЕНИЕ «Д»

Решение уравнений с модулем

Пример 1. Решить уравнение |х+2|=6-2х

а) Найти точку, в которой выражение, стоящее под знаком модуля, меняет знак    х+2=0;    х=-2

б) Разобьем значения х на промежутки точкой -2

в) Раскроем знак модуля на каждом промежутке и решим полученное уравнение

1. (-   ;-2]:    -х-2=6-2х;             х=8

 Проверим: принадлежит ли 8 промежутку (-    ;-2]; 8 не принадлежит этому промежутку, значит корнем не является

2. (-2;    ):     х+2=6-2х;             х=4/3

4/3 принадлежит этому промежутку, значит, является корнем

Ответ: 4/3

Пример 2. Решить уравнение: |х-|4-х||-2х=4

Решение:    |х-|4-х||=4+2х

                                           х-|4-х|=4+2х

Полученное равносильно   х-|4-х|=-4-2х

Каждое уравнение решить отдельно (см. пример 1)

 |4-х|=4+х                    |4-х|=3х+4-не имеет решения

  х=0

В ответе записать решения обоих уравнений

Ответ: 0

Пример 3.  Решить уравнение: |х|+|5-х|+2|х-2|=4

Решение:   х=0;     5-х=0;             х-2=0;            

                               х=5                х=2

 

                      0            2                5

1. (-  ;0];   -х+5-х+2(2-х)=4

                 х=5/4                 - не принадлежит промежутку

2. (0;2];       х+5-х+2(2-х)=4

                   х=2,5                 - не принадлежит промежутку

3. (2;5];      х+5-х+2(х-2)=4

                  х=1,5                 –не принадлежит промежутку

4. (5; );    х-5+х+2(х-2)=4

                   х=13/4             -не принадлежит промежутку

Ответ: корней нет

Решить уравнения самостоятельно:

1.     х-2|х-1|=2                                                    Ответ: -1-√5;  2

2.     |х|-|х-2|=2                                                       Ответ: [2; )                                           

3.     |х-3|+|х+2|-|х-4|=3                                         Ответ: -6;2

4.     |х-|х-|х-1|||=1/2                                              Ответ: 1/6;1/2;3/2.   

ПРИЛОЖЕНИЕ «Е».

Линейные уравнения

Справочный материал

         Уравнения, приводимое к виду ах=в ,где а и в – действительные числа , называют линейным уравнением .                                               

1)   а ¹ 0  ;                  х  =        

2)  а = 0 , в = 0 ;  0 х = 0

                               х – любое действительное число

3)  а = 0 , в ¹ 0 ;          0 х = в

                                     корней нет

Пример 1                                                           

5х – 3х + 2х = 8 + 2 +12                                                                            

4х = 22                                                                           

 х = 22 : 4                                                                        

 х = 5,5 

Пример 3            

5(2х – 4) = 2(5х – 10)                                

10х – 20 = 10х – 20                                    

10х – 10х = 20 – 20                                   

0х = 0

                            х – любое действительное число

Пример 4   

2х + 5 = 2(х + 1) + 11

2х + 5 = 2х + 2 + 11

х – 2х = 11 – 5

0х = 6

корней нет

Дидактический материал

1. 15(х + 2) – 30 = 12х

2. 6(1 + 5х) = 5(1 + 6х)

3. 3у + (у-2) = 2(2у – 1)

4. 6у – (у-1) = 4 + 5у

Ответы : 1. 0 ;

                2. корней нет ;

                3. любое действительное число ;

                4. корней нет .

ПРИЛОЖЕНИЕ «Ж»

Линейное уравнение с параметром.

Решить уравнение с параметром  а – это значит  для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Пример 1   ах =0

1) Если а = 0 ,то  0х = 0

                                                             х – любое действительное число

 2)     Если а ¹ 0 , то     

                                                              х = 0

Пример 2:   ах = а

 1) Если а = 0 , то 0х = 0

                                                             х – любое действительное число

2) Если а ¹ 0 ,то  х = 1

Пример 3: х + 2 = ах

        х – ах = -2

        х(1 – а) = -2 

Если 1 – а = 0 , т.е. а = 1 , то   х 0 = -2

                                                             корней нет

 Если 1 – а ¹ 0 , т.е. а ¹ 1 , то  

Пример 4:     (а² – 1) х = 2а² + а – 3

            (а – 1)(а + 1)х = 2(а - 1)(а + 1,5)

            (а – 1)(а + 1)х = (2а +3)(а – 1)

 Если а = 1 , то 0х = 0

                                                             х – любое действительное число

 Если а = - 1 , то 0х = -2

                                                            корней нет

Если а ¹ 1 , а ¹ - 1 , то      (единственное решение)

ПРИЛОЖЕНИЕ «З»

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ

         Пример 1. Решить уравнение

                            (а – 1)х² = 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0

                            При а = 1   6х + 7 = 0

                                                 

         В случае а ≠ 1 выделим те значения параметра , при которых D обращается в нуль .

         D = (2(2а + 1))² – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а² + 16а + 4 – 4(4а² + 3а – 4а – 3) = 16а² + 16а + 4 – 16а² + 4а + 12 = 20а + 16

         20а + 16 = 0

         20а = - 16

        

         Если а< - 4/5 , то Д < 0 ,уравнение не имеет действительных корней .

         Если а> - 4/5 и а ≠ 1 ,то Д> 0 ,                                                   

         Если а = 4/5 ,то Д = 0 ,                                

         Пример 2. Найдите значения а ,при которых данное уравнение имеет решение .

         х² – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0

         Д = 4(а – 1)² – 4(2а + 10 = 4а² – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а² – 16а

         4а² – 16 ≥ 0

         4а(а – 4) ≥ 0

          а(а – 4)) ≥ 0

          а(а – 4) = 0

Ответ : а ≤ 0 и а ≥ 4

Дидактический материал

         1.При каком значении а уравнение  ах² – (а+1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень ?

         2.При каком значении а уравнение (а+2) х² + 2(а+2)х + 2 = 0 имеет один корень ?

         3.При каких значениях а уравнение

(а² – 6а + 8) х² + (а² – 4) х + (10 – 3а – а²) = 0 имеет более двух корней ?

         4.При каких значениях а уравнение 2х² + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х² – 7х + 6 = 0 ?

         5.При каких значениях а уравнения х² +ах + 1 = 0 и х² + х + а  = 0 имеют хотя бы один общий корень ?

         Ответы: 1. При а= -

                      2. При а = 0

                      3. При а = 2

                      4. При а = 10

                      5. При а = - 2