Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Задачи с параметрами и методы их решения

Задачи с параметрами и методы их решения

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Задачи с параметрами и методы их решения

(Д.К. Гутнова, учитель математики МБОУ СОШ с.Фиагдон

Ардонского района РСО-Алания, e-mail: gutnova@mail.ru)

Задачи с параметром часто встречаются в заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом, а также в олимпиадах по математике различной степени сложности. В программах математики для неспециализированных школ таким задачам отводится незначительное место. 

К задачам с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе, можно отнести, например, поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров.

Но большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.

Задачи с параметрами очень многообразны.

В данной работе рассматриваются:

  1. задачи, которые решаются аналитически с использованием равносильных переходов, основанных на монотонности функций;

  2. задачи, решаемые геометрически, с помощью графиков функций.

Построение графиков функций – задача сама по себе не простая. Умение строить графики позволяет существенно облегчить решение многих с виду сложных задач с параметрами. В школьном курсе сначала исследуют линейную, квадратичную и другие функции и уравнение окружности. В приведенных ниже примерах графики функций строятся без применения производной.

Основной принцип решения параметрических уравнений можно сформулировать так: необходимо разбить область изменения параметра на участки такие, что при изменении параметра в каждом из них получающиеся уравнения можно решить одним и тем же путем. Ответ задачи состоит из списка участков изменения параметра с указанием ответов каждого участка.

Ниже приведены решения нескольких задач, отобранных из списка заданий ЕГЭ прошлых лет и задачи из XI командной олимпиады по математике и информатике математического факультета СОГУ 2015.


Пример 1. При каких значениях параметра hello_html_m8f522f9.gif уравнение

hello_html_1318f18d.gif

имеет два действительных корня?

Решение

hello_html_1de5f1f2.gif

Исходное уравнение принимает вид hello_html_5cfe37b9.gif, где hello_html_3c9663b3.gif – возрастающая функция на hello_html_17021104.gif (как сумма двух возрастающих функций).

Таким образом, используя равносильный переход при условии монотонности функции, получим уравнение

hello_html_174582a.gif.

Перепишем его в виде:

hello_html_59f2b15c.gif.

При hello_html_2c3bde27.gif имеем один корень hello_html_m2821a595.gif.

При hello_html_4dac429e.gif уравнение является квадратным и имеет 2 корня при hello_html_m6adaa804.gif, т.е. при hello_html_5ded9532.gif.

Итак, при hello_html_2e035b1e.gif исходное уравнение имеет два действительных решения.

Ответ: hello_html_2e035b1e.gif.

Пример 2. При каких значениях hello_html_m8f522f9.gif система имеет ровно одно решение:

hello_html_m5161a14f.gif

Решение (геометрический способ)

hello_html_783d3cfa.gifуравнение окружности с центром в точке с координатами hello_html_567e4d2e.gif, лежащей на биссектрисе hello_html_23557d10.gif.

Рассмотрим точки hello_html_m54e85205.gif, тогда первое уравнение системы это сумма расстояний hello_html_mf2db571.gif.

Так как длина отрезка hello_html_m5073d94c.gif, то в силу неравенства треугольника точка hello_html_m38caab32.gif должна лежать на hello_html_m7abfa2e9.gif.1.jpg

Итак, первое уравнение системы – это отрезок hello_html_m7abfa2e9.gif: hello_html_dc854c4.gif, hello_html_11369727.gif

При hello_html_24f51e42.gif окружность касается отрезка, и система имеет ровно одно решение.

Окружность проходит через точку hello_html_m6d2f87c7.gif при hello_html_m624e1bcb.gif.

Причем при hello_html_m35f914c5.gif окружность пересекает отрезок в двух точках, а при hello_html_m35f914c5.gif – в одной точке.

При hello_html_m2ba2f045.gif отрезок и окружность не пересекаются.

Итак, система имеет ровно одно решение при hello_html_m4855c970.gif.

Ответ: hello_html_6893d70e.gif.


Пример 3. При каких значениях hello_html_m8f522f9.gif система имеет ровно одно решение:

hello_html_m5161a14f.gif

Решение (аналитический способ)

hello_html_m5161a14f.gifhello_html_69388eae.gif

hello_html_358fa0d2.gif hello_html_mb7ea99b.gif

f(y)

(3)

(2)

(1)

1

1

2

3

4

y

-1

-2

2

Графиком функции hello_html_m21f23ff3.gif является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке hello_html_md9b1a1a.gif.

Т.к. hello_html_m2103d577.gif, то нули функции будут одного знака.

Уравнение hello_html_m51d35e90.gif имеет одно решение на hello_html_m33ad9078.gif в трех случаях:

1) hello_html_m6756144f.gif hello_html_m4bdaea44.gif hello_html_m1e169427.gif;

2) hello_html_m7fe23039.gif hello_html_m2ddaa30.gif;

3) hello_html_m67822585.gif hello_html_24f51e42.gif.

Ответ: при hello_html_6893d70e.gif система имеет ровно одно решение.


Пример 4. При каких значениях hello_html_65a34814.gif система

hello_html_28cd4a24.gif

имеет 4 решения?

Решение

Рассмотрим второе уравнение системы. Нетрудно получить, что

hello_html_7a52f885.gifили hello_html_3df40a61.gif.

Графиками данных функций являются параллельные прямые, расположенные симметрично относительно оси абсцисс.

Первое уравнение системы удобно рассматривать отдельно в каждой из четырех четвертей координатной плоскости. В I четверти получаем

hello_html_m32fa2f0a.gif.2_1.jpg


Графиком полученной функции является ромб.

Аналогичным образом получаем ромбы во II, III и IV четвертях.


Следовательно, график исходной функции

hello_html_124fa10c.gif2.jpg

будет выглядеть следующим образом:

Из рисунка видно, что система будет иметь 4 решения при hello_html_m274e050d.gif, hello_html_6fff3d15.gif, hello_html_m45067ad.gif, hello_html_m6673af3.gif. Таким образом, получаем совокупность

hello_html_174a100e.gifhello_html_1da04b2f.gif

Ответ: при hello_html_71c1a381.gif hello_html_1f832129.gif исходная система имеет 4 решения.

Автор
Дата добавления 13.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров131
Номер материала ДВ-333092
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх