Инфоурок / Математика / Конспекты / Задачи с параметрами по теме: Иррациональные уравнения и неравенства.
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям рекомендуем принять участие в Международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

СЕГОДНЯ (15 ДЕКАБРЯ) ПОСЛЕДНИЙ ДЕНЬ ПРИЁМА ЗАЯВОК!

Конкурс "Я люблю природу"

Задачи с параметрами по теме: Иррациональные уравнения и неравенства.

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

МАОУ ЛИЦЕЙ №44 г. Липецка

Учитель математики: Скорикова Людмила Алексеевна.



Уроки математики в 11 классе

(социально-экономический профиль)

Задачи с параметрами

по теме: Иррациональные уравнения и неравенства.

Цель:

  • Углубить знания учащихся по теме иррациональные уравнения и неравенства.

  • Показать как одна из линий курса математики средней школы “Уравнения и неравенства с параметрами” реализуются в содержании ЕГЭ.

  • Развивать практические навыки в решении иррациональных неравенств с параметрами.

  • Развивать логическое мышление, математическую речь, навыки самостоятельной работы, самоконтроля.

  • Воспитывать познавательный интерес, творческие способности, ответственное отношение. Повысить уровень подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ по математике.







Пояснительная записка.

Задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность. Большинство учащихся либо не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкое решение без всякой логической стройности. Многие же задачи можно решать различными способами. Решению задач с параметрами в школе уделяется мало внимания. Устранить этот пробел можно на внеклассных занятиях.

Предлагаю занятие по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами», которое расширит и углубит базовую основу общеобразовательной программы по математике и поможет повысить уровень подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ.

Универсальных указаний по решению задач с параметрами дать нельзя. При решении задач с параметрами приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, и методы решения задач различны. Но знание некоторых правил и алгоритмов решения необходимо.

Взяты эти задания из различных источников. Большинство из этих заданий предлагалось на вступительных экзаменах в ВУЗах.

Используются аналитические и графические способы решения уравнений и неравенств.

В конце рассматриваемой темы даются задания для самостоятельной работы.

Данный материал может быть полезным учителям математики, абитуриентам, школьникам.









Иррациональные уравнения и неравенства.



При решении иррациональных уравнений с параметрами пользуются общими формулами. Пусть f и q – некоторые функции, hello_html_51ac9163.gif, тогда:

1). hello_html_m381569eb.gif, f ≥ 0; q ≥ 0.

2). hello_html_1f1c1e1c.gif, f ≥ 0; q > 0.

3). hello_html_90c0254.gif, q ≥ 0.

4). hello_html_315a73d8.gif, hello_html_m3945e4c3.gif, q ≠ 0.

5). hello_html_4603fcdc.gif, fq ≥0.

Применяя эти формулы нужно иметь в виду, что ОДЗ левой и правой частей каждой из них могут быть различными. Для каждой формулы ОДЗ правой части может быть шире ОДЗ левой.

Отсюда следует, что преобразования уравнения с формальным использованием формул «слева-направо» приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. В этом случае могут появиться посторонние корни уравнения.

Преобразование уравнений с формальным использованием данных формул «справа-налево» недопустимы, т.к. возможно сужение ОДЗ исходного уравнения, а следовательно, и потеря корней.

Уравнение видаhello_html_223176c4.gif, hello_html_48cfc668.gif равносильно системе:

hello_html_64b7ac3.gif

Пример 1.

Решить уравнение hello_html_m6484d883.gif.

Решение.

Заданное уравнение равносильно системе:

hello_html_16b2fe70.gif=> hello_html_1c405884.gif =>hello_html_6d545a88.gif

Находим значения а, при которых hello_html_11a560cb.gif

Ответ: hello_html_m7b542186.gif

Пример 2.

Решить уравнение hello_html_m63fb659f.gif.

Решение.

Заданное уравнение равносильно системе:

hello_html_m52506e46.gif=> hello_html_3b271186.gif

hello_html_m51892614.gif, hello_html_1b0023be.gif

х1, х2 являются действительными числами при а ≤ 9/16. При значениях а > 9/16 решений нет.

Удовлетворим неравенства х ≥ а и х ≥ ½.

а) hello_html_m51892614.gif≥ ½

hello_html_m7cef280b.gif

hello_html_m728e97b2.gifа

hello_html_m57ffbca3.gif

Если а ≤ 9/16, то 8а-5<0 и неравенство hello_html_m57ffbca3.gif справедливо при всех допустимых а.

б). hello_html_m6fa72556.gif

hello_html_60dbf917.gifа ≥ ½ (а ≤ 9/16)

Следовательно, х2 является решением исходного уравнения при ½ ≤ а ≤ 9/16

Ответ:hello_html_379b43dc.gif, если а < ½;hello_html_m7c299140.gif, если ½ ≤ а ≤ 9/16; нет решений, если а>9/16.

Пример 3.

Решить уравнение hello_html_m6fb3055d.gif

Решение.

ОДЗ: х – а ≥ 0, х ≥ а

х1 = 1, х2 = а

Если а = 1, то х1 = х1 = 1.

Если а < 1, то х1 = 1 удовлетворяет условию ОДЗ х ≥ а, т.е. является корнем уравнения.

Если а > 1, то х1 = 1 не удовлетворяет условию х ≥ а, т.е. является посторонним корнем.

Ответ: 1) если а < 1; то х1 = 1; х2 = а; 2) если а ≥ 1, то х = а.

Пример 4.

При каких а уравнение hello_html_m1db0130d.gifимеет один корень?

Решение.

х1 = 4, х2 = а

Корень будет единственным, если а=4; если одно из двух значений (4 и а) является посторонним корнем, а именно х = а. Это произойдет при условии, что х = а не входит в область определения уравнения х ≥ 0, т.е. при а < 0.

Ответ: а = 4 или а < 0.

Пример 5.

Найти минимальное целое положительное значение параметра а, при котором уравнение hello_html_5b8771e7.gifимеет различные положительные корни.

Решение.

ОДЗ:

ах -8 ≥ 0, х ≥ 8/а, х > 0, а > 0

hello_html_m9c48aad.gifhello_html_m3760a43d.gif

D = hello_html_2d450123.gifhello_html_m28d42599.gif

а >16 (а < -16 не входит в ОДЗ)

hello_html_mffa211a.gif, hello_html_6f257495.gif. А = 17 – минимальное целое число.

Ответ: 17.

Пример 6.

Найти все значения параметра а, при которых корни уравненияhello_html_m703c035.gifпринадлежат отрезку [2;17].

Решение.

Пусть hello_html_m54d88e7f.gif

hello_html_m5a73abbd.gif, t ≥ 0, х - 1 = t2

hello_html_7f66f0fd.gif,

hello_html_59f84f40.gif,

|t - 2| + |t - 3| = а

1) hello_html_79e1c377.gif=> hello_html_m12e5c7ec.gif=> hello_html_m1e38c40f.gif=> hello_html_m2ecee965.gif

2) hello_html_256e76b6.gif=> hello_html_m5ca88600.gif=> hello_html_m152712e7.gif

3) hello_html_672b16d8.gif=> hello_html_66d9bd69.gif=> hello_html_693ae0c6.gif=> hello_html_654326ab.gif

Ответ: hello_html_492890f2.gif.

Пример 7.

Решить уравнениеhello_html_m7ec1af00.gif.

Решение.

hello_html_m5d36041b.gifх ≥ 2

(х + 1)(х - 2) = а; х2 – х – 2 = а, х2 – х – 2 – а = 0.

hello_html_m1e5aa1b2.gif, hello_html_m1677af7b.gif.

Множеству х ≥ 2 принадлежит только корень х2.

Ответ: при а ≥ 0 hello_html_1e5d0f6f.gif.

Пример 8.

Решить уравнениеhello_html_m487619a5.gif.

Решение.

hello_html_m37788f9d.gif. Так как hello_html_6fbbc6ef.gif, то m > 0. Пусть у = hello_html_m1d20d9b7.gif, тогда х = у2 + 3, и исходное уравнение равносильно системе уравнений:

hello_html_m29f23449.gifт.е. hello_html_m555f5d0d.gif <=> hello_html_m418c122f.gif<=> hello_html_m5b6bae16.gif,

hello_html_m63105a37.gif, hello_html_127f2ff1.gif, hello_html_m2e3bc8b7.gif.

Ответ: при m < 0, m>3 решений нет, при hello_html_m1d6f3fb1.gifhello_html_m2e3bc8b7.gif.

Пример 9.

Решить уравнениеhello_html_m7206f4b0.gif.

Решение.

Пусть hello_html_m68d33a52.gif, тогда hello_html_m10c8117.gif,

hello_html_17108f83.gif, hello_html_33e27649.gif, а т.к. t > 0, то hello_html_m6d2e9484.gif,

hello_html_68f8f7ac.gif, hello_html_m485b7f32.gif, hello_html_m52efe2ad.gif. ( а > ¼)

х = hello_html_m13781490.gif.

Ответ: х = hello_html_6cdd2b93.gif при а > ¼.

Пример 10.

Найти все значения параметра а, при которых уравнение hello_html_1f122a83.gif имеет решение.

Решение.

Если изобразить графики функций hello_html_m364cd2ee.gif и hello_html_m46c4b73e.gif, то очевидно, что они пересекаются (и исходное уравнение имеет решение) при hello_html_m73bc7183.gif.

1

у

х

-а а 1 -а 10=-а

hello_html_2c2537af.gif



hello_html_5bb44421.gif

3



Пример 11.

При каких значениях а решением неравенства hello_html_m3560c19f.gif является промежуток [2;18)?

Решение.

ОДЗ: 3 - а > 0, а < 3.

х – 2 < (3 - а)2,

х < (3 - а)2 +2,

х < 11 – 6а +а2, т.к. hello_html_m37761e47.gif, то

hello_html_m2b061f51.gifhello_html_m285a6fdb.gif

а = -1.

а = 7 – не подходит в ОДЗ.

Ответ: а = -1.

Пример 12.

Решить неравенство hello_html_5ef40c50.gif, где а – параметр.

Решение.

При любом значении а, если правая часть х + а – 1 < 0, т.е. х < 1 – а, заданное неравенство справедливо.

При х ≥ 1 – а равносильная система имеет вид :

hello_html_m60179b7a.gif=> hello_html_m6ba01f7f.gif (*)

Рассмотрим возможные случаи:

  1. Если а > 1, то 1 – а ≤ х < hello_html_m396d140d.gif. Объединяя с множеством х < 1 – а, получим х < hello_html_m396d140d.gif.

  2. Если а = 1, то х ≥ 1 – решение системы (*). Объединяя с множеством х< а – 1 (а = 1), находим: х – любое число.

  3. Если а < 1, то решение системы (*) х ≥ 1 – а. Присовокупив х < 1 – а, имеем: х – любое число.

Ответ: hello_html_m42c23884.gif, если а > 1; hello_html_m40f7bb2.gif, если а ≤ 1.

Пример 13.

Решить уравнение hello_html_4d8e7dc9.gif

Решение.

ОДЗ:

hello_html_4f70c973.gifhello_html_46e548a1.gif

Из данного уравнения следует:

1 – х2 = х2 + 2ах + а2,

2 + 2ах + а2 - 1 = 0.

D/4 = 2 – а2. D > 0 при |a| <hello_html_m15a651bf.gif.

Затем если изобразить графики функций hello_html_6ec2ca94.gif и hello_html_658d49c1.gif, то видно как меняется количество решений в зависимости от значений а.

у

х

-1

1

-1

hello_html_m693dc66b.gif

у = а + х



Ответ: приhello_html_m3414f4f.gif нет решений; приhello_html_321ee3f8.gifи hello_html_718f5d44.gif одно решение; при hello_html_m13ca38ba.gif два решения.

Задание на дом:

1). Решить уравнение hello_html_73a41f2e.gif.

Ответ: hello_html_44933d8f.gif.

2). Найти левый и правый края области значений параметра а, в которой уравнение hello_html_m76729afb.gif имеет различные положительные корни.

Решение.

ОДЗ:

hello_html_56638b16.gifhello_html_m177ab877.gif, х > 0, а ≥ 0.

7х – а = ах2,

ах2 – 7х + а = 0,

D = 49 – 4a2 > 0

а = -3, 5 не входит в ОДЗ.

Ответ: 0 и 3,5.

3). Решить уравнение hello_html_m409cdd6e.gif.

Решение.

Данное уравнение равносильно системе:

hello_html_m23f0ef92.gif=> hello_html_m7960451a.gif

При а = 2 второе уравнение имеет вид hello_html_106b2273.gif, т.е. hello_html_m6084a4eb.gif.

При а ≠ 2 hello_html_m319fc42e.gif.

Выясним, при каких значениях а найденное значение х удовлетворяет неравенству х ≥ -1.

hello_html_66a7a1ff.gifhello_html_44d9a59c.gif.

Ответ: при а ≤ 1/3 и а > 2 hello_html_m319fc42e.gif; при 1/3 < а ≤ 2 уравнение не имеет решений.

4). Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения hello_html_7dbeae4b.gifпринадлежит отрезку [-4;44].

Ответ: hello_html_799465aa.gif.

5). При всех а решить неравенство hello_html_5f6aa3d9.gif.

Решение.

ОДЗ: hello_html_m4a5f05b9.gif

а). Если а ≤ 0, то данное неравенство справедливо при всех hello_html_m4a5f05b9.gif.

б). Если а > 0, то данное неравенство равносильно системе неравенств.

hello_html_66b6a2a0.gifhello_html_m1f47df3a.gif=> hello_html_m413daadc.gif.

Ответ: приhello_html_m46035692.gifhello_html_m4a5f05b9.gif; приhello_html_39d673e9.gifhello_html_m413daadc.gif.





Краткое описание документа:

Задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность. Большинство учащихся либо не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкое решение без всякой логической стройности. Многие же задачи можно решать различными способами.Решению задач с параметрами в школе уделяется мало внимания. Устранить этот пробел можно на внеклассных занятиях.

Предлагаю занятие по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами», которое расширит и углубит базовую основу общеобразовательной программы по математике и поможет повысить уровень подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ.

Универсальных указаний по решению задач с параметрами дать нельзя. При решении задач с параметрами приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, и методы решения задач различны. Но знание некоторых правил и алгоритмов решения необходимо.

Взяты эти задания из различных источников. Большинство из этих заданий предлагалось на вступительных экзаменах в ВУЗах.

Используются аналитические и графические способы решения уравнений и неравенств.

В конце рассматриваемой темы даются задания для самостоятельной работы.

Данный материал может быть полезным учителям математики, абитуриентам, школьникам.

Общая информация

Номер материала: 268665

Похожие материалы