Задачи с параметрами по теме: Иррациональные уравнения и неравенства.

МАОУ  ЛИЦЕЙ  №44  г. Липецка

Учитель математики: Скорикова Людмила Алексеевна.

Уроки  математики в 11 классе

(социально-экономический профиль)

Задачи с параметрами

по теме:  Иррациональные уравнения и неравенства.

Цель:

·     Углубить знания учащихся по теме иррациональные уравнения и неравенства.

·     Показать как одна из линий курса математики средней школы “Уравнения и неравенства с параметрами” реализуются в содержании ЕГЭ.

·     Развивать практические навыки в решении  иррациональных неравенств с параметрами.

·     Развивать логическое мышление, математическую речь, навыки самостоятельной работы, самоконтроля.

·     Воспитывать познавательный интерес, творческие способности, ответственное отношение. Повысить уровень подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ по математике.

                                                               Пояснительная записка.

                              Задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность. Большинство учащихся либо не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкое решение без всякой логической стройности. Многие же задачи можно решать различными способами.      Решению задач с параметрами в школе уделяется мало внимания. Устранить этот пробел можно на внеклассных занятиях.

Предлагаю  занятие по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами», которое расширит и углубит базовую основу общеобразовательной программы по математике и поможет повысить уровень подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ.

                    Универсальных указаний по решению задач с параметрами дать нельзя. При решении задач с параметрами приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, и методы решения задач различны. Но знание некоторых правил и алгоритмов решения необходимо.

Взяты эти задания из различных источников. Большинство из этих заданий предлагалось на вступительных экзаменах в ВУЗах.

Используются аналитические и графические способы решения уравнений и неравенств.

В конце рассматриваемой  темы даются задания для самостоятельной работы.

Данный материал может быть полезным учителям математики, абитуриентам, школьникам.

Иррациональные уравнения и неравенства.

При решении иррациональных уравнений с параметрами пользуются общими формулами. Пусть f и q – некоторые функции, , тогда:

1). , f ≥ 0; q ≥ 0.

2). , f ≥ 0; q > 0.

3). , q ≥ 0.

4). , , q ≠ 0.

5). , fq ≥0.

Применяя эти формулы нужно иметь в виду, что ОДЗ левой и правой частей каждой из них могут быть различными. Для каждой формулы ОДЗ правой части может быть шире ОДЗ левой.

Отсюда следует, что преобразования уравнения с формальным использованием формул «слева-направо» приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. В этом случае могут появиться посторонние корни уравнения.

Преобразование уравнений с формальным использованием данных формул «справа-налево» недопустимы, т.к. возможно сужение ОДЗ исходного уравнения, а следовательно, и потеря корней.

Уравнение вида,  равносильно системе:

 

Пример 1.

Решить уравнение .

Решение.

Заданное уравнение равносильно системе:

  =>   =>

Находим значения  а, при которых

Ответ:

Пример 2.

Решить уравнение .

Решение.

Заданное уравнение равносильно системе:

=>

,

х₁, х₂  являются действительными числами при а ≤ 9/16. При значениях  а > 9/16 решений нет.

Удовлетворим неравенства х ≥ а и х ≥ ½.

а) ≥ ½

≥ а

Если а ≤ 9/16, то 8а-5<0 и неравенство  справедливо при всех допустимых а.

б).

 а ≥ ½  (а ≤ 9/16)

Следовательно, х₂ является решением исходного уравнения при ½ ≤ а ≤ 9/16

Ответ:, если а < ½;,  если  ½ ≤ а ≤ 9/16;  нет решений, если а>9/16.

Пример 3.

Решить уравнение

Решение.

ОДЗ: х – а ≥ 0, х ≥ а

х₁ = 1, х₂ = а

Если а = 1, то х₁ = х₁ = 1.

Если а < 1, то х₁ = 1 удовлетворяет условию ОДЗ х ≥ а, т.е. является корнем уравнения.

Если а > 1, то х₁ = 1 не удовлетворяет условию х ≥ а, т.е. является посторонним корнем.

Ответ: 1) если а < 1; то х₁ = 1; х₂ = а; 2) если а ≥ 1, то х = а.

Пример 4.

При каких а уравнение имеет один корень?

Решение.

х₁ = 4, х₂ = а

Корень будет единственным, если а=4; если одно из двух значений (4 и а) является посторонним корнем, а именно х = а. Это произойдет при условии, что х = а не входит в область определения уравнения х ≥ 0, т.е. при а < 0.

Ответ: а = 4 или а < 0.

Пример 5.

Найти минимальное целое положительное значение параметра а, при котором уравнение имеет различные положительные корни.

Решение.

ОДЗ:

ах -8 ≥ 0, х ≥ 8/а, х > 0, а > 0

D =

а >16 (а < -16 не входит в ОДЗ)

, . А = 17 – минимальное целое число.

Ответ: 17.

Пример 6.

Найти все значения параметра а, при которых корни уравненияпринадлежат отрезку [2;17].

Решение.

Пусть

, t ≥ 0, х - 1 = t²

,

,

|t - 2| + |t - 3| = а

1) => => =>

2) => =>

3) => => =>

Ответ: .

Пример 7.

Решить уравнение.

Решение.

 х ≥ 2

(х + 1)(х - 2) = а; х² – х – 2 = а, х² – х – 2 – а = 0.

, .

Множеству х ≥ 2 принадлежит только корень х₂.

Ответ: при а ≥ 0 .

Пример 8.

Решить уравнение.

Решение.

. Так как , то m > 0. Пусть у = , тогда х = у² + 3, и исходное уравнение равносильно системе уравнений:

 т.е.  <=> <=> ,

,  , .

Ответ: при m < 0, m>3 решений нет, при .

Пример 9.

Решить уравнение.

Решение.

Пусть , тогда ,

, , а т.к. t > 0, то ,

, , . ( а > ¼)

х = .

Ответ: х =  при а > ¼.

Пример 10.

Найти все значения параметра а, при которых уравнение  имеет решение.

Решение.

Если изобразить графики функций  и , то очевидно, что они пересекаются (и исходное уравнение имеет решение) при .

Пример 11.

При каких значениях а решением неравенства  является промежуток [2;18)?

Решение.

ОДЗ: 3 - а > 0, а < 3.

х – 2 < (3 - а)²,

х < (3 - а)² +2,

х < 11 – 6а +а², т.к. , то

 

а = -1.

а = 7 – не подходит в ОДЗ.

Ответ: а = -1.

Пример 12.

Решить неравенство , где а – параметр.

Решение.

При любом значении а, если правая часть  х + а – 1 < 0, т.е. х < 1 – а, заданное неравенство справедливо.

При х ≥ 1 – а равносильная система имеет вид :

 =>                                                                    (*)

Рассмотрим возможные случаи:

1.     Если а > 1, то 1 – а ≤ х < . Объединяя с множеством х < 1 – а, получим х < .

2.     Если а = 1, то  х ≥ 1 – решение системы (*). Объединяя с множеством  х< а – 1 (а = 1), находим: х – любое число.

3.     Если а < 1, то решение системы (*) х ≥ 1 – а. Присовокупив х < 1 – а, имеем: х – любое число.

Ответ: , если а > 1; , если а ≤ 1.

Пример 13.

Решить уравнение

Решение.

ОДЗ:

 

Из данного уравнения следует:

1 – х² = х² + 2ах + а²,

2х² + 2ах + а² - 1 = 0.

D/4 = 2 – а². D > 0 при |a| <.

Затем если изобразить графики функций  и , то видно как меняется количество решений в зависимости от значений а.

Ответ: при нет решений; прии  одно решение; при  два решения.

Задание на дом:

1). Решить уравнение .

Ответ: .

2). Найти левый и правый края области значений параметра а, в которой уравнение  имеет различные положительные корни.

Решение.

ОДЗ:

 , х > 0, а ≥ 0.

7х – а = ах²,

ах² – 7х + а = 0,

D = 49 – 4a² > 0

а = -3, 5 не входит в ОДЗ.

Ответ: 0 и 3,5.

3). Решить уравнение .

Решение.

Данное уравнение равносильно системе:

 =>

При а = 2 второе уравнение имеет вид , т.е. .

При а ≠ 2 .

Выясним, при каких значениях а найденное значение х удовлетворяет неравенству х ≥ -1.

 .

Ответ: при а ≤ 1/3 и а > 2 ; при 1/3 < а ≤ 2 уравнение не имеет решений.

4). Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения принадлежит отрезку [-4;44].

Ответ: .

5). При всех а решить неравенство .

Решение.

ОДЗ:  

а). Если а ≤ 0, то данное неравенство справедливо при всех .

б). Если а > 0, то данное неравенство равносильно системе неравенств.

    => .

Ответ: при; при.

Краткое описание документа:

Задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность. Большинство учащихся либо не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкое решение без всякой логической стройности. Многие же задачи можно решать различными способами.Решению задач с параметрами в школе уделяется мало внимания. Устранить этот пробел можно на внеклассных занятиях.

Предлагаю занятие по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами», которое расширит и углубит базовую основу общеобразовательной программы по математике и поможет повысить уровень подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ.

Универсальных указаний по решению задач с параметрами дать нельзя. При решении задач с параметрами приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, и методы решения задач различны. Но знание некоторых правил и алгоритмов решения необходимо.

Взяты эти задания из различных источников. Большинство из этих заданий предлагалось на вступительных экзаменах в ВУЗах.

Используются аналитические и графические способы решения уравнений и неравенств.

В конце рассматриваемой темы даются задания для самостоятельной работы.

Данный материал может быть полезным учителям математики, абитуриентам, школьникам.