Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Задачи с параметрами по теме: Иррациональные уравнения и неравенства.

Задачи с параметрами по теме: Иррациональные уравнения и неравенства.



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

МАОУ ЛИЦЕЙ №44 г. Липецка

Учитель математики: Скорикова Людмила Алексеевна.



Уроки математики в 11 классе

(социально-экономический профиль)

Задачи с параметрами

по теме: Иррациональные уравнения и неравенства.

Цель:

  • Углубить знания учащихся по теме иррациональные уравнения и неравенства.

  • Показать как одна из линий курса математики средней школы “Уравнения и неравенства с параметрами” реализуются в содержании ЕГЭ.

  • Развивать практические навыки в решении иррациональных неравенств с параметрами.

  • Развивать логическое мышление, математическую речь, навыки самостоятельной работы, самоконтроля.

  • Воспитывать познавательный интерес, творческие способности, ответственное отношение. Повысить уровень подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ по математике.







Пояснительная записка.

Задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность. Большинство учащихся либо не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкое решение без всякой логической стройности. Многие же задачи можно решать различными способами. Решению задач с параметрами в школе уделяется мало внимания. Устранить этот пробел можно на внеклассных занятиях.

Предлагаю занятие по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами», которое расширит и углубит базовую основу общеобразовательной программы по математике и поможет повысить уровень подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ.

Универсальных указаний по решению задач с параметрами дать нельзя. При решении задач с параметрами приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, и методы решения задач различны. Но знание некоторых правил и алгоритмов решения необходимо.

Взяты эти задания из различных источников. Большинство из этих заданий предлагалось на вступительных экзаменах в ВУЗах.

Используются аналитические и графические способы решения уравнений и неравенств.

В конце рассматриваемой темы даются задания для самостоятельной работы.

Данный материал может быть полезным учителям математики, абитуриентам, школьникам.









Иррациональные уравнения и неравенства.



При решении иррациональных уравнений с параметрами пользуются общими формулами. Пусть f и q – некоторые функции, hello_html_51ac9163.gif, тогда:

1). hello_html_m381569eb.gif, f ≥ 0; q ≥ 0.

2). hello_html_1f1c1e1c.gif, f ≥ 0; q > 0.

3). hello_html_90c0254.gif, q ≥ 0.

4). hello_html_315a73d8.gif, hello_html_m3945e4c3.gif, q ≠ 0.

5). hello_html_4603fcdc.gif, fq ≥0.

Применяя эти формулы нужно иметь в виду, что ОДЗ левой и правой частей каждой из них могут быть различными. Для каждой формулы ОДЗ правой части может быть шире ОДЗ левой.

Отсюда следует, что преобразования уравнения с формальным использованием формул «слева-направо» приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. В этом случае могут появиться посторонние корни уравнения.

Преобразование уравнений с формальным использованием данных формул «справа-налево» недопустимы, т.к. возможно сужение ОДЗ исходного уравнения, а следовательно, и потеря корней.

Уравнение видаhello_html_223176c4.gif, hello_html_48cfc668.gif равносильно системе:

hello_html_64b7ac3.gif

Пример 1.

Решить уравнение hello_html_m6484d883.gif.

Решение.

Заданное уравнение равносильно системе:

hello_html_16b2fe70.gif=> hello_html_1c405884.gif =>hello_html_6d545a88.gif

Находим значения а, при которых hello_html_11a560cb.gif

Ответ: hello_html_m7b542186.gif

Пример 2.

Решить уравнение hello_html_m63fb659f.gif.

Решение.

Заданное уравнение равносильно системе:

hello_html_m52506e46.gif=> hello_html_3b271186.gif

hello_html_m51892614.gif, hello_html_1b0023be.gif

х1, х2 являются действительными числами при а ≤ 9/16. При значениях а > 9/16 решений нет.

Удовлетворим неравенства х ≥ а и х ≥ ½.

а) hello_html_m51892614.gif≥ ½

hello_html_m7cef280b.gif

hello_html_m728e97b2.gifа

hello_html_m57ffbca3.gif

Если а ≤ 9/16, то 8а-5<0 и неравенство hello_html_m57ffbca3.gif справедливо при всех допустимых а.

б). hello_html_m6fa72556.gif

hello_html_60dbf917.gifа ≥ ½ (а ≤ 9/16)

Следовательно, х2 является решением исходного уравнения при ½ ≤ а ≤ 9/16

Ответ:hello_html_379b43dc.gif, если а < ½;hello_html_m7c299140.gif, если ½ ≤ а ≤ 9/16; нет решений, если а>9/16.

Пример 3.

Решить уравнение hello_html_m6fb3055d.gif

Решение.

ОДЗ: х – а ≥ 0, х ≥ а

х1 = 1, х2 = а

Если а = 1, то х1 = х1 = 1.

Если а < 1, то х1 = 1 удовлетворяет условию ОДЗ х ≥ а, т.е. является корнем уравнения.

Если а > 1, то х1 = 1 не удовлетворяет условию х ≥ а, т.е. является посторонним корнем.

Ответ: 1) если а < 1; то х1 = 1; х2 = а; 2) если а ≥ 1, то х = а.

Пример 4.

При каких а уравнение hello_html_m1db0130d.gifимеет один корень?

Решение.

х1 = 4, х2 = а

Корень будет единственным, если а=4; если одно из двух значений (4 и а) является посторонним корнем, а именно х = а. Это произойдет при условии, что х = а не входит в область определения уравнения х ≥ 0, т.е. при а < 0.

Ответ: а = 4 или а < 0.

Пример 5.

Найти минимальное целое положительное значение параметра а, при котором уравнение hello_html_5b8771e7.gifимеет различные положительные корни.

Решение.

ОДЗ:

ах -8 ≥ 0, х ≥ 8/а, х > 0, а > 0

hello_html_m9c48aad.gifhello_html_m3760a43d.gif

D = hello_html_2d450123.gifhello_html_m28d42599.gif

а >16 (а < -16 не входит в ОДЗ)

hello_html_mffa211a.gif, hello_html_6f257495.gif. А = 17 – минимальное целое число.

Ответ: 17.

Пример 6.

Найти все значения параметра а, при которых корни уравненияhello_html_m703c035.gifпринадлежат отрезку [2;17].

Решение.

Пусть hello_html_m54d88e7f.gif

hello_html_m5a73abbd.gif, t ≥ 0, х - 1 = t2

hello_html_7f66f0fd.gif,

hello_html_59f84f40.gif,

|t - 2| + |t - 3| = а

1) hello_html_79e1c377.gif=> hello_html_m12e5c7ec.gif=> hello_html_m1e38c40f.gif=> hello_html_m2ecee965.gif

2) hello_html_256e76b6.gif=> hello_html_m5ca88600.gif=> hello_html_m152712e7.gif

3) hello_html_672b16d8.gif=> hello_html_66d9bd69.gif=> hello_html_693ae0c6.gif=> hello_html_654326ab.gif

Ответ: hello_html_492890f2.gif.

Пример 7.

Решить уравнениеhello_html_m7ec1af00.gif.

Решение.

hello_html_m5d36041b.gifх ≥ 2

(х + 1)(х - 2) = а; х2 – х – 2 = а, х2 – х – 2 – а = 0.

hello_html_m1e5aa1b2.gif, hello_html_m1677af7b.gif.

Множеству х ≥ 2 принадлежит только корень х2.

Ответ: при а ≥ 0 hello_html_1e5d0f6f.gif.

Пример 8.

Решить уравнениеhello_html_m487619a5.gif.

Решение.

hello_html_m37788f9d.gif. Так как hello_html_6fbbc6ef.gif, то m > 0. Пусть у = hello_html_m1d20d9b7.gif, тогда х = у2 + 3, и исходное уравнение равносильно системе уравнений:

hello_html_m29f23449.gifт.е. hello_html_m555f5d0d.gif <=> hello_html_m418c122f.gif<=> hello_html_m5b6bae16.gif,

hello_html_m63105a37.gif, hello_html_127f2ff1.gif, hello_html_m2e3bc8b7.gif.

Ответ: при m < 0, m>3 решений нет, при hello_html_m1d6f3fb1.gifhello_html_m2e3bc8b7.gif.

Пример 9.

Решить уравнениеhello_html_m7206f4b0.gif.

Решение.

Пусть hello_html_m68d33a52.gif, тогда hello_html_m10c8117.gif,

hello_html_17108f83.gif, hello_html_33e27649.gif, а т.к. t > 0, то hello_html_m6d2e9484.gif,

hello_html_68f8f7ac.gif, hello_html_m485b7f32.gif, hello_html_m52efe2ad.gif. ( а > ¼)

х = hello_html_m13781490.gif.

Ответ: х = hello_html_6cdd2b93.gif при а > ¼.

Пример 10.

Найти все значения параметра а, при которых уравнение hello_html_1f122a83.gif имеет решение.

Решение.

Если изобразить графики функций hello_html_m364cd2ee.gif и hello_html_m46c4b73e.gif, то очевидно, что они пересекаются (и исходное уравнение имеет решение) при hello_html_m73bc7183.gif.

1

у

х

-а а 1 -а 10=-а

hello_html_2c2537af.gif



hello_html_5bb44421.gif

3



Пример 11.

При каких значениях а решением неравенства hello_html_m3560c19f.gif является промежуток [2;18)?

Решение.

ОДЗ: 3 - а > 0, а < 3.

х – 2 < (3 - а)2,

х < (3 - а)2 +2,

х < 11 – 6а +а2, т.к. hello_html_m37761e47.gif, то

hello_html_m2b061f51.gifhello_html_m285a6fdb.gif

а = -1.

а = 7 – не подходит в ОДЗ.

Ответ: а = -1.

Пример 12.

Решить неравенство hello_html_5ef40c50.gif, где а – параметр.

Решение.

При любом значении а, если правая часть х + а – 1 < 0, т.е. х < 1 – а, заданное неравенство справедливо.

При х ≥ 1 – а равносильная система имеет вид :

hello_html_m60179b7a.gif=> hello_html_m6ba01f7f.gif (*)

Рассмотрим возможные случаи:

  1. Если а > 1, то 1 – а ≤ х < hello_html_m396d140d.gif. Объединяя с множеством х < 1 – а, получим х < hello_html_m396d140d.gif.

  2. Если а = 1, то х ≥ 1 – решение системы (*). Объединяя с множеством х< а – 1 (а = 1), находим: х – любое число.

  3. Если а < 1, то решение системы (*) х ≥ 1 – а. Присовокупив х < 1 – а, имеем: х – любое число.

Ответ: hello_html_m42c23884.gif, если а > 1; hello_html_m40f7bb2.gif, если а ≤ 1.

Пример 13.

Решить уравнение hello_html_4d8e7dc9.gif

Решение.

ОДЗ:

hello_html_4f70c973.gifhello_html_46e548a1.gif

Из данного уравнения следует:

1 – х2 = х2 + 2ах + а2,

2 + 2ах + а2 - 1 = 0.

D/4 = 2 – а2. D > 0 при |a| <hello_html_m15a651bf.gif.

Затем если изобразить графики функций hello_html_6ec2ca94.gif и hello_html_658d49c1.gif, то видно как меняется количество решений в зависимости от значений а.

у

х

-1

1

-1

hello_html_m693dc66b.gif

у = а + х



Ответ: приhello_html_m3414f4f.gif нет решений; приhello_html_321ee3f8.gifи hello_html_718f5d44.gif одно решение; при hello_html_m13ca38ba.gif два решения.

Задание на дом:

1). Решить уравнение hello_html_73a41f2e.gif.

Ответ: hello_html_44933d8f.gif.

2). Найти левый и правый края области значений параметра а, в которой уравнение hello_html_m76729afb.gif имеет различные положительные корни.

Решение.

ОДЗ:

hello_html_56638b16.gifhello_html_m177ab877.gif, х > 0, а ≥ 0.

7х – а = ах2,

ах2 – 7х + а = 0,

D = 49 – 4a2 > 0

а = -3, 5 не входит в ОДЗ.

Ответ: 0 и 3,5.

3). Решить уравнение hello_html_m409cdd6e.gif.

Решение.

Данное уравнение равносильно системе:

hello_html_m23f0ef92.gif=> hello_html_m7960451a.gif

При а = 2 второе уравнение имеет вид hello_html_106b2273.gif, т.е. hello_html_m6084a4eb.gif.

При а ≠ 2 hello_html_m319fc42e.gif.

Выясним, при каких значениях а найденное значение х удовлетворяет неравенству х ≥ -1.

hello_html_66a7a1ff.gifhello_html_44d9a59c.gif.

Ответ: при а ≤ 1/3 и а > 2 hello_html_m319fc42e.gif; при 1/3 < а ≤ 2 уравнение не имеет решений.

4). Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения hello_html_7dbeae4b.gifпринадлежит отрезку [-4;44].

Ответ: hello_html_799465aa.gif.

5). При всех а решить неравенство hello_html_5f6aa3d9.gif.

Решение.

ОДЗ: hello_html_m4a5f05b9.gif

а). Если а ≤ 0, то данное неравенство справедливо при всех hello_html_m4a5f05b9.gif.

б). Если а > 0, то данное неравенство равносильно системе неравенств.

hello_html_66b6a2a0.gifhello_html_m1f47df3a.gif=> hello_html_m413daadc.gif.

Ответ: приhello_html_m46035692.gifhello_html_m4a5f05b9.gif; приhello_html_39d673e9.gifhello_html_m413daadc.gif.







57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Краткое описание документа:

Задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность. Большинство учащихся либо не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкое решение без всякой логической стройности. Многие же задачи можно решать различными способами.Решению задач с параметрами в школе уделяется мало внимания. Устранить этот пробел можно на внеклассных занятиях.

Предлагаю занятие по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами», которое расширит и углубит базовую основу общеобразовательной программы по математике и поможет повысить уровень подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ.

Универсальных указаний по решению задач с параметрами дать нельзя. При решении задач с параметрами приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, и методы решения задач различны. Но знание некоторых правил и алгоритмов решения необходимо.

Взяты эти задания из различных источников. Большинство из этих заданий предлагалось на вступительных экзаменах в ВУЗах.

Используются аналитические и графические способы решения уравнений и неравенств.

В конце рассматриваемой темы даются задания для самостоятельной работы.

Данный материал может быть полезным учителям математики, абитуриентам, школьникам.

Автор
Дата добавления 06.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1124
Номер материала 268665
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх