1977400
столько раз учителя, ученики и родители
посетили официальный сайт проекта «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015

Скидка 0%

112 курсов профессиональной переподготовки от 3540 руб.

268 курсов повышения квалификации от 840 руб.

МОСКОВСКИЕ ДОКУМЕНТЫ ДЛЯ АТТЕСТАЦИИ

Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана 26 сентября 2017 г. Департаменотом образования города Москвы

Инфоурок Математика КонспектыЗадачи с параметрами в курсе основной школы

Задачи с параметрами в курсе основной школы

Международный конкурс

Идёт приём заявок

Подать заявку

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

16 предметов

библиотека
материалов




Методическая разработка

Задачи с параметрами в курсе основной школы




Содержание:


1. Введение

2. Цели и задачи работы

3. Методические разработки по классам

  1. 7 класс

  2. 8 класс

  3. 9 класс


4. Используемая литература



Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся. Решение задач с параметрами открывает перед учениками большое число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития, применимых в исследованиях и в любом другом математическом материале. Они имеют принципиально исследовательский характер, и с этим связаны как методическое значение таких задач, так и трудности выработки навыков их решения. Именно в терминах параметров происходит описание свойств математических объектов: функций, уравнений, неравенств.14141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414

Задачи с параметрами для учеников массовой школы являются непривычными, а для многих из них сложными. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, навыки анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в решении, умение объединить рассматриваемые частные случаи в единый результат. Часто изобилие всевозможных вариантов и подвариантов, на которые распадается основной ход решения, вызывают трудности в выписывании ответа. Решение задач с параметрами требует исследования, даже если это слово не упомянуто в формулировке задачи. Этим обусловлены трудности, возникающие у учащихся при решении таких задач,

В последние годы задачи с параметрами (и прежде всего уравнения и неравенства с одним параметром) постоянно встречаются на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения. Таким образом, очевидна необходимость отработки приемов решения различных задач с параметрами. К сожалению, программа не дает ответа на вопрос, в какое время и как школьник должен осваивать решение задач с параметрами.

Цель настоящей работы состоит в том, чтобы рассмотреть возможности введения понятия «параметр» с 7 – го класса, не выходя за рамки программы.

7 класс

Впервые знакомиться с параметрами полезно в 7-м классе при изучении линейных уравнений, чтобы ученики привыкли к понятию «параметр» и не испытывали затруднений при изучении этой темы в старших классах. Кроме того, задачи с параметрами хорошо развивают логическое мышление, тренируют внимание и память.

Прежде чем ввести понятие «параметр» ученикам необходимо напомнить роль буквы в алгебре и предложить задания в которых надо выразить одну переменную через другую.

Выразите х через другие переменные:

а) hello_html_m697f5456.gif; б) hello_html_m67647253.gif; в) hello_html_m6eafd5fe.gif

г) hello_html_778df33e.gif; д) hello_html_m56ae0076.gif


Семиклассники хорошо решают линейные уравнения с параметрами.

Вспомним, что называется линейным уравнение с одной переменной.

Определение: Уравнение вида ax = b, где х – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Алгоритм решения уравнения ax = b.

1) если а 0, то hello_html_5643d6ae.gif;

2) если а = 0, b 0, то корней нет (0x = b)

3) если а = 0, то х – любое (0x = 0)

Повторив на простых примерах, что значит решить уравнение, обратим внимание учащихся на то, что мы выразили неизвестное через числа.

Однако, в уравнении помимо неизвестного могут быть введены другие буквы и буквенные выражения.

Например: ax = a – 1

При этом, как всегда в алгебре, мы полагаем, что буквы могут принимать любые числовые значения.

Например, задавая произвольно значения а для уравнения ax = a – 1, получим:

2x = 2 – 1 при а = 2;

3x = 3 – 1 при а = 3;

0x = – 1 при а = 0;

4x = – 4 – 1 при а = – 4.

Пример 1: Решите уравнение х + 2 = а + 7 относительно х.

Переменную, которую надо найти, будем называть неизвестной, а переменную, через которую будем выражать искомую неизвестную, назовем параметром.

Решить уравнение с параметром – это значит для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.

х + 2 = а + 7; х = 5 + а

Значение х находится по формуле х = 5 + а, подставляя в нее задаваемые значения параметра а. Заметим, что значения параметра а задаем произвольно.

В нашем примере: при а = 3 х = 8; при а = 0 х = 5; при а = –4 х = 1.

Ответ запишем так: при любом значении параметра а х = 5 + а.

Когда начинать решать такие уравнения? В зависимости от уровня класса, на уроках в течение всего года. Параллельно решаем задачу, обратную данной.

Пример 2: При каком значении параметра а х = 2,5 является корнем уравнения х + 2 = а + 7?

Решение: Т.к. х = 2,5 корень уравнения х + 2 = а + 7, то при подстановке х = 2,5 в уравнение получим верное равенство: 2,5 + 2 = а + 7

а = – 2,5

Ответ: при а = – 2,5.

Можно предложить ученикам придумать линейное уравнение с параметром и решить его.

Пример 3: Решите уравнение ах = 1

В 7 классе начинаем обращать внимание учеников на запись ответа.

1) при а …. х ….

2) если а …. , то х ….

В нашем примере можно записать следующим образом

Ответ: если а = 0, то корней нет, если а 0, то hello_html_29e162d2.gif.

Пример 4: Решите уравнение ах + 8 = а (а – параметр)

Ответ: при а = 0 – нет корней, при а 0 hello_html_59946c16.gif.

Пример 5: Решите уравнение (а – 1)х = 12

Ответ: если а = 1, то корней нет, если а 1, то hello_html_m4952c8c.gif.

Пример 6: Решите уравнение х(а + 2) – а(1 – х) = 3

Решение: х(а + 2) – а(1 – х) = 3

ах + 2хаах = 3; 2ах + 2х – 3 = а; 2х(а + 1) – 3 = а; hello_html_m63c4c858.gif

Ответ: если а = – 1, то корней нет,

если а – 1, то hello_html_m1c5b31a.gif.

Самостоятельная работа (обучающая)

1) Найдите значение а, при котором число 2 является корнем уравнения х(а – 2) – а(1 – х) = 3

Ответ: hello_html_76a46861.gif.

2) Решите уравнения:

а) 2х – 3(х – а) = 3 + а; Ответ: х = 2а – 3

б) ах – 3(1 + х) = 5; Ответ: если а = 3, то корней нет, если а 3, то hello_html_m74e835f8.gif.

в) hello_html_778176ff.gif Ответ: если а = 0, то корней нет, если а 0, то hello_html_7823744c.gif.

Далее можно ввести и алгоритм решения уравнений с параметром; продолжить работу по формированию умений решать линейные уравнения с параметром.

Условия для поиска значения параметра а

Характеристика множества корней

1. k(a) не имеет смысла

корней нет

2. b(a) не имеет смысла

корней нет

3. hello_html_291d8a39.gif

корней нет

4. hello_html_m70145515.gif

один корень hello_html_m600e77ce.gif

5. hello_html_37109376.gif

х – любое число


Применим этот алгоритм к решению уравнений.

Пример 1: Решите уравнение

hello_html_97deffc.gif

Решение: hello_html_7994359f.gif, hello_html_47bb1464.gif

  1. k(a) не имеет смысла при а = 2

  2. b(a) не имеет смысла при а = – 3

  3. hello_html_m6b57b045.gif, система решений не имеет

4) hello_html_m115be7fb.gif, hello_html_m60c3e80b.gif, если а – 2, а – 3, а 2, то

hello_html_7bbf4823.gif, hello_html_7fcb5fba.gif

5) hello_html_489c2ae9.gif, система имеет единственное решение при а = – 2.

Ответ: если а = 2, а = – 3, то решений нет; если а – 2, а – 3, а 2, то hello_html_7fcb5fba.gif;

если а = – 2, то х – любое число.

Пример 2: Решите уравнение (k2 – 1)x = k + 1

Решение: 1) k + 1 имеет смысл при любом k.

2) k2 – 1 имеет смысл при любом k.

3) hello_html_m9f23674.gif, hello_html_m9e91c5c.gif при k = 1 исходное уравнение решений не имеет

4) (k2 – 1) 0, (k – 1) (k + 1) 0; если k 1, k – 1, то

hello_html_m4cc142b8.gif, hello_html_m7d6fd358.gif.

5) hello_html_405a5984.gif, если k = – 1, то х – любое число.

Ответ: если k = 1, то решений нет; если k = – 1, то х – любое число; если k 1, k – 1, то hello_html_m48ffc961.gif.

Пример 4: При каких значениях параметров m и n уравнение 2m – nx = 1 не имеет решений? Ответ: если n = 0 и hello_html_mb87516e.gif, то корней нет; если n  0 и m любое число, то hello_html_m114c9e70.gif;

если n = 0 и hello_html_2fed6a46.gif, то х любое число.

Для самостоятельной работы:

Решите уравнения:

а) hello_html_m70c9b134.gif

Ответ: х = а.

б) hello_html_m7d4f8a6d.gif

Ответ: если а = 0 и b – 3, то корней нет; если а = 0 и b – любое число, то hello_html_m35bf36ac.gif;

если а = 0 и b = – 3, то х любое число.

Задания для закрепления:

Решите уравнения:

а) (2b – 3x) + (x – 5b) = 4x + 6b; б) (2xc) – (5cx) = 3c; в) 6(xa) = 7(х + b); г) 5(x + b) = 3(ax)

Ответы: а) х = hello_html_333b91b2.gif; б) х = 3с; в) х = – (7b + 6a); г) х = hello_html_m2321968c.gif

д)При каких значениях hello_html_722ad406.pngуравнение hello_html_7e2f571e.pngимеет положительное решение?

е) При каких значениях hello_html_722ad406.pngуравнение hello_html_m7073383b.pngимеет отрицательное решение?

ж) При каких значениях hello_html_722ad406.pngуравнение hello_html_747d0971.pngимеет одно положительное решение?

з) При каких значениях hello_html_722ad406.pngуравнение hello_html_m3653f454.pngимеет решения, удовлетворяющее условию hello_html_mfda7382.png?

8 класс

Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры – один из труднейших разделов школьной математики. Здесь, кроме использования определенных алгоритмов решения уравнений, приходится думать об удачной классификации. Квадратные и дробно-рациональные уравнения с параметрами – это тема, на которой проверяется не натасканность ученика, а подлинное понимание им материала.

Что должны знать восьмиклассники?

Определение: квадратным уравнением называется уравнение вида hello_html_m5806f96f.gif, где х – переменная, а, b и с – некоторые числа, при чем а ¹ 0.

Определение: если в квадратном уравнении hello_html_m5806f96f.gif хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Выражение hello_html_m2f7ec25.gif называется дискриминантом квадратного уравнения hello_html_m5806f96f.gif.

Если D > 0, то уравнение hello_html_m5806f96f.gif имеет два корня

hello_html_5c79596e.gifи hello_html_7239ad2d.gif.

Если D = 0, то уравнение hello_html_m5806f96f.gif имеет один корень hello_html_m7da286df.gif.

Если D < 0, то уравнение hello_html_m5806f96f.gif не имеет корней

Упражнения:

Пример 1: Линейным или квадратным является уравнение hello_html_m2fe64cc8.gif относительно х, при : а) b = 1; б) b = 2; в) b = 0,4; г) b = 0?

Решение: а) b = 1; hello_html_m6543480d.gif – квадратное уравнение;

б) b = 2; hello_html_m15323066.gif

hello_html_1ef6194a.gif – линейное уравнение;

в) b = 0,4; hello_html_4395bef3.gif

hello_html_84f157c.gifнеполное квадратное уравнение;

г) b = 0; hello_html_9bb5525.gif

hello_html_644a2342.gif –линейное уравнение.

Итак, в зависимости от значений параметра b, уравнение может быть квадратным, линейным или неполным квадратным уравнением.

Пример 2: При каких значениях параметра а уравнение hello_html_m4b8d3939.gif является:

а) квадратным; б) неполным квадратным; в) линейным?

Решение:

hello_html_429195c3.gif

hello_html_55a73f61.gif

hello_html_m3aaed082.gif

а) Уравнение является неполным квадратным, если:

hello_html_m59693308.gif

если а Î (– ¥; – 2) È (– 2; 0) È (0; 1) È (1; + ¥), то исходное уравнение является квадратным.

б) Уравнение является линейным, если hello_html_21badf42.gif при а = 0 или а = 1.

Пример 3: При каких значениях параметра b уравнение hello_html_m7627696c.gif

а) имеет корни; б) не имеет корней?

Решение: hello_html_m7627696c.gif; D = hello_html_13b68245.gif

а) hello_html_m926e33f.gif, но hello_html_489d3d1d.gif, следовательно, hello_html_m7a7155ef.gif;

если hello_html_m7a7155ef.gif, то уравнение корни имеет.

б) hello_html_18a7c00d.gif – при любых значениях b, кроме нуля;

если b Î (– ¥; 0) È (0; + ¥), то исходное уравнение корней не имеет.

Для закрепления можно предложить следующие упражнения:

Пример 1: Решите относительно х уравнение hello_html_m201a42f4.gif

Решение: hello_html_m68f918a0.gif

hello_html_646a01e1.gif

Ответ: если а = 0, то х = 0;

если а ¹ 0, то х1 = 0; х2 = а;

Пример 2: Решите относительно х уравнение hello_html_2ba1b69c.gif

Решение: hello_html_2ba1b69c.gif, D = 4 – 4с

Алгоритм: рассмотреть случаи, когда: D > 0, D = 0, D < 0.

1) 4 – 4с > 0, с < 0,

hello_html_m44b1196f.gif

hello_html_m6a4240ae.gif

2) 4 – 4с = 0, с = 1

x = 1

3) с > 1 исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: если с Î (– ¥; 1), то hello_html_m4e3bbd9f.gif

hello_html_mbb67ff3.gif.

если с = 1, то х = 1

если с Î (1; + ¥), то корней нет.

Пример 3: Решите относительно х уравнение hello_html_m445420c2.gif

Решение hello_html_m445420c2.gif

В первую очередь, обратить внимание учащихся на коэффициент перед х2.

1) если m = 0, то hello_html_m1a5c171a.gif

hello_html_m488177c6.gif

2) если m ¹ 0, то D = 36 – 4m

а) 36 – 4m > 0

hello_html_479fcee8.gif, hello_html_m6f04603a.gif

б) 36 – 4m = 0, m = 9, х = hello_html_m5a7ee866.gif

в) 36 – 4m < 0, m > 9, исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: если m Î (– ¥; 0) È (0; – 9), то hello_html_m6f04603a.gif

если m = 0, то х = hello_html_71a53211.gif

если m Î (9; + ¥), то корней нет.

4 hello_html_27baf750.gif

5 hello_html_7b0b1150.gif

6 hello_html_eb53269.gif

7) hello_html_m75804eaf.gif

Ответы: 4) если с = 2, то y – любое число;

если с ¹ 2, то y1 = – 2; y2 = 2.

5) если b = 0, то y – любое число;

если b ¹ 0, то y1 = 0; y2 = 1.

6) при любом а y1 = – а; y2 = а + 3.

7) при а = 0 y – любое число;

при а ¹ 0 корней нет.


8. Решите уравнения:

I.

а)  hello_html_7d133484.png; в) hello_html_m733a5c27.png

б) hello_html_m366d7806.png; г) hello_html_m29d18de3.png.

II.

а) hello_html_mb3e8872.png; в) hello_html_m76c98622.png

б) hello_html_781ab050.png; г) hello_html_6cf5afe2.png

III.

а) hello_html_m5689c194.png; в) hello_html_m38506397.png

б) hello_html_12d4516d.png; г) hello_html_2ca6f67c.png.


Уже в 8 классе можно решать квадратные уравнения, содержащие параметр, с ограничением на корни.

Выделим задачи, в которых благодаря параметрам на переменную накладываются какие-либо искусственные ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки: при каком значении параметра уравнение имеет одно решение, два, бесконечно много, ни одного; уравнение имеет два различных корня, положительные корни и т.д.

Пример 1: При каких а уравнение hello_html_m5b4b1d50.gif имеет единственное решение?

Решение: естественно начать решение со случая а = 0. Итак, если а = 0, то очевидно, что данное уравнение имеет единственное решение. Если же а ¹ 0, то имеем дело с квадратным уравнением. Его дискриминант 1 – 2а принимает значение, равное нулю, при а = hello_html_3c7004f.gif.

Ответ: а = 0 или а = hello_html_3c7004f.gif.

Пример 2: При каких а уравнение hello_html_m5fd1885e.gif имеет два различных корня?

Решение: данное уравнение является квадратным относительно переменной х при а ¹ 0 и имеет различные корни, когда его дискриминант hello_html_m20d9e65d.gif, т.е. при а < 1. Кроме того, при а = 0 получается уравнение hello_html_4fa33f61.gif, имеющее один корень. Таким образом, а Î (– ¥; 0) È (0; 1).

Ответ: а Î (– ¥; 0) È (0; 1).

Рассмотрим несколько примеров, где значения параметра расставляют «ловушки».

Пример 3: При каких а уравнение hello_html_2a0a6d1f.gif имеет более одного корня?

Решение: при а = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При а ¹ 0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант hello_html_2b0e02c4.gif – положительный. Отсюда получаем: hello_html_2d316946.gif. Однако в полученный промежуток (– 4; 1) входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо.

Ответ: hello_html_m534fff8c.gif или hello_html_m4a603bef.gif.

Пример 4 (для самостоятельного решения): При каких а уравнение hello_html_702f5b3e.gif имеет более одного корня?

Решение: Стандартный шаг – начать со случаев а = 0 и а = – 3. При а = 0 уравнение имеет единственное решение. Любопытно, что при а = – 3 решением уравнения является любое действительное число. При а ¹ 0 и а ¹ – 3, разделив обе части данного уравнения на а + 3, получим квадратное уравнение hello_html_2469db19.gif, дискриминант которого hello_html_m74829e7d.gif положителен при а > – hello_html_2d64586f.gif.

Опыт решения предыдущего примера подсказывает, что из промежутка ( –hello_html_3072980.gif; + ¥) надо исключить точку а = 0, а в ответ не забыть включить а = – 3.

Ответ: а = – 3, или – hello_html_2d64586f.gif < а < 0 или а > 0.

К этой группе задач примыкают задачи, содержащие параметр, решаемые с использованием теоремы Виета.

Теорема Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

hello_html_m67cf57b9.gif

hello_html_50a1e72a.gif

D > 0: hello_html_153bb49f.gif

hello_html_m6361903c.gif

hello_html_m50776480.gif

Итак hello_html_13a2c0ca.gif, hello_html_m16815121.gif.

Решение задач.

Пример 1: При каких значениях параметра b уравнение hello_html_m41992a4d.gif имеет:

а) два положительных корня;

б) два отрицательных корня;

в) единственный корень?

Решение:

hello_html_m41992a4d.gif

если b ¹ 1, то hello_html_m7f8670f7.gif

а) согласно теореме Виета hello_html_m4c77684b.gif, b Î (– ¥; – 1) È ( – 1; + ¥)

б) hello_html_483cfcd.gif, решений нет

в) если b = 1, то –2х + 2 = 0; х = 1; b ¹ 1; hello_html_m72d75262.gif.

Ответ: а) b Î (– ¥; – 1) È ( – 1; + ¥); б) таких b не существует; в) х = 1.

1.При каких значениях параметра а уравнение hello_html_5805166c.gif имеет:

а) два положительных корня;

б) два отрицательных корня;

в) корни разных знаков?

Ответ: а) а Î (2; + ¥); б) а Î (– ¥; – 3); в) а Î (– 3; 2).

2. При каких значениях параметра b уравнение hello_html_m5cf7819e.gif имеет:

а) два положительных корня;

б) два отрицательных корня;

в) корни разных знаков?

Ответ: а) b Î (2; + ¥); б) b Î (– ¥; – 1); в) b Î (– 1; 2).

Пример 2: При каком значении q один корень уравнения hello_html_6afd0913.gif равен квадрату второго?

Решение: Если корни hello_html_m679cb0d0.gif уравнения связаны соотношением hello_html_m4071713.gif, то по теореме Виета hello_html_1596ebda.gif

hello_html_3fd1b543.gif.

Тогда hello_html_m74b02404.gif, hello_html_m14d301f4.gif, hello_html_53637f3.gif; hello_html_1abb10c5.gif; hello_html_11ae5440.gif.

Пример 3:

5. При каких значениях параметра с уравнение hello_html_d3641f5.gif имеет:

а) два положительных корня;

б) два отрицательных корня;

в) единственный корень?

6. При каких значениях параметра с уравнение hello_html_m38cb4e43.gif

а) имеет корни;

б) не имеет корней;

в) имеет положительный корень;

г) имеет отрицательный корень?

Ответы: 1) а) При с > 8; б) при с < – 8; в) с = – 8 или с = 8.

2) а) с Î (– ¥; –hello_html_41f1d6ec.gif) È (–hello_html_41f1d6ec.gif; + ¥); б) с = –hello_html_41f1d6ec.gif); в) с Î (–hello_html_41f1d6ec.gif; + ¥); г) с Î (– ¥; –hello_html_41f1d6ec.gif).

Для закрепления:

1. При каких значениях hello_html_5d88b303.pngпроизведение корней квадратного уравнения hello_html_46c975b6.pngравно нулю?

2. При каких значениях hello_html_5d88b303.pngсумма корней квадратного уравнения hello_html_m1a80f624.pngравна нулю?

3. В уравнении hello_html_m5f3f49a.pngсумма квадратов корней равна 16. Найти hello_html_722ad406.png.

4. В уравнении hello_html_3c088f53.pngквадрат разности корней равен 16. Найти hello_html_722ad406.png.

5. При каких значениях hello_html_722ad406.pngсумма корней уравнения hello_html_m3b947548.pngравна сумме квадратов корней?

6. При каком значении параметра hello_html_1355050d.pngсумма квадратов корней уравнения hello_html_4037435a.pngнаименьшая?

7. При каком значении параметра hello_html_1355050d.pngсумма квадратов корней уравнения hello_html_m3037255f.pngнаибольшая?

8. При каких значениях параметра hello_html_722ad406.pngодин из корней квадратного уравнения hello_html_1088b69e.pngв два раза больше другого?

9.При каких значениях hello_html_722ad406.pngуравнение hello_html_a8abd21.pngимеет корни разных знаков?

10. При каких значениях hello_html_722ad406.pngуравнение hello_html_m5f14ea6a.pngимеет корни hello_html_m424d3b6f.pngи hello_html_m562de6f7.pngтакие, что hello_html_m23316598.png?



Тестирование

  1. Тест состоит из 5-ти заданий, последнее из них более сложное. Для каждого задания предлагается три ответа, один из которых правильный, а два другие – неверные. Класс делится на 2 варианта. Каждому ученику дается карточка с заданиями соответствующего варианта.

Вариант 1

1. Решите уравнение hello_html_30b1512f.gif относительно х.

а) hello_html_6287c99b.gif, при m ¹ 0.

б) 1) при m = 0 корней нет;

2) при m ¹ 0 hello_html_m19458976.gif;

в) 1) при m = 0 корней нет;

2) при m ¹ 0 hello_html_6287c99b.gif.

2. Решите уравнение hello_html_2e4d121b.gif относительно х.

а) 1) при hello_html_16b14cab.gifhello_html_1c6f2da9.gif;

2) при hello_html_b682b1f.gif корней нет;

3) при hello_html_c66742a.gifhello_html_mc30336d.gif

б) 1) при hello_html_16b14cab.gifhello_html_1c6f2da9.gif;

2) при hello_html_b682b1f.gif корней нет;

3) при hello_html_c66742a.gifhello_html_m6a922c7a.gif

в) 1) при hello_html_16b14cab.gifhello_html_m44389165.gif;

2) при hello_html_b682b1f.gif корней нет;

3) при hello_html_605067d5.gif;

4) при hello_html_mef9b1c3.gifhello_html_m6a922c7a.gif

3. При каких значениях b уравнение hello_html_10606a02.gif имеет отрицательное решение?

а) при b < 1; б) при b > 1; в) при b < –2.

4. При каких значениях а произведение корней уравнения hello_html_m4e2420aa.gif равно нулю?

а) при hello_html_m213d35f0.gif; б) при hello_html_2cd79ff.gif; в) при hello_html_211f870a.gif.

5. При каком значении b сумма квадратов корней уравнения hello_html_6c20846c.gif принимает наименьшее значение?

а) таких значений нет; б) при hello_html_674ffa8e.gif; в) при hello_html_m3a668d1a.gif.

Ответы


Номер задания

1

2

3

4

5

Код верного ответа

в

б

б

б

в



При формировании умения решать простейшие дробно-рациональные уравнения, содержащие параметр необходимо провести подготовительную работу. Это может быть решение простых уравнений, нахождение ОДЗ уравнений.

Решить устно:

а) hello_html_m3c8795c7.gif; б) hello_html_m5601bf2c.gif; в) hello_html_m3b4c6edb.gif; г) hello_html_50e0eba1.gif.

Решение задач.

Пример 1: Решите уравнение hello_html_31cad486.gif.

Решение: hello_html_31cad486.gif; hello_html_m51d7b2c7.gif; hello_html_7db1ba1c.gif

Найдем недопустимые значения а:

hello_html_24960007.gif.

Ответ: если hello_html_2b2789c4.gif если hello_html_7bbb72f8.gif

Задания для самостоятельного решения:

Решите уравнения: а) hello_html_5a7258c9.gif; б) hello_html_478181bb.gif

Ответы: а) если hello_html_318dafb3.gif, то х любое число, кроме 3;

еслиhello_html_17bb8459.gifто х =2.

б) если hello_html_b5a7ec4.gif

если hello_html_6d9fdaa4.gif

если hello_html_1780fd02.gif, то hello_html_704ed032.gif.

В данных примерах дроби имели одинаковые знаменатели.

Теперь рассмотрим решение примера, в котором дроби необходимо привести к общему знаменателю.

Пример 2: Решите уравнение hello_html_1e0457fc.gif

Решение: hello_html_1e0457fc.gif; hello_html_2fad6981.gif

hello_html_29b33b55.gif

Найдем недопустимые значения параметра а.

hello_html_m1317b6f2.gif

hello_html_4b837b29.gif

Ответ: если hello_html_m6518758f.gif, то уравнение теряет смысл; если hello_html_262c02c8.gif.

Задания для самостоятельного решения:

Решите уравнение: hello_html_m837f1a3.gif

Ответ: при hello_html_6196d8c2.gif; при hello_html_4a89c586.gifрешений нет.

Для закрепления:

Решите уравнения:

а) hello_html_48ea2cd9.gif Ответ: если hello_html_79c5b072.gifhello_html_m265db453.gif; если hello_html_m6532ace2.gifрешений нет.

б) hello_html_m4f6445b4.gif Ответ: если hello_html_20d21ee0.gifhello_html_m1bf7653b.gif; если hello_html_m734d3a28.gifрешений нет.

в) hello_html_m46b8fb1f.gif Ответ: если hello_html_f09fbed.gifкорней нет; если hello_html_m7f56c1bc.gifhello_html_15d8c759.gif.

г) hello_html_m40b8f851.gif Ответ: если hello_html_m720708b9.gifуравнение теряет смысл; если hello_html_m33407d41.gifкорней нет.

если hello_html_m24925f6.gifhello_html_1118888.gif.

д) Решите уравнение hello_html_m15bc9fe6.gif а) относительно x; б) относительно y.

Ответ: а) если hello_html_3407f343.gifкорней нет;

если hello_html_7efc80e.gifhello_html_2e16e99d.gif.

б) если hello_html_a4290db.gif корней нет;

если hello_html_m1c7a6d1d.gifhello_html_2f20d5c6.gif.


9 класс

Решение уравнений на расположение корней квадратного уравнения, графический метод решения уравнений с параметрами, в том числе, уравнений с модулями.

Пример 1: Найдите число решений уравнения hello_html_206f3fa5.gif в зависимости от параметра а.

Решение: Построим график функции hello_html_79b499a6.gif.

Вhello_html_m7fc9d628.jpgыделим полный квадрат hello_html_m32d60f87.gif

Уравнение hello_html_206f3fa5.gif имеет столько решений, сколько раз прямая hello_html_m4bb1a659.gif пересекает график функции hello_html_79b499a6.gif. На рисунке видно:

1) если hello_html_47c92f56.gif, то графики не имеют общих точек, т.е. нет решения;

2) если hello_html_55a65999.gif, то графики имеют две общие точки, т.е. два решения;

3) если hello_html_m6efb95bf.gif, то графики пересекаются в четырех точках – что дает четыре решения;

4) если hello_html_md25489f.gif, то графики имеют три общие точки , т.е. три решения;

5) если hello_html_m631fba67.gif, то графики имеют две общие точки , т.е. два решения.

Пример 2: Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение hello_html_575289bf.gif имеет не менее трех корней.

Решение: При hello_html_2cbef53d.gif имеем hello_html_mdbbe658.gif, которое равносильно совокупности уравнений

hello_html_m12a4af35.gifили hello_html_1a435e90.gif

При hello_html_m3490240e.gif исходное уравнение будет иметь вид hello_html_m6f573a22.gif. Это равносильно hello_html_1efe8086.gif, или hello_html_6ec87307.gif

Построим графики левых частей полученных четырех уравнений

hello_html_m11077ed5.gif

hello_html_7dedc527.gif

hello_html_658e770.gif

hello_html_7d05da60.gifhello_html_4a3bf572.jpg


На рисунке видно, что данное уравнение имеет не менее трех решений, если прямая hello_html_m32b00ffb.gif пересекает график в трех или в четырех точках.

Это достигается в том случае, если hello_html_3019d8ef.gif

Ответ: при hello_html_m5b51f0c0.gif уравнение имеет не менее трех корней.





Задания на расположение корней квадратного уравнения:

1. При каких значениях hello_html_722ad406.pngуравнение hello_html_m3653f454.pngимеет решения, удовлетворяющее условию hello_html_mfda7382.png?

2. При каких значениях hello_html_722ad406.pngуравнение hello_html_a8abd21.pngимеет корни разных знаков?

3. При каких значениях hello_html_722ad406.pngуравнение hello_html_m5f14ea6a.pngимеет корни hello_html_m424d3b6f.pngи hello_html_m562de6f7.pngтакие, что hello_html_m23316598.png?

4. Найдите все значения hello_html_722ad406.png, при которых корни уравнения hello_html_79464f6d.pngменьше, чем 1.

5. Найдите все значения hello_html_722ad406.png, при которых один из корней уравнения hello_html_me044bb1.pngменьше 1, а другой больше 1.

























Литература:



1. В.В. Мочалов, В.В. Сильвестров «Уравнения и неравенства с параметрами»,Москва, 2006

2. П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир «Задачи с параметрами», М.:«Илекса», Харьков: «Гимназия», 2002

3. http://mat.1september.ru./ 

4. В.В. Амелькин, В.Л. Рабцевич «Задачи с параметрами», Минск: «Асар», 1996

5. С.А. Тынянкин «514 задач с параметрами», Волгоград, 1991

6. Г.А. Ястребинецкий «Задачи с параметрами». М.: «Просвещение», 1986

7. М.Л. Галицкий и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов, М.: «Просвещение», 1999





Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
17 курсов по пожарно-техническому минимуму
Обучение от 2 дней
дистанционно
Удостоверение
Программы актуальны на 2019 г., согласованы с МЧС РФ
2 500 руб. до 1 500 руб.
Подробнее