Задачи В13 ( движение, совместная работа) (подготовка к ЕГЭ по математике)

Учитель математики МБОУ СОШ № 24 Григорук Е.О.

Задачи В13 ( движение, совместная работа)

(подготовка к ЕГЭ по математике)

B 13 .1 (для этой группы задач самое главное - это рисунок!!!!)

Поезд, дви­га­ясь рав­но­мер­но со ско­ро­стью 60 км/ч, про­ез­жа­ет мимо при­до­рож­но­го стол­ба за 9 се­кунд. Най­ди­те длину по­ез­да в мет­рах.

пройденное расстояние = длине поезда L=S

                                

Ре­ше­ние.

Переведем ско­рость по­ез­да из км/ч в м/с:

         м/с.

За 9 се­кунд поезд про­хо­дит мимо при­до­рож­но­го стол­ба рас­сто­я­ние ( S = V · t), рав­ное своей длине:

    мет­ров.

Ответ: 150.

B 13 .

     Поезд, дви­га­ясь рав­но­мер­но со ско­ро­стью 60 км/ч, про­ез­жа­ет мимо ле­со­по­ло­сы, длина ко­то­рой равна 400 мет­ров, за 39 се­кунд. Най­ди­те длину по­ез­да в мет­рах.

 

                                                                                                                                                                                                                    

Ре­ше­ние.

Переведем ско­рость по­ез­да в м/с:

.

За 39 се­кунд поезд про­хо­дит мимо ле­со­по­ло­сы, то есть про­хо­дит рас­сто­я­ние: 

                       S = V · t

,

      рав­ное сумме длин ле­со­по­ло­сы и са­мо­го по­ез­да.

По­это­му длина по­ез­да равна  650 - 400 = 250 мет­ров.

Ответ: 250.

 B 13 .

 По двум па­рал­лель­ным же­лез­но­до­рож­ным путям друг нав­стре­чу другу сле­ду­ют ско­рый и пас­са­жир­ский по­ез­да, ско­ро­сти  ко­то­рых равны со­от­вет­ствен­но 70 км/ч и 50 км/ч. Длина пас­са­жир­ско­го по­ез­да равна 800 мет­рам. Най­ди­те длину ско­ро­го по­ез­да, если время, за ко­то­рое он про­шел мимо пас­са­жир­ско­го по­ез­да, равно 45 се­кун­дам. Ответ дайте в мет­рах.

 

                                                                        

                 

Ре­ше­ние.

Ско­рость сбли­же­ния по­ез­дов равна:   V = 70 + 50 = 120 км/ч,

 переведем в м/с : 

                                      м/с.

За 45 се­кунд один поезд про­хо­дит мимо дру­го­го, то есть вме­сте по­ез­да пре­одо­ле­ва­ют рас­сто­я­ние      S = V · t

 м.

рав­ное сумме их длин.

Сле­до­ва­тель­но, длина ско­ро­го по­ез­да  1500 - 800 = 700 м.

Ответ: 700.

B 13 .

 По двум па­рал­лель­ным же­лез­но­до­рож­ным путям в одном на­прав­ле­нии сле­ду­ют пас­са­жир­ский и то­вар­ный по­ез­да, ско­ро­сти ко­то­рых равны со­от­вет­ствен­но 90 км/ч и 30 км/ч. Длина то­вар­но­го по­ез­да равна 600 мет­рам. Най­ди­те длину пас­са­жир­ско­го по­ез­да, если время, за ко­то­рое он про­шел мимо то­вар­но­го по­ез­да, равно 1 ми­ну­те. Ответ дайте в мет­рах.

 

                                                                   

                    

Ре­ше­ние.

Скорость опережения данных поездов равна:  Vбольшая - Vменьшая

За 60 се­кунд один поезд про­хо­дит мимо дру­го­го, то есть пре­одо­ле­ва­ют рас­сто­я­ние:

      S = V · t

 м,

рав­ное сумме  длин поездов, по­это­му длина пас­са­жир­ско­го по­ез­да

1000-600 = 400 м.

Ответ: 400.

 B 13 . 

По морю па­рал­лель­ны­ми кур­са­ми в одном на­прав­ле­нии сле­ду­ют два су­хо­гру­за: пер­вый дли­ной 110 мет­ров, вто­рой — дли­ной 90 мет­ров. Сна­ча­ла вто­рой су­хо­груз от­ста­ет от пер­во­го, и в не­ко­то­рый мо­мент вре­ме­ни рас­сто­я­ние от кормы пер­во­го су­хо­гру­за до носа вто­ро­го со­став­ля­ет 1000 мет­ров. Через 16 минут после этого уже пер­вый су­хо­груз от­ста­ет от вто­ро­го так, что рас­сто­я­ние от кормы вто­ро­го су­хо­гру­за до носа пер­во­го равно 400 мет­рам. На сколь­ко ки­ло­мет­ров в час ско­рость пер­во­го су­хо­гру­за мень­ше ско­ро­сти вто­ро­го?

                                                          

 

                                     1000м                        110м                         400м                 90м

Ре­ше­ние.

Не обращаем внимания на движение первого сухогруза.!!!Определяем по рисунку какое расстояние прошел второй сухогруз.

1000+110+400+90 = 1600 м.

Скорость опережения второго сухогруза :   V = S/tопережения

V = 1600/16 = 100м/с или 6 км/ч.

Ответ: 6.

B 13 .2

 Из одной точки кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна 12 км, од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии стар­то­ва­ли два ав­то­мо­би­ля. Ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля равна 106 км/ч, и через 48 минут после стар­та он опе­ре­жал вто­рой ав­то­мо­биль на один круг. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля. Ответ дайте в км/ч.

 

Ре­ше­ние.

Время "опережения" первого автомобиля - 48 мин,т.е.0,8 ч.

Путь "опережения" - 12 км.(один круг).

Можно найти скорость опережения : V = S / t

V = 12 / 0,8 = 15 км/ч

Так как скорость опережения равна разности большей и меньшей скоростей, то скорость второго автомобиля :

106 - 15 = 91 км/ч.

Ответ: 91.

 B 13 . 

Два мо­то­цик­ли­ста стар­ту­ют од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии из двух диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ных точек кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна 5 км. Через сколь­ко минут мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся в пер­вый раз, если ско­рость од­но­го из них на 5 км/ч боль­ше ско­ро­сти дру­го­го?

 

Ре­ше­ние.

Скорость опережения равна 5 км/ч. Так как мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся в пер­вый раз, то путь "опережения" составит полкруга, т.е. : 2,5 км.

Тогда время  можно вычислить по формуле:

t = S/V

t = 2,5 / 5 = 0,5ч = 30 мин.

Ответ: 30.

B 13 . 

Два гон­щи­ка участ­ву­ют в гон­ках. Им пред­сто­ит про­ехать 99 кру­гов по коль­це­вой трас­се про­тяжённо­стью 4 км. Оба гон­щи­ка стар­то­ва­ли од­но­вре­мен­но, а на финиш пер­вый пришёл рань­ше вто­ро­го на 22 ми­ну­ты. Чему рав­ня­лась сред­няя ско­рость вто­ро­го гон­щи­ка, если из­вест­но, что пер­вый гон­щик в пер­вый раз обо­гнал вто­ро­го на круг через 20 минут?

Ре­ше­ние.

Начинаем решение со второго условия:

Время опережения : 20 мин, т.е. 1/3 ч.;

Путь опережения : один круг - 4 км.

Таким образом ,скорость опережения равна: V = S/tопережения

V = 4/1/3 = 12 км/ч.

Далее обо­зна­чим ско­рость вто­ро­го гон­щи­ка Х км/ч ( х>0), тогда ско­рость пер­во­го Х+12 км/ч. Со­ста­вим и решим урав­не­ние:

 | : 11

 |· 30х(х+12)

30·9·4·(х+12) - 30·9·4·х = х(х+12)

+ 12х - 30·9·4 = 0

х = 108,

х = -120

 Таким об­ра­зом, ско­рость вто­ро­го гон­щи­ка равна 108 км/ч.

Ответ: 108.

 B 13 .

 Из пунк­та A кру­го­вой трас­сы вы­ехал ве­ло­си­пе­дист, а через 30 минут сле­дом за ним от­пра­вил­ся мо­то­цик­лист. Через 10 минут после от­прав­ле­ния он до­гнал ве­ло­си­пе­ди­ста в пер­вый раз, а еще через 30 минут после этого до­гнал его во вто­рой раз. Най­ди­те ско­рость мо­то­цик­ли­ста, если длина трас­сы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

К мо­мен­ту пер­вой встречи  мо­то­цик­лист за 10 минут про­ехал столь­ко же, сколь­ко ве­ло­си­пе­дист за 30 + 10 = 40 минут, сле­до­ва­тель­но, его ско­рость в 4 раза боль­ше.

Примем ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста  за x км/час, то ско­рость мо­то­цик­ли­ста будет равна 4x, а ско­рость их сбли­же­ния — 3x км/час.

Вто­рой раз мо­то­цик­лист до­гнал ве­ло­си­пе­ди­ста за 30 минут ( 0,5 ч), т.е. он проехал на один круг больше(на 30 км). Сле­до­ва­тель­но, ско­рость их сбли­же­ния

30/0,5 = 60 км/ч.

Таким образом,          3х = 60 км/час,

от­ку­да ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна 20 км/час, а ско­рость мо­то­цик­ли­ста равна 80 км/час.

Ответ:80.

 B 13 .3

Пер­вый насос на­пол­ня­ет бак за 20 минут, вто­рой — за 30 минут, а тре­тий — за 1 час. За сколь­ко минут на­пол­нят бак три на­со­са, ра­бо­тая од­но­вре­мен­но?

Ре­ше­ние.

Найдем НОК времени работы насосов : в данном случае 60 мин.

№ насоса	(1)Время наполнения  одного бака	(2)НОК  времени наполнения	Количество баков, заполненных за это время (2) : (1)
1	20	60	3
2	30	60	2
3	60	60	1
Три насоса		За 60мин	Заполнят 6 баков

Зна­чит, один бак на­со­сы на­пол­нят за      60 : 6 = 10 мин.

Ответ: 10.

 B 13 . Игорь и Паша кра­сят забор за 24 часа. Паша и Во­ло­дя кра­сят этот же забор за 28 часов, а Во­ло­дя и Игорь — за 56 часов. За сколь­ко часов маль­чи­ки по­кра­сят забор, ра­бо­тая втро­ем?

Ре­ше­ние.

	(1)Время покраски забора	(2)НОК  времени покраски забора	Количество заборов, покрашенных за это время (2) : (1)
Игорь и Паша	24	24·7	7
Паша и Во­ло­дя	28	24·7	6
Во­ло­дя и Игорь	56	24·7	3
Все вместе 3 пары, т.е. 6 чел.		За 24·7 часов	Покрасят 16 заборов

Таким образом, один забор 3 пары покрасят за

= ч,

а значит, работая втроем, они покрасят забор в 2 раза медленнее, т.е  за 21 час.

Ответ : 21.