Задачи 10 класс "Механика. Электростатика. Конденсаторы"

Механика, кинематика, прямолинейное движение, равномерное движение,средняя скорость №1 Графики каких движений показаны на рисунке? Как отличаются скорости движения этих тел? В какой момент времени тела встретились? Какие пути тела прошли до встречи?

Решение

Так как изменение координаты тела происходит прямо пропорционально времени, то можно утверждать, что движение равномерное и прямолинейное. По отношению к точке отсчета (0; 0) у первого тела координата убывает, а у второго наоборот — возрастает. Первое тело движется против оси х, второе — по направлению оси координат.

а) Чтобы ответить на вопрос об отличии скоростей, определим их из уравнения координаты:

v_x

=

x − x_o

, тогда

t

v_1x

=

3 − 6

м/с = −0.75 м/с.

4

v_2x

=

3 − 0

м/с = 0.75 м/с.

4

Скорости тел равны по абсолютному значению, но противоположны по направлению.

б) Зная также, что v=tg α (геометрический смысл скорости) и сравнивая углы наклонов графиков движения тел к оси t, приходим к выводу, что углы одинаковы, следовательно, скорости равны.

в) Точка пересечения двух прямых означает, что тела встретились в одно и то же время в одной и той же точке, т. е. время встречи t = 4 c, а координата x = 3 м.

г) Так как движение равномерное и прямолинейное, то S = x − x_o. Находим пути, пройденные телами до встречи:
S₁= | x₁ − x_o1 | = | (3−6) м | = 3 м,
S₂= | x₂ − x_o2 | = | (3−0) м | = 3 м.
Оба тела, двигаясь с одинаковыми скоростями, за одно и тоже время прошли равное расстояние.

№2 Точка движется с постоянной скоростью v_o под углом α к оси x. В начальный момент времени t = 0 точка имела координаты (х_o; у_o). Написать уравнения движения точки и уравнение траектории.
Решение

уравнение движения имеет вид:
x = x_o + v_xt   по оси x и
y = y_o + v_yt   по оси Y.

Начальные координаты заданы x_o, y_o. Проекции скорости найдем из прямоугольного треугольника АВС:

v_x = −v_ocos α, знак минус указывает на то, что направление проекции вектора скорости не совпадает с направлением оси x;

v_y = v_osin α, проекция скорости положительна, так как направление вектора скорости, совпадает с направлением оси Y.

Тогда, подставляя проекции скоростей в соответствующие уравнения движения, имеем:
x = x_o − v_ot·cos α,
y = y_o + v_ot·sin α.

Решая совместно эти два уравнения, напишем уравнение траектории. Для этого из уравнения движения точки вдоль оси x выразим время и подставим в уравнение движения точки вдоль оси Y:

t =

x_o − x

, тогда

v_o cos α

y = y_o + v_o sin α

x_o − x

=

y_o + x_otg α − x tg α.

v_o cos α

№ 3 Первую половину пути автомобиль проехал со средней скоростью v₁ = 60 км/ч, а вторую — со средней скоростью v₂ = 40 км/ч. Определить среднюю скорость Vавтомобиля на всем пути.

Решение:

проанализируем условие задачи: первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 60 км/ч и затратил время, равное

t₁

=

S/2 

.

v₁

Вторую половину пути автомобиль проехал со скоростью 40 км/ч и затратил время, равное

t₂

=

S/2 

.

v₂

По определению, средняя скорость V при равномерном прямолинейном движении равна отношению всего пройденного пути ко всему затраченному времени.
Подставляя значения скорости в формулу средней скорости, получим:

V =

2 • 60 • 40

= 48 км/ч.

60 + 40

Средняя скорость равна 48 км/ч.

№ 4 Автомобиль проходит первую треть пути со скоростью v₁, а оставшуюся часть пути — со скоростью v₂ = 50 км/ч. Определить скорость на первом участке пути, если средняя скорость на всем пути V = 37,5 км/ч.

Решение: обозначим весь путь через S; время, затраченное на прохождение первого участка пути, — через t₁; время движения на втором участке пути — через t₂. Очевидно, что

t₁ + t₂

=

S 

+

2S

.

3v₁

3v₂

t₁ + t₂

=

S

.

V

Отсюда

v₁

=

Vv₂

= 25 км/ч.

3v₂ − 2V

№5 Зависимость скорости от времени движущегося тела задана следующей формулой: v = 2 + 0,5t. Опишите это движение (укажите значение характеризующих его величин). Постройте график v(t).

Решение:

Зависимость скорости от времени движущегося тела задана следующей формулой: v = 2 + 0,5t. Опишите это движение (укажите значение характеризующих его величин). Постройте график v(t).

Уравнение скорости (назовем его 1) для равноускоренного движения имеет вид:

Сопоставляя уравнение, заданное по условию задачи, с уравнением (1), находим: v_o = 2 м/с, a = 0,5 м/с².

Тело движется вдоль оси координат с начальной скоростью 2 м/с равноускоренно с ускорением 0,5 м/с. Знак скорости «+» указывает на направление движения (вдоль выбранной оси координат). Так вектора скорости и ускорения совпадают, то тело разгоняется. Остановки не предвидится.

Для построения графика воспользуемся аналогией y = b + kx, что соответствует линейной функции. Для построения графика достаточно двух точек:

1) t = 0, v = 2 м/с;
2) t = 2 c, v = 3 м/с.

№6 Катер прошел первую половину пути со средней скоростью в n = 2 раза большей, чем вторую. Средняя скорость на всем пути составила V_c = 4 км/ч. Каковы скорости катера на первой и второй половинах пути?

Решение: катер проходит одинаковые отрезки пути с разной скоростью, следовательно, будет разным и затраченное время. Примем скорость на втором участке пути за v, тогда на первом участке скорость 2v. Средняя скорость на всем пути:

V_c

=

S 

=

S

,

t

t₁ + t₂

где

t₁

=

S

 

и

  t₂

=

S

.

2·2v

2v

Подставляем в формулу средней скорости время:

V_c

=

S

=

4vv

=

4v

.

S/(4v) + S/(2v)

3v

3

Из последней формулы выразим скорость второго участка пути:

v

=

3Vc

.

4

Подставляя значение средней скорости на всем пути в последнюю формулу, имеем v = 3 км/ч, тогда скорость на первом участке пути в v = 2 раза больше, чем на втором, и равна 6 км/ч.

№7 Катер, двигаясь вниз по течению, затратил время в n = 3 раза меньше, чем на обратный путь. Определить, с какими скоростями относительно берега двигался катер, если средняя скорость на всем пути составила V = 3 км/ч.

Решение: двигаясь вниз по течению, катер затратил время в n = 3 раза меньше, т. к. его скорость относительно берега равна сумме его скорости относительно воды (собственная скорость) и скорости течения v₁=v_k+v_T. Путь, проходимый катером, одинаков туда и обратно, обозначим его через S. Время, затраченное им при движении по течению вниз:

t₁

=

S 

.

v_k + v_T

Обратно катер плывет против течения и его скорость относительно берега будет равна разности собственной скорости и скорости течения v₂=v_k−v_T. Тогда затраченное время при движении катера против течения равно:

t₂

=

S 

.

v_k − v_T

По условию задачи время движения катера против течения в три раза больше времени движения катера по течению:

t₂

=

S(v_k + v_T)

=

v_k + v_T

 

и  

v_k + v_T 

= 3.

t₁

S(v_k − v_T)

v_k − v_T

v_k − v_T

Упрощая эти уравнения, находим, что v_k=2v_T   (формула 1).
Теперь найдем среднюю скорость при движении катера на всем пути:

V =

S 

=

2S

=

2S

.

t

t₁ + t₂

S/(v_k + v_T) + S/(v_k − v_T)

Здесь учтем (1), тогда

V =

2

=

3 

V_T,

1/(3v_k) + 1/v_T

2

отсюда находим скорость течения: v_T = (2/3)V, а v_k = (4/3)V.
После вычислений окончательно имеем: v_T = (2/3)3 = 2 км/ч и v_k = (4/3)3 = 4 км/ч.

№8 Первую половину времени автомобиль двигался со средней скоростью v₁ = 40 км/ч, а вторую — со средней скоростью v₂ = 60 км/ч. Определить среднюю скорость автомобиля на всем пути.

Решение: в отличие от предыдущий задачи, автомобиль движется первую половину времени с одной скоростью 40 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 60 км/ч. Следовательно, автомобиль проходит за равные промежутки времени разные расстояния.

S₁

=

v₁

t

2

и

S₂

=

v₂

t

,

2

тогда средняя скорость

V =

S₁ + S₂

=

v₁t/2 + v₂t/2

=

v₁ + v₂

.

t

t

2

Средняя скорость для этого случая оказалась равной среднему арифметическому значению скоростей.
Подставим значения скоростей и проведем вычисления:

V =

40 + 60

= 50 км/ч.

2

Средняя скорость равна 50 км/ч.

№9 Формула x=20t. Необходимо:

• определить характер движения;

• найти начальную координату точки;

• выявить модуль и определить направление скорости;

• найти графический и аналитический смысл x через 15 секунд;

• определить время (t), когда x=100 м.

Решение:

1. Уравнение x = x_o + vt — это равномерное прямолинейное движение.

2. Начальная координата точки x_o = 0.

3. Скорость точки — это коэффициент при t, то есть v = 20 м/с. Скорость положительна, следовательно, точка движется вдоль выбранного направления оси координат x.

4. Через 15 с координата точки будет равна x = 300 м. Графически — нарисовать в осях координат x(t) по точкам прямую, которая будет проходить через точки (0 с; 0 м) и (15 с; 300 м). Через 15 с координата (по графику) будет 300 м.

5. При x = 100 м: 100 = 20t, отсюда t = 5 c.

Криволинейное движение

№10 Если камень, брошенный под углом 30° к горизонту, находился в полете 2 с, то с какой скоростью он упал на землю?

Решение:

Если камень был в полете 2 с, то в силу симметрии 1 с он летел до максимальной точки подъема и 1 с падал вниз (сопротивлением воздуха мы пренебрегаем). В максимальной точке подъема камень имеет только горизонтальную составляющую V_x скорости V. Свободно падая с максимальной высоты подъема, за 1 с камень приобретет вертикальную скорость V_y, равную:

V_y = gt

Скорость бросания равна скорости падения тела, которая связана с вертикальной составляющей в момент падения:

V =

v_y

=

gt

sin α

sin α

Искомая скорость равна V = 20 м/с.

Ответ: камень упал на землю со скоростью 20 м/с.

Возможно решение с помощью формулы:

t = (2v_o sin α) / g
(g = 9.8 ≅ 10 м/c²) ,

где t — время полета, v_o — начальная скорость.

Начальная скорость совпадает с конечной, следовательно, v_иск. = v_o = t (g/2) sin 30° = 2 (10/2) 0.5 = 20 м/c .

№11 С вершины наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол 60°, бросают тело в горизонтальном направлении. Если через 3,5 с тело ударилось о плоскость, то с какой начальной скоростью оно было брошено?
Решение:

Высоту полета тела H определим по формуле:

H =

gt²

.

2 

Дальность полета по горизонтали S будет равна:

S = v_ot.

Отношение высоты полета тела H к дальности полета по горизонтали S равно:

gt²

•

1

= tg α.

2

v_ot

Находим v_o:

gt 

= tg α.

2v_o

gt 

= tg α.

2v_o

 v_o

=

gt

.

2tg α

Если принять g = 10 м/с², то v_o = 10.1 м/с.

Ответ: начальная скорость тела равна 10.1 м/с.

№12 С башни брошено тело в горизонтальном направлении со скоростью 15 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить радиус кривизны траектории тела через 2 с после начала движения.

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 9 октября 2007 года.
Решение:

Радиус кривизны траектории — это радиус окружности R, по которой в этот момент движется тело.

Через две секунды тело приобретет скорость v, в которой вертикальная составляющая равна v_y = gt:

v = √(v_x² + v_y²) = √(v_x² + (gt)²).

    (1)

Нормальное ускорение тела a_n:

a_n =

v²

,

R 

откуда радиус окружности R равен:

R =

v²

.     (2)

a_n

Нормальное ускорение a_n связано соотношением:

a_n = g•cos α,

где

cos α =

v_x

,

v

тогда:

a_n =

gv_x

.     (3)

v 

Подставляя (3) и (1) в (2), получим:

R =

vv²

=

√(v_x² + (gt)²)

• (v_x² + (gt)²).

gv_x

gv_x

После вычислений R = 104,2 м.

Ответ: радиус кривизны через 2 с составляет 104,2 м.

Электростатика

№13 С какой силой F будут притягиваться два одинаковых свинцовых шарика радиусом r = 1 см, расположенные на расстоянии R = 1 м друг от друга, если у каждого атома первого шарика отнять по одному электрону и все эти электроны перенести на второй шарик? Молярная масса свинца M = 207×10⁻³ кг/моль, плотность ρ = 11,3 г/см³.

Решение: после того как электроны у одного шарика отняты и перенесены на другой, шарики приобретают равные и противоположные по знаку заряды, поэтому (если шарики находятся в вакууме) сила притяжения

F =

q² 

,

4πε_oR²

где R — расстояние между центрами шариков, π — число Пи. Заряд q определится следующим соотношением:

q =

e

m

N_A

= e

ρV

N_A

=

4

ερπr³N_A,

M

M

3M

здесь N_A = 6,02×10²³ моль⁻¹ (число Авогадро). Тогда

№14 Внутри гладкой сферы находится маленький заряженный шарик. Какой величины заряд нужно поместить в нижней точке сферы для того, чтобы шарик удерживался в ее верхней точке?

Решение: заряд Q, который нужно поместить в нижней точке сферы, должен быть таким, чтобы электрическая сила, действующая на верхний заряд, была не меньше силы тяжести mg, то есть

kqQ 

≥ mg, отсюда

d²

Q ≥

mgd²

.

kq

Однако нам надо еще проверить, будет ли такое равновесие устойчивым. Рассмотрим малое отклонение шарика от положения равновесия.
Равновесие шарика устойчиво, если проекция силы F электрического взаимодействия зарядов на касательную к сфере больше или равна проекции силы тяжести на ту же касательную:

kqQ·sin α 

≥ mg·sin 2α

d²

(Сила N реакции опоры перпендикулярна поверхности сферы.)
Так как угол α отклонения шарика от положения равновесия мал, то sin α ≈ α, sin 2α ≈ 2α. Поэтому

kqQ·α 

≥ mg·2α

d²

Следовательно, для устойчивого равновесия шарика в верхней точке сферы в нижнюю точку сферы должен быть помещен заряд равный

Q ≥

2mgd²

.

kq

№14 Условие: по кольцу могут свободно перемещаться три шарика, несущие заряды: +q₁ на одном шарике и +q₂ на каждом из двух других. Чему равно отношение зарядов q₁ и q₂, если при равновесии дуга между зарядами q₂ составляет 60°?

Решение: для равновесия зарядов необходимо, чтобы сумма проекций всех электрических сил приложенных к каждому заряду, на направление касательной к кольцу равнялась нулю. Результирующая электрическая сила в этом случае перпендикулярна к окружности и уравновешивается силой реакции кольца.

Так как заряды в точках B₁ и B₂ равны между собой, то заряд q₁ может быть расположен в точке, находящейся на равных расстояниях от точек B₁ и B₂. В соответствии со сказанным, проекции сил f₂₁ и f₂₂, действующих на заряд q₂ в точке B₁ со стороны других двух зарядов на направление касательной к окружности TT₁ в точке B₁, должны быть равны друг другу, т. е. f₂₁cos y₁ = f₂₂cos y₂ (1). Но

f₂₁

=

q₁q₂ 

, где (из треугольника AB₁O)

4πε_or₁₂²

r₁₂

= 2Rcos

β

, поэтому

2

f₂₁

=

q₁q₂ 

  (2). Далее

16πε_oR²cos²(β/2)

f₂₂

=

q₂²

, где  

r₂₂ = 2Rsin

α

, т.е.

4πε_or₂₂²

2

f₂₂

=

q₂²

  (3).

16πε_oR²sin²(α/2)

Рассматривая углы при вершине B₁, мы можем записать

β

+ y₁ = 90°   (4),  

90° −

α

+ y₁ + y₂ +

β

= 180°   (5).

2

2

2

Из уравнений (1) – (5), учитывая, что β=(α/2)

№15 На расстоянии d от большой проводящей пластины находится точечный электрический заряд +q. С какой силой на него действует пластина?

Решение: индуцированные отрицательные заряды на поверхности проводника распределяются таким образом, что результирующая напряженность поля внутри проводника от положительного точечного заряда и индуцированных отрицательных зарядов равна нулю. (Индуцированные положительные заряды уйдут на удаленные края пластинки, и их полем можно пренебречь.) Это распределение индуцированных зарядов не зависит от толщины пластинки.

Поместим слева от пластинки на том же расстоянии d заряд –q. Ясно, что на левой стороне пластинки индуцированные положительные заряды распределяются таким же образом, как и отрицательные на правой стороне пластинки. От того, что мы поместили слева от пластинки заряд –q, электрическое поле справа от пластинки не изменится. Таким образом, справа от пластинки электрическое поле от заряда +q и отрицательных индуцированных зарядов совпадает с полем, создаваемым зарядами +q и –q и зарядами, индуцированными на поверхностях пластинки. Если толщина пластинки очень мала по сравнению с d, то мы можем пластинку считать бесконечно тонкой, а в таком случае поле, создаваемое индуцированными зарядами, вне пластинки отсутствует.

Итак, мы показали, что поле справа от пластинки, создаваемое зарядом +q и индуцированными отрицательными зарядами, совпадает с полем, создаваемым точечными зарядами +q и –q. Поскольку в точке нахождения заряда +q напряженность поля от индуцированных отрицательных зарядов равна напряженности поля от точечного заряда –q, находящегося на расстоянии 2d от +q, то искомая сила притяжения равна

F =

kq²

=

q² 

.

(2d)²

16πε_od²

№16 Тонкое проволочное кольцо радиуса R несет электрический заряд q. В центре кольца расположен одноименный заряд Q, причем Q >> q. Определить силу, с которой растянуто кольцо.

Решение: так как Q >> q, то взаимодействием между отдельными элементами кольца можно пренебречь. Выделим малый элемент кольца длины RΔα. Со стороны заряда Q на него действует сила

ΔF =

 QΔq 

, где   Δq =

qΔα

.

4πε_oR²

2π

Силы натяжения кольца T уравновешивают ΔF. Из условия равновесия, учитывая, что Δα мало, имеем

ΔF = 2Tsin

Δα

≈ 2T

Δα

= TΔα.

2

2

Искомая сила является натяжением

T =

 qQ 

.

8π²ε_oR²

Работа поля. Напряженность.Потенциал.

№17 Какой минимальной скоростью v_min должен обладать протон, чтобы он смог достигнуть поверхности положительно заряженного металлического шара, имеющего потенциал ? = 400 В. Начальное расстояние протона от поверхности шара r = 3R, где R — радиус шара.

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 1 октября 2007 года.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения и превращения энергии. Протон теряет свою кинетическую энергию в результате работы электрического поля:

ΔE_k = A,

или

mv²

= q(φ₁ − φ₂),

2 

где

φ₁ = k

Q

,

4R

— потенциал на расстоянии R + 3R = 4R от центра шара.

Из формулы:

φ = k

Q

  выразим заряд шара Q =

φR

.

R

k

Тогда потенциал электрического поля шара на расстоянии 3R от его поверхности равен:

φ₁ =

φRk

=

φ

.

4Rk

4

Тогда

mv²

= q(φ −

φ

) =

3

qφ.

2

4

4

Отсюда cкорость протона:

v = √(

3qφ

).

2m

После вычислений получим v = 2.4×10⁵ м/с.

№18 По тонкому проволочному кольцу равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 100 пКл/м. Определить потенциал Φ электрического поля в центре кольца.

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 8 октября 2007 года.

Решение:

Потенциал в центре проволочного кольца определим по принципу суперпозиции, разбив кольцо на элементарные участки с зарядом q_i. Получим формулу (на рисунке слева), в которой:

i — количество разбиений,

потенциал Φ_i, создаваемый в центре кольца элементарным зарядом q_i, равен:

Φ_i =

q_i

.

4πε_oR

Из формулы линейной плотности заряда кольца

τ =

q

2πR

выразим:

q = q_i•N = 2τπR.

Произведем суммирование Φ:

Φ =

1

•

q_iN

=

1

•

q

=

2πτR

=

τ

.

4πε_o

R

4πε_o

R

4πε_oR

2ε_o

Выполнив расчеты, получим: Φ = 5.65 В.

Конденсаторы. Электроемкость.

№19 Рентгеновские лучи образуют в 1 см³ газа 12,5×10⁶ пар ионов за 1 с. Между пластинами плоского конденсатора площадью по 100 см² при этих условиях ток насыщения 1×10⁻¹⁰ A. Каково расстояние между пластинами конденсатора?

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 23 мая 2007 года.

Решение:

Плотность тока насыщения в газе j_н определяется формулой

j_н = Nqd    (1),

где N — число пар ионов, созданных рентгеновскими лучами в единице объема в единицу времени, d — расстояние между пластинами.

Сила тока J и плотность тока S связаны соотношением J = I/S, тогда

j_н =

I_н

   (2).

S

Приравняем правые части уравнений (1) и (2):

I_н

= Nqd,   откуда

S

d =

I_н

SNq

После вычислений

d = 1×10⁻¹⁰ A/(100×10⁻⁴ м²×12,5×10¹²×1,6×10⁻¹⁹ Кл) = 5×10⁻³ м = 5 мм.

Ответ: расстояние между пластинами конденсатора равно 5 мм.

Примечание: взят заряд однозарядного иона e = 1,6×10⁻¹⁹ Кл и в 1 м³ образуется  12,5×10¹² пар ионов за 1 c.

№20 Две одинаковые круглые пластины площадью S = 400 см² каждая расположены параллельно друг другу. Заряд одной пластины Q₁ = 400 нКл, другой — Q₂ = 200 нКл. Определить плотность энергии электрического поля в точках, расположенных: а) между пластинами, б) вне пластин.

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 1 октября 2007 года.

Решение:

Плотность энергии поля численно равна энергии поля в единице объема:

w =

W

=

CU²

=

εε_oSU²

=

εε_oE²

.

V

2V

2dSd

 2 

Рассмотрим поле пластин конденсатора. Напряженность поля вне пластин:

E = E₊ + E₊ =

δ₊

+

δ₊

=

1

(Q₁ + Q₂).

2εε_o

2εε_o

2εε_oS

Напряженность поля между пластин равна:

E = E₊ − E₊ =

δ₊

−

δ₊

=

1

(Q₁ − Q₂).

2εε_o

2εε_o

2εε_oS

Слева и справа модуль результирующей напряженности одинаков. Плотность энергии электрического поля в точках, расположенных вне пластин:

w =

1

(

Q₁ + Q₂

)² = 3.18 Дж/м³.

8ε_o

S

между пластин:

w =

1

(

Q₁ − Q₂

)² = 0.353 Дж/м³.

8ε_o

S

Примечание: плотность энергии пропорциональна квадрату напряженности электрического поля в области пространства, что справедливо для электрических полей любой конфигурации, а не только для однородных полей, в том случае, если среда, заполняющая пространство изотропная.