Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Задачи на построение циркулем и линейкой в 7 классе
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Задачи на построение циркулем и линейкой в 7 классе

библиотека
материалов



Задачи на построение циркулем и линейкой в 7 классе

Шувалова Ю.Г. – учитель математики МОУ школы №10 г.о. Тольятти

Задачи на построение циркулем и линейкой и сегодня считаются математически весьма интересными. Уже более ста лет это традиционный материал школьного курса геометрии. Одной из самых ценных сторон таких задач является то, что они развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений. Задачи на построение вызывают интерес, способствуют активизации мыслительной и познавательной деятельности. При их решении активно используются знания о свойствах фигур, совершенствуются навыки геометрических построений. В результате развиваются конструктивные способности, что является одной из целей изучения геометрии.

Круг задач, рассматриваемых в геометрии, очень широк. Среди них особое место занимают задачи на построение, которые способствуют развитию определенности, последовательности и обоснованности мышления. На этих задачах можно научиться таким методам познания, как анализ и синтез.

Структура решения задачи на построение.

Решение задач на построение с помощью циркуля и линейки, состоит не в том, чтобы выполнить соответствующие построения, а в том, чтобы найти алгоритм решения, то есть, описать решение задачи в виде последовательности уже известных стандартных построений. Правильное, осмысленное решение задач на построение состоит из основных этапов: анализ, построение, доказательство (синтез), исследование.

Анализ. Составляется план решения. Для этого поступают так: предполагают задачу решенной, делают от руки примерный чертеж искомой. Нужно найти такую зависимость между данными и искомыми величинами, которая позволила бы определить положение искомой точки (отрезка или угла), на нахождение которых нацелено решение задачи.

Построение – механическое выполнение тех приемов, которые были выведены из плана решения задачи, т.е. анализа. При построении используют основные приемы (задачи на построение), т.е. любая задача на построение разбивается на конечное число шагов (простейших задач на построение).

Доказательство. Когда искомая фигура построена, необходимо доказать, что она удовлетворяет всем требованиям задачи. При этом ход рассуждений будет обратный тому, который применялся при анализе. Поэтому иногда доказательство называют синтезом.

Исследование имеет целью выяснить, всегда ли задача разрешима, сколько решений допускается (одно или несколько). Необходимо рассмотреть всевозможные частные случаи, причем нужно выяснить, меняется ли ход решения в них и как именно.


Основные построения с помощью циркуля и линейки.

Для выполнения основных построений с помощью циркуля и линейки используется метод решения, при котором искомую точку строят как точку пересечения множеств (геометрических мест), определяемых некоторыми условиями. Данный метод так и называется – метод пересечения множеств или метод геометрических мест. С помощью этих инструментов мы можем выполнить огромное множество построений. Какие простейшие построения являются стандартными? Авторы учебников [1], [6] к основным построениям в 7 классе относят:

  • построить отрезок, равный данному отрезку; построить середину отрезка.

  • построить перпендикуляр к прямой, построить серединный перпендикуляр.

  • построить угол, равный данному углу; построить биссектрису угла.

  • построить треугольник (по трём сторонам, по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам, по двум сторонам и углу, противолежащему одной из сторон).

  • построить прямоугольный треугольник (по гипотенузе и катету, по гипотенузе и острому углу).

  • построить прямую, проходящую через данную точку параллельно данной прямой

К стандартным построениям 7 класса добавим:

1. Построение отрезков hello_html_47d79ec3.gif, hello_html_m69790c74.gif, hello_html_5551b555.gif. Изобразим луч ОС и отрезки а и b (а > b). Затем циркулем построим окружность радиуса а с центром О (Приложение 1, рис. 1.1). Эта окружность пересечет луч ОС в некоторой точке К, затем циркулем построим окружность радиуса b с центром К и получим точку пересечения Р на продолжении луча ОС и точку Н на отрезке ОК. При этом ОР= ОК + КР = а + b, ОН= ОК – КН = а – b. Изобразим луч ОС и отрезок АВ = а. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ с центром О. Эта окружность пересечет луч ОС в некоторой точке А1. На продолжении луча ОС от точки А1 построим окружность радиуса АВ с центром А1 – получим точку А2 (при этом ОА2 = 2АВ). Построение будем продолжать до тех пор, пока ОАn = nа. (Приложение 1, рис. 1.2).

2. Построение углов hello_html_119c2c79.gif, hello_html_m4734c99d.gif. Циркулем и линейкой строим hello_html_7707454f.gifМОК=hello_html_2e28ff68.gif. Строим hello_html_7707454f.gifКОР=hello_html_m154a5599.gif так, чтобы луч ОР проходил внутри hello_html_7707454f.gifМОК, и hello_html_7707454f.gifЕОК=hello_html_m154a5599.gif так, чтобы луч ОЕ проходил вне hello_html_7707454f.gifМОК. При этом получаем: hello_html_7707454f.gifМОЕ= hello_html_119c2c79.gif, hello_html_7707454f.gifМОР=hello_html_m4734c99d.gif (Приложение 1, рис. 2).

3. Построение угла в n раз больше данного угла. Построение угла в n раз больше данного угла сводится к построению n раз угла, равному данному. Например: чтобы построить hello_html_7707454f.gifMON в 3 раза больше заданного угла АВС, необходимо построить hello_html_7707454f.gifМОК= hello_html_7707454f.gifАВС. Затем построить hello_html_7707454f.gifКОР= hello_html_7707454f.gifАВС, потом hello_html_7707454f.gifРОN = hello_html_7707454f.gifАВС. При этом получим hello_html_7707454f.gifMON=hello_html_7707454f.gifМОК +hello_html_7707454f.gifКОР +hello_html_7707454f.gifРОN = 3hello_html_7707454f.gifАВС.

4. Трисекция угла. Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Знаменитой была в древности задача о трисекции угла (о разделении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки). Любой угол невозможно разделить на три равных части с помощью только циркуля и линейки. Попытки решения задачи с помощью инструментов и средств были предприняты еще в V в. до н.э. Французский математик П. Ванцель в 1837г. первым строго доказал, что невозможно осуществить трисекцию циркулем и линейкой. Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при некоторых других частных значениях угла: 900, 450, 1350 (приложение 2). Деление прямого угла на три равные части умели производить ещё пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60о.

5. Деление данного угла на hello_html_m5e73f74f.gifравных углов. Построение биссектрисы угла позволяет разделить любой угол на 2, 4, 8, … 2n равных углов. В каждом случае задача сводится к построению биссектрис полученных углов, что выполнимо всегда циркулем и линейкой. Например, разделить угол АВС на 4 равных угла. Строим биссектрису ВК hello_html_7707454f.gifАВС, получаем hello_html_7707454f.gifАВК= hello_html_7707454f.gifСВК=hello_html_7707454f.gifАВС:2. Строим биссектрисы ВР и ВМ углов hello_html_7707454f.gifАВК и hello_html_7707454f.gifCDR соответственно. Получаем: hello_html_7707454f.gifАВР=hello_html_7707454f.gifРВК= hello_html_7707454f.gifМВК= hello_html_7707454f.gifСВМ= hello_html_7707454f.gifАВК:2= hello_html_7707454f.gifАВС:4.

Возникает вопрос: Можно ли разделить произвольный угол на 5, 7, 11, … равных углов? Данная задача оказывается разрешимой при некоторых частных значениях угла. Например: циркулем и линейкой можно выполнить следующие построения (при условии, что заданные углы уже построены и их величина известна):

Задача 1: Построить углы, равные 660: 11=60, 500: 5=100. Для решения этих задач воспользуемся углом 600 – равносторонним треугольником. В первой задаче получаем 660–600 = 60, строим дважды по углу 60 (600–60–60 = 480), затем делим угол 480 на hello_html_m27e58618.gif равных углов (т.е. проводим биссектрисы). Рассуждая также, получаем во второй задаче 1) 600–500 = 100, 2) 500–100= 400, 3) 400: 4=100;

Задача 2: Построить угол 530, если построен угол 1040. При решении используем построения прямого угла, биссектрисы угла и угла 600. Построение: 1) 1040–900=140, 2) 140: 2 = 70, 3) строим 600 и 600–70=530.

Вывод: рассматривая построения 4 и 5, задачи 1 и 2 всегда можно построить:

1) прямой угол, углы: 600, 300, 450, 150.

2) можно разделить некоторые заданные углы на данное количество равных углов или построить угол необходимой величины.

3) задачи 1, 2 или подобные им можно использовать на кружках, в олимпиадах или во внеклассных мероприятиях.


3. Задачи на построение циркулем и линейкой.

Анализ олимпиадных заданий для 7 класса, проводимых в городе Тольятти, и, предложенных для подготовки к олимпиадам в различных источниках, показал, что задачи на построение среди них отсутствуют. Предлагаю задачи, которые могут быть использованы для подготовки к олимпиаде по математике или для проведения олимпиад в 7 классе, так как дадут возможность ученикам показать не только свои знания геометрического материала, но и умение анализировать, логически мыслить и проявлять изобретательность в решении задач.

Задача 1: Постройте прямоугольный треугольник по  гипотенузе и углу между ней и проведенной к ней медианой. Сначала рассмотрим задачу: На отрезке AB как на диаметре построена окружность. Докажите, что из всех точек окружности, отличных от A и B, отрезок AB виден под прямым углом.

Рhello_html_2b5721a4.pngешение: hello_html_2e85d6ba.gifАОС и hello_html_2e85d6ba.gifВОС – равнобедренные, т.к. радиусы ОА=ОВ=ОС. hello_html_7707454f.gifАОС и hello_html_7707454f.gifСОВ смежные углы, тогда hello_html_7707454f.gifСОВ = 1800 - hello_html_7707454f.gifАОС. По свойству углов равнобедренного треугольника и по теореме о сумме углов треугольника получаем: hello_html_7707454f.gifСАО= hello_html_7707454f.gifАСО= (1800hello_html_7707454f.gifАОС): 2= 900hello_html_7707454f.gifАОС :2, hello_html_7707454f.gifОВС= hello_html_7707454f.gifОСВ= (1800 hello_html_7707454f.gifСОВ) : 2 = (1800 – (1800hello_html_7707454f.gifАОС)) : 2 = hello_html_7707454f.gifАОС : 2. hello_html_7707454f.gifАСВ = hello_html_7707454f.gifАСО + hello_html_7707454f.gifОСВ =900 hello_html_7707454f.gifАОС: 2 + hello_html_7707454f.gifАОС: 2 = 900. Вернемся к решению задачи.

Аhello_html_1df9231a.pngнализ: Пусть hello_html_2e85d6ba.gifАВС (hello_html_7707454f.gifВАС = 900, ВС = а, АК – медиана, hello_html_7707454f.gifАКС =hello_html_m154a5599.gif) – искомый. Точки А, В, С лежат на окружности с центром в К радиуса ВК, т.к. hello_html_7707454f.gifВАС = 900 опирается на диаметр ВС (доказано в предыдущей задаче).

Построение: Строим ВС = а, К – середину ВС. Строим hello_html_7707454f.gifМКС = hello_html_7707454f.gifАКС = hello_html_m154a5599.gif. Строим А – точку пересечения луча КМ и окружности с центром в К радиуса ВК.

Доказательство: Пусть hello_html_2e85d6ba.gifАВС– искомый, т.к. ВС = а , ВК=КС (по построению), hello_html_7707454f.gifВАС = 900 (опирается на диаметр окружности), АК – медиана, hello_html_7707454f.gifАКС =hello_html_m154a5599.gif.

Исследование: Решение сводится к построению отрезка, равного данному, середины отрезка и угла, равного данному. Данные построения выполнимы всегда.


Задача 2: Дан угол и точка внутри него. Постройте отрезок с концами на сторонах угла и серединой в этой точке.

Аhello_html_m5b20fe27.jpgнализ: Дан hello_html_7707454f.gifЕАР и точка М внутри угла. Пусть ВС искомый отрезок, удовлетворяющий условиям задачи: ВМ=МС, Вhello_html_m289d78ff.gifАЕ, Сhello_html_m289d78ff.gifАР. Проведем АМ, откладываем на его продолжении отрезок МК=АМ. hello_html_2e85d6ba.gifАМВ = hello_html_2e85d6ba.gifКМС (по I признаку). У них: hello_html_7707454f.gifВМА= hello_html_7707454f.gifКМС (вертикальные), АМ=МК, ВМ=МС. Следовательно, hello_html_7707454f.gifВАМ= hello_html_7707454f.gifМКС. Значит, построение ВС сводится к построению точки С на АР, т.е. к построению АК=2АМ и hello_html_7707454f.gifМКС=hello_html_7707454f.gifВАМ.

Построение: Проводим луч АМ, откладываем на его продолжении МК=АМ. Строим hello_html_7707454f.gifМКС= hello_html_7707454f.gifЕАК. Получаем С на стороне АР hello_html_7707454f.gifЕАР. Проводим луч СМ, получаем В на луче АЕ. Отрезок ВС – искомый.

Доказательство: При построении получаем hello_html_2e85d6ba.gifАМВ = hello_html_2e85d6ba.gifКМС (по II признаку). У них: hello_html_7707454f.gifВМА= hello_html_7707454f.gifКМС (вертикальные), АМ=МК (по построению), hello_html_7707454f.gifВАМ= hello_html_7707454f.gifМКС (по построению). Следовательно, ВМ=МС. Получаем ВС – искомый отрезок.

Исследование: Построение выполнимо всегда, т.к. сводится к построению отрезка, равного данному, и угла, равного данному.


Задача 3. Дана прямая, на которой лежит биссектриса угла A треугольника ABC. По разные стороны от этой прямой даны две точки – основания: а) медиан; б) высот, проведенных из вершин B и C. Восстановите треугольник ABC.

Анализ: Пусть hello_html_2e85d6ba.gifАВС (луч АО – биссектриса hello_html_7707454f.gifА, медианы СN, ВМ) – искомый. Проведу ММ1||АО и NN1||АО. hello_html_2e85d6ba.gifАКМ= hello_html_2e85d6ba.gifАКМ1 (hello_html_2e85d6ba.gifАРN= hello_html_2e85d6ba.gifАРN1) (по II признаку). У них: 1) АК (АР) – общая, 2) hello_html_7707454f.gifАКМ= hello_html_7707454f.gifАКМ1=900 (hello_html_7707454f.gifАРN= hello_html_7707454f.gifАРN1=900), 3) hello_html_7707454f.gifКАМ= hello_html_7707454f.gifКАМ1 – АО биссектриса hello_html_7707454f.gifА. Получаю, что точки М, М1 лежат на АС, N, N1 лежат на АВ и находятся на одном расстоянии от АО. Аналогично, если точки N, М – основания высот.

Построение: Строю МКhello_html_m3369453f.gifАО и NРhello_html_m3369453f.gifАО. Откладываю КМ1=КМ и РN1N. Провожу прямые МN1 иNМ1, получаю А на пересечении АО, МN1 иNМ1. а) Откладываю МС=АМ и NВ=АN. б) Строю МВhello_html_m3369453f.gifАМ (В – точка пересечения МВ и АВ), NСhello_html_m3369453f.gifNА (С – точка пересечения NВ и АМ). Провожу ВС. hello_html_2e85d6ba.gifАВС построен.

а) б)

hello_html_3ca8bebd.jpghello_html_30778d78.jpg

Доказательство: В обоих случаях мы получаем: точки М и М1 лежат на АС, N и N1 лежат на АВ. hello_html_2e85d6ba.gifАКМ= hello_html_2e85d6ba.gifАКМ1 (по I признаку). У них: 1) АК – общая, 2) hello_html_7707454f.gifАКМ= hello_html_7707454f.gifАКМ1=900, 3) КМ= КМ1 – по построению.hello_html_1b730b13.gifhello_html_7707454f.gifКАМ= hello_html_7707454f.gifКАМ1hello_html_1b730b13.gif АО биссектриса hello_html_7707454f.gifА. а) точки N, М – основания медиан, т.к. по построению МС=АМ и NВ=АN. б) точки N, М – основания высот, т.к. по построению МВhello_html_m3369453f.gifАМ, NСhello_html_m3369453f.gifNА.

Исследование: задача не имеет решения, если точки N, М находятся на одном расстоянии от АО. При этом МN1||AO, NМ1||AOhello_html_1b730b13.gifМN1||NМ1hello_html_1b730b13.gifточку А построить невозможно.

В следующих задачах приведем только анализ или/и построение.


Задача 4: Постройте треугольник по трем медианам.

Аhello_html_m121e6a04.jpgнализ: Пусть hello_html_2e85d6ba.gifАВС (медианы СN = р, ВМ = n, АК = m) – искомый. Строим hello_html_2e85d6ba.gifАCP= hello_html_2e85d6ba.gifАВС: АР=ВС, РС=АВ, ОС=АК=m. Проводим NО. NO – средняя линия hello_html_2e85d6ba.gifABPhello_html_1b730b13.gif NO= ВР:2= ВМ (по свойству средней линии треугольника). Получаем hello_html_2e85d6ba.gifNOC: СN = р, NO = n, ОС = m. На луче ON отложим NS=NO. Т.к. hello_html_2e85d6ba.gifВNS= hello_html_2e85d6ba.gifАNO по I признаку. У них: hello_html_7707454f.gifВNS= hello_html_7707454f.gifАNO как вертикальные, NS=NO по построению, АN=NВ (NС – медиана). Значит, SВ= ВК= КС= СS:3.

Построение: Строим hello_html_2e85d6ba.gifNOC: СN = р, NO = n, ОС = m. На луче ON отложим NS=NO. Проводим СS, строим точку В: hello_html_m2f6b4446.gif. Проводим луч ВN, откладываем АN= ВN. hello_html_2e85d6ba.gifАВС – искомый.

hello_html_66181c57.jpg

Задача 5. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с и сумме катетов hello_html_47d79ec3.gif.

Анализ: Пусть hello_html_1d3e8efc.gifАВС (hello_html_7707454f.gifА=900) построен. На луче ВА отложим отрезок AD = AC. Получим hello_html_1d3e8efc.gifАDС – равнобедренный, в котором hello_html_m2b7a035f.gif (свойство внешнего угла треугольника). Задача сводится к построению hello_html_1d3e8efc.gifВСD по двум сторонам BD = b+c, ВС = а и hello_html_7707454f.gifD=450. Чтобы получить точку А, достаточно провести САhello_html_m745890ac.gifDВ.


Задача 6. Постройте треугольник по данной стороне, углу, к ней прилежащему, и сумме двух других сторон.

Аhello_html_2b004c13.jpgнализ: Пусть hello_html_1d3e8efc.gifАВС – искомый. На продолжении ВА отложу AD=CA. Соединю C и D. В hello_html_68d936e5.gifCBD имею: BD = b+c, BC = a, hello_html_3a625338.gifСBD = hello_html_3a625338.gifB. hello_html_68d936e5.gifCBD можно построить по двум сторонам и углу между ними. hello_html_68d936e5.gifCAD – равнобедренный: АН – высота, медиана. Проведя серединный перпендикуляр АНhello_html_m745890ac.gifCD, определю вершину А.


Задача 7. Постройте треугольник по двум углам и периметру.

Анализ: Пустьhello_html_1d3e8efc.gifАВС – искомый. На продолжении стороны АВ в обоих направлениях отложу отрезки DA = АС и ВЕ = СВ и соединю D с С и Е с С, получу hello_html_1d3e8efc.gifDCE, в котором DE = Р. Треугольники DAC и ВЕС – равнобедренные, и АКhello_html_m745890ac.gifDC, где DK = KC и BFhello_html_m745890ac.gifFE, что позволит определить вершины А и В. hello_html_1b780cd7.gif, hello_html_m3944f48e.gif (свойство внешнего угла треугольника). Задача сводится к построению hello_html_1d3e8efc.gifDCE по стороне DE=Р и hello_html_7707454f.gifD, hello_html_7707454f.gifE. hello_html_m42466aa.jpg



Список литературы:

  1. Атанасян Л.С. Геометрия 7-9. М.: Просвещение, 2005. - 335 с.

  2. Гусев В.А., Медяник А.И. Дидактические материалы по геометрии для 7 класса. М.: Просвещение, 1991. – 80с.

  3. Далингер В.А. Планиметрические задачи на построение. Омск: Изд-во ОГПИ, 1999. - 78 с.

  4. Ильина Н.И. Геометрические построения на плоскости. М.: Школа - пресс, 1997. - 172 с.

  5. Манин И.Ю. О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки // Энциклопедия элементарной математики. М.: Физматгиз, 1963. Т. 4: Геометрия. С. 205-227.

  6. Олимпиадные задания по математике. 5–8класс/авт.-сост. С.П. Ковалева.–Волгоград: Учитель, 2007.–88с.

  7. Погорелов А.В. Геометрия, 7–11. М.: Просвещение, 1992

  8. Прасолов В.В. Три классические задачи на построение. М.: Наука, 1992. 80 с.

  9. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Ред. коллегия: М.Аксенова, В.Володин и др. – М.: Аванта+, 2005.

  10. Коренева В.Е. Решение задач на построение методом спрямления. Математика в школе.1995г. №5

  11. Клименченко С.В., Цикунова Т.Д. Задачи на построение треугольников по некоторым данным точкам. Математика в школе. 1990г. №1

  12. Белошистая А.В. Задачи на построение в школьном курсе геометрии. Математика в школе. 2002г. №9

  13. http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/geometry/alexandrov.htm

  14. http://www.ref.by/refs/alike/29022.html

  15. http://www.sibpatent.ru/default.asp?khid=18360&code=362335&sort=1

  16. http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=books.sms700.postr&solution=1


Приложение 1

hello_html_2dd9200.jpghello_html_m4ba41819.jpg








рис. 1.1 рис. 1.2

hello_html_m1ca98b0f.png













рис. 2


Приложение 2

Зhello_html_70eaa76f.jpgадача: Трисекция прямого угла.

Пусть требуется разделить на три равные части прямой hello_html_7707454f.gifMAN. Откладываем на луче АN произвольный отрезок АК, на котором строим равносторонний hello_html_2e85d6ba.gifAКB. Так как hello_html_7707454f.gifКAB равен 600, то hello_html_7707454f.gifМАВ= 300. Построим биссектрису hello_html_7707454f.gifКАВ, получаем искомое деление прямого hello_html_7707454f.gifMAN на три равных угла.

Задача: Трисекция угла в 450.

Рhello_html_m35cdb3d.jpgешение данной задачи сводится к построению равностороннего треугольника. Пусть требуется разделить на три равные части hello_html_7707454f.gifMAN=45о. Откладываем на луче АN произвольный отрезок АК, на котором строим равносторонний hello_html_2e85d6ba.gifAКB в одной полуплоскости с точкой М относительно прямой АК. Строим биссектрису АР угла КАВ, затем биссектрису АС угла РАК и получаем искомое деление угла MAN на три равных угла hello_html_7707454f.gifМАР=hello_html_7707454f.gifРАС=hello_html_7707454f.gifСАК=15о.

Доказательство: Т.к. hello_html_2e85d6ba.gifАКВ – равносторонний, то hello_html_7707454f.gifКАВ=60о. АР – биссектриса hello_html_7707454f.gifКАВ hello_html_1b730b13.gifhello_html_7707454f.gifВАР= hello_html_7707454f.gifРАК=30о и hello_html_7707454f.gifМАР= hello_html_7707454f.gifМАК– hello_html_7707454f.gifРАК =45о – 30о=15о. АС – биссектриса hello_html_7707454f.gifРАК hello_html_1b730b13.gifhello_html_7707454f.gifРАС= hello_html_7707454f.gifСАК=15о. Значит, hello_html_7707454f.gifМАР= hello_html_7707454f.gifРАС= hello_html_7707454f.gifСАК=15о.

Задача: Трисекция угла в 1350.

Пусть требуется разделить на три равные части hello_html_7707454f.gifMAN=135о. Т.к. 135о:3 = 45о, то из точки А строим перпендикуляр АК к прямой АМ. Затем строим биссектрису АР hello_html_7707454f.gifКАМ. При этом получаем искомое деление угла MAN на три равных угла hello_html_7707454f.gifКАN= hello_html_7707454f.gifКАР= hello_html_7707454f.gifРАМ= 45о.

Доказательство: Т.к. АК – перпендикуляр к прямой АМ, то hello_html_7707454f.gifКАМ=90о, hello_html_7707454f.gifNАК= 135о–90о=450. АР – биссектриса hello_html_7707454f.gifКАМ hello_html_1b730b13.gifhello_html_7707454f.gifВАР= hello_html_7707454f.gifРАК=45о. Значит, hello_html_7707454f.gifМАР= hello_html_7707454f.gifРАС= hello_html_7707454f.gifСАК= 45о.

Краткое описание документа:

Круг задач, рассматриваемых в геометрии, очень широк. Среди них особое место занимают задачи на построение, которые способствуют развитию определенности, последовательности и обоснованности мышления. На этих задачах можно научиться таким методам познания, как анализ и синтез. Задачи на построение вызывают интерес, способствуют активизации мыслительной и познавательной деятельности. При их решении активно используются знания о свойствах фигур, совершенствуются навыки геометрических построений. В результате развиваются конструктивные способности, что  является одной из целей изучения геометрии.

Автор
Дата добавления 15.12.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров5629
Номер материала 189421
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх