Задачи на построение сечений многогранников: теория и электронные технологии

Авторская разработка

на тему: «Задачи на построение сечений многогранников: теория и электронные технологии».

Дубинина В.А.

Содержание. стр.

Введение.___________________________________________________________3

Глава I. История и методологии геометрических построений в пространстве.

1. Зарождение геометрических построений в пространстве.__________________7

2. Обоснование и принципы методики преподавания геометрических построений в пространстве_______________________________________________________12

Глава II. Проекционный чертеж.

1.Требования к школьному чертежу._____________________________________16

2. Построение изображения многогранников.______________________________26

3. Тезис полноты проекционного чертежа_________________________________31

4.Позиционные задачи на проекционном чертеже.__________________________36

5. Задачи на пересечение прямых и плоскостей.____________________________39

6. Задачи на построение сечений.________________________________________44

7. Метода следов._____________________________________________________50

8. Метод внутреннего проектирования.___________________________________55

9.Метод параллельных прямых._________________________________________59

10. Метод параллельного переноса секущей плоскости._____________________61

11.Анализ учебников.__________________________________________________63

ГлаваIII. Использование электронных технологии при решении задач на построение сечений.___________________________________________________72

Заключение.__________________________________________________________80

Список литературы.___________________________________________________82

Введение.

Геометрия - одна из древнейших наук. Дошедшие до нас из глубины веков источники свидетельствуют о том, что геометрическими фактами человек пользовался еще 2000 лет до н. э. Как наука, геометрия сформировалась в VII-III веках до н. э. в древней Греции. Проблемы обучения геометрии, проблемы методики преподавания геометрии всегда были объектом внимания ученых и педагогов разных стран и народов, начиная с Евклида, Архимеда и др.
Каждый новый этап развития науки вообще, а геометрии в особенности, ставил перед человечеством задачу совершенствования обучения и преподавания.

Повысить качество преподавания геометрии на мой взгляд можно через осознание целей преподавания. Специфическими целями преподавания геометрии являются:

1. сообщение геометрических сведений;

2. логическое развитие;

3. развитие пространственного воображения.

Сообщение сведений, составляющих содержание данной науки, является целью преподавания всякой науки, но эта цель не является единственной. Ценность геометрических сведений, составляющий школьный курс, двоякая. Во-первых, эти сведения непосредственно необходимы для работников многих профессий. Во-вторых, они необ­ходимы при изучении других предметов, как входящих в курс сред­ней школы (например, физика, тригонометрия, география), так и пре­подаваемых в высшей школе

Приобретение элементарных сведений и навыков в области логики чрезвычайно важно для каждого человека. Иногда приходится встречаться с утвер­ждением, что логически мыслить умеет всякий нормальный человек, и для этого не требуется изучать логику. Опытный учитель математики знает, что это не так. Уменье логически мыслить действительно является свойством человеческого сознания, но это свойство имеет потенциальный характер и нуждается в специальном развитии. В той мере, в какой это свойство есть у всякого необразованного человека, оно достаточно лишь для того, чтобы производить те элементарные логические операции, с кото­рыми приходится иметь дело в повседневной жизни. При изучении же многих наук приходится иметь дело с гораздо более тонкими логическими моментами. Чтобы разбираться в этих моментах, нельзя полагаться только на те логические данные, которые имеются у вся­кого человека, не изучавшего специально логики. Учитель математики знает, что многие ученики не разбираются ясно в вопросе о прямых, обратных и противоположных теоремах, затрудняются построить правильную логическую классификацию, с трудом усваи­вают метод полной индукции и даже метод доказательства от про­тивного. Можно привести ряд примеров из истории математики, когда некоторые вопросы, исключительно ввиду их логической тон­кости, долгое время оказывались непреодолимыми даже для крупных математиков. Например, долгое время не замечали разницы между просто сходимостью и равномерной сходимостью функциональных рядов, что является прямой логической ошибкой. Обычной ошибкой является также применение

какой-либо теоремы, вне тех условий, в которых она была доказана. Таким образом, в сравнительно более тонких логических вопросах, которые возникают, когда мы пере­ходим от повседневных вопросов к изучению какой-нибудь науки, особенно математики, полагаться на те логические возможности, которые и без образования имеются у всякого нормального че­ловека, нельзя. Эти возможности нуждаются в специальном раз­витии, и это развитие составляет одну из важных задач средней школы.

Кроме мотивов, приведенных выше, есть еще соображения в пользу сообщения учащимся сведений по логике. Дело в том, что часто бывает необходимо не только уметь делать логические умо­заключения, но теоретически разбираться в структуре, логического рассуждения. Для этого надо знать общие законы логики и логиче­ские термины. Ясно, что без этого изучение математики превратится только в накопление математических фактов, в то время, как оно должно дать ученикам также некоторое представление о методологии этой науки.

Наконец, изучение логики приносит ту практическую пользу, что выявляет и классифицирует обычные логические- ошибки. Такое изу­чение, во-первых, предостерегает учеников от логических ошибок, а во-вторых, если ученик допустит такую ошибку, то для разъясне­ния ее достаточно сослаться на рассмотренный в логике общий слу­чай этой ошибки; иногда достаточно просто назвать термин, которым обозначается такая ошибка. Иначе потребовались бы длинные рассуж­дения и примеры, чтобы убедить ученика в том, что он ошибается.

Логика как отдельный предмет пока не входит в программу средней школы. Из этого следует, что те из задач преподавания логики, которые не могут быть исключены из среднего образования должны быть возложены на другие предметы. Учитель каждого предмета должен помнить, что на него частично возлагается задача логи­ческого развития учащихся, и должен использовать те возможности к этому, которые доставляет ему его предмет.

Но не все предметы доставляют к этому одинаковые возможности, поэтому задача логического развития учеников распределяется между разными предметами неравномерно.

Эта задача почти полностью возлагается на геометрию.

Во всех науках, особенно в математике, мы имеем дело с логи­ческими рассуждениями. Во многих науках видное место занимаю т логические классификации (например, классификация животных и расте­ний в зоологии и ботанике). Однако ни в одном предмете, вхо­дящем в курс средней школы, логические методы не выступают столь резко на первый план, как в геометрии. Ни в каком другом предмете весь материал не является столь решающим образом зави­симым от логических рассуждений. Наконец, никакой другой предмет не доставляет стольких примеров для иллюстрации любых положений логики. Имеются некоторые положения логики, для точной иллю­страции которых невозможно привести пример из какой-либо другой области, кроме геометрии.

Итак, ни один другой школьный предмет не обладает такими возможностями для логического развития учеников, как геометрия. Это конечно не значит, что учитель геометрии должен использовать уроки геометрии для преподавания логики. Сведе­ния по логике в курсе геометрии проходятся не так, как они про­ходились бы в курсе логики. В курсе логики эти сведения давались бы в

абстрактной форме. В курсе геометрии мы имеем дело с опе­ративным применением логических методов. В этом курсе мы видим логику в действии, — логику, усваиваемую на геометрическом материале» Разумеется, есть ряд случаев, когда в интересах усвоения геометрии учитель должен не ограничиваться иллюстрацией какого-нибудь логи­ческого метода на геометрическом материале, а разъяснить его в общей форме и даже иллюстрировать примерами из других наук.

Помня, что развитие логического мышления есть одна из задач преподавания геометрии в средней школе, учитель должен исполь­зовать все возможности, которые представятся к этому в курсе гео­метрии. Поэтому нельзя одобрить практику тех учителей, которые сосредоточивают все свое внимание на привитии ученикам навыков и обходят все сколько-нибудь тонкие принципиальные вопросы под тем предлогом, что они мало доступны ученикам. Если ученик только приобрел навыки в решении задач и запомнил доказательства теорем, приводимые в учебнике, то цель преподавания геометрии еще не

достигнута.

Третья цель преподавания геометрии — развитие пространственного воображения. Пространственное воображение у большинства учеников, приступаю­щих к изучению геометрии, развито весьма слабо,

но при правильно поставленном преподавании геометрии оно легко поддается сильному развитию.

При изучении планиметрии надо добиваться, чтобы ученик мог охватывать сразу весь чертеж (сначала — простой, затем — посложнее) и улавливать те соотношения между элементами чертежа, которые могут быть нужны при решении данного вопроса. Особенно полезны случаи, когда для решения вопроса приходится делать на чертеже добавочные вспомогательные построения. Чтобы догадаться, каковы должны быть эти построения, ученик должен уловить соотношения между начерченными элементами чертежа и теми элементами, кото­рых на чертеже нет.

Весьма полезны упражнения в проведении геометрических рас­суждений, не делая чертежа на доске или на бумаге, а представляя чертеж в уме. Решение задач на построение способствует раз­витию пространственного воображения.

Изучение стереометрии в значительно большей степени, чем изу­чение планиметрии, помогает развитию пространственного воображе­ния. В планиметрии при всяком затруднении мы имеем возможность сделать точный чертеж, в стереометрии же чертеж носит лишь вспомогательный характер, и отдельные его элементы изображаются в искаженном виде. Поэтому при решении стереометрических вопро­сов в основном приходится полагаться на воображение, а чертеж лишь помогает этому, нося в большинстве случаев качественный характер, и напоминает нам о взаимном расположении частей. При выполнении стереометрических чертежей обычно нужно сначала ясно представить в уме изображаемые элементы, и это служит предпо­сылкой для выполнения чертежа.

Учитель, преподающий стереометрию, должен быть знаком с элементами начертательной геометрии, особенно ему необходимо знакомство с аксоно­метрическими проекциями и линейной перспек­тивой. Грубые ошибки против правил начертательной геометрии — обычное дело в стереометрических чертежах уче­ников. Чертежи учителя, выполняемые на доске, обязательно

должны быть вполне грамотны. Это облегчает ученикам усвоение стереометрии и служит примером, как грамотно выполнять стереометрические чертежи, не зная начертательной геометрии.

Согласно новым стандартам школьного математического образования, обучение в старших классах может осуществляться на двух уровнях — базовом и профильном. Профильный уровень предусматривает более глубокое изучение геометрии, включение в содержание некоторых новых тем, относящихся не только к стереометрии, но и к планиметрии и имеющих важное значение для математического образования учащихся старших классов, предполагающих связать свою дальнейшую профессиональную деятельность с математикой.

В моей работе рассматриваются задачи на построение сечений многогранников: теория и электронные технологии. В первой главе мной были освещены вопросы истории и методологии геометрических построений в пространстве, в частности, зарождение геометрических построений в пространстве, обоснование и принципы методики преподавания геометрических построений в пространстве. Вторая глава посвящена понятию проекционного чертежа и требованиям, предъявляемым к школьному чертежу. В ней также рассматривается построение изображений многогранников и тезис полноты проекционного чертежа. Здесь же представлены позиционные задачи, задачи на пересечение прямых и плоскостей, построения на проекционном чертеже; задачи на построение сечений и методы построения сечений многогранников(метод следов, метод внутреннего проектирования, метод параллельных прямых, метод параллельного переноса секущей плоскости). Заключение второй главы посвящено че­тырем основным позициям, по которым можно анализи­ровать учебник по математике и анализу учебникам геометрии

Л. С. Атанасяна и И. Ф. Шарыгина. В третей главе рассматриваются вопросы преподавания геометрии с использованием новых информационных компьютерных технологий.

Целью своей работы я ставлю разработку материала, который можно использовать для профильного уровня обучения геометрии, дополняющего традиционное содержание курса. Его можно также применять при разработке элективных курсов по геометрии, проведении кружков и факультативов, для подготовки учащихся к олимпиадам, конкурсам, турнирам по математике.

Глава I. История и методология геометрических

построений в пространстве.

1 Зарождение геометрических построений в пространстве.

Еще в глубокой древности человек чертил и рисовал на скалах, камнях, стенах и предметах домашнего обихода изображения ве­щей, деревьев, животных и людей. Он делал это для удовлетворе­ния своих потребностей, в том числе и эстетических. При этом ос­новное требование к таким изображениям заключалось в том, чтобы изображение вызывало правильное зрительное представление о форме изображаемого предмета.

Римский архитектор Витрувий еще в I в. до н. э. применял три проекции — план, фасад и профиль. Витрувий рассказывает в своем труде «Десять книг об архитектуре» (переведенном на рус­ский язык Д. Савицким в 1757 г.), что еще в V в. до н. э. Агафарх, Демокрит и Анаксагор пользовались элементами перспективы при создании декорации для театра, когда исполнялись «Прикованный Прометей» и другие трагедии великого древнегреческого драма­турга Эсхила (525—456 гг. до н. э.),

С ростом практических и технических применений изображений (в строительстве зданий и других гражданских и военных соору­жений и т. п.) к ним стали предъявлять и такие требования, чтобы по изображению можно было судить о геометрических свойствах, размерах и взаиморасположении отдельных элементов определен­ного предмета. О таких требованиях можно судить по многим па­мятникам древности, уцелевшим до наших дней. Однако строгие геометрически обоснованные правила и методы изображения

п

Чертеж. 1

Литье колокола в Твери.

Миниатюра XV в.

ро­странственных фигур (с

соблюдением перспективы) стали система­тически разрабатывать художники, архитекторы и скульпторы лишь в эпоху Возрождения: Леонардо да Винчи, Дюрер, Рафаэль, Микеланджело, Тициан и др.

Об изображениях, выполненных методами, близкими к аксо­нометрии, свидетельствуют русские фрески и иконописная живо­пись XIV—XVI вв.

Отсутствием перспективы характеризуются многие русские миниатюры с технической тематикой. На миниатю­ре начала XV в., изображающей литье колокола в Твери (чертеж. 1), показано устройство плавильных печей.

Основы математической теории перспективы были впервые раз­работаны

Ж. Дезаргом в 1630 г. В русских чертежах XVIII в. применяются, кроме перспективных и аксонометрических, также ортогональные проекции. Последние, в частности, использовались выдающимися русскими изобретателями

И. И. Ползуновым (чертеж. 2) и И. П. Кулибиным (чертеж. 3).

Растущие запросы архитектуры, техники, промышленности, военного дела и живописи привели к формированию специальной математической ветви — начертательной геометрии, завершенной французским математиком Г. Монжем. Труд последнего «Начер­тательная геометрия», возникший из решений ряда вопросов фор­тификации и опубликованный в 1798 г., лег в основу проекционно­го черчения, которое широко используется в современной технике и науке. В своей книге Монж разработал метод ортогонального проектирования пространственных фигур на две взаимно перпен­дикулярные плоскости («метод Монжа»), получая двойное изобра­жение оригинала — на горизонтальной и на вертикальной плос­костях.

Э

Чертеж. 2

Чертежи детали машины И. Н. Ползунова, выполненные в 60-х годах XVIIIв.

то дает возможность решить и обратную задачу: восста­новление пространственной фигуры или изучение ее геометрических свойств по заданным горизонтальному и вертикальному изображениям, а также решение различных задач касающихся пространственных фигур, с помощью их плоских изобра­жений.

Недостатком метода Монжа является малая его наглядность. Поэтому во многих вопросах, в частности в школе, наиболее употребительным является более наглядный , аксонометрический (измерение по осям) метод, ос­нованный на параллельной про­екции.

Наиболее наглядное изобра­жение пространственных фигур на плоскости дает центральная проекция — перспектива, тре­бующая, однако, дополнитель­ных условий для решения об­ратной задачи. Существуют и дру­гие способы изображения про­странственных фигур (проекции с числовыми отметками, федоровские проекции и т. д.).

Первая оригинальная рус­ская книга по начертательной геометрии была опубликована в 1821 г. Я. А. Севастьяновым. Раз­ные прикладные вопросы начер­тательной геометрии разрабаты­вались академиком И. И. Сомо­вым и профессором В. И. Курдюмовым. Значительный науч­ный вклад в развитие начер­тательной

Чертеж. 3 Чертежи деревянного одноарочного моста И. П. Кулибина, выпол­ненные в 70-х годах XVIII в. (1 — поперечный разрез, видны две спаренные фермы и крайняя основная ферма с подкосами Е; 2 — вид сбоку; 3 — вид сверху).

геометрии внес круп­ный русский кристаллограф и геометр Е. С. Федоров (1853— 1919). Своими трудами («На­чала учения о фигурах», «Новая геометрия как основа черчения» и др.) он способствовал не толь­ко развитию теории групп, но и заложению основ многомерной начертательной геометрии. Со второй половины прошлого столетия на развитие начертательной геометрии стала оказывать значительное влияние проективная ге­ометрия. Понятия проективной геометрии для построения начер­тательной широко использовали А. К. Власов, Н. А. Рынин и другие советские математики.

История проективной геометрии тесно связана с возникнове­нием и развитием перспективы. Учение о перспективе, которой поль­зовались еще ученые и художники древности, первоначально составляло часть оптики. Трактаты по оптике писали древнегре­ческие ученые Евклид и Птолемей, каирский физик и астроном Ибн ал-Хайсам и. др. Обработкой «Оптики» Евклида яви­лась «Перспектива» польского архитектора Витело (XIII в.).

Латинский термин perspectiva (от perspicere — смотреть на­сквозь) в средние века обозначал оптику в широком смысле (геомет­рическую, физическую и физиологическую). Лишь около середины XV в. этот термин приобретает смысл, близкий к современному. Своего расцвета перспектива достигает в эпоху Возрождения в связи с блестящим развитием живописи, скульптуры и архитек­туры. «Трактат о живописи» Леонардо да Винчи содержит систе­матическое изложение законов перспективы. Правила перспек­тивы применяли Рафаэль, Микеланджело и другие великие живо­писцы XV—XVII вв.

Перспектива представляет собой пример геометрического пре­образования: между элементами (точками, прямыми) одной плос­кой или пространственной фигуры F и элементами другой, обычно плоской, фигуры F' устанавливается взаимно-однозначное соот­ветствие по некоторому определенному правилу. В данном случае правило состоит в том, что точки фигуры F* получаются как точки пересечения с заранее заданной плоскостью (плоскостью проекций) лучей, соединяющих некоторую фиксированную точку простран­ства S (центр проекции или перспективы) с точками данной фигуры F . Последняя называется оригиналом или прообразом фигуры F'; в свою очередь F' называют перспективой, проекцией или образом фигуры F.

«Отцом проективной геометрии» принято считать французского математика Жирара Дезарга(1593-1662), сочинения которого, посвященное учению о конических сечениях и скромно озаглавлен­ное «Первоначальный набросок попытки разобраться в том, что происходит при встрече конуса с плоскостью» (1639), фактически содержит первое систематическое изложение идей проективной геометрии. Будучи инженером и архитектором, Дезарг пришел к этим идеям благодаря занятиям по перспективе.

Учение Дезарга о конических сечениях было продолжено юным французским математиком Блезом Паскалем. В 16-летнем возрасте он опубликовал в Париже в виде афиши свой «Опыт о конических сечениях», в котором содержится одно из важнейших предложений проективной тео­рии конических сечений, носящее его имя.

Теорема Паскаля. Точки пересечения противоположных сторон шестивершинника, вписанного в коническое сечение, лежат на од­ной прямой. Эта прямая была названа впоследствии «пря­мой Паскаля». Следуя методу Дезарга, Паскаль вначале доказал эту теорему для окружности, а затем, пользуясь центральной про­екцией, распространил ее на всякое коническое сечение. Из своей теоремы Паскаль вывел около 400 следствий. Одно из них гласит, что коническое сечение (кривая 2-го порядка) определяется вообще пятью своими точками.

Развитию проективной геометрии в XVII в. содействовал в известной мере еще один французский геометр — Филипп де Лагир (1640—1718), который был и художником. Он установил ряд но­вых теорем в опубликованном им в 1685г. сочинении «Конические сечения».

Развитие проективной геометрии как науки не случайно нача­лось в XVII в., первом веке математики переменных величин, когда, по выражению Энгельса, «в математику вошли движение и диалектика».

Проективная геометрия оперирует, не посред­ством алгебраических действий и арифметических вычислений, а чисто геометрическими, синтетическими (т. е. неаналитическими) средствами: проектированием, пересечением и т. п. Именно этим объясняется парадоксальный на первый взгляд, но диалектически понятный факт: те самые мотивы, которые способствовали в XVII в. началу развития новой синтетической, проективной геометрии, они же и оказались тормозом в ее дальнейшем развитии. Дело в том, что общие запросы в области естествознания, практики и тех­ники, породившие идеи переменных и бесконечных величин, движе­ния и предельных переходов, были более обширными и важными, чем запросы перспективы, и требовали создания более сильного и всеобщего аналитического аппарата, создания и развития аналити­ческой геометрии и математического анализа. «Немедленно необ­ходимым, — писал Энгельс, — стало дифференциальное и инте­гральное исчисление». Им отдавали свое время и силы величайшие математики XVII и XVIII вв. Среди многочисленных ученых, за­нимавшихся развитием нового аналитического аппарата в матема­тике, Дезарг, возродивший и развивавший синтетические приемы геометрии, казался одиноким, посторонним. Увлечение подавляю­щего большинства видных математиков того времени анализом и разработкой новых аналитических методов исследования геометри­ческих проблем привело даже к тому, что понятый современника­ми «Первоначальный набросок» Дезарга был еще в конце XVII в. полностью забыт и пропал без вести. Копия этого классического произведения Дезарга, сделанная Лагиром, была найдена лишь в 1845 г. французским геометром и историком математики Мише­лем Шалем (1793—1880)

Быстрое развитие математики в XVII—XVIII вв. повлекло за собой резкое обособление отдельных ее частей. К 1870 г. математика представляла собрание узкоспециальных и мало связанных между собой разделов, причем специализация продолжала расти. Появи­лась крайняя необходимость открыть принципиальные положения, которые позволили бы найти общность между отдельными отор­ванными друг от друга разделами математики.

Одним из замечательных открытий конца XIX в. было введе­ние понятия группы.

На основе групп преобразования немецкий математик Феликс Клейн— профессор Эрлангенского универси­тета в своей вступительной лекции в 1872 г. обстоятельно обос­новал, как, опираясь на понятие группы, классифицировать раз­личные области математики. В этой лекции, получившей название «Эрлангенская программа», различные геометрии были рассмотре­ны с позиций группы преобразований. На этой основе ясно обозна­чилось, что евклидова геометрия определяется группой движений (параллельный перенос, поворот, симметрия и подобие); аффинная геометрия характеризуется группой аффинных преобразований, которая включает все указанные выше преобразования и, кроме того, проекцию параллельными лучами на плоскость, расположен­ную под любым углом наклона к ним. Проективная же геометрия характеризуется группой преобразований, при которых точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, лежащие на дру­гой прямой. Группа проективных преобразований включает в себя аффинную геометрию, геометрию Евклида и Лобачевского. По идее Клейна каждая группа преобразований включает в себя пред­шествующую группу. По предложенной классификации даже то­пология относится к группе непрерывных точечных преобразова­ний .

Начало топологии положил в 50-х годах XIX в. Риман. Он ввел неоднородные пространства, характеристики которых меняют­ся от точки к точке, т. е. пространства переменной кривизны. Он пришел к изучению преобразований, допускающих растяжение, сжатие, изгиб и даже скручивание. Главная задача топологии — установить, когда фигуры топологически эквивалентны.

Чертеж. 4 Различные типы геометрий, классифицированные по группам пре­образований:

1— Евклидова геометрия; 2—аффинная геометрия (в нее входит и евклидова); 8 — про­ективная геометрия (в нее включена и аффинная геометрия); 4— топология (в нее входят 1, 2 и 3-я группы; в этой группе преобразований сохраняется порядок следова­ния точек); 5 — теория точечных множеств; в этой группе преобразований рассеянные точки сохраняют порядковые номера, но не сохраняют порядок следования.

В 1868—1884 гг. Гельмгольц занялся изучением риманова пространства независимо от идей Римана. Это привело его к иссле­дованию природы геометрических аксиом. Вслед за ним этим же вопросом занялся Д. Гильберт. В 1899 г. в свет вышла его книга «Основания геометрии». В ней исследована и уточнена аксиома­тика геометрий XIX в., что открыло новую главу в истории аксиоматического метода. Работа Гильберта стала источником ряда исследований о взаимоотношениях аксиом и о роли системы аксиом в различных разделах математики. Работы Гильберта по­могли поднять аксиоматические исследования на более высокий уровень.

Теория групп и глубокие-исследования аксиоматики позволили установить общность различных областей математики и выявить их единство.

Работы в области аксиоматических обоснований ряда разде­лов математики были продолжены в XX в. многими виднейшими математиками, в том числе и нашим академиком и крупным мате­матиком А. Н. Колмогоровым.

2. Обоснование и принципы методики преподавания геометрических построений в пространстве.

Решение пространственных задач осложняется тем, что в отличии от задач на построение на плоскости невозможно соединение формально-логической схемы построений с их действительным выполнением при помощи чертежных инструментов, то есть чертежные операции в пространстве не возможны. Поэтому пространственные задачи переносятся на проекционный чертеж и решаются на нем.

В связи с этим, рассмотрим два методологических направления в решении вопроса о геометрических построениях в пространстве, выделенных

Н. Ф. Четверухиным:

1) по аналогии с построениями на плоскости развить формально-логический метод построения в пространстве с отказом от реальных построений при помощи инструментов, либо 2) рассматривать и выполнять пространственные построения на проекционном чертеже, т. е. на отображении пространства, полученным по способу проектирования.

Методологические и методические трудности, встречающиеся в попытках обоснования и развития геометрических построений в пространстве, явились причиной того факта, что в этой области до работ Н. Ф. Четверухина почти отсутствовала литература, а в той, какая все же существует, не было установившихся принципов и установившейся точки зрения.

Рассмотрим как обстояло дело с задачами на построение в пространстве в нашей учебной литературе до 50^х годов XX века.

В стабильном учебнике того времени о задачах на построение речь идет лишь в первой главе. Вторая глава посвящена ортогональным проекциям и построению чертежей по методу Монжа. В следующих главах задач на построение вовсе не дается.

Изложение вопроса методологически примыкает к первому из указанных выше направлений. Делается предупреждение, что выполнение построений с инструментами в пространстве не возможно и предлагается некоторая формально-логическая концепция, аналогичная геометрическим построениям на плоскости. Она заключается в следующем:

1. что плоскость может быть построена, если найдены элементы, определяющие ее положение в пространстве, т. е. что мы умеем построить плоскость , проходящую через три данные точки, через прямую и точку вне ее, через две пересекающиеся и две параллельные прямые;

2. что, если даны две пересекающиеся плоскости, то дана и линия их пересечения, т. е. что мы умеем найти линию пересечения двух плоскостей;

3. что, если в пространстве дана плоскость, то мы можем выполнять в ней все построения, которые выполнялись в планиметрии.

Нетрудно заметить, что в перечисленных положения, если не считаться с их формулировкой, составленной в духе школьного учебника, должны в абстрактно-геометрической форме определить конструктивные элементы в пространстве. Так, первое из этих положений выражает свойство того

инструмента, который по аналогии с линейкой можно было бы назвать «пластинкой». Второе устанавливает, что операции с «пластинкой» могут

давать новые конструктивные линии. Наконец, третье узаконивает операции

линейкой и циркулем на конструктивной плоскости. Для полноты этой

концепции недостает положения, которое объявило бы все данные элементы

задачи «конструктивными».

Итак, хотя об этом в стабильном учебнике 50^х годов нет никаких упоминаний, мы имеем ту же методологическую концепцию, выраженную тремя произведенными выше положениями и прямо зависящую от применяемых инструментов. Правда, последний инструмент является лишь плодом воображения, да и действительное выполнение в пространстве таких построений не возможно. Но в абстрактной форме обе схемы оказываются вполне аналогичными. Однако при формальном сходстве этих методологических схем их различие по существу чрезвычайно велико.

Пространственные проекции, лишены своих важнейших свойств: они не выполняются в действительности, не дают, следовательно, реализации геометрических фигур и не отражают жизненного опыта.

Выполнение же построений в абстрактной форме, как воображаемых операций, если и полезно, то лишь для тренировки пространственного мышления, причем эта тренировка носит искусственный характер.

Таким образом, могут сохранять свое значение лишь те сопровождающие самое построение моменты, которые заключаются в анализе, синтезе или исследовании задачи на построение, к доказательствам существования и единственности решения, а также к исследованию необходимых и достаточных условий существования решения.

Однако этой стороне дела в учебнике уделялось весьма недостаточное внимание. В решении задач на построение, разобранных в учебнике, давалось подробное изложение именно самого построения. Это приводило к недоразумениям, так как в этих задачах теоремы о существовании и о единственности заслонены самими построениями.

Такое положение возникло из-за того, что в ранее изданных учебниках Киселева задачи на построение в пространстве отсутствовали. В результате этого получившиеся задачи на построение имели основную цель – установить существование и единственность решения.

Основные задачи на построение в пространстве помещенные в стабильном учебнике носили тот же характер что и другие учебники, и задачники, поэтому рассмотренную постановку задач на построение можно считать преобладающим методологическим направлением.

Это методологическое направление имеет слабые стороны, потому что сами построения здесь своей основной роли, так как они фактически не выполнимы в пространстве, не дают реализации геометрических образов, и не отображают опыта практической жизни.

Таким образом, за этого рода геометрическими построениями можно констатировать лишь тренировочные действия. При этом для облегчения трудностей воображаемых пространственных построений часто применялся иллюстративный чертеж.

Несомненно, что пространственная гимнастика без чертежа представляет более сильное, но в тоже время и более трудное средство развития пространственного воображения.

Недостаток этой позиции подтверждался такими выдающимися математиками как Адамар. Он предложил путь, который привел бы к действительно эффективному решению пространственных задач на построение. Это путь решения таких задач на проекционном чертеже по методам начертательной геометрии.

В нашей отечественной литературе попытку внедрения начертательной геометрии в школьный курс геометрии предпринял Н. М. Душин в своем учебнике, вышедшим в Харькове в 1923г. «Курс элементарной геометрии».

В предисловии этой книги написано: «одной из основных задач предлагаемого курса является развитие у слушателей геометрического воображения и пространственного восприятия».

Для решения этой задачи используются следующие три принципа:

1. идея движения и геометрических преобразований

2. слияние планиметрии со стереометрией

3. введение начертательной геометрии

Недостатком этой книги являлось то, что применялись приемы начертательной геометрии, отличающиеся от обычных, и не были в должной степени разработаны геометрические задачи на построение.

Дальнейший шаг в этом направлении был сделан Б. В. Романовским в его книге «Задачи на построение в стереометрии» (1936г.).

Книга сопровождалась хорошими чертежами и содержала полезные позиционные и метрические задачи. Важное достоинство книги заключается в том, что в ней систематически разбираются конструктивные задачи на проекционном чертеже. Ее главным недостатком является смешение обеих концепций, то есть решение конструктивных задач на проекционном чертеже по методам начертательной геометрии с воображаемыми построениями с нереальными инструментами.

Однако после появления работ Н. Ф. Четверухина « Изображение фигур в курсе геометрии», « Стереометрические задачи на проекционном чертеже» положение изменилось. Появилось много методической литературы такой как А.Д. Семушин « Методическое обучение решению задач на построение в пространстве», П. Г. Казаков «Параллельные проекции и методы решения конструктивных задач», М. П. Лащенов «Полные и неполные изображения» и др. А. Д. Симушин провел в школе эксперимент по работам Н. Ф. Четверухина и показал доступность и эффективность положений Н. Ф. Четверухина. В это же время в школьных учебниках появились задачи на построение на проекционном чертеже и можно сказать о том, что именно с того момента проекционный чертеж был внедрен в школьную практику.

Глава II. Проекционный чертеж.

1.Требования к школьному чертежу.

Изображения, полученные путем проектирования геометрического тела на одну плоскость называют проекционными чертежами, а метод решения задач

« решение задач на проекционном чертеже».

Этот метод наиболее удобный для применения в школьной практике, он дает возможность связывать преподавание геометрии с жизнью, с практикой, прививать учащимся конструктивные навыки, развивать пространственное и логическое мышления учащихся.

Решение на проекционном чертеже, как и при решении аксиоматическим методом, должно складываться из четырех этапов: анализа, построения, доказательства и исследования. Однако, осуществление всех этих этапов не обязательно.

Программой по математике предусмотрено изучение в курсе геометрии 10-11 классов свойств произвольного параллельного проектирования, используя которые можно получать проекционные чертежи. Однако, прежде чем изучать эти свойства , необходимо продемонстрировать учащимся процесс получения проекционного чертежа, познакомить с различными методами проектирования, обосновать выбор метода произвольного проектирования.

Процесс получения проекционного чертежа можно продемонстрировать следующим образом. Взять каркасную модель геометрического тела , например параллелепипед и рассмотреть его тень, отбрасываемую электрической лампочкой на экран. Здесь же необходимо познакомить учащихся с понятиями: проектирующие лучи, плоскость проекций, центральное проектирование, параллельное проектирование и т. д. После формируем у учащихся понятия прямоугольной и косоугольной проекций. Параллельные проекции, как косоугольные, так и прямоугольные делятся на три группы: триметрические, диметрические и изометрические проекции.

Чтобы научить учащихся выбирать наиболее целесообразный метод проектирования при изображении геометрических тел на уроках геометрии необходимо объяснить им требования, предъявляемые к чертежу.

Приемы построения чертежей плоских фигур обычно не вызывают затруднений, так как все свойства этих фигур, расположенных в плоскости чертежа, сохраняются и правильность изображения зависит от точности его выполнения. Иначе обстоит дело с изображением пространственных фигур, так как при любом методе проектирования изображение теряет некоторые свойства оригинала. Поэтому необходимо соблюдать ряд требований, предъявляемых к стереометрическим чертежам, выполнение которых отвечало бы не только строгости математической теории, но и удовлетворяло бы педагогическую практику.

1) Всякий стереометрический чертеж должен быть определенной проекцией пространственной фигуры. Проекции всех элементов объекта должны быть построены при помощи одного и того же способа проектирования. Только такой чертеж может быть назван верным.

2) Изображение должно быть наглядным, так как только такой чертеж дает правильное представление об оригинале, способствует развитию

пространственного воображения, помогает находить правильные пути решения задачи.

3) Простота в построении является также первостепенным требованием в педагогической практике, так как только при этом условии можно получать хорошие чертежи за сравнительно короткое время.

Используя проекционный аппарат , убеждаемся , что точка на плоскости проекций может служить изображением точки и отрезка прямой. Прямая плоскости проекции может изображать и прямую и плоскость. Две параллельные прямые могут быть изображением и параллельных и скрещивающихся прямых. Квадрат- проекцией квадрата и куба и правильной четырехугольной призмы.

чертеж.5

Проектируя на плоскость куб, мы можем получить самые различные проекции

( чертеж.5). Это зависит и от расположения оригинала относительно плоскости проекций и от выбора направления проектирования. В этом также можно убедить учащихся непосредственным проектированием каркасных моделей. По одним изображениям можно судить об оригинале, по другим нельзя. Нужно найти такой способ построения изображения, при котором оно дало бы возможность судить об оригинале, т. е. с уверенностью говорить, что изображены параллельные, а не скрещивающиеся прямые, изображен куб, не квадрат или призма. Чертеж должен быть наглядным, позволяющим легко представить общую форму предмета, его положение в пространстве. Кроме того, чертеж должен быть верным, т. е. представлять собой одну из проекций изображаемой фигуры. Чертеж должен быть легко выполнимым, т. е. все построения должны выполняться просто и быть понятны учащимся.

Практически трудно выбрать такой метод проектирования и такое расположение оригинала относительно плоскости проекций, чтобы чертеж, выполненный с учетом свойств этого метода проектирования, достаточно полно удовлетворял всем трем требованиям. Требованиям наглядности в большей мере удовлетворяют чертежи, выполненные с учетом свойств центрального проектирования. Но они очень сложны.

Лучшим для школы является метод произвольного параллельного проектирования, который обеспечивает наглядность чертежа и простоту его выполнения. Разъяснив это ученикам, учитель ставит перед ними задачу изучить свойства параллельного проектирования.

При изучении этих свойств приходится сталкиваться, с такими понятиями, как «проекция», «изображение», «чертеж». Между этими понятиями существуют различия, о чем, очевидно, нужно сказать ученикам. Но в школьной практике эти различия принимать во внимание не следует.

Вводить проекционный чертеж в практику преподавания стереометрии следует после того, как будут изучены свойства параллельного проектирования. Вначале необходимо познакомить учащихся с понятием основной плоскости, как некоторой плоскости, заданной в пространстве. Затем научить их выполнять основные построения на проекционном чертеже.

Чертеж 6

Задачи этого раздела нет необходимости решать со­средоточенно в одном месте. Набором нижеприводимых задач следует пользоваться по мере ознакомления уча­щихся с понятием проекционного чертежа для закреп­ления вновь вводимых понятий, перед решением состав­ных задач, элементом которых является данная про­стейшая.

Чертеж 7

Первой группой таких задач являются упражнения, раскрывающие, что неопределенность восстановления оригинала по иллюстративному чертежу устранена на проекционном чертеже. Учитель показывает, что на проекционном чертеже «точка» изображает только точ­ку оригинала, «прямая» — прямую, «плоскость» — плос­кость. И притом для каждой пары базисов определяет­ся единственная точка, прямая или плоскость оригина­ла. Ничего подобного не дает иллюстративный чертеж, так как даже после доопределения на нем и в оригина­ле базисов остается неопределенной принадлежность точек к прямым и плоскостям, определяемым через базис, а потому и невозможно построение соответствен­ных точек оригинала.

Чертеж 8а

На проекционном чертеже становится возможным определять только по изображению взаимное располо­жение точек, прямых и плоскостей. В порядке упраж­нения с учащимися рассматриваются способы изобра­жения различных случаев взаимного расположения точки и основной плоскости (рис. 6), описывается взаимное расположение точек для произвольного чер­тежа (лежит в плоскости, над плоскостью, под плоско­стью, выше или ниже одна относительно другой, дальше или ближе от наблюдателя; рис.7). Описание вза­имного расположения следует относить не к чертежу, а к одному из мыслимых оригиналов. Особенно хорошо, если эти описания сопровождаются демонстрацией мо­дели.

Чертеж8б

В порядке сравнения проекционного чертежа с ил­люстративным решается следующая задача.

Задача 1. Дать описание взаимного расположения точек АВСВD и плоскости α , изображения которых пред­ставлены на иллюстративном чертеже (Чертеж8а) иллюстративный чертеж до проекционного и дать описание взаимного расположения точек для него (Чертеж 8б)

При дополнении чертежа до проекционного полезно добиться от учащихся, чтобы в результате были бы представлены различные случаи взаимного расположения точек и основной плоскости. Особое внимание сле­дует уделить тем случаям, которые содействуют пра­вильному пониманию изображения плоскости.

Учащиеся должны понимать, что каждая из точек может быть представлена: как лежащая в плоскости α – B(B₁ ), как лежащая над плоскостью α —точка А (А₁),

как лежа­щая под плоскостью α— точка D (D₁). На рис. 8б по­ставленной цели удалось достигнуть, продолжив конту­ры, изображающие плоскость.

Задача 2. Начертить различные случаи изображения прямых на проекционном чертеже.

Одно из возможных решений этой задачи представ­лено на чертеже 9, на котором изображены прямые, парал­лельные основной плоскости, пересекающие ее или ле­жащие в ней, проектирующая прямая внутреннего проектирования, проектирующая прямая внешнего проектирования и иные прямые, заданные различным сочетанием двух точек.

Чертеж 9.

В порядке сравнения с иллюстративным чертежом (чертеж 10) полезно обратить внимание учащихся на то, что прямая а на чертеже 10 может быть принята за изображение прямой, параллельной плоскости α, а на чертеже 9 прямая СD (С₁D₁) является изображением пря­мой, параллельной плоскости а. Этот факт учащимся необходимо даже доказать и добиться понимания этого доказательства.

Чертеж10

Прямая а на иллюстративном чертеже (чертеже 10) есть изображение любой из прямых проектирующей плоско­сти, пересекающей картинную плоскость. Эта проекти­рующая плоскость пересекает плоскость α. Среди пря­мых проектирующей плоскости имеются прямые, лежа­щие в плоскости α, пересекающие ее и параллельные ей. Следовательно, прямая а может быть принята за изображение любой из этих прямых. В то же время прямая С₁D₁, построенная в оригинале по любой паре базисов, будет параллельна прямой С₁^/D₁^/ лежащей в основной плоскости оригинала, так как C^/C₁^/ и D^/D₁^/ в оригинале будут равны и параллельны.

Доказательство этих положений проводится без оформления каких бы то ни было записей с возможно более широкой иллюстрацией рассматриваемых отноше­ний прямых и плоскостей на моделях и вещах классной обстановки.

Задача 3. Начертить различные случаи изображения плоскостей на проекционном чертеже.

Учащиеся должны видеть и уметь изобразить каж­дый из случаев, представленных на чертеже 11. В связи с решением задач 2 и 3 учащихся следует познакомить с новой терминологией: проектирующая прямая (прямая МК (М₁К₁) на чертеже 9), проектирую­щая плоскости (плоскость φ на чертеже 11). Эта терминоло­гия относится к внутреннему проектированию, так как все построения на проекционном чертеже рассматрива­ются как построения в оригинале. В тех же случаях, ко­гда внутреннее и внешнее проектирование противопо­ставляется, говорят—проектирующая прямая, проекти­рующая плоскость внешнего или соответственно вну­треннего проектирования.

Необходимо добиться, чтобы учащиеся видели проек­тирующие плоскости и на чертеже 9

Решение этих задач следует использовать для по­полнения образов прямых и плоскостей в пространстве.

Чертеж 11.

Кроме модели образами прямых, параллельных осно­вной плоскости, могут быть гимнастический турник, бум, трапеция. Образами изображенных плоскостей яв­ляются лист фанеры, лежащий одним срезом на основ­ной плоскости и опирающийся одной точкой на конец колышка, частокол из плотно поставленных кольев, до­щатая вертикально стоящая гимнастическая стенка. Наиболее полезным следует считать достижение по­ложения, когда учащиеся сами придумывают матери­альные реализации рассматриваемых изображений.

Решение задач по типу рассмотренных свободно можно переносить на домашние задания. Необходимые уточнения и дополнения вносятся при проверке выпол­нения домашних работ. Усвоение рассматриваемых по­нятий полезно постоянно контролировать в порядке от­ветов учащихся на вопросы: «Постройте изображение прямой (плоскости), параллельной основной плоскости,

пересекающую ее, лежащую в ней», «Постройте изобра­жение проектирующей прямой (плоскости)», «Изобра­зите проектирующую прямую (плоскость) внешнего проектирования».

Задача 4. Построить изображение точки, принадле­жащей заданной прямой а(а₁)

Одно из решений этой задачи представлено на чертеже 12 точкой А(А₁). Полученное решение полезно сравнить с решением той же задачи на иллюстративном чертеже.

В ходе упражнений учащимся сообщаются и новые необходимые определения.

Чертеж 12.

В этот первый период следует дать определения «сле­да» прямой и заданной плоскости. Определения записы­ваются в тетради.

Определение. Следом заданной прямой (плос­кости) на основной плоскости называется точка (пря­мая) пересечения прямой (плоскости) с основной плос­костью.

Чертеж 13.

Задача 5. Построить точку пересечения данной пря­мой AB(A₁B₁) с основной плоскостью (Чертеж 13).

Решением этой задачи является точка пересечения (если она существует) прямыхAB и А₁В₁, так как в оригинале эти прямые лежат в одной и той же проектирующей плоскости.

Чертеж 14.

При определении точек пересечения прямых полезно приучать учащихся с первых же шагов рассматривать построения на проекционном чертеже как проекцию соот­ветственных построений в одной из материальных реа­лизаций оригинала и устанавливать принадлежность или непринадлежность рассматриваемых прямых одной и той же плоскости оригинала. В данном случае, напри­мер, построение точки пересечения прямых АВ и А₁В₁ можно рассматривать как проекцию построений на ли­сте фанеры, представляющем проектирующую плос­кость АА₁ВВ₁.

Задача 6. Построить прямую, по которой плоскость β (β₁), заданная тремя точками А(А₁), В(B₁) и С(С₁), пересекается с основной плоскостью (рис. 14, 15, 16).

Учащимся сообщается, что для построения линии пе­ресечения двух плоскостей достаточно знать две точки, принадлежащие обеим плоскостям, или одну точку и на­правление линии пересечения этих плоскостей.

Для решения задачи по первой схеме (чертеж14) стро­ятся две прямые, например АС(А₁С₁) и АВ(А₁В₁), при­надлежащие плоскости β (β₁), и после этого строятся точки пересечения этих прямых с плоскостью α (зада­ча 5). Прямая ХУ—искомая, так как точки X и У принадлежат и плоскости β (β₁) и плоскости α.

Чертеж 15.

Решение задач по второй схеме становится возмож­ным, если известны какие-либо дополнительные условия. Пусть, например, для чертежа на чертеже 15 определено, что прямая АВ(А₁В₁) параллельна плоскости α, тогда и линия пересечения плоскостей β (β₁) и α должна быть параллельна АВ(А₁В₁). Одна точка, через которую проходит прямая пересечения плоскостей, определится как точка пересечения произвольной прямой, принадле­жащей плоскости β (β₁) с основной плоскостью. На чертеже 15 такой точкой является точка X, а прямая ХУ, параллельная АВ(А₁В₁),— искомая.

На чертеже 16 представлено решение той же задачи для такого расположения точек А(А₁), В(B₁) и С (С₁) и та­кого достаточно малого контура изображенной части плоскости а, при которых для определения положения точек X и У приходится проводить прямые, отличные от прямых, определяемых тремя заданными точками, как это имело место в предшествующих случаях. Впрочем, решение этой задачи полезно провести, увеличив конту­ры изображенной части плоскости α до необходимых размеров с тем, чтобы как и в предшествующем случае , воспользоваться прямыми АВ(А₁В₁) и АС( А₁С₁)

Чертеж 16.

2. Построение изображений многогранников.

Поскольку построение изображений плоских фигур у учащихся не вызывает особых затруднений ограничимся рассмотрением построений изображений многогранников. Построе­ние изображений многогранников сводится к построению изображений вершин и ребер оригинала. Для большей наглядности чертежа иногда строится изображение вы­сот и некоторых других линий.

Упрощение общих методов построения изображений удается достигнуть за счет удачного выбора базисных точек, за счет удачного выбора порядка построения изображения отдельных элементов оригинала.

За базисные точки в оригинале могут быть приняты любые четыре точки, лишь бы они не лежали в одной плоскости. Однако наиболее простые схемы построения изображения получаются, если за базисные точки при­нимать вершины многогранников. При этом три из них выбирают в одном из оснований, а четвертую—вне этого основания. Три базисные точки в оригинале осно­вания и одна вне основания выбираются и при построе­нии изображений тел вращения.

При такой системе выбора базисных точек, кроме упрощения схем построения изображения, удается до­стигнуть материальной осязаемости построений. Дейст­вительно, по трем базисным точкам основания оригина­ла и им соответствующим точкам на картинной плос­кости, как и при построении модели оригинала, сначала строится изображение основания оригинала. Затем, ис­пользуя четвертую пару базисных точек, строят изобра­жения остальных вершин, изображения ребер в много­гранниках, образующих в цилиндрах и конусах изобра­жения других необходимых линий оригинала.

Чертеж 17.

Построение изображения оснований следует прово­дить методами построения изображений планиметриче­ских оригиналов, широко используя упрощающие при­емы. При этом надо иметь в виду то обстоятельство, что внешне упрощающие приемы часто кажутся не связан­ными с построением изображений планиметрических оригиналов по трем базисным точкам, так как изобра­жения в этом случае появляются сразу большими комплексами точек. Однако каждое такое построение требует для его выполнения свободного выбора трех базисных точек, а потому при построении изображений стереометрических оригиналов каждое из построений основания, осуществляемых упрощающими методами, равноценно использованию права свободного выбора на картинной плоскости трех базисных точек из четырех.

Упрощение построения изображений может быть достигнуто и за счет установления подходящей последо­вательности в чередовании выбора базисных точек и построения изображения. Нет, например, необходи­мости для построения изображения выбирать на картин­ной плоскости положение сразу всех четырех базисных -точек. Иногда бывает выгодно сначала фиксировать три базисные точки изображения, соответствующие трем базисным точкам основания оригинала, и по ним по­строить изображение основания. Так как после этого при любой из схем построения изображения основания остается право свободного выбора еще четвертой базис­ной точки, то выбирают ее и после этого достраивают изображение в целом.

Только одно такое изменение порядка, не нарушая верности и удобовыполнимости построения изображе­ния, позволяет сравнительно просто достигнуть нагляд­ности изображения.

Задача о построении изображений треугольных пира­мид полностью решается на основании второй теоремы существования.

Действительно, за изображение любой наперед за­данной пирамиды (например, правильной треугольной пирамиды, у которой боковое ребро в два раза больше стороны основания) на картинной плоскости может быть принят любой четырехугольник вместе с диагоналями, если никакие три вершины его не лежат на одной пря­мой. Каждое из изображений, представленных, например, на чертеже17, является верным, удобовыполнимым, но не каждое—наглядным.

На рис. 6,а высота SO изображена не вертикальной

прямой, и это приводит к тому, что оригинал пирамиды мы представляем наклонным. Изображение «б» — не наглядно, так как изображение высоты SO совпадает с к изображением бокового ребра SC. Отсутствие штриховых линий на изображении «в» также затрудняет воспроизведение оригинала, особенно тогда, когда не обо­значены вершины. Изображение «г» скорее создает представление о правильном тетраэдре, чем о правильной пирамиде, у которой боковое ребро в два раза больше стороны основания.

Полнее вызывает представление об оригинале изоб­ражение «д». Это изображение мы воспринимаем как пирамиду, у которой боковые ребра больше сторон основания. Штриховые линии на изображении создают представление различной удаленности ребер основания от наблюдателя. Ребро АВ воспринимается как невиди­мое, что и было бы на самом деле, если оригинал пира­миды был изготовлен из непрозрачного материала. Вер­тикальное положение отрезка SO вызывает представле­ние высоты пирамиды.

Высота пирамиды, как и изображения любых других линий заданного оригинала, должна быть построена, ни одна из этих линий на изображении не может быть проведена произвольно после того, как определилось по­ложение базисных точек. В рассмотренных примерах изображения правильной пирамиды отрезок SO дейст­вительно обозначает высоту оригинала.

Для построения изображения высоты достаточно по­строить изображение двух ее точек. Одна из этих точек, точка S, определилась при построении изображения вершин пирамиды. За вторую точку в рассматриваемом примере удобно принять изображение основания высоты (точку О). Для ее построения обратимся к оригиналу и определим положение точки О' в оригинале.

В правильной треугольной пирамиде точка О' яв­ляется центром основания и лежит на пересечении медиан основания. Это свойство основания высоты пирамиды позволяет построить точку О — изображение точки О' — без эффективного использования оригинала. На чертеже 17положение точки О получено как точки пере­сечения медиан треугольника основания пирамиды.

В рассмотренном примере изображение высоты строилось после того, как было закончено построение изображения собственно пирамиды. При такой последо­вательности построений не всегда легко удается полу­чить наглядное изображение. Действительно, при одно­временном выборе положения всех четырех базисных точек трудно предугадать выбор положения вершины S так, чтобы изображение высоты, построенной в даль­нейшем, оказалось бы вертикальной прямой.

Чертеж 18.

Однако наглядности изображения удается достиг­нуть сравнительно быстро и просто, если несколько из­менить рассмотренную выше последовательность выпол­нения построения изображения пирамиды с высотой. Удобно, например, сначала построить изображение ос­нования пирамиды — треугольника ABC (чертеж 18а). В этом треугольнике построить изображение основания высоты пирамиды—точку О (чертеж18,6), провести че­рез эту точку вертикальную прямую ОР (чертеж 18,в), и только после этого, воспользовавшись правом сво­бодного выбора четвертой базисной точки, принять за изображение вершины пирамиды одну из точек пря­мой ОР (точка S на чертеж18,б), определившейся при та­кой последовательности построений раньше, чем поло­жение вершины S. Наконец, соединив вершину S с точ­ками А, В и С, достраивается изображение пирамиды (чертеж 18,г).

Вышеописанная последовательность выполнения по­строений дает верное, удобовыполнимое и наглядное изображение. Однако выполнение построений по рас­сматриваемой схеме осуществимо только в том случае, если нам заранее известно положение основания высоты пирамиды, изображение которой должно быть по­строено.

Вопрос об определении положения основания высоты может быть решен до построения изображения, вне всякой связи с построением изображения. Положение основания высоты пирамиды можно установить и на первоначально выполненном не наглядном изображении.

Техника построения изображений многоугольных пира­мид также довольно проста. В оригинале за базисные точки принимают вершины пирамиды: три — в основании и четвертую — вне осно­вания— собственно вершину пирамиды. На плоскости проекций фиксируют соответственные базисные точки изображения.

По первым трем базисным точкам, взятым в плос­кости основания пирамиды оригинала, и им соответст­вующим базисным точкам плоскости проекций строят изображение основания пирамиды. После этого достра­ивается изображение в целом.

Как и в случае построения изображений треугольных пирамид, не следует за изображение четырех базисных точек оригинала принимать сразу четыре базисные точ­ки плоскости проекций. Целесообразно положение вер­шины 5 — четвертой базисной точки на плоскости про­екций — выбирать после того, как будет построено изображение основания пирамиды и на нем — изобра­жение основания высоты пирамиды. За изображение вершины пирамиды в этом случае следует принимать одну из точек вертикальной прямой, проведенной через изображение основания высоты пирамиды.

. Построение изобра­жений призм проводится наиболее просто, если за ба­зисные точки в оригинале принимать вершины призм: три — в одном основании призмы и четвертую—в дру­гом основании. Три базисные точки оригинала, пред­ставляющие, например, вершины нижнего основания, и им соответствующие базисные точки картинной плос­кости позволяют приемами, рассмотренными выше, по­строить изображение нижнего основания призмы. Чет­вертая пара базисных точек при обусловленном выборе базиса в оригинале обеспечивает удобовыполнимость построения всего изображения.

Конкретный прием построения изображений призм рассмотрим на частном примере.

Задача 7.. Построить изображение правильной тре­угольной призмы со стороной основания а и высотой H.

Примем в оригинале за базисные точки три вершины (А^/_1,В^/₁, С^/₁ )нижнего основания и вершину А^/верх­него основания. Пусть, далее, изображением базисного треугольника А^/₁В^/₁С^/₁ в плоскости проекций будет ба­зисный треугольник А₁В₁С₁ (рис.19,а). Выберем на картинной плоскости четвертую базисную точку А так, чтобы ребро А^/ _1, А^/ изображалось вертикальной пря­мой АА₁ (рис.19,6). Такой выбор осуществляется просто, если предварительно через А₁ провести верти­кальную прямую и на ней, сообразуясь с размерами оригинала, фиксировать точку А.

Построение изображения остальных точек призмы не может после этого осуществляться произвольно: все построения проводятся на основе свойств параллельной проекции. Действительно, в оригинале рёбра А^/ ₁А^/, В^/ ₁В^/, С^/ ₁С^/ равны и параллельны, следовательно, и их изображения В₁В и С₁С должны быть равны и параллельны отрезку А₁ А, размер и положение которого на картинной плоскости обусловливаются выбором четвер­той базисной точки.

Изображение в таком случае может быть достроено следующим образом: через точки В^/и С^/ проводим пря­мые, параллельные А₁А, и откладываем на них отрезки В₁В и С₁С равные А₁А (рис. 19,б). Соединив прямыми точки А, В и С, получаем изображение правильной тре­угольной призмы.

Рекомендуемая схема выполнения построений дает верные, удобовыполнимые и наглядные изображения всех геометрических тел, с которыми приходится стал­киваться в средней школе.

Чертеж 19.

3. Тезис полноты проекционного чертежа.

С понятием полного чертежа можно в доход­чивой форме познакомить учащихся при ре­шении задач на построение.

В школьной практике нельзя дать веского теоретического обоснования полноты чертежа. Для этого у учителя нет времени. Однако понятия эти необходимо ввести с тем, чтобы учащиеся представляли, при выполнении каких построений, на каких чертежах допустим произвол, а в каких случаях построения выполняются однозначно.

Чертеж 20.

Знакомство целесообразно начать при решении задач на построение точек встречи прямых с плоскостями, линий пе­ресечения плоскостей, рассматривая конкретные примеры полных и неполных изображений. Проанализировав ряд при­меров, целесообразно сделать обобщение, дать определение. Так, решая задачи на построение точек встречи прямой с пло­скостью, можно предложить построить точки встречи прямой, а с плоскостью а (чертеж 20, а и б).

а) б ) в )

Чертеж 21

Учащиеся убеждаются, что в случае б можно указать оп­ределенную точку пересечения прямой, а с плоскостью а, в случае, а можно взять произвольную точку прямой а и счи­тать ее точкой встречи, а с а. Чем отличается чертеж б от чертежа а? На чертеже б прямая, а задана (т. е. определена ее внутренняя проекция), на чертеже, а прямая не задана.

Еще пример. Дано изображение призмы и прямой а (чертеж21, а, б и в). Построить точку встречи прямой, а с пло­скостью основания призмы. Учащиеся опять убеждаются, что в случае в можно построить единственную точку, в случае а и б - за изображение точки встречи прямой а и плоскости основания может быть принята любая точка прямой а. И, опять-таки потому, что на чертеже в прямая задана, а на чер­теже а и б — не задана.

Рассмотрев еще ряд примеров, делаем вывод, что на изо­бражении, выполненном в произвольной проекции, могут быть заданы все точки или только часть их, а остальные не зада­ны. Это существенный признак, пользуясь которым, отличают чертежи полные от неполных. В первом случае чертеж назы­вают полным, во втором — неполным. (Заданными считаются не только те точки, внутренние проекции которых даны на основную плоскость, но и те, проекции которых не даны, но могут быть построены).

Чертеж 22. Чертеж 23.

Рассмотренные примеры говорят о том, что на полных изображениях точки встречи прямых, прямых с плоскостями, линии пересечения плоскостей строятся определенным обра­зом, однозначно. Иначе говоря, на полном изображении не­допустим какой-либо произвол в выполнении построений при решении позиционных задач.

Необходимо рассмотреть с учащимися как можно больше примеров полных и неполных изображений. Делать нужно не в. специально отведенное время, а при решении задач на по­строение (да и на вычисление), обращая всякий раз внима­ние учащихся на изображение

Построим изображение прямоугольника на основной пло­скости (чертеж22)Обращаем внимание на то, что изображе­ние полное (заметим, что изображение любой фигуры, все точки которой принадлежат основной плоскости, является полным, так как все точки фигуры заданы).

Приступаем к построению изображений многогранников. Строим изображение призмы, пирамиды. Задаем вопрос: пол­ные или неполные изображения получили? (чертеж 23). Чтобы ответить, нужно убедиться, все ли точки, принадлежащие многограннику, заданы. Возьмем точку. А. За основную пло­скость примем плоскость основания. Сможем получить проек­цию точки А на основную плоскость? Выберем направление внутреннего проектирования

параллельно боковым ребрам. Выполним построения, показанные на чертеже.

Получим точ­ку А'. Изображение призмы полное. Выберем на грани SАС точку М. Будет ли она заданной, т. е. сможем ли мы постро­ить ее проекцию на основную плоскость? Выберем направле­ние внутреннего проектирования параллельно ребру SВ. Вы­полняя построения, сущность которых ясна из рисунка, полу­чили точку М'. Изображение полное. (Заметим, что вообще изображения основных геометрических тел: призмы, пирами­ды, цилиндра и конуса всегда являются полными, в чем нас убеждают приведенные примеры).

Дадим более теоретизированное понятие полноты проекционного чертежа. Изображение фигуры Ф₀ называется полным, если каждая точка А₀, принадлежащая фигуре Ф₀, является заданной на проекционном чертеже.

Напомним кратко, как определяется это понятие.

Плоскость α, на которую проектируются изучаемые фигуры, на­зывают проекционной плоскостью или плоскостью изображения (фак­тически это плоскость чертежа), а само проектирование на плоскость α называют внешним. Для построения изображения некоторой фигуры может быть выполнено либо центральное, либо параллельное проек­тирование. Говоря о внешнем проектировании, мы в дальнейшем будем иметь в виду только параллельное проектирование.

Рассмотрим в пространстве некоторую плоскость π₀, отличную от α, и некоторое непараллельное плоскости π₀ новое направление парал­лельного проектирования; проектирование в этом направлении будем называть вспомогательным (параллельным). Для каждой точки А₀ пространства построим точку А₀^/ — проекцию точки А₀ на плоскость π₀ (вспомогательную проекцию), а затем обе точки А₀ и А₀^/ спроекти­руем на плоскость α (чертеж 24).

Чертеж 24.

Получим точки А и А^/, которые называют соответственно проек­цией и вторичной проекцией точки А₀.

Соответствие А → А' на проекционной плоскости можно (разу­меется, условно) рассматривать как некоторый род проектирования; его называют внутренним параллельным проектированием, так как оно осуществляется внутри плоскости изображения. Очевидно, что, каковы бы ни были точки А₀, В₀, С₀, ... в пространстве, в плоскости изображения будет: АА' || ВВ' || СС^’ || ... .

Под проекцией (изображением) пространственной фигуры пони­мают совокупность проекций всех ее точек.

Для получения проекции пространственной фигуры Ф₀ (ориги­нала) в общем случае не является обязательным проектирование каждой из ее точек. Так, если Ф₀ — многогранник, то он ограничен конечным числом граней (плоских фигур), каждая же грань ограни­чена ломаной, звенья которой -это ребра многогранника (отрезки). Каждое ребро в свою очередь ограничено парой вершин многогран­ника. Если найти проекции всех вершин многогранника, то тем самым будут определены проекции и всех его ребер и граней, т. е. вообще проекция многогранника.

Точка Ао, принадлежащая фигу­ре Фо, называется заданной на проекционном чертеже (короче, задан­ной), если известны ее проекция и вторичная проекция, т. е. пара точек: А и А'.

Таким образом, две пары точек А, А' и В, В' при условии, что А А' || СС' || ВВ', определяют полное изображе­ние прямой А₀В₀.

Чертеж 25.

Аналогично, если А А' || СС' || ВВ', то пары точек А, А'; В, В' и С,С^/ опреде­ляют полное изображение плоскости А₀В₀С₀.. Для обоснования полноты изображения некоторых фигур целесообразно бывает рассмотреть центральное вспомогатель­ное проектирование точек А₀, В₀, С₀, ... фигуры-оригинала Ф₀ на плоскость π₀ . Вы­полнив это проектирование, а затем, как обы­чно, внешнее (параллельное) проектирование , точек А₀ и А'₀, В₀ и В'₀, С₀ и С₀^/, ... на пло­скость а, получим проекции и вторичные проекции точек Ао, В₀, С₀, ... .Соответствие А→А' в этом случае называют (естест­венно, условно) внутренним центральным проектированием. Очевидно, каковы бы ни были точки А₀, В₀, С₀, .. в пространстве, прямые АА', ВВ', СС^/, ... в плоскости изображения пересекаются в одной точке.

Покажем теперь, что если задать проекции вершин пирамид S₀А₀В₀С₀ —точки S, А, В и С (без вторичных проекций), то изображение пирамиды будет полным. Действительно, выбрав в качеств центра вспомогательного проектирования точку S₀, а в качестве плоскости π₀ плоскость А₀В₀С₀, можно для каждой точки М₀ пирамидs по ее проекции М построить вторичную проекцию —точку М'. На чертеже 25 это построение выполнено для точки М₀, принадлежащей плоскости S₀А₀К₀.Вторичной проекцией точки S можно при этом считать любую точку треугольника А ВС.

Изображение конуса в виде фигуры, состоящей из эллипса пары касательных к эллипсу, проведенных из некоторой внешней точки, является полным.

4.Позиционные задачи на проекционном чертеже.

Все задачи на проекционном чертеже делятся на позиционные и метрические.

Позиционные задачи - это задачи на построение общих элементов прямых, плоскостей и вообще геометрических фигур.

Они решаются с использованием только полных изображений. На таких изображениях можно построить любой общий элемент двух каких-либо элементов, например точку пересечения какой-либо прямой с плоскостью или линию пересечения двух плоскостей и т. п. Поэтому для решения позиционных задач достаточно полноты проекционного чертежа.

Рассмотрим основные позиционные задачи на проекционном чертеже, имеющие непосредственное отношение к программе школьного курса стереометрии.

Задача 8. Построить (чертеж 26) изображение прямой х(х₁), параллельной данной прямой а(а₁) и проходящей через данную точку К{К₁).

Данная задача представляет собой перефразировку известной задачи, условие которой относится непосредственно к оригиналу: «Через точку К'(К'₁), расположен­ную вне данной прямой а'(а'₁), провести прямую х'(х'₁), параллельную данной прямой». Несмотря на различие формулировок, в стереометрии обе имеют одинаковый практический смысл, так как решение задач в обоих случаях выполняется на изображении. Ввиду этого об­стоятельства впредь обе формулировки будем считать равноправными и пользоваться той из них, которая в каждом из конкретных случаев будет более проста в ре­дакционном отношении.

Решение задач на проекционном чертеже, как и вся­кой задачи на построение, следует проводить по схеме: анализ, построение (синтез), доказательство, исследова­ние. Рассмотрим осуществление каждого из этих этапов на примере данной задачи.

Чертеж 26

Анализ. В оригинале по условию а'|| х', следова­тельно, параллельны и их проекции на основную плос­кость (а' || х'). Изображения параллельных прямых па­раллельны, т. е. а || х и а₁|| х₁ (чертеж 26).

Построение. Через точки К. и К₁ проводим пря­мые х и х₁, соответственно параллельные прямым а и а₁ и строим для произвольной точки Т прямой х ее осно­вание Т₁. Прямая х(х₁) —искомая.

Доказательство. Прямые а₁ и х₁ параллельны по построению и являются изображением прямых а'₁ и х'₁, лежащих в одной (основной) плоскости оригинала. Для каждого из базисов оригинала и изображения пря­мые а₁^/ и х₁^/ будут параллельны. Параллельными, как проектирующие прямые, в оригинале будут и прямые А'А'₁ и К^/К^/₁ следовательно, и проектирующие плос­кости, в которых лежат прямые а' и х'.

В результате оказывается, что прямые а' и х' лежат одновременно в параллельных проектирующих плоско­стях внутреннего и внешнего проектирования, т. е. яв­ляются двумя из четырех прямых, по которым пересе­каются эти четыре плоскости. Но все прямые, по кото­рым пересекаются четыре попарно параллельных плос­кости, будут параллельны между собой, т. е.будут па­раллельны и прямые а' и х'.

Исследование. Задача имеет одно решение, так как через точки К и К₁ можно провести по одной пря­мой х и х₁, соответственно параллельных прямым а и а₁. Прямые же х и х₁ на изображении определяют одну прямую.

Часто приходится решать и более узкую задачу о построении параллельных прямых.

Задача 9. Построить изображение параллельных прямых. Задача решается на основе анализа, проведен­ного в задаче 8. Несколько различных решений данной задачи представлено на чертеже 27.

Чертеж 27.

Полезно, если для каждого способа обозначения па­раллельных прямых на проекционном чертеже, учащиеся смогут отыскать соответствующие образы параллельных прямых в оригинале.

Примерами обозначения параллельных прямых в про­странстве могут служить параллельные брусья в различ­ных положениях, эстакадная железнодорожная линия на участке спуска или подъема, параллельно идущие те­лефонные линии, верхние и нижние перекладины забора.

Задача 10. Построить изображение пересекающихся прямых.

На чертеже 28 приведено два решения этой задачи.

Примерами обозначения такого расположения пря­мых в оригинале могут служить отводы от электриче­ской линии.

Чертеж 28.

Задача 11. Построить изображение скрещивающихся прямых.

На чертеже 29 представлены различные случаи изобра­жения скрещивающихся прямых.

Первый слева чертеж представляет наиболее произ­вольное расположение прямых в оригинале. Образом такого расположения скрещивающихся прямых могут служить низковольтная в(в₁) и высоковольтная а(а₁) линии электрической сети с тропинками под ними.

Чертеж 29.

На среднем чертеже изображен случай, когда скре­щивающиеся прямые лежат в параллельных проектиру­ющих плоскостях внутреннего проектирования. Образом такого расположения скрещивающихся прямых может служит любое из непараллельных расположений опор­ных жердей гимнастических брусьев.

На крайнем справа чертеже скрещивающиеся пря­мые оригинала оказались в параллельных проектирую­щих плоскостях внешнего проектирования.

Таким образом, при изображении скрещивающихся прямых может оказаться, что либо собственно прямые, либо их проекции на основную плоскость изобразятся параллельными прямыми.

5. Задачи на пересечение прямых и плоскостей.

Задача 12. Дано изображение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ (чертеж 30). Построить точку, в которой пересекается прямая A₁M (М - середина ребра СC₁) с плоскостью ABCD.

Решение. Искомая точка О лежит на прямой, по которой пересекаются плоскость AВCD и плоскость, которой принадлежит прямая. A₁M. Таких плоскостей бесконечное множество. Однако мы из них выберем такую, прямую пересечения которой с плоскостью АВС легко построить. Так как ребра AA₁ и СС₁ параллельны, то они лежат в одной плоскости, которая пересекается с плоскостью АВС по прямой АС. Искомая точка О лежит на прямых АС и А₁М, расположенных в плоскости АА₁С₁. Поэтому, построив прямые АС и А₁М, найдем искомую точку О.

Чертеж 30.

Задача 13. Дано изображение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ (чертеж 31). Построить точку О пересечения прямой А₁М (М - произвольная точка ребра С₁С) с диагональной плоскостью DBВ₁D₁ куба.

Чертеж 31

Решение .Искомая точка принадлежит одновременно плоскостям DBВ₁D₁ И АА₁С₁С (так как этой плоскости принадлежит прямая А₁М). Следовательно, точка О принадлежит прямой, по которой пересекаются плоскости DBВ₁ и АА₁С₁. Пересечение этой прямой с прямой А1М является искомой точкой О.

Построение. Строим диагонали граней куба АС, А₁С₁ , В₁С₁, BD. Получаем точки К и Р. Прямая КР - это прямая, по которой пересекаются плоскости АСС₁ и D₁B₁B. Строим отрезки РК и A₁M. Получаем в их пересечении искомую точку О.

Чертеж 32. Чертеж 33.

Задача 14. Дано изображение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ (чертеж 32). Построить прямую, по которой пересекаются плоскости АDD₁ и ВСМ (М - произвольная точка граниА₁D₁C₁B₁)

Решение. Так как AD ЕС, то искомая прямая также параллельна AD и ЕС. Кроме того, прямая ЕС параллельна плоскости А₁D₁C₁. Поэтому прямая, по которой пересекаются плоскости МBС и А₁D₁C₁, также параллельна BС, а следовательно, и AD. И, наконец, прямые пересечения плоскостей МBС с плоскостями A₁B₁B и DD₁C параллельны между собой.

На основании изложенного выполняем следующее построение: в плоскости A₁D₁C₁ через точку М проводим отрезок ЕН B₁C₁ ВС. Получаем точки

Р = ВЕ x AA₁ и К = DD₁ x HC. Прямая РК - искомая.

Задача 15. Дано изображение пирамиды SABCDE (чертеж 33).

Построить прямую пересечения плоскостей SAB и SCD.

Решение. Искомая прямая проходит через две общие точки плоскостей SAB и SCD. Одной такой точкой является вершина

пирамиды S. Другой - точка пересечения М прямых АВ и CD (обе они лежат в одной плоскости - в плоскости основания пирамиды), так как CD и АВ принадлежат соответственно плоскостям SCD и SAB. Строим точку М пересечения продолжений ребер АВ и CD. Строим искомую прямую SM.

Задача 16. Дано изображение четырехугольной призмы AВCDA₁B₁C₁D₁ и отрезка РК, лежащего в плоскости грани ВСC₁B₁. Построить точки пересечения прямой РК с плоскостями ABCD и ADD₁A₁ (чертеж 34).

Чертеж 34

Решение. Прямая РК лежит в плоскости ВСC₁, которая пересекается плоскостью АВС по прямой ВС, поэтому точка Х пересечения прямой РК с плоскостью АВС лежит на продолжении ребра ВС. Точка Y пересечения прямой РК с плоскостью ADD₁ лежит на прямой пересечения плоскостей ВСС₁ и ADD₁. Строим точки Е = В₁C₁ x A₁D₁ и F = ВС x AD. Получаем прямую ЕF, по которой пересекаются плоскости В₁C₁C и A₁D₁D.

Y= РК x ЕF.

Задача 17. Дано изображение наклонной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ (чертеж 35) и точки М, К, Р, F, Е, Н - по одной на каждой грани:

M Є пл. АВС , К Є пл. АВB₁, Р Є пл.A₁B₁C₁,

F Є пл. CDD₁ , Е Є пл.BCC₁ , Н Є пл. ADD₁ .

Построить линию пересечения плоскостей МКЕ и РEН.

Решение. Эта задача может быть решена различными

путями. Приводим один из наиболее простых.

Строим две треугольные призмы:

а) PTLP₁T₁L₁ - боковые ребра ее параллельны боковым ребрам

данной призмы и проходят через точки Р, Н, F; плоскости оснований ее совпадают с плоскостями данной призмы;

б) MSRM₁S₁R₁ - боковые ребра ее параллельны боковым ребрам данной призмы и проходят через точки М, К и Е. Плоскости оснований ее совпадают с плоскостями данной призмы.

Чертеж 35.

После этого строятся прямые, по которым данные в условии задачи плоскости пересекаются с основаниями данной призмы.

1) Х.= РН x P₁T₁ , Y = PF x P₁L₁ ; ХY -прямая пересечения

плоскости НFР с плоскостью АВС.

2) Проводим в плоскости А₁B₁C₁ через точку Р прямую а параллельную ХY. По прямой а плоскость HFP пересекается с плоскостью A₁B₁C₁

3) Z = МЕ x M₁R₁ , G = МК x M₁S₁ , ZG - прямая пересечения плоскости МКЕ с плоскость. А₁B₁C_1.

4) Проводим в плоскости АВС через точку М прямую b, параллельную прямой ZG. По прямой b плоскость МКЕ пересекается с плоскостью АВС.

5) Q - точка пересечения прямых ХY и b.

6) N - точка пересечения прямых GZ и а.

7) Прямая QN - искомая. .

Таким образом, для рассмотренного здесь решения характерны следующие этапы: а) построение прямых, по которым пересекается данная плоскость с параллельными плоскостями (основаниями призмы); б) непосредственное построение прямой пересечения данных плоскостей.

Задача 18. Дано изображение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ (чертеж 36). Построить сечение куба плоскостью, проходящей через диагональ DB₁ и параллельной прямой D₁C

Чертеж 36.

Решение. Искомое сечение будет параллельным прямой D₁C , если в нем будет лежать прямая, параллельная прямой D₁С. Такой будет прямая МК. проходящая через середины М и К ребер A₁D₁ и ВС. Отрезок МК пересекает диагональ DB₁ куба в точке О - ее середине. Таким образом, искомое сечение проходит через точки D, B₁,. К, М. В сечении получим ромб KB₁MD

Задача 19. Дано изображение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ (чертеж 37 ). Построить сечение куба плоскостью, проходящей через произвольную точку М диагонали B₁D и перпендикулярной этой диагонали.

Решение. Диагональ DB₁ образует одинаковые углы с ребрами A₁B₁ , B₁C₁ , B₁B. Поэтому плоскость A₁C₁B перпендикулярна диагонали DB₁. Основание перпендикуляра B₁O к плоскости A₁C₁B совпадает с центром тяжести треугольника A₁C₁B.

Проводим через данную точку М прямые, параллельные A₁O,OC₁,OB. Полученные точки К, F и Е определяют положение искомой плоскости. Пересечение прямых КF, FЕ и ЕК с ребрами куба определяет шестиугольник QGHFLS, проходящий через данную точку М, и перпендикулярный диагонали DB₁ куба.

Чертеж37

6. Задачи на построение сечений.

Обучение решению задач на построение сечений можно проводить в следующем плане.

Во-первых, первоначальное ознакомление учащихся с методами ,построения сечений следует проводить на метрически определенных изображениях. Удобно, на­пример, это проделать на изображении куба и правильного тетраэдра, сопровождая построения на изображе­нии демонстрацией соответствующих отношений на мо­дели. Все это будет способствовать укреплению связи изображения и оригинала.

Во-вторых, точки, определяющие секущую плоскость, следует задавать по возможности при разнообразном взаимном расположении этих точек и многогранника, сечение которого строится.

а) б)

)

г)

в)

чертеж 38б

д)

Чертеж 28г

Чертеж 38

На чертеже38 приведена последовательность первых таких задач. Секущая плоскость на этих чертежах задается точками K(K₁) , M(M₁) , P(P₁).

При обучении решению как этих задач , так и любой из последующих учащимся следует выделять отдельные этапы решения, представляющие собой известные уже учащимся задачи на проекционном чертеже.

Чертеж 39 а

Для построения сечения куба, представленного на чертеже 39а, достаточно, например, найти точку пересечения ребра СС с плоскостью КМР (К₁M₁P₁). Метод построения этой точки удобно раскрыть учащимся на примере решения задачи: на проекционном чертеже (чертеж 39б) построить точку пересечения плоскости (₁) и проектирующей прямой CC₁. На вспомогательном чертеже следует лишь по возможности точно воспроизвести взаимное расположение точек K(K₁), M(M₁), P(P₁) и прямой CC₁.

Чертеж 39б.

В порядке обеспечения преемственности в решении задач на проекционном чертеже важно подчеркнуть мысль, что в качестве вспомогательной плоскости СС₁КК₁ могла бы быть принята произвольная плоскость, проведенная через ребро CC₁. Вместе с тем учащихся сразу следует приучать к рациональному выбору вспомогательных плоскостей.

Чертеж40а

При построении сечения куба (чертеж40а) плоскостью КМР (К₁М₁Р₁) не следует препятствовать применению общего метода (чертеж40б). Однако решение этой задачи следует вести до тех пор, пока учащиеся не догадаются, что наиболее подходящей вспомогательной плоскостью будет плоскость грани BB₁СС₁ (чертеж 40в) , а не плоскости BB₁ЕЕ₁.

Чертеж 40б

В то же время для построения сечения правильной шестиугольной призмы, высота которой равна стороне основания, плоскостью КМР (К₁М₁Р₁) удобнее принять в качестве вспомогательной плоскость ВВ₁ЕЕ₁(чертеж 41). В этом случае с помощью одной вспомогательной плоскости одновременно строятся точки пересечения секущей плоскости с двумя ребрами призмы.

Чертеж 40в

Такай подход к решению задач на построение сечений дает надежное общее средство решения этих задач и позволяет развивать изобретательность учащихся при отыскании частных приемов.

При построении сечения правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через сторону верхнего основания и образующей с основанием данный двугранный угол, прежде всего определяется пара пересекающихся прямых, задающих эту плоскость.

Секущая плоскость определяется парой пересекающихся прямых АВ и ММ₁

(чертеж 42) и при построении сечения правильной шестиугольной пирамиды

Чертеж 41

плоскостью, проходящей через данную точку М₁ основания пирамиды, параллельно одной из больших диагоналей основания и параллельно высоте пирамиды.

Выделение секущей плоскости - один из важных этапов решения задач на построение сечений.

При решении задач на построение сечений в доходчивой форме удается познакомить учащихся с понятиями полного и метрически определенного изображений, с решением позиционных и метрических задач.

Чертеж 42.

Изображение многогранников вводится как метрически определенное в соответствии с вышеизложенной методикой обучения построению изображений. К понятию полного изображения можно подвести учащихся, если добиться от них понимания, что изображение, построенное по наперед заданному оригиналу, есть в то же время изображение более широкого класса фигур. Учащиеся должны понимать, что изображение, например, правильного тетраэдра является вместе с тем и изображением всех треугольных пирамид. Изображение правильной четырехугольной призмы, высота которой в два раза больше стороны основания, является в то же время и изображением четырехугольных призм, в основании которых лежит не только квадрат и высота которых не только в два раза больше стороны основания, изображением не только прямых призм, но и наклонных.

Навык в построении сечений целесообразнее вырабатывать на полных изображениях, не связывая себя без необходимости с оригиналами наперед заданной формы. Это тем более полезно, что на полных изображениях раскрываются и некоторые общие свойства многогранников.

Широкие возможности для проведения такой работы представляет построение изображений к задачам с буквенными данными.

7.Метод следов.

Способ следов состоит в следующем.Вначале строят на основной плоскости след секущей плоскости (причем за основную плоскость принимают боль­шей частью плоскость основания геометрического тела). За­тем, используя след секущей плоскости, находят точки встре­чи ребер многогранника с секущей плоскостью. Используя полученные (и данные) точки, получают следы секущей плоскости на гранях многогран­ника.

Рассмотрим решение задачи на построение сечения приз­мы плоскостью, используя ее след.

Задача 20. Построить сечение четырехугольной призмы пло­скостью, заданной тремя точками Р, К и М на ее боковых ребрах (чертеж 43).

Чертеж 43.

Анализ. Если соединим точку Р с К и точку К с М, то по­лучим линии пересечения граней АDD^/А^/ и DCC^/D^/ с секущей плоскостью. Для построения сечения достаточно найти ли­нию пересечения секущей плоскости с гранью АВВ'А' или с гранью ВСС'В' (или точку встречи ребра ВВ' с секущей плоскостью). Будем искать прямую пересечения секущей пло­скости с гранью ВСС'В'. Точка М принадлежит этой прямой. Если бы мы сумели найти еще одну точку, принадлежащую этой прямой, то построили бы эту прямую. Отрезки РК и КМ, принадлежащие плоскости сечения, говорят о том, что иско­мая линия пройдет наклонно к основной плоскости и, следо­вательно, пересечет ее. Нельзя ли найти точку их встречи? Такие задачи решали. Точку встречи прямой с основной плоскостью находили как общую точку прямой и ее проекции на основную плоскость. Если принять направление внутреннего проектирования параллельно боковым ребрам призмы, то прямую В^/С^/ можно рассматривать как проекцию искомой прямой на основной плоскости. Тогда точка встречи х искомой прямой с основной плоскостью будет располагаться на прямой В^/С^/. Но прямая В^/С^/ принадлежит основной плоско­сти, а искомая прямая — секущей плоскости, следовательно, точка х будет общей для секущей и основной плоскости, т. е. будет принадлежать линии их пересечения. Если построим линию пересечения, то найдем и точку х. Линию пересечения (след секущей плоскости) отыщем, используя прямые РК и КМ, принадлежащие секущей плоскости, и их проекции А^/D^/ и D^/C^/ на основной плоскости.

Построение. Находим точки Е и F— следы прямых PК и КМ на основной плоскости. Строим след плоскости ЕF. Про­должаем В^/С^/ до пересечения со следом плоскости. Получаем точку х пересечения искомой прямой с основной плоскостью. Проводим прямую хМ. МТ — линия пересечения грани ВСС'В' с секущей плоскостью.

Доказательство. Необходимо доказать, что точка Т при­надлежит секущей плоскости Q.

EF Є Q — по построению. Следовательно, и х Є Q.

M Є Q и x Є Q_{1 ,}T Є xM→T Є Q.

Исследование. Так как точки Р, К и М не лежат на одной прямой и, следовательно, определяют единственную плос­кость, то существует единственное решение.

Задача 21. Дано изображение призмы АВСDА₁В₁С₁D₁. На ее ребрах АD, DС и В₁С₁ даны соответственно точки К, Р и Н. (чертеж 44). Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точки К, Р и Н.

Чертеж 44.

Решение. В плоскости АВС продолжаем отрезок К.Р до встречи в точках Е и Р с прямыми ВС и АВ. Точка Е являет­ся общей точкой плоскостей АВС, ВВ₁С₁ и КРН. Точка F — общая точка плоскостей АВС, АА₁В₁ и КРН. В плоскости ВВ₁С₁ строим прямую ЕН, которая пересекает ребро С₁С в точке М, а продолжение B₁B— в точке Y, которая является общей точкой плоскостей АА₁В₁, ВВ₁С₁ и КРН. После этого в плоскости АА₁В₁ строим прямую YF, которая пересекает ребро А₁В₁ в точке X, а ребро АА₁ — в точке Т. Соединяем отрезками точки К, Р, М, Н, X, Т. Получаем искомое сечение КРМНХТ.

Задача 22. Дано изображение пятиугольной призмы АВСDEА₁В₁С₁D₁E₁.На ее гранях ABCDE, ABB₁A₁ и CDD₁C₁ даны соответственно точки К,Х.М.(чертеж45)

Построить сече­ние призмы плоскостью КХМ.

Чертеж 45

Решение. Строим изображение треугольной призмы KPFK₁P₁F₁, плоскости оснований которой совпадают с плоскостями основании данной призмы, а боковые ребра проходят через данные точки К, М, X и параллельны боковым ребрам данной призмы. В плоскости КМР продолжим отрезок КМ до встречи в точке G с прямой K₁F₁ Точка G является общей точкой плоскостей P₁KF_1, K₁F₁F, ХКМ. В плоскости КРК₁ продолжим отрезок КХ до встречи в точке Q с прямой Р₁К₁- Точка Q— общая для плос­костей КРК_1, Р₁К₁F₁, ХКМ. Секущая плоскость КХМ пересе­кается с плоскостью верхнего основания данной призмы по прямой QG, а с плоскостью нижнего основания — по прямой YТ, парал­лельной QG и проходящей через точку К. Построив прямые QG и YТ, получаем точки S, R, Т, Y пересечения искомой плоскости с ребрами данной призмы. Точки S и X определяют [отрезок НS — сечение искомой плоскостью грани АВВ₁А₁.

Искомое сечение — многоугольник YHSRТ (точка М необхо­димо лежит на отрезке RТ и является поэтому контрольной в выполненном построении).

Задача 23. Дано изображение шестиугольной пирамиды SABCDEF. На ее ребрах SA, SB, SC отмечены соответственно точки К, L , N. Построить точку О пересечения плоскости КLN с ребром SE (или его продолжением) (чертеж 46).

Чертеж 46.

Решение. Продолжаем отрезок КL до пересечения с про­должением отрезка АВ в точке Р. Строим точку М = ВС X LN. Проводим прямую РМ, по которой плоскость К,LМ пересекается с плоскостью основания пирамиды.

Точка Н = РМ X СЕ принадлежит трем плоскостям: SЕС, АВС и KLN. Точка N принадлежит плоскостям КLN и SЕС. Поэтому плоскость КLN пересекается с плоскостью SЕС по прямой НN. Следовательно, плоскость КLN пересекается с SE в той же точке О, что и прямая НN с ребром ES: О = SЕ X НМ.

Заметим, что всякая задача на построение сечения поверхности многогранника плоскостью сводится к построению точек встречи этой плоскости с ребрами многогранника. Поэтому последняя задача является, по существу, частью всякой задачи на построение сечения многогранника плоскостью.

Задача 24. Дано изображение четырехугольной пирамиды ABCDA₁B₁C₁D₁. Построить сечение этой усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через точки B и D и параллельной прямой D₁C(чертеж 47.)

Чертеж 47

Решение. Так как прямые ВD и D₁C — скрещивающиеся, то задача имеет единственное решение. Искомое сечение будет параллельным прямой D₁C₁, если оно проходит через прямую, параллельную прямой D₁C₁. Такой может быть прямая, проходя­щая через точку О в плоскостиDCC₁ .

Строим KD II D₁C. Точка К = D₁С₁ X КD вместе с точками D и В определяет положение секущей плоскости. А так как К лежит в плоскости верхнего основания усеченной пирамиды, то строим КМ || DВ (параллельные основания пересекаются секущей плоскостью по параллельным прямым). Точка М лежит в плос­кости АВВ₁. Строим отрезок МВ и получаем точку Р, в которой искомая плоскость пересекается с ребром АА₁.

Треугольник РDВ — искомое сечение.

8. Метод внутреннего проектирования.

Сущность этого способа заключается в следующем. Имея три точки, определяющие плоскость сечения, находят их проекции на

основную плоскость, а также проекцию еще не построенной точки. По трем данным точкам и четырем проекциям отыскивают четвертую точку, принадлежащую плоскости сечения. Таким же образом, если это необходимо,

получают пятую, шестую и т. д. точки, принадлежащие поверхности геометрического тела и плоскости сечения, т. е. |сечению.

Рассмотрим решение этой задачи, используя способ внут­реннего проектирования (чертеж 48).

Анализ. Выберем направление внутреннего проектирова­ния параллельно боковым ребрам призмы. За основную плоскость примем плоскость основания А^/B^/C^/D^/. Тогда проек­циями точек Р, К и М на основную плоскость будут точки А^/,D^/ и С^/. Три точки Р, К и М не лежат на одной прямой и поэтому определяют единственную плоскость. Чтобы постро­ить сечение, достаточно определить точку встречи этой пло­скости с четвертым ребром. Эту точку можно указать, если построить прямую, принадлежащую секущей плоскости и пе­ресекающую ребро DD^/. Очевидно, эта прямая должна при­надлежать какой-то плоскости, в которой расположена пря­мая DD^/. Две таких плоскости уже есть — АDD'А' и DCD^/C^/. В каждой из них имеется по одной точке, принадлежащей се­кущей плоскости. Но для проведения прямой нужны две точ­ки. Построим диагональные плоскости. Получим линию пере­сечения OO'. Прямая РМ пересечет OO' в точке Е. Точки К и Е принадлежат плоскости сечения и плоскости ВDD'В'. Эти две точки определяют прямую, которая, пересекаясь с DD', даст искомую точку.

Чертеж 48.

Построение. Строим РМ и ее проекцию А^/С^/. Строим пло­скость ВDD'В'. ВD' — проекция искомой прямой. Точка О'— проекция точки пересечения РМ с искомой прямой. Проводим прямую через О', параллельно ВВ'. Получаем точку Е. Стро­им прямую КЕ. Точка Т — искомая.

Доказательство. Нужно доказать, что точка Е принадле­жит плоскости Q заданной точками Р, К и М.

1) Р Є Q; М Є Q; РМ Є Q. Следовательно, и Е Є Q.

2) К Є Q; Е Є Q. Поэтому всякая точка прямой КЕ, в том числе и точка Т, принадлежат Q.

Исследование. Решение всегда возможно и единственно. Поскольку Р, К и М не лежат на одной прямой, они опреде­ляют единственную плоскость.

Задача 25.Дано изображение четырехугольной призмы. Построить ее сечение плоскостью, проходящей через точки А, В, С, лежащие на ребрах призмы (чертеж 49).

Рис.

Чертеж 49.

Решение. Выбираем боковые ребра призмы в качестве проекти­рующих, а плоскость ее основания — в качестве основной плос­кости. Тогда точки А_1,В_1,С₁ будут соответственно параллель­ными проекциями точек А, В, С.

Строим диагонали основания призмы. М₁ — точка их пересе­чения. Через М₁ проводим прямую, параллельную боковым ребрам призмы. Эта прямая пересекает прямую АС в точке М. Точку М₁ рассматриваем как проекцию точки М. Точки М, В, В₁, М₁, D₁ лежат в одной плоскости, которая пересекается с плоскостью АВС по прямой ВМ. Строим прямую ВМ. В пересечении ее с четвертым боковым ребром призмы получаем точку D, лежащую в плоскости АВС. Поэтому четырехугольник АВCD — искомое сечение.

Задача 26. Дано изображение треугольной призмы АВСА₁В₁С₁(чертеж 50). На боковых гранях АВВ₁А₁, ВСС₁В₁, САА₁С₁ даны соответственно точки М₁,К₁,Р₁. Построить сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки М₁,К₁,Р₁.

Чертеж 50.

Решение. Принимаем за направление параллельной проекции боковые ребра данной призмы. Строим точки К, Р и М — параллельные проекции точек М₁,К₁,Р₁ на плоскость АВС.

Строим точку О = РК X МС. Проводим отрезок Р₁К₁. Через точку О прово­дим прямую ОО₁, параллель­ную боковым ребрам призмы. О₁ — точка пересечения этой прямой с отрезком Р₁К₁. Точку О рассматриваем как параллельную проекцию точ­ки О₁ на плоскость ABC. По­этому прямую МС можно рассматривать как параллельную проекцию прямой М₁О₁ на плоскость ABC. Точка D₁ = М₁О₁ Х СС₁ принадлежит секущей плоскости, так как D₁ лежит на прямой М₁0₁, ко­торая лежит в плоскости М₁К₁Р_1.

Строим прямую P₁D₁, ко­торая с прямыми А₁С₁ и АА₁ пересекается соответственно в точках Q и R₁. Строим прямые R₁M₁ и D₁K₁.

Получаем пятиугольник QD₁HFS — искомое сечение плос­костью М₁К₁Р_1.данной призмы.

Задача 27.Дано изображение пятиугольной пирамиды SA₁B₁C₁D₁E_1.На ее боковых ребрах A₁S, B₁S, C₁S даны точки А, В, С. Построить сечение пирамиды плоскостью ABC (чертеж 51).

Чертеж 51.

Решение. Строим диагонали А₁С₁ и B₁D₁ основания пира­миды. Получаем точку О₁ их пересечения. Строим прямую SO₁. Она пересекает отрезок АС (в точке О), так как АС и SO₁ лежат в одной плоскости SA₁C₁. Кроме того, точка О принадлежит плоскостям ABC и SB₁D₁. Поэтому прямая ВО, принадлежащая тем же плоскостям, пересекает ребро SD₁ в точке D, лежащей в плоскости ABC. Аналогично строим точку Е пересечения плос­кости ABC о. ребром E₁S. Пятиугольник ABCDE — искомое се­чение.

9.Метод параллельных прямых.

Следующие два метода в школьной практике не используются, поэтому их можно рассмотреть на факультативах или в классах с углубленным изучением математики.

Сущность этого метода заключается в том, что вместо отыска­ния следов данной плоскости на гранях данного многогранника строятся прямые пересечения ее с поверхностью некоторого парал­лелепипеда. В основу этого метода положено то свойство параллелепипеда, что всякая плоскость в пересечении с его боковой поверхностью образует параллелограмм.

Задача 28. Дано изображе­ние призмы АВСDA₁B₁C₁D₁. На ее боковых ребрах АА₁, ВВ₁, СС₁ даны точки К, Р, М. По­строить сечение призмы плоско­стью КРМ.

Чертеж 52

Решение. В плоскости ABC через точку D проводим прямую, параллельную ВА, до встречи с прямой ВС в точке Е (чертеж 52).

Через точку Е в плоскости ВСС₁ проводим прямую, парал­лельную ВВ₁ до встречи с пря­мой РМ в точке F.

Точки F, Е и D определяют плоскость, параллельную плос­кости ВАА₁. Поэтому секущая плоскость КРМ пересечет плос­кость FED по прямой FH, парал­лельной РК. Точка Н лежит на ребре DD₁, и получается после

построения прямой, параллельной РК и проходящей через точку F. Четырехугольник РКНМ — искомое сечение.

Задача 29. Дано изображение пятиугольной пирамиды SABCDE. На ее боковых ребрах SA, SB, SC отмечены соответственно точки Р, К и М. Построить сечение данной пирамиды плоскостью РК.М (чертеж 53).

Чертеж53.

Решение. В плоскости ABC строим EF || АВ и DH || АВ (точки F и Н лежат на прямой ВС). Через точки F и Н прово­дим прямые, параллельные ВS. В пересечении с прямой КМ получаем соответственно точки Т и О. Строим параллелограммы RTFE (по вершинам Т, F и Е) и OHDL (по вершинам О, Н, D). Прямые SB , SE и ER лежат в плоскости, которая пересекается с плос­костью КРМ по прямой KR. Построив прямую KR, получим точку X, в которой секущая плоскость пересекается с ребром SE.

Аналогично находим точку Y на ребре SD.

Пятиугольник KPXYM — искомое сечение.

10. Метод параллельного переноса секущей плоскости.

Задача 30. Дано изображение пятиугольной пирамиды SABCDE (чертеж 54). На ее боковых ребрах SA, SB, SE отмечены соот­ветственно точки К, М, Р. Построить сечение этой пирамиды плоскостью КМР.

Чертеж 54.

Решение. Проводим ВТ || КМ и TR || КР. Получим треу­гольник TRB, плоскость которого параллельна плоскости КМР. Строим диагонали AD и АС основания пирамиды. Получаем точки H = BR X AD и X = BR X АС. Строим отрезки ТН и ТХ. Через точку К проводим прямые, параллельные соответственно прямым ТН и ТХ. В пересечении с ребрами SD и SC получаем точки F и Y, принадлежащие секущей плоскости РМК . Пятиугольник KPFYM— искомое сечение.

Примечание. При построении сечения методом параллель­ного переноса секущей плоскости фактически нет необходимости в построении ряда прямых. Так, например, достаточно отметить только точки Т, R, Н, X, Y и F на соответствующих прямых, а проводить прямые ТВ, RT, AD, АС, ТН, НХ, KY, KF нет никакой практической необходимости.

Задача 31. Дано изображение призмы ABCDEA₁B₁C₁D₁E₁ (чертеж 55). На ее гранях АВВ₁А₁, ВСС₁В₁, DEE₁D₁ даны точки К, Р, М. Построить сечение призмы плоскостью К.РМ.

Чертеж 55.

Решение. Строим параллельные проекции К₀, Р₀, M₀ данных точек К, Р, М, на плоскость ABC. Через точку Р₀ проводим пря­мую, параллельную РМ. Через полученную точку М₁ (на прямой ММ₀) проводим прямую, параллельную МК. Она пересекает плос­кость ABC в точке G, лежащей на прямой К₀М₀ (в качестве точки Р₀ можно было взять любую из точек К₀, Р₀, М₀). Строим прямую GP_0.

Для построения сечения нам необходимо получить, кроме данных точек К, Р, М, еще две точки, например, на ребрах ЕЕ₁ и АА₁. Для этого строим точки

О = ЕМ₀ X GPо и Т = M₀A X GP₀.

Через точку М проводим прямые, параллельные 0М₁ и ТМ₁,, которые в пересечении соответственно с ребрами ЕЕ₁ и АА₁ дают точки X и L, принадлежащие секущей плоскости РКМ. В резуль­тате получаем пятиугольник LYSRX — искомое сечение.

Выбор метода для наиболее простого решения задачи на по­строение сечений зависит от свойств данного многогранника и положения точек, определяющих секущую плоскость. Однако при всем многообразии указанных условий несомненно следующее:

1. Метод параллельных прямых предпочтительнее других при построении сечений призматических поверхностей.

2. При построении сечений пирамид удобнее всего применять метод внутреннего проектирования и метод параллельного пере­носа секущей плоскости.

3. Сочетание всех рассмотренных методов при построении сече­ний для многогранников сложных конфигураций дает не только простое решение, но и ценно с педагогической точки зрения, так как дает возможность показать учащимся, как комплексно приме­нять знания по стереометрии к решению сложных конструктивных задач.

11. Анализ учебников

В учебно-методический комплект (УМК), необхо­димый для обучения геометрии обычно включены:

— учебник как ведущий элемент УМК;

— дидактические материалы (задачники, рабо­чие тетради, карточки и т.п.);

— книгу для учителя.

Этот обязательный набор должен быть дополнен вспомогательной литературой (исто­рия геометрии , организация работы школьных кружков, олимпиад, игр-конкурсов, научно-популяр­ные книги), публикациями в периодической печати («Математика в школе», газета «Математика» — при­ложение к газете «Первое сентября»), материалами по использованию компьютера в обучении. Остано­вимся более подробно на проблеме учебника геометрии.

Существует развернутая теория учебника. Она так же мало помогает написать хороший учебник, как литературоведческая теория романа — интересный роман. Поэтому, не вдаваясь в теорию, отметим че­тыре основных позиции, по которым можно анализи­ровать учебник по математике.

1. Система введения математических понятий и их развитие.

2. Мотивация появления нового материала.

3. Логическое построение, наличие рассуждений и доказательств.

4. Система учебных заданий.

К этому можно добавить другие параметры учеб­ника, которые хотя и не являются ведущими, однако могут оказать влияние на выбор учителя: язык учеб­ника и его оформление, наличие вспомогательного материала (справочник, таблицы, указатели, ответы и т. п.), сохранение преемственности с предыдущим этапом обучения.

1. Введение новых понятий и их развитие

Формирование важнейших геометрических поня­тий, являясь одной из основных задач математиче­ского образования, представляет собой центральное направление любого математического учебника. Учеб­ники различаются по тому, как, на какой основе вво­дятся новые понятия, как происходит их развитие, насколько раскрываются их объем и глубина, как используются изучаемые понятия при решении за­дач, какие предлагаются интерпретации понятий.

Общематематические понятия, такие как число, вектор, фигура, не могут быть определены, введены один раз и навсегда. Овладе­ние такого рода понятиями происходит в течение всего периода обучения и, как правило, не закан­чивается в школе. Скажем, никакое определение вектора не сможет представить весь объем этого понятия, и ученику предстоит всю школьную (а для многих из них и последующую) жизнь обогащать его. Часто используемые формулировки не являются определениями в точном смысле этого слова. Поэтому не надо преувеличивать их роль и тем более стремиться задавать вопросы типа «Что такое вектор?». Если учеб­ник содержит ответы на такого рода вопросы в виде кратких определений, то это делается для того, что­бы акцентировать внимание на некоторых основ­ных свойствах понятий.

Еще великий математик и педагог А.Н. Колмого­ров призывал не насмехаться над неуклюжими по­пытками учеников, когда они в ответ на вопрос

«Что такое...» начинали говорить «А это вот когда...». Гра­мотное описание

понятия по типу «А это вот когда...» фактически близко его заданию с помощью свойств и, в конце концов, к аксиоматическому способу. По­этому богатое описание примеров, ситуаций, когда фактически работает то или иное общее понятие, мо­жет быть ценной характеристикой учебника. Крат­кие же определения общих понятий в учебнике долж­ны быть, прежде всего, непротиворечивыми, не пре­пятствовать дальнейшему возможному развитию и применению понятия.

Вслед за общими геометрическими понятиями (многие из которых близки к первичным понятиям) идут новые конструируемые понятия, которые тоже могут быть довольно общими. К их числу можно от­нести такие понятия, как угол, многоугольник, окружность и т.п. Формирование такого рода понятий в учебнике может происходить по-разному. Учебник должен содержать опреде­ление, но вполне допустимо использование того или иного термина «до его точного определения». Слова «угол», «чертеж» появляются гораздо раньше того момента, когда возникает потребность более или менее точно очертить их смысл и способ употребления. При этом надо иметь в виду, что кни­га (учебник) предполагает линейное, постраничное расположение материала, а овладение понятием никогда не происходит линейно. Современные компью­терные технологии (начиная с гипертекста) хорошо учитывают эту особенность познания. Поэтому не сто­ит упрекать учебник в том, что какое-то слово появ­ляется (в некотором понятном смысле) на сотой стра­нице, а соответствующее определение — на двухсо­той. Лучше посоветовать ученику заглянуть вперед (а иногда и в другую книгу).

Проще обстоит дело с частными видами или пред­ставителями общих понятий (такими, как правильный треугольник, выпуклый многоугольник и т.п.). Как правило, та­кие понятия вводятся сравнительно точными опреде­лениями, хотя разные учебники могут давать такие определения по-разному.

Достаточно сложно обстоят дела с описанием (оп­ределением) в учебниках отношений между понятия­ми. Например, как определяется равенство геометрических фигур? Работая с новым для себя учебником, учи­тель должен вникнуть в то, какая система взаимоот­ношений между понятиями в нем принята (если она есть вообще).

Наконец, последнее замечание о понятиях. Мате­матика широко пользуется синонимами. Иногда раз­ные термины используют для различения частных случаев (сегмент, отрезок и т.д.). Здесь учитель должен проявить терпимость и не настаивать на точном ис­пользовании близких по смыслу понятий и их обо­значений. Ученик должен быть готов к тому, что он в разных книгах встретит несколько разное понимание известных ему терминов и обозначений. Важно сле­дить за тем, чтобы ученик, используя тот или иной термин, всегда мог объяснить, какой смысл он в него вкладывает.

2. Мотивация

Мотивационная сторона обучения часто недооце­нивается учителями. Средства мотивации, возбужде­ния познавательного интереса, достаточно широки.

Мы остановимся лишь на роли учебника и его воз­можностях.

Многие учебники, начиная изложение новой темы, сразу «берут быка за рога» — начинают с определе­ний, свойств, доказательств. В этом случае авторы полагают, что необходимое мотивационное введение к теме сделает учитель.

Нам ближе такое построение учебника, в котором мотивационная сторона освеще­на достаточно подробно. Учитель может не распола­гать соответствующей информацией (не знать, забыть, не найти), ученик может пропустить объяснения учи­теля, и в результате обучающий эффект новой темы может заметно снизиться.

Сильным мотивационным средством при введении новых понятий является обращение к истории геометрии. Помимо стандартных сообщений о матема­тиках, их годах жизни и основных заслугах, весьма полезно приводить в учебнике относящиеся к излага­емой теме фрагменты их математической деятельно­сти — решение задачи, характерное название рабо­ты, интересное высказывание или яркий случай из жизни. При этом не надо бояться повторений — мно­гократное обращение к именам Евклида и Архимеда, Аль-Хорезми и Фибоначчи, Ферма и Декарта, Нью­тона и Лейбница сделает их частью духовной жизни ученика.

Другой привлекательной стороной учебника мо­жет быть рассказ о приложениях геометрии. Какие задачи привели к геометрическим открытиям, какие новые средства были при этом созданы, как с их по­мощью удалось продвинуться вперед в науке и тех­нике — все это поможет заинтересовать ученика, рас­ширит его кругозор. Разумеется, учебник не научно-популярная книга, общий стиль учебника диктует стиль рассказа о приложениях, однако не стоит бо­яться включения в учебник геометрии «чужерод­ных вкраплений».

3. Объяснения и доказательства

Большинство людей уверено в том, что теорема и ее доказательство — это главный атрибут геометрии . О роли и месте доказательств в школьном обуче­нии написано очень много. Выделим несколько важ­ных моментов.

Построить в школе достаточно большой курс на твердой основе аксиом, определений, теорем и дока­зательств вряд ли возможно. Единственный пример такого рода — это построение геометрии по Евклиду.

Сущ­ность математического метода, громадное познаватель­ное и воспитательное значение геометрии состоит в том что в школьном учебнике геометрии, все главное должно быть объяснено, обосновано и доказано

Математика начи­нается с вопроса «почему?». Учебник не должен ску­питься на объяснения, откуда берется, чем объясня­ется, почему интересно то или иное явление. Здесь допустимы ассоциации и параллели, сравнения и раз­бор частных случаев. Разумеется, эта сторона учеб­ника смыкается с его мотивационными установками, но направляет мысль ученика на поиск причин, дви­жущих пружин наблюдаемого явления.

Доказательство (в собственном смысле слова) за­висит от того, на что оно опирается, какие факты или положения предполагаются известными. При этом существенную роль играет, насколько явно выделено то, что считается верным (очевидным, само собой ра­зумеющимся или доказанным ранее). На такой осно­ве можно найти в школьном курсе геометрии много таких мест, где можно построить локальный фраг­мент «строгой геометрии ».

Можно отметить еще один важный резерв аргументации — привлечение «посторонних» соображений и интерпретаций. Этот резерв часто используется в новых учеб­никах. Говоря о важной роли доказательств в учеб­нике, нужно обратить внимание на то, что дока­зываемые утверждения должны быть содержательны­ми, действительно требующими доказательств. Не стоит называть

«доказательствами» пустые тавтоло­гические переформулировки. Учебник должен воспи­тать убеждение в том, что теоремы геометрии дей­ствительно открывают что-то новое и полезное. Хоро­шо, если учебник включает в себя примеры, иллюст­рирующие неочевидность и существенность тех или иных утверждений.

Достаточно убедительными могут быть доказатель­ства «на примере», причем, прежде всего, в тех слу­чаях, когда доказательство в общем виде отличается от доказательства «на примере» не по существу, а толь­ко технически, например, когда оно требует слиш­ком сложных обозначений.

Проанализируем как освещена тема «Построение сечений многогранников» в современных учебниках геометрии 10-11 классов на примере учебников Л.С. Атанасяна и И. Ф. Шарыгина.

Проанализируем учебник геометрии Л.С.Атанасяна и другие. Задачи на построение сечений рассматриваются им в первой главе « Параллельность прямых и плоскостей» в параграфе «Тетраэдр и параллелепипед». В начале вводится определение этих многогранников, рассматриваются их свойства. Далее затрагивается вопрос о том, что для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. Л. С. Атанасян не обозначает методы построения сечений, т. е. такие словосочетания как « метод следов», «метод внутреннего проектирования» вообще не озвучены.В учебнике сразу рассматриваются три задачи, которые являются примерами построений сечений.

Задача 32.Точки М, N и Р лежат соответственно на реб­рах АВ, ВD и СD тетраэдра АВСD (чертеж 56,а). Построить се­чение тетраэдра плоскостью МNP.

Решение. Построим сначала прямую, по которой пересе­кается плоскость МNР с плоскостью грани АВС (чертеж56,6). Точка М является общей точкой этих плоскостей. Для по­строения еще одной общей точки продолжим отрезки NР и ВС до их пересечения в точке Е, которая и будет второй общей точкой плоскостей МNР и АВС. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой МЕ. Прямая МЕ пересекает ребро АС в некоторой точке Q . Четырехугольник МNPQ — искомое се­чение.

Если прямые NP и BC параллельны (чертеж 56,в), то прямая NР параллельна грани АВС, поэтому плоскость МNР пересека­ет эту грань по прямой МЕ', параллельной прямой NР. Точка Q, как и в первом случае, есть точка пересечения ребра АС с прямой МЕ'.

Задача 33. Точка М лежит на боковой грани АDВ тетра­эдра ВАВС (чертеж 57,а). Построить сечение тетраэдра плоско­стью, проходящей через точку М параллельно основанию АВС.

Чертеж 56

Решение. Так как секущая плоскость параллельна пло­скости АВС, то она параллельна прямым АВ, ВС и СА. Сле­довательно, секущая плоскость пересекает боковые грани те­траэдра по прямым, параллельным сторонам треугольника АВС . Отсюда вытекает следующий способ построения искомого сечения. Проведем через точку М прямую, параллельную отрезку АВ, и обозначим буквами P и Q точки пересечения этой прямой с боковыми ребрами DА и DВ

Чертеж 57

(чертеж 57,6). Затем через точку Р проведем прямую, парал­лельную отрезку АС. Пусть R — точка пересечения этой пря­мой с ребром DС. Треугольник РQR — искомое сечение.

Задача 34. Точки А, В и С лежат на ребрах параллелепипеда. Построить сечение параллелепипеда плоскостью АВС.

Чертеж 58

Решение. Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки А, В и С. , В случае, изображенном на чертеже 58,а, искомым сечением является треугольник АВС.

На чертеже 58 ,6 для построения точки D через точку С проведена прямая, параллельная отрезку АВ. Пересечение этой прямой с ребром нижнего основания и есть точка D. Аналогич­но построена точка Е.

На чертеже 58, в сначала проведена прямая, по которой плоскость АВС пересекается с плоскостью нижнего основания. Для этого построена точка М этой прямой, а затем через эту точку проведена прямая, параллельная прямой ВС. Эта пря­мая пересекается с ребрами нижнего основания в точках Е и F. Для построения точки В через точку Е проведена прямая, параллельная прямой АВ.

Далее, в заданиях для самостоятельного решения приведен ряд задач на построение сечений на заданных чертежах. В следующих главах учебника уже вопрос о построении сечений многогранников не затрагивается.

Перейдем к анализу учебника геометрии И. Ф. Шаругина.В этой книге уже в первой главе «Прямые и плоскости в пространстве» рассматривается задача на построение сечения куба.

Задача. Построить сечение куба плоскостью, которая проходит через точки К,L,М, расположенные на его ребрах, как показано на чертеже 59, а.

Замечание. Точнее было бы вместо куба говорить о шестиграннике, все грани которого — четырехугольники. Никакие другие свойства куба в процессе решения не потребуются.

Решение. Проведем прямую КL и отметим точки ее пересече­ния с продолжениями соответствующих ребер куба (чертеж 59, б). Получим еще две точки, лежащие в плоскости сечения и на про­должениях ребер куба

Проводя аналогичным образом прямые в плоскостях других граней куба(чертеж 59, в,г), мы построим все сечения.

Чертеж 59.

После введения построения сечений куба методом следов приводятся задачи для самостоятельного решения, причем, по сравнению с учебником Л. С. Атанасяна у И. Ф. Шарыгина их гораздо больше.

Во второй главе « Многогранники» в параграфе «Построения на изображениях» рассматривается задача на построение сечения пирамиды методом следов и вспомогательных плоскостей, т.е. проводится актуализация опорных знаний.

Задача 35 . Постройте сечение пирамиды АВСD плоскостью, прохо­дящей через точки К, L, М(чертеж 60, а; 61, а; 62, а).

Решение. С подобными задачами мы уже встречались. Достаточно просто эта задача решается в случае, изображенном на чертеже 60, а. Проводим в плоскости АВD прямую КL(«след» плоскости сечения). Обозначим через Р точку пересечения КL с ВD (чертеж. 60, б). Затем проводим прямую РМ, получаем точку N и достраиваем сече­ние (чертеж 60, в).

Чертеж60

Чертеж 61

Чертеж62

Несколько труднее случай, изображенный на чертеже 61, а. (Здесь точки К и М лежат в гранях АВD и ВСD, а точка L- на ребре АС.) Сразу построить «след» плоскости сечения в какой-то из граней нельзя. Рассмотрим вспомогательную плоскость ВМК. Строим в этой плоскости прямую КМ («след» сечения). Обозначим через Р точку пересечения прямых КМ и ЕF (чертеж 61, б). Точка Р лежит в плоскости сечения и в плоскости АDС. Но в этой же плоскости лежит и точка L. Проводя прямую LР — «след» сечения в плоскости АDС, получаем точку N(чертеж 61, в) и достраиваем сечение.

Рассмотрим общий случай, когда все три точки, задающие сечение, лежат в плоскостях граней, но не на ребрах пирамиды (чертеж 62, а, б, в). Как и в предыдущем случае, проведем вспомогательную плоскость ОКМ, которая пересекает ребра АВ и ВС в точках Е и F. Построив «след» КМ плоскости сечения на этой вспомогательной плоскости, найдем точку пересечения КМ и ЕF— точку Р. Точка Р, как и L, лежит в плоскости АВС, и можно провести прямую, по которой плоскость се­чения пересекает плоскость АВС («след» сечения в плоскости АВС). Теперь легко построить и все сечение (чертеж 62, б, в). Т

После чего приводится еще один способ решения данной задачи методом внутреннего проектирования. И. Ф. Шарыгин определяет этот метод как разновидность метода следов и вспомогательных плоскостей. После рассмотрения ряда задач на построение сечений многогранников, даются задачи на готовых чертежах для самостоятельного решения, причем количество задач достаточно для усвоения учащимися данной темы.

Нужно заметить, что в учебнике И. Ф. Шарыгина теме «методы построения сечений многогранников» уделено больше внимания, чем в учебнике Л. С. Атанасяна. Шарыгин вводит объяснения построение сечений многогранников и методом следов и методом внутреннего проектирования, причем в его учебнике гораздо больше задач, посвященных именно построениям на готовых чертежах.

Таким образом, видно, что по-прежнему основные цели изучения геометрии — развитие логического мышления, усвоение и применение готовой суммы геометрических знаний. Оба учебника реализуют предметно-центрическую концепцию обучения. Инициатива и самостоятельность школьников проявля­ется прежде всего в решении задач. Вопросы планиметрии и стереометрии излагаются раздельно, в планиметрическом материале пространственные фигуры не рас­сматриваются. Много внимания уделено задачам на вычисление.

ГлаваIII. Использование электронных технологии при решении

задач на построение сечений

Во все времена геометрии отводилась особая роль в воспитании и обучении юного поколения. Именно геометрия всегда была неотъемлемой и существеннейшей составной частью человеческой культуры, являясь ключом к образованию системы мышления, способной адекватно и гармонично воспринимать и познавать окружающий мир. Поэтому поиску новых эффективных методик преподавания геометрии уделяется большое внимание.

Одной из таких методик можно считать методику преподавания геометрии с использованием новых информационных компьютерных технологий, которая позволяет видоизменять весь процесс преподавания, реализовывать модель личностно-ориентированного обучения, интенсифицировать занятия, а главное – совершенствовать самоподготовку обучающихся.

Компьютерные технологии обучения – это совокупность методов, приемов, способов, средств создания педагогических условий на основе компьютерной техники, средств телекоммуникационной связи и интерактивного программного продукта, моделирующих часть функций педагога по представлению, передаче и сбору информации, организации контроля и управления познавательной деятельностью.

Основные функции компьютерных технологий в учебном процессе заключаются в том, что компьютер может выступать как объект изучения и как средство обучения. Первая из них предполагает усвоение знаний, умений и навыков, которые позволяют успешно использовать компьютер при решении разнообразных задач, или, другими словами, овладение компьютерной грамотностью. Второе направление видит в компьютере мощное средство обучения, которое способно значительно повысить его эффективность.

Любая педагогическая технология - это информационная технология, так как основу процесса обучения составляет информация и ее передача.

Компьютерная технология - это процесс подготовки и передачи информации ученику. Она использует в качестве средства обучения компьютер. Возможность представления информации на компьютере позволяют изменять и обогащать содержание образования, включая в него интегрированные курсы. Компьютерные технологии помогают улучшить преподавание традиционных, хорошо обеспеченных методически школьных предметов.

Рассмотрим некоторые электронные технологии, которые помогают сделать изучение темы « Построение сечений многогранников» более интенсифицированным и продуктивным.

Основными целями школьного математического образования становятся интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в обществе; овладение конкретными математическими знаниями, умениями и навыками, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин и для продолжения образования; воспитание личности в процессе освоения математики, формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности. Реализация названных целей вызывает необходимость в обновлении системы школьного математического образования, которая призвана обеспечить гармоничное сочетание интересов личности и общества.

Особую роль в этом процессе играют мультимедийные технологии, так как их применение способствует повышению мотивации обучения учащихся, экономии учебного времени; интерактивность и мультимедийная наглядность способствует лучшему представлению материала. Виртуальная школа Кирилла и Мефодия позволяет существенно облегчить внедрение мультимедиа в учебный процесс.

Содержание продукта расширяет дидактическую и методическую базу по предметам (в том числе и по математике), значительно облегчая поиск необходимой информации для подготовки к организации и проведению урока.

Основными задачами преподавания геометрии в школе являются изучение пространственных форм; развитие пространственного воображения; воспитания правильного логического мышления; привитие практических навыков, включая сюда и умение решать различные геометрические задачи теоретического характера, так и умение применять свои знания к решению вопросов практики.

Рассмотрим, как данные задачи решаются пользователями «КМ-Школы». Но, прежде, надо отметить, что стереометрия – это область школьной математики, вызывающая у учеников наибольшие проблемы, поэтому так много говорят о необходимости использовать на уроках математики возможности трехмерной графики и компьютерных обучающих средств, что в полной мере обеспечивается при применении «КМ-Школа».

"КМ-Школа" просто незаменима при изучении пространственных форм на уроках геометрии. Электронный образовательный ресурс «КМ-Школы» подготовлен на высоком уровне и помогает решить цели и задачи, стоящие перед учителем математики на уроке. Учащиеся, имевшие дело в 7-9 классах с геометрией на плоскости, испытывают серьезные затруднения при переходе из плоскости в пространство. Дело в том, что хотя геометрическое, пространственное воображение присуще некоторым школьникам, но таких не так уж много. Большинству школьников требуется помощь в развитии умения представлять и изображать стандартные стереометрические конфигурации; их приходится как-то обучать геометрическому видению. Широкий спектр наглядных мультимедийных объектов позволяет учителю представить на уроке пространственные фигуры в трехмерном измерении, рассмотреть их сечения и т.д.. Но, если модели параллелепипеда, пирамиды, простейших правильных многогранников можно найти в большинстве кабинетов математики, то например пространственную фигуру звездчатого додекаэдра вряд ли.

Выпуклый многогранник. Иллюстрация

На уроках стереометрии много внимания учителя уделяют развитию пространственного воображения. Информационные объекты «КМ-Школы» являются хорошим подспорьем учителю математики. Объекты различаются по интерактивности. Интерактивным называется такой способ взаимодействия, при котором с помощью инструментов управления пользователь получает возможность двусторонней связи с объектом изучения, при этом обеспечивается возможность выбора вариантов содержания учебного материала, изменения положения объекта в пространстве, выделение отдельных элементов сложного объекта.

Трехмерная модель – тип информационного объекта, представляющий собой трехмерное изображение объекта и набор инструментов управления, позволяющих пользователю изменять положение данного объекта в пространстве.

Наиболее эффективными средствами развития пространственных представлений учащихся, как известно, являются: демонстрирование фигур, сравнение положений геометрических фигур относительно друг друга, моделирование, грамотное изображение фигур, чтение чертежа. Эти средства приводят к наилучшим результатам, если они используются систематически и в комплексе.

Для формирования пространственного воображения учащихся при изучении стереометрии интерактивные задания и трехмерные модели, размещенные в среде ИИП «КМ-Школа» играют особую роль. Используя данные объекты на любом этапе урока, учащиеся могут не только изучить пространственную структуру объемного (трехмерного) объекта, но и, меняя режим отображения объекта, выбрать, например, оптимальное изображение для решения задачи или оптимальное размещение данного трехмерного объекта для изображения его на плоскости. Решение стереометрической задачи на первом этапе – это её представление в пространстве, на втором – оптимальное изображение пространственной фигуры на плоскости. И насколько верно будут выполнены задачи первых двух этапов, настолько быстро и правильно будет решена задача. Показать правильный чертеж к задаче - почти все равно, что сразу объяснить ее решение, при этом формируется пространственное воображение, а так же умение, вообще, «видеть» чертеж.

Построение сечения четырехугольной пирамиды плоскостью. Анимация

Важнейшей отличительной чертой трехмерных моделей является то, что при работе с ними можно в любой момент произвольно изменить ракурс изображения. Очевидно, что работа в такой среде отлично развивает пространственное воображение. Появляется возможность по-новому ставить и решать задачи на построение в пространстве, причем проверить правильность решения можно, взглянув на конструкцию с разных сторон.

Для развития пространственного воображения на этапе закрепления немаловажную роль играют и иллюстрации. Например, для закрепления понятий объемов сложных пространственных объектов, определений многогранников (выпуклых, невыпуклых), видов сечений (по готовым чертежам).

Сечение призмы под углом к основанию.

Тренажер

Как же используя «КМ-Школу» прививать практические навыки у учащихся на уроках стереометрии? В ходе изучения курса стереометрии решение конкретных задач - это не самоцель. Главной целью должно являться формирование умений анализировать предлагаемый объект, видеть в нем детали, их свойства, позволяющими обосновывать шаги решения и проводить вычисления. Умение решать задачи на базовом уровне – непременное условие для усвоения геометрии на любом уровне.

Медиатека ИИП «КМ-Школа» содержит множество типов информационных объектов по стереометрии, использование которых в обучении позволяют выработать у учащихся определенные практические навыки при решении как базовых. Так и нестандартных пространственных задач. Это и тренажеры по отработке навыков построения, и иллюстрации к задачам с готовыми чертежами и условиями, и анимации, позволяющие сформировать наглядность представления, моделирование ситуации и т.д. Особую роль эти объекты приобретают при индивидуализации обучения.

Построение сечения параллелепипеда.

Тренажер

Развитие логики и развитие интуиции (геометрической в том числе) – две важнейшие функции геометрического образования. Геометрия, как, пожалуй, никакой другой предмет, способствует развитию обоих качеств, поскольку логический и интуитивный аспекты в этом предмете переплетаются наиболее тесно.

Сущность геометрии противоречива: «…в ней непосредственно изучаются идеальные геометрические фигуры, которых нет в действительности, но ее выводы применимы к реальным вещам, к практическим задачам». Задача любого учителя - приблизить учеников к их пониманию, не заслонив при этом от школьников самой геометрии.

Задачи на построение занимают особое место в курсе стереометрии: они позволяют моделировать те или иные практические ситуации и обеспечивают хорошую подготовку к решению нестандартных задач, развивают логическое мышление. Неоценимую помощь в этом оказывают интерактивные задания (тренажеры) и анимационные (анимированные) модели, представленные в разделе Медиатека «КМ-Школы» по стереометрии.

Построение сечения треугольной

пирамиды. Анимация.

Особое место при проектировании уроков геометрии занимают вопросы восприятия информации. Ведущим видом восприятия информации при работе с компьютерными средствами обучения сегодня и в обозримом будущем является визуальное. Поэтому важнейшим вопросом в организации процесса обучения геометрии с помощью компьютера является анализ свойств визуальной информации и особенностей её восприятия с экрана. Вообще говоря, стоит говорить о диалектическом единстве визуального восприятия и мышления: «восприятие без мышления было бы бесполезно, мышлению без восприятия не над чем было бы размышлять».

Медиаресурсы по стереометрии, представленные в «КМ-Школа», отвечают основным параметрам визуализации учебной теории: лаконичность представления информации, точность воспроизведения элементов, акцент на главные, существенные детали образов, учет возможностей обучаемого в восприятии визуальной информации.

Построение сечения пирамиды плоскостью. Анимация

Таким образом, «КМ-Школа» обладает потенциально высокими возможностями как средства повышения эффективности обучения стереометрии. При использовании данного продукта можно говорить о такой организации работы с учебным материалом, при которой обеспечиваются необходимые условия для продуктивной познавательной деятельности учащихся, учитываются их интересы, наклонности и потребности, формируются практически необходимые знания, умения, навыки, рациональные приемы мышления и деятельности. В то же время, применение «КМ-Школы» на уроках геометрии не ломает традиционной методики обучения, а является ее существенной составной частью.

Проектируя учебное занятие, важно, чтобы каждый преподаватель понял простую мысль: компьютер в учебном процессе – не механический педагог, не заместитель или аналог преподавателя, а средство при обучении детей, усиливающее и расширяющее возможности его обучающей деятельности.

Одним из таких средств также является “Динамическая геометрия ”, реализованная в ЭИ "Математика, 5-11 кл. Практикум" (ЗАО "1С") и комплекте интерактивных стереочертежей, разработанных по заказу НФПК.

При разработке электронного практикума и комплекта интерактивных стереочертежей , была использована за основу среда "Живая геометрия". Эта известная программа позволяет строить динамические двумерные конструкции, но ее двумерность в данном случае является скорее плюсом, а не минусом. Действительно, на уроках стереометрии учащиеся работают не с пространственными фигурами, а с их плоскими изображениями, поэтому при выполнении предлагаемых заданий учащиеся используют и при этом развивают тот же арсенал знаний, умений, навыков и приемов, что и на обычных занятиях. Но в то же время эти задания снабжены различными эффектами трехмерной графики, важнейшим из которых является возможность смены ракурса, что придает традиционным заданиям новое качество.

Например, задания на построения сечений многогранников отличаются от обычных тем, что "поворотный механизм", встроенный в динамический чертеж, позволяет учащимся легче находить нужную последовательность построений и, что очень важно, контролировать их правильность "на ходу", т.к. он выявляет наиболее распространенную ошибку – использование мнимых "точек пересечения" скрещивающихся прямых. Можно протестировать и результат построения: если сечение построено правильно, то в подходящем ракурсе все его точки должны оказаться на одной прямой.

Описанные выше виды заданий покрывают значительную часть школьного курса. Но важнее то, что они эффективно способствуют развитию пространственного воображения, учат правильно изображать фигуры и "читать" чертежи. Не заменяя решения обычных задач обычными средствами, т.е., с бумагой и карандашом, они могут и должны служить ступенькой, взобравшись на которую, ученику будет гораздо проще шагнуть еще выше и научиться решать аналогичные и гораздо более сложные задачи без помощи компьютера.

В геометрии компьютер выступает в роли эффективного средства для наглядности иллюстрации понятий, демонстрирования чертежей и рисунков. Появляется возможность представлять динамику графических изображений.

Компьютер может сыграть роль средства активного диалога в работе учащихся с моделями геометрических фигур, их развертками, средства формирования у учащихся конструктивных умений.

Современное образование требует отказа от устаревших методов обучения: время диктует новые условия. С педагогов всего мира: например, в Англии и Мексике SMART-доски поставляются в учебные заведения в рамках решения вопроса оснащения всех учебных заведений интерактивными досками занялись на государственном уровне. Использование таких досок позволяет сделать яркими и увлекательными любые, даже самые скучные, уроки. Интерактивные доски имеют понятный интерфейс, возможность работать с ней даже пальцем, без специальных устройств. Это оказалось увлекательно и очень легко, детям стало интереснее учиться. Ученик, который вечно срывал уроки, направляет свою энергию на работу с одноклассниками за доской. Простое объяснение задания теперь превращается в занимательную математику с элементами черчения: педагог может текст написать на интерактивной доске с помощью особой «ручки», или воспользоваться клавиатурой.

При создании компьютерных средств обучения необходимо также учитывать и психологические основы применения компьютера на уроке. Исследования, проводимые психологами, зафиксировали следующие положительные аспекты индивидуальной работы учащегося с компьютером:

• развитие интереса к предмету, аккуратности, самостоятельности, способности к анализу и обобщению;

• облегчение усвоения абстракций и появление возможности их конкретизировать в виде наглядных образов, схем, моделей, рисунков;

• стимулирование мыслительной деятельности и творческой активности обучаемых.

При этом выявлены также и негативные факторы обучения с использованием компьютера:

• при составлении компьютерной программы трудно учесть многообразие индивидуальных черт каждого ученика и оригинальность человеческого мышления;

• при соблюдении норм работы учащихся с компьютером сложно в короткое время действия компьютерной программы заложить все психолого-педагогические аспекты решения той или иной дидактической задачи.

Таким образом, при планировании урока геометрии с компьютерной поддержкой учитель должен в первую очередь овладеть компьютерной грамотностью, для того чтобы уметь решать проблемы, возникающие в связи с использованием компьютера в процессе обучения.

Заключение.

Итак, данная авторская работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Во введении мной была поставлена цель разработать материал, который можно использовать в школьной практике.

В первой главе, « История и методология геометрических построений в пространстве», были освещены вопросы зарождения геометрических построений в пространстве и обоснование, принципы методики преподавания геометрических построений в пространстве.

Здесь мной были затронуты : этапы формирования специальной математической ветви-начертательной геометрии, завершенной французским математиком Г. Монжем; работы русских ученых по начертательной и проективной геометрии таких как Я. А. Севастьянов, И. И. Сомов, В.И. Курдюмов, Е. С. Федоров, Н. А. Рынин и др.; учение Дезарга о конических сечениях, которое было продолжено юным французским математиком Блезом Паскалем; одно из замечательных открытий конца XIX в. -введе­ние понятия группы и идея Феликса Клейна о том, что каждая группа преобразований включает в себя пред­шествующую группу; начало топологии, положенное в 50-х годах XIX в. Риманом; работы Д. Гильберта по исследованию природы геометрических аксиом и продолженные в XX в. исследования в области аксиоматических обоснований ряда разделов математики, в том числе и нашим академиком и крупным математиком А. Н. Колмогоровым.

Во втором разделе первой главы рассмотрены два методологических направления в решении вопроса о геометрических построений в пространстве, выделенных Н. Ф. Четверухиным и внедрение проекционного чертежа в школьную практику А. Д. Семушиным на основе работ Н. Ф. Четверухина.

Вторая глава моей работы «Проекционный чертеж» начинается с раздела, в котором перечислены ряд требований , предъявляемых к стереометрическим чертежам, выполнение которых отвечало бы не только строгости математической теории, но и удовлетворяло бы педагогическую практику. В этом же разделе представлена методическая схема введения проекционного чертежа в школьную практику и задачи, подводящие к рассмотрению пространственных фигур, в частности, многогранников. Второй раздел посвящен общим методам построения многогранников; третий- тезису полноты проекционного чертежа.

В четвертом разделе второй главы « Позиционные задачи на проекционном чертеже» я рассмотрела основные позиционные задачи на проекционном чертеже, имеющие непосредственное отношение к программе школьного курса стереометрии: построение параллельных прямых, построение изображения пересекающихся прямых, построение изображения скрещивающихся прямых и др.Пятый раздел посвящен решению задач на пересечение прямых и плоскостей. В шестом разделе приведен план обучения решению задач на построение сечении.

Далее, в седьмом, восьмом, девятом и десятом пунктах рассмотрены соответственно методы построения сечений многогранников: метод следов, метод внутреннего проектирования, метод параллельных прямых и метод параллельного переноса секущей плоскости. В каждом разделе вначале изложена суть того или иного метода построения, а затем приведен ряд задач, от менее сложных к более сложным, на обучение и закрепление навыков построения сечений многогранников различными методами.

В одиннадцатом разделе « Анализ учебников» я рассмотрела общие проблемы современных учебников геометрии и провела анализ учебников геометрии10-11 классов на примере учебников Л.С. Атанасяна и И. Ф. Шарыгина.

Третья глава полностью посвящена использованию электронных технологии на уроках геометрии, которые позволяют изменять весь процесс преподавания, реализовывать модель личностно- ориентированного обучения, интенсифицировать занятия, а главное совершенствовать самоподготовку обучающихся.Так же проанализированы имеющиеся на сегодняшний день программы и учебные электронные издания, используемые в школьной практике, при изучении задач на построение сечений многогранников.

В данной работе цель, поставленная во введении была достигнута.Подобранный материал можно использовать для профильного уровня обучения геометрии, дополняющего традиционное содержание курса, а также можно применять при разработке элективных курсов по геометрии, проведении кружков и факультативов, для подготовки учащихся к олимпиадам, конкурсам, турнирам по математике.

Список литературы.

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. матема­тики. - М.: Просвещение, 1991.

2. Аргунов Б. И. Преобразования плоскости. - М.: Просвещение, 1976.

3 Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Учебник для 7-9 кл. средней

школы. - М.: Просвещение, 2002.

4. Атаносян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. 1 . Учебное пособие для физико-математических факультетов педагогических институ­тов. - М.: Просвещение, 1986.

5. Бескин Н. М. Изображение пространственных фигур»

6. Боголюбов А.Н. Математики, механики. Биогроафический справоч­ник. - Киев: «Наукова думка», 1983.

7. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия: Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1985.

8. Бондаревская Е.В. Личностно-ориентированный подход как технология модернизации образования. // Методист: Научно-методический журнал.-М., 2003.-№2.

9. Брейтигам Э.К. Интегрированные уроки математики и информа­тики. // Информатика и образование. - 2002. - № 2. - с. 89-94.

10. Вамош Т. Приоритет человеческого фактора // Перспективы: во­просы образования. - 1988. - № 3. - с. 15.

11. Вересова Е.Е. и др. Практикум по решению математических задач: Учеб. пособие для пед. ин-тов. - М.: Просвещение, 1979.

12.Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. Ч. 1. Учебное пособие для физико-математических факультетов педагогических институ­тов. - СПб.: «Специальная литература», 1997.

13. Вильяме Р. Компьютеры в школе / Р. Вильяме, К. Маклин. - М.: Прогресс, 1988.

14. Волошинов А.В. Математика и искусство. - М.: Просвещение, 199

15. Вымятнин В.М., Демкин В.П., Можаева Г.В., Руденко Т.В. Мультимедиа-курсы: методология и технология разработки // Открытое и дистанционное образование. Научно-методический журнал. - 2002. - N3 (7). -с. 34-60.

16. Глейзер Г. И. История математики в школе. Пособие для учителей. М.: Просвещение 1983г.

17.ГОСТ 7.60-90 Система стандартов по информации, библиотечному и издательскому делу (СИБИД). Издания. Основные виды. Термины и опре­деления.

18.Гульчевская В.Г. Современные педагогические технологии в про­фильном и предпрофильном обучении: Учебно-методическое пособие для системы повышения квалификации работников образования. - Ростов н/Д: РОИПКиПРО,2005.

19 Гусев В.А. и др. Практикум по элементарной математике: Геомет­рия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов и учителей. -М.: Просвещение, 1992.

20 Далингер В.А. Компьютерные технологии в обучении геометрии: Метод, реком. - Омск: Изд - во ОмГПУ. - 2001.

21 Далингер В.А. Формирование визуального мышления у учащихся в процессе обучения математике: Учеб. пособие. - Омск: Изд-во ОмГПУ. -1999.

22 Дворецкая А.В. Основные типы компьютерных средств обучения.// Школьные технологии. -2004. - № 3. - с. 2, 187-188.

23 Демкин В.П., Можаева Г.В. Видеоуроки как основа учебно-методического обеспечения подготовки учителей в области информацион­ных технологий // Единая образовательная информационная среда: проблемы и пути развития. Материалы II Всероссийской научно-практической конфе­ренции-выставки. Томск. 08 - 11 сентября 2003. - Томск, 2003. - с. 73-76.

24 Демкин В.П., Можаева Г.В. Учебно-методическое обеспечение образовательных программ на основе информационных технологий. // От­крытое и дистанционное образование. - 2003. - № 2 (10). - с. 5-8.

25 Демкин В.П., Можаева Г.В., Яковлева А.Г. Адаптивное обучение на основе информационных технологий // Телематика-2003. Труды X Всерос­сийской научно-методической конференции. Т. 2. С.400-401.

26. Ермаков Д.С. Создание элективных учебных курсов для профиль­ного обучения. // Школьные технологии. - 2003. - № 6. - с. 23-28.

27. Захарова И.Г. Информационные технологии в образовании: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. - М.: Издательский центр «Академия», 2003.

28. Иванова О. Интегрированный урок «Этот симметричный мир». / Приложение к газете «Первое сентября». Математика. - 2006. - №6. - с. 32-36.

29.Казаков П. Г. « Параллельные проекции и методы решения конструктивных задач». 30. Калинин И.А. Электронный учебник. // Математика в школе. - 2000. -№8.-с. 75.

31. Кирзимов В.А., Белоногова Е.М. Преобразование плоскости. Сбор­ник задач. Пособие по курсу средней школы для 7-11 классов. - М.: Мос­ковский Лицей, 2001.

32. Компьютеризация образования: Межвуз.сб.науч.тр. / Под ред. проф. В.Н. Врагова; Новосиб.ун-т. - Новосибирск, 1991.

33. Компьютеризация учебного процесса: Межвуз.сб.науч.тр./Под ред. проф. В.Н. Врагова. Новосиб.ун-т. -Новосибирск, 1992.

34. Концепция информатизации сферы образования Российской Федерации. // Проблемы информатизации высшей школы. - М.,1998.

35.Крылова О.Н. Технологии работы с учебным содержанием в профильной школе: Учебно - методическое пособие для учителей. / Под ред. А. П. Тряпицыной. - СПб. КАРО,2005.

36. Мартиросян Л.П. Реализация возможностей информационных технологий в процессе преподавания математики / Л.П. Мартиросян // Ин­форматика и образование. - 2002. - № 12. - с. 78-82.

37.Математика. Сборник программ курсов по выбору./Авт.-сост. Л.В.Зевина. - Ростов н/Д.: Изд-во РО ИПК и ПРО, 2004. -89 с.

38. Новожилова Н.В., Фирсова М.М. Курсы по выбору: отбор содержа­ния и технологии проведения. // Школьные технологии. - 2003. - № 5. - с. 23-33.

39. Нормативно - правовая база профильного обучения. Сборник доку­ментов и материалов. - М.: Новая школа, 2005.

40. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 классов средней школы. - М.: Просвещение, 2000.

41.Полякова Т.С. Методика обучения геометрии в основной школе: Учебное пособие для студентов педвузов и педколледжей. - Ростов н/Д: РГПУ, 2000.

42.Профильное обучение: вопросы и ответы. // Математика в школе. -2006. -№ 14.-с. 2-8.

43 Роберт И.В. Современные информационные технологии в образова­нии: дидактические проблемы; перспективы использования. - М.: Школа-Пресс, 1994.

44.розина И.Н. Педагогическая компьютерно - опосредованная коммуникация: теория и практика. - М.: Логос. 2005.

45.Семушин А. Д. « методика обучения рещению задач на построение в курсе стереометрии».

46.Сборник задач по геометрии: Учеб. пособие для студентов мат. и физ.-мат. спец. вузов. С.А. Франгулов, П.И. Совертков, А.А. Фадеева, Т.Г. Ходот. - М.: Просвещение, 2002.

47 Смирнов А.Н. Проблемы электронного учебника. // Математика в школе.-2000. - № 5. - с. 15.

48.Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир: Пособие для учащихся. - М.: Просвещение, 1982.

49 Чалов А. Н. Методика обучения решению задач на построение в курсе стереометрии.

50.Четверухин Н. Ф. « Вопросы методологии и методики геометрических построений в школьном курсе геометрии»

51. Четверухин Н. Ф. « Изображение фигур в курсе геометрии».

52. Четверухин Н. Ф. « Стереометрические задачи на проекционном чертеже».

Электронные ресурсы на компакт-дисках и Интернет-сайты.

36..«Открытая математика 2.6. Планиметрия». ЭУК «Физикон». 1997 -2005.

37..http://center. fio.ru .Захарова С. И. Информационные технологии в преподавании математики.

38..http://www.ito.edu.ru/2001/ito/p/htlm. Осин А.В. Технология и крите­рии оценки образовательных электронных изданий.

39. http://www.zabspu.ru./science/conf/sito/207.htm. Фёдорова Н.В. К во­просу об использовании компьютера в процессе обучения.