Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Задачи, решаемые векторным способом.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Задачи, решаемые векторным способом.

библиотека
материалов

hello_html_66398f11.gifhello_html_529cabeb.gifhello_html_3d87d537.gifhello_html_685f0bf3.gifhello_html_m335bf44b.gifhello_html_454a8182.gifhello_html_257cbe70.gifhello_html_257cbe70.gifhello_html_m622c813f.gifhello_html_685f0bf3.gifhello_html_m335bf44b.gifhello_html_19f9c8ae.gifhello_html_m76f6c190.gifhello_html_m429d6aa4.gifhello_html_685f0bf3.gifhello_html_39811154.gifhello_html_ddb6cee.gifhello_html_m650a9697.gifhello_html_m4eee1014.gifhello_html_m41e5013c.gifhello_html_622ab93d.gifhello_html_m32f51f93.gifhello_html_m59f9e15b.gifhello_html_m3c023921.gifhello_html_m3d2fd15c.gifhello_html_m77338a1d.gifhello_html_57d84696.gifhello_html_m17193bd3.gifhello_html_m3d2fd15c.gifhello_html_31ee151c.gifhello_html_7c8a23c1.gifhello_html_m7dbfba6c.gifhello_html_74581cbe.gifhello_html_60245292.gifhello_html_4a8a1f0.gifhello_html_437898e7.gifhello_html_6620ef48.gifhello_html_m2a09b850.gifhello_html_m7d6a98ae.gifhello_html_26d069fc.gifhello_html_4f395aca.gifhello_html_22a16931.gifhello_html_m78fa11f9.gifhello_html_6811fe7f.gifhello_html_m352ac624.gifhello_html_m37fdf7f8.gifhello_html_7b763a5d.gifhello_html_6d3296e0.gifhello_html_m6c921564.gifhello_html_263dbda5.gifhello_html_532fd5e6.gifhello_html_m7c08427e.gifhello_html_1461622c.gifhello_html_7bb3b197.gifhello_html_m129dbb7.gifhello_html_m129dbb7.gifhello_html_40838eaa.gifhello_html_m4ac5d449.gifhello_html_m7dba56ab.gifhello_html_3df9bcc9.gifhello_html_4a025875.gifhello_html_m24be0a4e.gifhello_html_m432b4910.gifhello_html_m7c8770ec.gifhello_html_m25a1a839.gifhello_html_m6896d1f3.gifhello_html_mb46105e.gifhello_html_m2bbeb42d.gifhello_html_m321a2b4.gifhello_html_739afb7f.gifhello_html_5d043c15.gifhello_html_m89e9d0c.gifhello_html_3d03507b.gifhello_html_3d03507b.gifhello_html_3d03507b.gifhello_html_6b8a15bc.gifhello_html_m6675a7e1.gifhello_html_m35c42145.gifhello_html_m6c5712d7.gifhello_html_3d03507b.gifhello_html_3d03507b.gifhello_html_3d03507b.gifЗадачи, решаемые векторным способом.


hello_html_m284f5345.gif1.Основные задачи о прямых и плоскостях.


1.Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве задана общая декартова система координат и две точки М1 и М2 с координатами (x1,y1,z1) и (x2,y2,z2). Чтобы написать уравнение прямой М1М2, примем М1 за начальную точку, а hello_html_5b56d165.gif за направляющий вектор. Этот вектор не нулевой, если точки не совпадают.

Получаем hello_html_54f96536.gif. Если в этих равенствах какой-либо из знаменателей равен нулю, то следует приравнять нулю соответствующий числитель.

В планиметрии задача решается также. Отличие только в том, что координаты точек теперь (x1,y1) и (x2,y2), и мы получаем hello_html_5955e449.gif=0.


2.Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Пусть М1, М23 – не лежащие на одной прямой точки с координатами (x1,y1,z1), (x2,y2,z2) и (x3,y3,z3) в общей декартовой системе координат. Выберем М1 в качестве начальной точки, а hello_html_5b56d165.gif и hello_html_m2b8ca4e7.gif в качестве направляющих векторов. Тогда получим уравнение плоскости hello_html_m35113035.gif=0.


3. Параллельность прямой и плоскости.

Пусть известен направляющий вектор прямой a(hello_html_m185d9993.gif), а плоскость задана одним из уравнений (hello_html_1166f591.gif)=0 или (hello_html_m1b4757bb.gif-hello_html_786c4a15.gif)=0. Прямая параллельна плоскости (а возможно, и лежит в ней) тогда и только тогда, когда соответственно (hello_html_464482e5.gif,hello_html_69bf56cc.gif)=0 или (hello_html_464482e5.gif,hello_html_77015cd1.gif,hello_html_4d97e206.gif)=0. Если плоскость задана линейным уравнением Ax+By+Cz+D=0, то условию параллельности - Ahello_html_m2d8acbbf.gif+Bhello_html_3df78e18.gif+Chello_html_m276a207a.gif =0. Пусть прямая задана системой уравнений hello_html_1f827415.gif.

Тогда получаем Ahello_html_6bb027b1.gif + Bhello_html_m66876feb.gif + Chello_html_6cd694db.gif=0, или hello_html_m3545cc90.gif=0.

Все приведенные здесь условия являются не только необходимыми, но и достаточными.


4. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть дана плоскость с уравнением (hello_html_1166f591.gif)=0 и точка М с радиус вектором hello_html_m1d50e28e.gif. Рассмотрим вектор hello_html_m4dbaa34a.gif =hello_html_m1d50e28e.gif-hello_html_50acb173.gif, соединяющий начальную точку плоскости с М(рис 1).Расстояние от точки до плоскости равно модулю его скалярной проекции на вектор hello_html_69bf56cc.gif, то есть h=hello_html_3f1450ab.gif. Если в декартовой прямоугольной системе координат точка М имеет координаты (X,Y,Z), то равенство запишется следующим образом h= hello_html_m24780516.gif

М

hello_html_69bf56cc.gif

h

hello_html_m1d50e28e.gif

М0


hello_html_50acb173.gif

hello_html_m17089785.gifhello_html_245a8b05.gif

O hello_html_58c76a93.gif

рис.1


5. Расстояние от точки до прямой.

Если прямая задана уравнением hello_html_m4253587d.gif=0, то можем найти расстояние h от точки М с радиус – вектором hello_html_m1d50e28e.gif до этой прямой, разделив площадь параллелограмма, построенного на векторах hello_html_m782476a8.gif , на длину его основания (рис 2). Результат можно записать формулой h= hello_html_2edc0b90.gif.

Для прямой в пространстве мы не будем получать координатной записи этого выражения.

Рассмотрим прямую на плоскости, заданную уравнением Ax+By+C=0 в декартовой прямоугольной системе координат. Пусть M0(x0,y0) – начальная точка прямой, а M(X,Y)- некоторая точка плоскости. В качестве направляющего вектора возьмём вектор hello_html_m32e6669b.gif. Площадь параллелограмма равна S=hello_html_m125af569.gif. Тогда S=hello_html_m6def8ab0.gif и h = hello_html_m3d2c6676.gif.


М

h

hello_html_m1d50e28e.gif



М0

e3hello_html_50acb173.gife2

О e1







hello_html_m284f5345.gif2.Доказательства и решения задач.


Задача 1: Доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Доказательство: Пусть ABCD – данный ромб (рис.3). Введем обозначения hello_html_m3a43dc8d.gif=hello_html_464482e5.gif, hello_html_m3a15fb66.gif=hello_html_m22f25179.gif. Из определения ромба следует hello_html_m3a43dc8d.gif=hello_html_5b577768.gif=hello_html_464482e5.gif, hello_html_m4c466ff6.gif=hello_html_m3a15fb66.gif=hello_html_m22f25179.gif.

По определению суммы и разности векторов hello_html_1b10433b.gif=hello_html_464482e5.gif+hello_html_m22f25179.gif;hello_html_m1fbf6d9d.gif=hello_html_464482e5.gif-hello_html_m22f25179.gif.

Рассмотрим hello_html_1b10433b.gif*hello_html_m1fbf6d9d.gif=hello_html_mdc4fe57.gif+hello_html_m22f25179.gif)(hello_html_464482e5.gif-hello_html_m22f25179.gif)=hello_html_m7b2bc2d4.gif-hello_html_3cc19626.gif. Так как стороны ромба равны, то hello_html_464482e5.gif=hello_html_m22f25179.gif. Следовательно, hello_html_1b10433b.gif*hello_html_m1fbf6d9d.gif=0. Из последнего условия следует что, hello_html_m49d3ed45.gif, что и требовалось доказать.

A

hello_html_464482e5.gif

D B

hello_html_m22f25179.gif

C

рис.3

Задача 2: Даны два вектора hello_html_m3a43dc8d.gifи hello_html_7c9e6ffd.gif, причем А(-1;2;4), В (-4;5;4), С(-1;-2;2) и D(2;1;5). Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.

Решение: Найдем сначала координаты векторов.hello_html_m3a43dc8d.gif=(-3;3;0) и hello_html_7c9e6ffd.gif=(3;3;3).

Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:

hello_html_m3a43dc8d.gif*hello_html_7c9e6ffd.gif =(-3)*3 +3*3+0*3 = 0.

Последнее и означает, что hello_html_5731928.gif

Задача 3: Дан произвольный треугольник АВС. Доказать, что можно построить треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам треугольника АВС.

B B1

hello_html_m91f90c3.gif hello_html_464482e5.gif

F D A1


A E hello_html_m22f25179.gif C C1

рис.4 рис.5

Решение: Обозначим медианы треугольника АВС через ВЕ, СF и обозначим векторы, идущие вдоль сторон треугольника АВС, через hello_html_m5719a220.gif,hello_html_m22f25179.gif, hello_html_m13d5ede8.gif:

hello_html_m3a15fb66.gif=hello_html_m5719a220.gif, hello_html_30294df5.gif=hello_html_m22f25179.gif,hello_html_m3a43dc8d.gif=hello_html_m13d5ede8.gif. Тогда hello_html_m4c466ff6.gif=hello_html_m3a43dc8d.gif+hello_html_48bf9fec.gif=hello_html_m3a43dc8d.gif+hello_html_7d14677b.gif=hello_html_m13d5ede8.gif+hello_html_m7509d1e9.gif. Аналогично определяются и другие медианы: hello_html_49ae42ab.gif=hello_html_m4eae3481.gif , hello_html_m1a86bbe8.gif=hello_html_181038e3.gif.

Так как, в силу замкнутости hello_html_m3a15fb66.gif +hello_html_30294df5.gif+hello_html_m3a43dc8d.gif=hello_html_m5719a220.gif+hello_html_m22f25179.gif+hello_html_m13d5ede8.gif=0б то мы имеем hello_html_m4c466ff6.gif+hello_html_m445575e9.gif+hello_html_b64e5d9.gif=(hello_html_m340431d9.gif)+(hello_html_m4eae3481.gif)+(hello_html_181038e3.gif)=hello_html_516d417a.gif=hello_html_m4aae006e.gif*0=0. Следовательно, отложив от точки В, вектор hello_html_4557cb3d.gif =hello_html_49ae42ab.gif и от точки С1 – вектор hello_html_5af3d69.gif= hello_html_m1a86bbe8.gif, мы получим.

hello_html_be80906.gif+hello_html_4557cb3d.gif+hello_html_5af3d69.gif=hello_html_m4c466ff6.gif+hello_html_m445575e9.gif+hello_html_b64e5d9.gif=0.

А это значит (в силу условия замкнутости), что ломаная А1В1С1D1 является замкнутой, т.е. точка D1 совпадает с А1.

Таким образом, мы получаем треугольник А1В1С1 (рис.5), стороны которого равны и параллельны медианам АD, ВЕ, СF исходного треугольника.

Задача 4: Доказать, что для любого треугольника имеет место формула

c2 = a2+b2–2ab*соsС (теорема косинусов)

Решение. Положим: hello_html_m5719a220.gif = hello_html_m3ff657bc.gif, hello_html_m22f25179.gif= hello_html_30294df5.gif, hello_html_m13d5ede8.gif=hello_html_m3a43dc8d.gif (рис.6).

Тогда hello_html_m13d5ede8.gif= hello_html_464482e5.gifhello_html_m22f25179.gif, и мы имеем (учитывая, что угол между векторами hello_html_m5719a220.gif и hello_html_m22f25179.gif равен С): с2 =(а–b)2 = а2 -2аb + b2 = а2–2аb*соsС+ b2.

A

hello_html_m91f90c3.gif hello_html_m22f25179.gif



B hello_html_464482e5.gifC

рис.6

Задача 5: Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Решение: Пусть четырехугольник АВСD – параллелограмм (рис.7). Имеем векторные равенства hello_html_m3a43dc8d.gif+hello_html_m4c466ff6.gif=hello_html_1b10433b.gif, hello_html_m3a43dc8d.gif-hello_html_m4c466ff6.gif=hello_html_m1fbf6d9d.gif. Возведем эти равенства в квадрат. Получим:hello_html_509762ac.gif+2hello_html_m6a9532bb.gif=hello_html_m5543645a.gif, hello_html_509762ac.gif-2hello_html_m6a9532bb.gif=hello_html_1c7186be.gif

Сложим эти равенства почленно. Получим:hello_html_m6330e0dc.gif так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то это равенство и означает, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, что и требовалось доказать.

B C





A D

рис.7

Задача 6: Даны три точки: А(1;1), В(-1;0), С(0;1). Найдите такую точку D(х;y), чтобы векторы hello_html_m3a43dc8d.gif и hello_html_md9221bb.gif были равны.

Решение: Вектор hello_html_m3a43dc8d.gif имеет координаты (-2, -1). Вектор hello_html_md9221bb.gif имеет координаты (х–0, y–1). Так как hello_html_m3a43dc8d.gif = hello_html_m2ecb1d95.gif , то х–0 = -2, y–1 = -1. Отсюда находим координаты точки D: х =-2, y = 0.

Задача 7: Даны два вектора hello_html_m3a43dc8d.gif и hello_html_md9221bb.gif, причем А(-1;2;4), В(-4;5;4), С(-1;-2;2), D (2;1;5).Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.

Решение: Найдем сначала координаты векторов. hello_html_m3a43dc8d.gif (-3;3;0) и hello_html_md9221bb.gif (3;3;3).

Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:

hello_html_m3a43dc8d.gif*hello_html_m2ecb1d95.gif = (-3)*3 + 3*3 + 0*3 = 0.

Последнее означает, что hello_html_m3a43dc8d.gif hello_html_6568f0a6.gif

Задача 8: Доказать, что прямая проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.

Доказательство: Пусть ABCD – данная трапеция, М и N – середины оснований BC и AD, а O-точка пересечения прямых AB и CD (рис.8). Докажем, что точка О лежит на прямой MN.

Треугольник OAD и OBC подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому hello_html_m478fc36d.gifk. Так как hello_html_m61509d22.gif и hello_html_m6f503b32.gif, то hello_html_m12848863.gif , hello_html_m45710518.gif. Точка М – середина отрезка ВС, поэтому hello_html_36933b1.gif. Аналогично hello_html_3a5da548.gif.

Подставив в это выражение равенство для hello_html_1aca826c.gif и hello_html_m1b539dc3.gif, получим:

hello_html_m5e292611.gif.

Отсюда следует, что векторы hello_html_cb801af.gif и hello_html_6139437c.gif коллинеарны, и , значит, точка О лежит на прямой MN.

О





B M C





A N D

рис.8



Задача 9: Доказать что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство: Пусть MN – средняя линия трапеции ABCD (рис.9). Докажем, что MNhello_html_m3bd0edd4.gifAD и MN=hello_html_4a84885e.gif.

По правилу многоугольника hello_html_m1a2a761b.gif и hello_html_m7db9dbc8.gif Сложив эти равенства получим:

2hello_html_m2c68a2dc.gif

Но M и N- середины сторон AB и CD, поэтому hello_html_m7f6a626c.gif=hello_html_2f6cc217.gif и hello_html_m7d7d0b32.gif=hello_html_2f6cc217.gif. Следовательно, 2hello_html_m71139227.gif, откуда hello_html_md0eb1c8.gif).

Так как векторы hello_html_m4c466ff6.gif и hello_html_m3a15fb66.gif сонаправлены, то векторы hello_html_30ded3d7.gif и hello_html_m4c466ff6.gif также сонаправлены, а длина вектора hello_html_2cca0c74.gif) равна AD+BC. Отсюда следует MNhello_html_m3bd0edd4.gifAD и MN=hello_html_4a84885e.gif, что и требовалось доказать.


B C



M N



A D

рис.9









Краткое описание документа:

тавив в это выражение равенство для  и ,  получим:

.

Отсюда следует, что векторы  и  коллинеарны, и , значит, точка О лежит на прямой MN.

                       О

 

 

B                M           C

 

 

        A                   N                       D

                        рис.8

 

Задача 9: Доказать что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство: Пусть MN – средняя линия трапеции ABCD (рис.9). Докажем, что MNADи MN=.

По правилу многоугольника  

Автор
Дата добавления 05.12.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров478
Номер материала 174235
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх