Задачи, решаемые векторным способом.
1.Основные задачи о
прямых и плоскостях.
1.Уравнение
прямой, проходящей через две точки.
Пусть
в пространстве задана общая декартова система координат и две точки М1
и М2 с координатами (x1,y1,z1) и (x2,y2,z2). Чтобы написать уравнение прямой М1М2,
примем М1 за начальную точку, а 
за направляющий вектор.
Этот вектор не нулевой, если точки не совпадают.
Получаем
. Если в этих равенствах какой-либо из
знаменателей равен нулю, то следует приравнять нулю соответствующий числитель.
В
планиметрии задача решается также. Отличие только в том, что координаты точек
теперь (x1,y1) и (x2,y2), и мы получаем 
=0.
2.Уравнение
плоскости, проходящей через три точки.
Пусть
М1, М2,М3 – не лежащие на одной прямой
точки с координатами (x1,y1,z1), (x2,y2,z2) и (x3,y3,z3) в общей
декартовой системе координат. Выберем М1 в качестве начальной точки, а и 
в качестве направляющих
векторов. Тогда получим уравнение плоскости 
=0.
3. Параллельность
прямой и плоскости.
Пусть
известен направляющий вектор прямой a(
), а плоскость задана одним
из уравнений (
)=0 или (
-
)=0. Прямая
параллельна плоскости (а возможно, и лежит в ней) тогда и только тогда, когда
соответственно (
,
)=0 или (,
,
)=0. Если плоскость задана
линейным уравнением Ax+By+Cz+D=0, то условию параллельности - A
+B
+C
=0. Пусть прямая задана
системой уравнений 
.
Тогда
получаем A
+ B
+ C
=0, или 
=0.
Все
приведенные здесь условия являются не только необходимыми, но и достаточными.
4.
Расстояние от точки до плоскости.
Пусть
дана плоскость с уравнением ()=0 и точка М с радиус вектором 
. Рассмотрим вектор 
=-
, соединяющий начальную
точку плоскости с М(рис 1).Расстояние от точки до плоскости равно модулю
его скалярной проекции на вектор , то есть h=
. Если в декартовой прямоугольной
системе координат точка М имеет координаты (X,Y,Z), то равенство запишется следующим образом h= 
М
h
М0
O 
рис.1
5.
Расстояние от точки до прямой.
Если
прямая задана уравнением 
=0, то можем найти
расстояние h от точки М с радиус – вектором до этой прямой, разделив
площадь параллелограмма, построенного на векторах 
, на длину его основания (рис
2). Результат можно записать формулой h= 
.
Для
прямой в пространстве мы не будем получать координатной записи этого выражения.
Рассмотрим
прямую на плоскости, заданную уравнением Ax+By+C=0 в
декартовой прямоугольной системе координат. Пусть M0(x0,y0) –
начальная точка прямой, а M(X,Y)- некоторая
точка плоскости. В качестве направляющего вектора возьмём вектор 
. Площадь параллелограмма равна
S=
. Тогда
S=
и h
= 
.
М
h
М0
e3 e2
О e1
2.Доказательства и
решения задач.
Задача
1: Доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Доказательство:
Пусть ABCD – данный ромб (рис.3). Введем
обозначения 
=, 
=
. Из определения ромба
следует =
=, 
==.
По
определению суммы и разности векторов 
=+;
=-.
Рассмотрим
*
=
+)(-)=
-
. Так как стороны ромба
равны, то =. Следовательно, *=0. Из последнего условия следует что, 
, что и требовалось
доказать.
A
D B
C
рис.3
Задача
2: Даны два вектора 
и 
, причем А(-1;2;4), В
(-4;5;4), С(-1;-2;2) и D(2;1;5). Определить, перпендикулярны они друг
другу или нет.
Решение:
Найдем сначала координаты векторов.
=(-3;3;0) и =(3;3;3).
Вычислим
теперь скалярное произведение этих векторов:
* =(-3)*3 +3*3+0*3 = 0.
Последнее
и означает, что 
Задача
3: Дан произвольный треугольник АВС. Доказать, что можно построить
треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам треугольника АВС.
B B1
F D
A1
A E 
C
C1
рис.4
рис.5
Решение: Обозначим медианы треугольника АВС через ВЕ,
СF и обозначим векторы, идущие вдоль сторон треугольника АВС, через 
,
, 
:
=, 
=,=. Тогда =+
=+
=+
. Аналогично определяются и
другие медианы: 
=
, 
=
.
Так
как, в силу замкнутости ++=++=0б то мы имеем +
+
=(
)+(
)+(
)=
=
*0=0. Следовательно, отложив
от точки В, вектор 
= и от точки С1 –
вектор 
= , мы получим.
++=++=0.
А
это значит (в силу условия замкнутости), что ломаная А1В1С1D1
является замкнутой, т.е. точка D1 совпадает с А1.
Таким
образом, мы получаем треугольник А1В1С1 (рис.5),
стороны которого равны и параллельны медианам АD, ВЕ, СF исходного
треугольника.
Задача
4: Доказать, что для любого треугольника имеет место формула
c2 = a2+b2–2ab*соsС (теорема косинусов)
Решение.
Положим: = 
, = , 
= (рис.6).
Тогда
= –, и мы имеем (учитывая, что
угол между векторами и равен С): с2
=(а–b)2 = а2 -2аb + b2 = а2–2аb*соsС+ b2.
A
B
C
рис.6
Задача
5: Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме
квадратов его сторон.
Решение: Пусть четырехугольник АВСD – параллелограмм
(рис.7). Имеем векторные равенства +=, -=. Возведем эти равенства в
квадрат. Получим:
+2
=
, 
-2=
Сложим
эти равенства почленно. Получим:
так как у параллелограмма
противолежащие стороны равны, то это равенство и означает, что сумма квадратов
диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, что и требовалось
доказать.
B C
A
D
рис.7
Задача 6: Даны три
точки: А(1;1), В(-1;0), С(0;1). Найдите такую точку D(х;y),
чтобы векторы и 
были равны.
Решение: Вектор имеет координаты (-2,
-1). Вектор имеет координаты (х–0, y–1). Так как = , то х–0 = -2, y–1 = -1. Отсюда находим координаты точки D: х =-2, y = 0.
Задача 7: Даны два
вектора и , причем А(-1;2;4),
В(-4;5;4), С(-1;-2;2), D (2;1;5).Определить, перпендикулярны они друг другу
или нет.
Решение: Найдем
сначала координаты векторов. (-3;3;0) и (3;3;3).
Вычислим теперь
скалярное произведение этих векторов:
* = (-3)*3 + 3*3 + 0*3 =
0.
Последнее означает,
что 
Задача
8: Доказать, что прямая проведенная через середины оснований трапеции,
проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.
Доказательство:
Пусть ABCD – данная трапеция, М и N
– середины оснований BC и AD, а O-точка пересечения прямых AB и CD (рис.8). Докажем, что точка О
лежит на прямой MN.
Треугольник
OAD и OBC подобны
по первому признаку подобия треугольников, поэтому 
k. Так как 
и 
, то 
, 
. Точка М – середина отрезка
ВС, поэтому 
. Аналогично 
.
Подставив
в это выражение равенство для 
и 
, получим:
.
Отсюда
следует, что векторы 
и 
коллинеарны, и , значит,
точка О лежит на прямой MN.
О
B M C
A N D
рис.8
Задача
9: Доказать что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их
полусумме.
Доказательство:
Пусть MN – средняя линия трапеции ABCD (рис.9). Докажем, что MN
AD и MN=
.
По
правилу многоугольника 
и 
Сложив эти равенства
получим:
2
Но M
и N- середины сторон AB
и CD, поэтому 
=
и 
=. Следовательно, 2
, откуда 
).
Так
как векторы и сонаправлены, то векторы 
и также сонаправлены, а
длина вектора 
) равна AD+BC. Отсюда следует MNAD и MN=, что и требовалось
доказать.
B C
M N
A D
рис.9
