Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Задачник-практикум по теме "Тригонометрия"
  • Математика

Задачник-практикум по теме "Тригонометрия"

библиотека
материалов

Министерство образования и науки Самарской области

ГОУ СПО Тольяттинский техникум технического и художественного образования






ЗАДАЧНИК – ПРАКТИКУМ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ



















г. Тольятти, 2010


ОДОБРЕНА

Составлены в соответствии с Государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускника по специальности СПО

Предметной (цикловой) комиссией естественно- научного цикла



Председатель:

Зам. директора по УМР


_______/ Самойлова Л.В.

____________/ УреневаИ.И.




Ерисова В.П преподаватель математики, ГОУ СПО Тольяттинский техникум технического и художественного образования


Учебно-методическое пособие по подготовке студентов к тематическому зачету. «Задачник-практикум по тригонометрии».(Для специальностей технического профиля 1-2 курса)


Рецензенты:

Ю.И. Вдовин -

Доктор технических наук , зав. кафедрой Тольяттинского государственного университета



Задачник-практикум по тригонометрии. – Тольятти: ТТТиХО, 2010, - С.


Сборник содержит задания раздела «Тригонометрия». Задачи подобраны с учетом требований государственного образования стандарта общего образования. Рекомендуется преподавателям математики и обучающимся учреждений начального и среднего профессионального образования.


Введение


Настоящий задачник-практикум составлен в соответствии с программой по математике для образовательных учреждений СПО. Также он может быть использован учебными заведениями, реализующими программы НПО.

Цель его – помочь обучающимся в изучении раздела математики «Тригонометрические преобразования», решать уравнения, уравнения с параметрами, с модулем, системы и неравенства.

Практикум составлен исходя из учета тех трудностей, с которыми встречаются обучающиеся.

Много заданий дано с подробным решением. Предлагаются задания для самоконтроля.

Настоящий задачник-практикум рассчитан для самостоятельного изучения данного раздела математики. Он поможет студентам подготовиться к контрольной работе, зачету.

При составлении задачника были использованы учебники, учебные пособия и сборники задач.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Основные формулы тригонометрии

Рассмотрим единичную тригонометрическую окружность.

hello_html_3beae98.pnghello_html_m34af3ff2.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Синусом угла hello_html_m42a4bdb1.gif называется ордината точки – конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повернутого на угол hello_html_m42a4bdb1.gif.

Косинусом угла hello_html_m42a4bdb1.gifназывается абсцисса точки – конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повернутого на угол hello_html_m42a4bdb1.gif.

Тангенсом угла hello_html_m42a4bdb1.gif называется отношение абсциссы к ординате точки – конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повернутого на угол hello_html_m42a4bdb1.gif.

Котангенсом угла hello_html_m42a4bdb1.gif называется отношение абсциссы к ординате точки – конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повернутого на угол hello_html_m42a4bdb1.gif.

  1. Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же угла: hello_html_m2ecd5f9c.gif

hello_html_m28a95af8.gifhello_html_m53d4ecad.gif

  1. Формулы сложения: hello_html_m62bd4129.gif

hello_html_m7626cd78.gif

  1. Формулы кратких аргументов: hello_html_488f651a.gif

  2. Формулы понижения степени:

hello_html_6f41d76a.gif

  1. Формулы преобразования сумм и разностей в произведения:

hello_html_51c134.gif

  1. Формулы преобразования произведений в суммы или разности: hello_html_m74d1cba1.gif

hello_html_25034d98.gif

  1. Формул приведения

hello_html_m53d4ecad.gif


hello_html_m650ebc4f.gif

hello_html_m8828494.gif

hello_html_m5b2e4653.gif

hello_html_47a717ec.gif

hello_html_m3665d432.gif

hello_html_m7e453a79.gif

hello_html_m8452e2e.gif

hello_html_m651b2338.gif

hello_html_6e8d8a37.gif

hello_html_m610acc02.gif

hello_html_m5460726c.gif

hello_html_m610acc02.gif

hello_html_6e8d8a37.gif

hello_html_m651b2338.gif

hello_html_m5460726c.gif

hello_html_6e8d8a37.gif

hello_html_m610acc02.gif

hello_html_m5460726c.gif

hello_html_m651b2338.gif

hello_html_6e8d8a37.gif

hello_html_m651b2338.gif

hello_html_m5460726c.gif

hello_html_m610acc02.gif

hello_html_m74fa146d.gif

hello_html_m457d642.gif

hello_html_m74fa146d.gif

hello_html_m457d642.gif

hello_html_m3d2c759.gif

hello_html_m7ef22f53.gif

hello_html_m3d2c759.gif

hello_html_m7ef22f53.gif

hello_html_m7ef22f53.gif

hello_html_m3d2c759.gif

hello_html_m7ef22f53.gif

hello_html_m3d2c759.gif

hello_html_m457d642.gif

hello_html_m74fa146d.gif

hello_html_m457d642.gif

hello_html_79fbb175.gif


ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

  1. Упростите выражение

hello_html_mbb7ff9e.gifhello_html_1b46dace.gif

  1. Упростите выражение: hello_html_530d289b.gif

  2. Упростите выражение: hello_html_2dc3768d.gif


  1. Упростите выражение: hello_html_8bafb9b.gif

  2. Докажите тождество: hello_html_312018c6.gif

  3. Докажите тождество: hello_html_m1977d61c.gif

7.Докажите тождество: hello_html_m344c8c31.gif

8. Докажите тождество: hello_html_14010016.gif

9. Докажите тождество: hello_html_d80e481.gif

10. Вычислите: hello_html_m1462c2fe.gif

  1. Вычислите: hello_html_m5e8dcaac.gif

12. Дано: hello_html_m715de59c.gif и hello_html_36fa4911.gif

Найдите:

hello_html_m685b02d.gif

  1. Упростите выражение и найдите его числовое значение: hello_html_m77c217ad.gif


УПРАЖНЕНИЯ

1.1. Представить в виде произведения выражения:

hello_html_m2b9608ee.gif

1.2. Доказать тождество:

hello_html_2c4fd932.gif

1.3. Упростить выражение:

hello_html_m19d9ad1c.gif

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Применяя различные преобразования при решении тригонометрических уравнений, мы приходим к простейшим уравнениям, формулы решения которых следует запомнить:

а) hello_html_47d6779b.gif

Это уравнение имеет решения, если hello_html_1f9483ac.gif или hello_html_m6c473303.gif Общее решение этого уравнения записывается в виде

hello_html_m127b4ed7.gif

hello_html_42d3072b.gif

Если же hello_html_6a22b902.gif, то данное уравнение не имеет решений, что следует запомнить, т.к. забывая об этом, учащиеся часто допускают ошибки.

Например, решая уравнение hello_html_1d6959ee.gif и не учитывая, что hello_html_41592e99.gif, записывают «решение» этого уравнения в виде hello_html_30358c25.gif, несмотря на то, что функция arcsin x не определена в точке hello_html_1b181e1d.gif и приведенная запись не имеет смысла.

ПРИМЕР 1

Решить уравнение: hello_html_5615bec0.gif

Решение.

hello_html_m2fe80589.gif

но arcsin 0 = 0, следовательно решение этого уравнения можно записать так:

hello_html_m61c996dc.gif

ПРИМЕР 2

Решить уравнение: hello_html_m1002548d.gif

Решение.

hello_html_1d22650e.gif

но hello_html_1e22ba34.gif, тогда получаем

hello_html_70bbf516.gif.

При четном к = 2n; hello_html_m50f90a5e.gif;

при нечетном hello_html_m74174ea3.gifhello_html_m50f90a5e.gif.

Оба случая дают одну и ту же формулу

hello_html_m83735bc.gif,

которая и является решением.

ПРИМЕР 3

Решить уравнение: hello_html_m57d13faa.gif

Решение.

hello_html_7a98a48d.gif

Так как hello_html_7d42d3a5.gif, то hello_html_3b904cfe.gif

При четном hello_html_m36926a3f.gifhello_html_6e4e7e88.gif

при нечетном hello_html_2f354e7d.gifhello_html_6e4e7e88.gifhello_html_mf50eb14.gif

Оба случая дают одну и ту же формулу

hello_html_m4b5f3d6e.gif

которая является решением.

Решения, полученные в примерах 1 – 3, целесообразно запомнить, так как их запись является более удобной, чем запись решения в общем виде.

б) hello_html_m6602d0bf.gif Это уравнение имеет решение, если hello_html_1f9483ac.gif илиhello_html_56ee031.gif

Общее решение этого уравнения записывается в виде

hello_html_3d332de0.gif,

где hello_html_6a0f873d.gif, hello_html_2f72d68e.gif, hello_html_m7c48c22d.gif

Если hello_html_5491d33f.gif, уравнение решения не имеет.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике случаи, когда запись решения допускает упрощения.

ПРИМЕР 4

Решить уравнение: hello_html_16db7858.gif

Решение:


Пhello_html_m5f2f7ada.gif
о общей формуле
но hello_html_1a7b8431.gif, поэтому решение уравнения hello_html_m34563367.gif записывается так:

hello_html_10f435fe.gif

ПРИМЕР 5

Решить уравнение: hello_html_71058ba7.gif

Решение.

По общей формуле hello_html_m5861655c.gif

но hello_html_7df5ce8d.gif, поэтому решение уравнения hello_html_1fad17af.gif записывается так:

hello_html_33ccfa7f.gif.

ПРИМЕР 6

Решить уравнение: hello_html_m31626655.gif

Решение

По общей формуле hello_html_m522e7f70.gif

Заменяя hello_html_33271368.gif его значением, получим

hello_html_m847f713.gif

Выражение hello_html_m4d2fe0e1.gif обозначает множество чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1, а выражение hello_html_m22e56b2d.gif обозначает множество чисел, дающих в остатке 3. Такими свойствами обладает множество нечетных чисел, следовательно, выражение hello_html_2d09a408.gif может быть заменено выражением hello_html_m21b62fe0.gif, обозначающим множество всех нечетных чисел. Поэтому решение уравнения hello_html_m314be34.gif записывают так:

hello_html_m672d7884.gif

Записи решений трех рассмотренных уравнений также следует запомнить.

в) hello_html_4abbd28e.gif Это уравнение имеет решения при любых значениях hello_html_m3d6e7c42.gif

Общее решение этого уравнения записывается в виде

hello_html_m28b37774.gif

где hello_html_m71f2b97a.gifhello_html_m530f0f42.gif

ПРИМЕР 7

Решить уравнение: hello_html_4a14a11a.gif

Решение

hello_html_m5bbb65ec.gif

но hello_html_4983ff0e.gif, следовательно,

hello_html_m2dead57c.gif

ПРИМЕР 8

Решить уравнение: hello_html_m1dd1f1e6.gif

Решение

hello_html_38facdf4.gif,

но hello_html_556febd4.gif, следовательно, hello_html_25728998.gif

ПРИМЕР 9

Решить уравнение: hello_html_m476032ac.gif

Решение

hello_html_m7d9bf3e1.gif,

но hello_html_m3ec8b9ef.gif, поэтому

hello_html_m6659d162.gif

Рассмотреть еще несколько примеров решения простейших тригонометрических уравнений.


Решить уравнения: 1) hello_html_m20f54557.gif

Решение

Так как hello_html_mdddac9e.gif, то общее решение уравнения запишется в виде

hello_html_m50f00cfb.gif

2) hello_html_67aba684.gif

Решение

Так как hello_html_m48f0f36f.gif общее решение уравнения запишется в виде

hello_html_m73484bf8.gif

3) hello_html_m7c3778b5.gif

Решение

Используя тождество hello_html_m2d7336f1.gif, получим

hello_html_be0d33c.gif,

или окончательно

hello_html_10ca8095.gif

4) hello_html_m6bf240ac.gif

Решение

Так как hello_html_m3a708467.gif, данное уравнение решений не имеет, т.е. hello_html_m39013204.gif



5) hello_html_m4c658630.gif

Решение

hello_html_m21a3bcf3.gif,

или

hello_html_157063bb.gif

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВИДА

hello_html_738ee604.gifhello_html_m4345c85c.gif

Уравнения вида hello_html_25f52467.gifhello_html_m28367e2c.gifлегко сводятся к простейшим введением вспомогательного неизвестного hello_html_2440151e.gif а уравнение вида

hello_html_42631f0a.gif

сводятся к алгебраическим, путем соответствующих подстановок

hello_html_m2c16a6ec.gif

ПРИМЕР 1

Решить уравнение: hello_html_19b5435.gif

Решение

hello_html_m1d0ddee4.gif

ПРИМЕР 2

Решить уравнение: hello_html_m7eb5ab56.gif

Решение

hello_html_ef828dd.gif

ПРИМЕР 3

Решить уравнение: hello_html_28679bad.gif

Решение

hello_html_103396d6.gifтак как hello_html_68e85281.gif, произведение hello_html_m6454e97b.gif, а это возможно лишь для hello_html_m434fb691.gif, то есть получим уравнение:

hello_html_7ed24cbb.gif

ПРИМЕР 4

Решить уравнение: hello_html_557c77ce.gif

Решение

hello_html_m7b847b25.gif, то выражение hello_html_m4ab724e0.gif при любом hello_html_2417dbe2.gif, поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: hello_html_m39013204.gif

ПРИМЕР 5

Решить уравнение: hello_html_m26438e51.gif

Решение

hello_html_6e1357c5.gif

ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

К АЛГЕБРАИЧЕСКОМУ ВИДУ ОТНОСИТЕЛЬНО КАКОЙ-ЛИБО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Один из приемов решения тригонометрических уравнений состоит в том, что различные тригонометрические функции, входящие в данное уравнение, выражаются через одну и ту же функцию с одинаковым аргументом. Тем самым тригонометрическое уравнение с помощью подстановки приводится к алгебраическому, которое и решается на основании общих методов решения алгебраических уравнений.

ПРИМЕР 1

Решить уравнение: hello_html_afd36de.gif

Решение

Пусть hello_html_4e84c5d0.gif

hello_html_m7ca2681c.gif

hello_html_m4173e019.gif

hello_html_5b0b070f.gif

hello_html_m2ac5a0d4.gif

hello_html_m1002548d.gif

hello_html_m2ed8e519.gif

hello_html_a9cdb08.gif

Ответ: hello_html_m2ed8e519.gif

ПРИМЕР 3

Решить уравнение: hello_html_41e70fa8.gif

Решение

Применяя тождество hello_html_m5e65c8cf.gif, получим

hello_html_5eeaf978.gif

Применив подстановку hello_html_m243e7c54.gif, получим квадратное уравнение, корни которого

hello_html_4908ba13.gif

Применяя обратную подстановку, получим

hello_html_3f174178.gif

Ответ: hello_html_m39013204.gif

ПРИМЕР 4

Решить уравнение: hello_html_m5ecd0d0b.gif

Решение

Применим тождество: hello_html_1e79f008.gif,

тогда исходное уравнение можно записать в виде

hello_html_568ce52f.gif

Полагая hello_html_m2844ed35.gif, а уравнение

hello_html_797aeb7f.gif

Ответ: hello_html_4045db59.gif

Если все функции, входящие в данное уравнение, имеют одинаковый аргумент, то тригонометрическое уравнение сводится к алгебраическому с помощью следующих тригонометрических тождеств:

hello_html_22d68ceb.gifhello_html_m6ef50028.gifhello_html_m59ed53b.gif

Однако использование данных формул ведет к сужению области определения исходного уравнения, при этом возможна потеря решений. Поэтому после окончания решения необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение значение неизвестного

hello_html_m6ffede00.gifили hello_html_m46fee225.gif

при которых правая часть указанных тождеств не имеет смысла.

ПРИМЕР 5

Решить уравнение: hello_html_m48cfb76b.gif

Решение

Заменяя hello_html_50e22849.gif и hello_html_6ca7bd9f.gif через тангенс половинного аргумента и применяя подстановку hello_html_m455b41db.gif, получим

hello_html_796e5d4.gif

Корни этого уравнения hello_html_m2a333298.gif и hello_html_m234b1e8c.gif Тогда hello_html_3495f096.gif

Полученные значения х являются сериями решений исходного уравнения, остается проверить, не являются ли корнями значения hello_html_6c267ce9.gif, подставляя это значение в левую часть исходного уравнения, получим

hello_html_5062cb0f.gif,

то естьhello_html_24522c66.gif не является корнем исходного уравнения.

Ответ: hello_html_492c148f.gif

ПРИМЕР 6

Решить уравнение: hello_html_c7619fc.gif

Решение

Выражая hello_html_6482ce28.gif и hello_html_m64b485f5.gif через hello_html_79d52a98.gif, а hello_html_79d52a98.gif, в свою очередь, обозначив через t, получим

hello_html_m128172fe.gif

Отсюда hello_html_m14e8b09a.gif, то есть hello_html_m1b622bb2.gif и hello_html_2457566.gif

Подставим теперь в левую часть исходного уравнения hello_html_m7e5e42a7.gif Имеем hello_html_7953ca91.gif Так как hello_html_59f56fe.gif - верное равенство, значение hello_html_m5265a2a2.gif также является корнем исходного уравнения. После этого записываем ответ:

hello_html_m3d2212f2.gif

Отметим, что далеко не все тригонометрические уравнения, приводимые к алгебраическому виду относительно какой-либо функции, имеют простое решение. Покажем это на примерах.

ПРИМЕР 7

Решить уравнение: hello_html_m553193f8.gif

Решение

Используем тождество hello_html_6971c286.gif

Тогда

hello_html_1de48a81.gif

После подстановки hello_html_413362d5.gif получим hello_html_m526fef03.gif, откуда hello_html_2d634952.gif

Тогда hello_html_m66c9fd7c.gif Дискриминант этого квадратного относительно hello_html_79d52a98.gif уравнения отрицателен, следовательно, hello_html_m39013204.gif

Пусть теперь hello_html_m10b4fa16.gif

hello_html_m1ad876d2.gif

Рассмотрим еще один тип тригонометрических уравнений, которые можно свести к алгебраическим относительно какой-либо функции, так называемые однородные тригонометрические уравнения.

Определение. Тригонометрическое уравнение называется однородным, если левая часть его – однородный многочлен относительно hello_html_50e22849.gif и hello_html_6ca7bd9f.gif, а правая часть – нуль.

Например, hello_html_m3fc2261e.gif- однородное тригонометрическое уравнение. Покажем общий способ решения таких уравнений.

ПРИМЕР 8

Решить уравнение: hello_html_m5427a8f9.gif

Решение

Очевидно, значение hello_html_m314be34.gif не является решением этого уравнения, так как предположив, что hello_html_m314be34.gif, получим hello_html_33ed0d58.gif и hello_html_7a35ddc3.gif для одних и тех же х, что противоречит тождеству hello_html_m233241.gif Следовательно, для данного уравнения hello_html_m7469bac1.gifТогда, не нарушая равносильности, можно обе части уравнения (8) поделить на hello_html_6ca7bd9f.gif. Получим

hello_html_m3ceea941.gif

Ответ: hello_html_598432f0.gif

ПРИМЕР 9

Решить уравнение: hello_html_220ca117.gif

Решение

Учитывая, что в данном уравнении hello_html_m57793ac1.gif, после деления на hello_html_4d1d1931.gif получим

hello_html_1cffa358.gif,

откуда hello_html_m7ea150e7.gif и hello_html_m483123de.gif

hello_html_4c6546e6.gifи hello_html_m49fa215c.gif

Ответ: hello_html_52fb4d31.gif

ПРИМЕР 10

Решить уравнение: hello_html_m658c9e72.gif

Решение

Это уравнение не является однородным, но мы можем свести его к однородному, записав свободный член в виде

hello_html_4dac8dda.gif,

тогда hello_html_m6a0ca12d.gif После деления на hello_html_4d1d1931.gif и приведения подобных членов, получим

hello_html_2fb5f1f8.gif

Ответ: hello_html_m64279f6b.gif


ПРИМЕР 11

Решить уравнение: hello_html_m13c951a0.gif

Решение

Приведем это уравнение к однородному и решим его так же, как и предыдущее;

hello_html_22b31fcd.gif

Ответ: hello_html_6e5a162f.gif

СПОСОБ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ,

ОСНОВАННЫЙ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ СВОЙСТВ

ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО

Если после переноса всех членов уравнения в левую часть полученное выражение можно разложить на множители, то можно воспользоваться свойством произведения: произведение двух или нескольких сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Следует особо подчеркнуть, что корни какого-либо из сомножителей могут не входить в область определения другого сомножителя, то есть необходима проверка полученных решений. Посторонние корни могут появиться и в результате тождественных преобразований в частях уравнения. Например, уравнение hello_html_m14fe8598.gif и уравнение hello_html_27a01ca2.gif не является равносильным, так как уравнение (1) не имеет корней, а решением уравнения (2) является значение hello_html_2347882b.gif В этом случае также необходима проверка решений. Рассмотрим несколько примеров.

ПРИМЕР 1

Решить уравнение: hello_html_5bc18c0.gif

Решение

Перенося единицу в левую часть уравнения и используя тождество hello_html_m17f49eff.gif, получим

hello_html_m13919c3c.gif

Приравнивая к нулю каждый множитель, получим совокупность уравнений, которая в данном случае равносильна исходному

hello_html_5d6d351d.gif

Ответ: hello_html_m383c30ea.gif

ПРИМЕР 2

Решить уравнение: hello_html_m48cfb76b.gif

Решение

Перенося все члены уравнения в левую часть и применяя тождество hello_html_m17f49eff.gif и hello_html_m305a06b5.gif получим

hello_html_27832754.gif,

откуда hello_html_4e31760a.gif

Ответ: hello_html_492c148f.gif

ПРИМЕР 3

Решить уравнение: hello_html_296f4159.gif

Решение

hello_html_1cd94e2c.gif,

но эти значения х не входят в область определения второго сомножителя, значит, являются посторонними. Приравнивая к нулю второй сомножитель, получим

hello_html_m780ab8a6.gif

Ответ: hello_html_m68ff104a.gif

ПРИМЕР 4

Решить уравнение: hello_html_m34e4cf14.gif

Решение

Используя тождество hello_html_57a5ee43.gif,

получим

hello_html_7284e59.gif

Ответ: hello_html_m75494bb7.gif

ПРИМЕР 5

Решить уравнение: hello_html_m498bd6e5.gif

Решение

Применяя тождество hello_html_5f4bcff4.gif,

получим

hello_html_m64ff5ed9.gif

Ответ: hello_html_m310fcbaa.gif

ПРИМЕР 6

Решить уравнение: hello_html_m4bb3d6fa.gif

Решение

hello_html_59e411e7.gif

Ответ: hello_html_m7d9e5b97.gif

ПРИМЕР 7

Решить уравнение: hello_html_m194ffbbd.gif

Решение

hello_html_3290d4f7.gif

Условие, снимающее знак (*), hello_html_m7fb8608b.gif, поэтому (в силу того, что hello_html_a53af6b.gif)

hello_html_1ddb2ac3.gif

Ответ: hello_html_m68ff104a.gif

ПРИМЕР 8

Решить уравнение: hello_html_487cd7b0.gif




Решение

hello_html_7e0a7b7d.gif

Ответ: hello_html_m52b4de80.gif

ПРИМЕР 9

Решить уравнение: hello_html_6ad772c0.gif

Решение

Так как hello_html_m59465b5d.gif перепишем уравнение в виде

hello_html_m8037918.gif

Ответ: hello_html_1bb49fa8.gif

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ,

СОДЕРЖАЩИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

С ЧЕТНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Если в тригонометрическое уравнение входят функции с четным показателем, очень часто приводит к цели применения формул понижения степени

hello_html_m75316063.gif

В некоторых случаях возможность наиболее простого решения уравнения дает применение тождества hello_html_52a13d6a.gif Рассмотрим примеры решения таких уравнений.

ПРИМЕР 1

Решить уравнение: hello_html_m2f6b8d4d.gif

Решение

Применяя формулы понижения степени, получим

hello_html_52c38943.gif

Ответ: hello_html_3bb37b3f.gif

ПРИМЕР 2

Решить уравнение: hello_html_6cec4120.gif

Решение

hello_html_50d2c8a4.gif

Выражая hello_html_6482ce28.gifи hello_html_m64b485f5.gif через тангенс половинного аргумента и применяя подстановку hello_html_3b446c3b.gif, получим

hello_html_6540a188.gif

Подставляя в исходное уравнение значение hello_html_m5265a2a2.gif, получим

hello_html_m13a6dcb7.gif

Следовательно, потеря корней не произошла.

Ответ: hello_html_483c8bc4.gif



ПРИМЕР 3

Решить уравнение: hello_html_4e0dd109.gif

Решение

Приведем функции левой части уравнения к одному аргументу hello_html_d2256c6.gif

откуда

hello_html_1f7bb868.gif

Ответ: hello_html_7bace1be.gif

ПРИМЕР 4

Решить уравнение: hello_html_2f9156a.gif

Решение

Применяя формулу понижения степени и формулы приведения, получим

hello_html_3e916fd7.gif

Ответ: hello_html_1ab95cb4.gif

ПРИМЕР 5

Решить уравнение: hello_html_3bc029c7.gif


Решение

Так как

hello_html_m42cfe009.gif,

получим

hello_html_m5ad2b228.gifhello_html_m53d4ecad.gif


Ответ: hello_html_m68ff104a.gif

Второй способ. Прибавляя к левой и правой части уравнения выражение hello_html_m26ee8029.gif, получим

hello_html_24a71af1.gif

Ответ: hello_html_m68ff104a.gif

ПРИМЕР 6

Решить уравнение: hello_html_m4e8679df.gif

Решение

Применяя формулы понижения степени, получим

hello_html_4734305a.gif

Ответ: hello_html_m68ff104a.gif


ПРИМЕР 7

Решить уравнение: hello_html_bd779e.gif

Решение

Преобразуем левую часть уравнения следующим образом:

hello_html_37efd283.gif

Тогда исходное уравнение запишется в виде

hello_html_67f5b721.gif

Ответ: hello_html_m4b11543d.gif

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МЕТОДОМ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО УГЛА

Рассмотрим уравнение вида hello_html_m47080460.gif,

где hello_html_28e0788e.gif и hello_html_m70e0ff2.gif. Это уравнение можно решить одним из следующих способов:

а) возведение обеих частей уравнения в квадрат;

б) выражение всех функций через тангенс половинного угла;

в) введение вспомогательного угла.

Применение первого способа может привести к приобретению посторонних корней, и проверка полученных решений бывает очень громоздкой. При использовании второго способа может произойти потеря решения вида hello_html_24522c66.gif. Наиболее удобным является способ введения вспомогательного угла. Рассмотрим этот метод в общем виде.

Разделим обе части уравнения (1) на hello_html_m61431911.gif, получим

hello_html_3bcfe20.gif

Так как hello_html_m7b016cc0.gif, то существует угол такой, что

hello_html_3e180bc4.gifи hello_html_402ca7ad.gif,

тогда уравнение (1) можно переписать в виде

hello_html_6fadb031.gifили hello_html_m75dd57da.gif

Последнее уравнение разрешимо только в том случае, когда

hello_html_4c61ea40.gifили hello_html_m657e66e1.gif

Когда это условие выполнено, решение уравнения (1) запишется следующим образом:

hello_html_8066991.gif

и угол hello_html_m42a4bdb1.gif определяется из формул (2) . Если же условие (3) не выполнено, то уравнение (1) решений не имеет.

Рассмотрим несколько примеров.

ПРИМЕР 1

Решить уравнение: hello_html_m5123c62.gif

Решение

Запишем уравнение в виде hello_html_41cff36f.gif,

тогда hello_html_m737c02a.gif

Так как hello_html_1904530f.gif и hello_html_64ca33f1.gif, то в качестве угла hello_html_m42a4bdb1.gifможно взять hello_html_48d73968.gif , и уравнение запишем в виде

hello_html_m4abc76cf.gif

Ответ: hello_html_3e42c0e7.gif

ПРИМЕР 2

Решить уравнение: hello_html_649d0556.gif

Решение

Умножая обе части уравнения на hello_html_m5137ba6d.gif и перенося все члены уравнения в левую часть, получим

hello_html_m5e582c02.gif

Учитывая, что hello_html_2ec2846c.gif и hello_html_m34ae1669.gif, запишем уравнение в виде

hello_html_m4f218f17.gif

Или, применяя формулу приведения,

hello_html_m618f04d.gif

Приравнивая каждый сомножитель к нулю, получим две серии решений:

hello_html_73131f5c.gif

Ответ: hello_html_80162c.gif

ПРИМЕР 3

Решить уравнение: hello_html_m478ec96a.gif

Решение

В этом уравнении hello_html_m531c014e.gif,

следовательно, условие hello_html_m64955ab4.gif не выполняется, и уравнение не имеет решений. Ответ: hello_html_m39013204.gif

ОЦЕНКА ЛЕВОЙ И ПРАВОЙ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ

При решении некоторых тригонометрических уравнений рассмотренные выше способы не приводят к цели. В этом случае предварительная оценка левой и правой частей уравнения иногда позволяет быстро установить, имеет ли оно корни, и существенно упростить решение.

ПРИМЕР 1

Решить уравнение: hello_html_7ecf5fa6.gif

Решение

Учитывая, что hello_html_425ec331.gif и hello_html_68e85281.gif, заключаем, что часть уравнения будет равна правой только тогда, когда

hello_html_m1ee2553c.gif

но синус и косинус одного и того же аргумента одновременно быть равными единицы не могут, так как это противоречит тождеству hello_html_m55ad57f4.gif, поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: hello_html_m39013204.gif

ПРИМЕР 2

Решить уравнение: hello_html_18fdc6a6.gif

Решение

Левая часть уравнения может быть равной трем только в том случае, когда

hello_html_7529bc5d.gif

Из первого уравнения системы имеем hello_html_mc436d07.gif, подставляя это значение х в третье уравнение системы, получим hello_html_37d4a60e.gif, следовательно, данная система решений не имеет.

Ответ: hello_html_m39013204.gif




ПРИМЕР 3

Решить уравнение: hello_html_m416d8e90.gif

Решение

Очевидно, правая часть уравнения удовлетворяет условию hello_html_244d66d1.gif. Для оценки левой части уравнения воспользуемся свойствами числовых неравенств. Очевидно,

hello_html_m61feb50a.gif

складывая эти неравенства, получим hello_html_m1bc8c155.gif. Отсюда следует, что исходное уравнение равносильно следующей системе:

hello_html_6c1c7f94.gif

Из второго уравнения системы имеем: hello_html_42f3fe97.gif и hello_html_2a4ccf6e.gif. Подставляя эти значения х в первое уравнение системы, получим hello_html_m53d8a7f.gif, то есть hello_html_1ea53fc7.gif является решением исходного уравнения.

Пусть hello_html_40a883c4.gif, тогда

hello_html_5220b823.gif

Значит, hello_html_2a4ccf6e.gif не является решением исходного уравнения.

Ответ: hello_html_m149210df.gif

ПРИМЕР 4

Решить уравнение: hello_html_m33589c75.gif

Решение

Оценим левую часть уравнения. Так как hello_html_7f5e9f7.gif и hello_html_m821af3d.gif, левая часть уравнения может быть равной единице только в том случае, если


hello_html_m53d4ecad.gif

а) hello_html_1ec8156e.gif б) hello_html_38f0262d.gif

Решая систему (а), получим hello_html_2472ff50.gif. Подставляя это значение х во второе уравнение системы (а), получим hello_html_7adae816.gif, то есть hello_html_m96cce2e.gif является решением исходного уравнения.

Решим систему (б) hello_html_7b68a840.gif. Подставим это значение во второе уравнение системы (б), получим

hello_html_m4bb4da4b.gif

то есть hello_html_31087ecc.gif тоже является решением исходного уравнения. Тогда ответ для исходного уравнения запишется в виде hello_html_m2cf49a48.gif


ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

При решении иррациональных тригонометрических уравнений после возведения обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Рассмотрим примеры решения таких уравнений, выбирая метод проверки, адекватный полученному решению.

ПРИМЕР 1

Решить уравнение: hello_html_m5298e5e3.gif

Решение

hello_html_m6a60a7fc.gif

Уравнение hello_html_m25a245da.gif решений не имеет. Остается hello_html_1291ef03.gif. Условие, снимающее знак (*) в первом переходе, hello_html_2c400003.gif, значит, решение уравнения hello_html_1291ef03.gif должно принадлежать четвертой четверти, то есть

hello_html_m4779906d.gif

Ответ: hello_html_m4779906d.gif

ПРИМЕР 2

Решить уравнение: hello_html_3ed2c4de.gif

Решение

hello_html_m71401546.gif

откуда hello_html_47cea006.gif или hello_html_m5a064639.gif. Условие равносильности hello_html_a01e12e.gif, значит hello_html_m5a064639.gif посторонний корень. Остается

hello_html_13cbe6f0.gif

Ответ: hello_html_m5dfefeeb.gif








ПРИМЕР 3

Решить уравнение: hello_html_5ab20c9b.gif

Решение

hello_html_44b16397.gif

откуда

hello_html_56f396ae.gif

откуда hello_html_3b7acb7b.gif и hello_html_m604025df.gif Так как в решении знак (*) отсутствует, фиксируем ответ:

hello_html_m65dbb9e9.gif.

hello_html_m53d4ecad.gif

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

С -1. Простейшие тригонометрические уравнения.

Вариант1

1) hello_html_m4557e655.gif

2) hello_html_m5c37e8c6.gif

3) hello_html_m1d7cd12f.gif

4) hello_html_m750583ba.gif

5) hello_html_650996d.gif

6) hello_html_m37e180a2.gif

7) hello_html_m2157506b.gif



Вариант 2

1) hello_html_47da03a1.gif

2) hello_html_m53ecee7b.gif

3) hello_html_m5c37e8c6.gif

4) hello_html_m62e68de7.gif

5) hello_html_467d1694.gif

6) hello_html_e919210.gif

7) hello_html_m6dbf4726.gif


С – 2. Многовариантная самостоятельная работа на простейшие тригонометрические уравнения.

Решите тригонометрическое уравнение, если hello_html_ad2e3a8.gif - один из его корней (см. таблицу).

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант6

1) hello_html_47d6779b.gif

hello_html_m3d66bc3d.gif

hello_html_m6810973.gif

hello_html_17cdae1e.gif

hello_html_71a956de.gif

hello_html_m560a1842.gif

hello_html_3789ddce.gif

2) hello_html_7bc80fea.gif

hello_html_17cdae1e.gif

hello_html_m3d66bc3d.gif

hello_html_m560a1842.gif

hello_html_3789ddce.gif

hello_html_m6810973.gif

hello_html_71a956de.gif

3) hello_html_m2e3baacb.gif

hello_html_73095e40.gif

hello_html_3789ddce.gif

hello_html_71a956de.gif

hello_html_m6810973.gif

hello_html_3db6adfc.gif

hello_html_17cdae1e.gif

4) hello_html_1355af9d.gif

hello_html_3789ddce.gif

hello_html_1642c301.gif

hello_html_5ae4ac3c.gif

hello_html_m5014f5cb.gif

hello_html_mfae2e33.gif

hello_html_4700aa0f.gif

5) hello_html_3dc66233.gif

hello_html_3789ddce.gif

hello_html_5ae4ac3c.gif

hello_html_3b3cecdf.gif

hello_html_m77c1068f.gif

hello_html_m62325926.gif

hello_html_71041554.gif

6) hello_html_me1f2127.gif

hello_html_ac7c2e3.gif

hello_html_m69dd929e.gif

hello_html_mfbf6e81.gif

hello_html_4d83e43d.gif

hello_html_6c84b2bb.gif

hello_html_782d8bb8.gif


С – 3. Применение условий равенства двух одноименных тригонометрических функций.

Вариант 1

1) hello_html_156a8123.gif 2) hello_html_45e81f.gif 3) hello_html_16137772.gif 4) hello_html_m68fdb546.gif

Вариант 2

1) hello_html_6a47c59e.gif 2) hello_html_74752f34.gif 3) hello_html_6f825a6e.gif 4) hello_html_4c531d95.gif

Вариант 3

1) hello_html_266f2bb0.gif 2) hello_html_6cd1f6f0.gif 3) hello_html_m628321bf.gif 4) hello_html_4e5aee8c.gif


С – 4. Уравнения, решающиеся методом подстановки.

  1. Решите уравнение вида hello_html_m5a2196fd.gif, если

1 вариант

2 вариант

3 вариант

4 вариант

5 вариант

6 вариант

hello_html_3b9b98f8.gif

hello_html_504d702d.gif

hello_html_6b600e05.gif

hello_html_18e9bfe6.gif

hello_html_m55fc2683.gif

hello_html_mcf8b1b6.gif


2) Решите уравнение вида hello_html_12ec35bd.gif, если hello_html_ad2e3a8.gif является корнем данного уравнения:

1 вариант

2 вариант

3 вариант

4 вариант

5 вариант

6 вариант

hello_html_m65874b83.gif

hello_html_m5109c713.gif

hello_html_me0392d0.gif

hello_html_m112531e5.gif

hello_html_ma991d23.gif

hello_html_17203158.gif


С – 5. Уравнения, решающиеся введением новой переменной.

Вариант 1

1) hello_html_m23ac544.gif

2) hello_html_m4304c37c.gif, если hello_html_32619b8f.gifявляется корнем;

3) hello_html_m116af302.gif, если hello_html_55274dda.gifявляется корнем;

4) hello_html_571a7623.gif, если hello_html_m722940d0.gifявляется корнем.

Вариант 2

1) hello_html_m4b8d9fa8.gif

2) hello_html_c3a2b11.gif, если hello_html_m5a7bad0b.gif является корнем;

3) hello_html_7976ac9.gif, если hello_html_32619b8f.gif является корнем;

4) hello_html_5d053b1f.gif, если hello_html_55274dda.gif является корнем.

Вариант 3

1) hello_html_41555c6b.gif

2) hello_html_m48833dc1.gif, если hello_html_m21b7fa76.gif является корнем;

3) hello_html_4123a9ab.gif, если hello_html_582e9f00.gif является корнем;

4) hello_html_ma685844.gif,если hello_html_m5b890e69.gif является корнем.

С – 6. Однородные уравнения.

Вариант 1

1) hello_html_mf2c0069.gif

2) hello_html_7f389b83.gif

3) hello_html_283ce7c3.gif

4) hello_html_12f8f5cd.gif

Вариант 2

1) hello_html_m251650cb.gif

2) hello_html_m45e28fdf.gif

3) hello_html_3923e960.gif

4) hello_html_m75357501.gif

Вариант 3

1) hello_html_7bfa399.gif

2) hello_html_4ac78957.gif

3)hello_html_2ffa123f.gif

4) hello_html_ac73d81.gif

С – 7. Уравнения, решающиеся разложением на множители.

Вариант 1

1) hello_html_m428905fc.gif

2) hello_html_m1cc226e6.gif

3) hello_html_10fec346.gif

4) hello_html_3d38827f.gif

Вариант 2

1) hello_html_bb988ee.gif

2) hello_html_3e5a1267.gif

3) hello_html_m5aa30cd5.gif

4) hello_html_35e4915c.gif

С – 8. Уравнения вида hello_html_mfe638e3.gif

1) hello_html_2c9c7f8e.gif

2) hello_html_m6b75332c.gif

3) hello_html_m1164f966.gif

4) hello_html_mda9ab4b.gif

5) hello_html_m2e8135d.gif

6) hello_html_6e4b3e0d.gif

С-9

Вариант 1

1) а) Решите уравнение hello_html_35b5e12.gif

Ответ: hello_html_m2f898433.gif

б) Решите уравнение hello_html_m65098807.gif

Ответ: hello_html_bd54e14.gif

Вариант 2

3) а) Найдите критические точки функции hello_html_7e70d961.gif

Ответ: hello_html_4eb680ca.gif

б) Найдите критические точки функции hello_html_4bbd6a9a.gif

Ответ: hello_html_5cbd3fd3.gif

Вариант 3

4) а) Найдите критические точки функции hello_html_m71fe2a57.gif

Ответ: hello_html_3c0fd4a6.gif

б) Найдите критические точки функции hello_html_m319c150e.gif

Ответ: hello_html_235e470f.gif

Вариант 4

4) а) Решите уравнение hello_html_m1caf72a6.gif

Ответ: hello_html_19ef6093.gif

б) Решить уравнение hello_html_m216f9e28.gif

Ответ: hello_html_1a89a400.gif

Вариант 5

6) а) Найдите критические точки функции hello_html_m43d43634.gif и укажите среди них одну из точек максимума.

Ответ: hello_html_m49f5268e.gif - точка максимума.

б) Найдите критические точки функции hello_html_m2233ef21.gif и укажите среди них одну из точек минимума.

Ответ: hello_html_m69bd6f4.gif - точка минимума.

Вариант 6

4) а) Сколько корней имеет уравнение hello_html_m553986cf.gif на отрезке hello_html_b273cec.gif?

Ответ: 100.

б) Сколько корней имеет уравнение hello_html_1a440041.gif на отрезке hello_html_m4f0f130c.gif?

Ответ: 50.

Вариант 7

3) а) Вычислите абсциссы и ординаты точек пересечения графиков функции hello_html_2047c67d.gifи hello_html_695d4633.gif

Ответ: точки вида hello_html_m2744d3f5.gif

б) Вычислите абсциссы и ординаты точек пересечения графиков функций hello_html_m54dd127b.gif и hello_html_2b9c433a.gif

Ответ: точки вида hello_html_m60bc1a11.gif

Вариант 8

4) а) Найдите все значения х, при которых выражение hello_html_21362342.gif имеет смысл и не обращается в нуль.

Ответ: hello_html_3850b4e.gif

Простейшие уравнения с параметром.

В заданиях 1 – 7 нужно решить уравнения для всех значений а.

1) hello_html_f593eb7.gif

Ответ: hello_html_22c11277.gif

2)hello_html_79be640a.gif

Ответ: hello_html_1d7a894b.gif

hello_html_m3cc8bd4d.gif

3) hello_html_7016f057.gif

Ответ: hello_html_7858f2af.gif

hello_html_12a8edce.gif

hello_html_313d5d56.gif

4) hello_html_m775b0bee.gif

Ответ: hello_html_mb915335.gif

hello_html_m2680d760.gif

5) hello_html_m41093bf1.gif

hello_html_m3ae85685.gif

Ответ: hello_html_maef5094.gif

hello_html_bc06e38.gif

6) hello_html_48b7a862.gif

hello_html_4b69f78a.gif

Ответ: hello_html_b836f94.gif

hello_html_m7a1f0ba2.gif

7) hello_html_6fa145ca.gif

Ответ: hello_html_78a568e5.gif

hello_html_maef5094.gif

8) При каких значениях а уравнение hello_html_m25143a10.gif не имеет решения?

Данное уравнение не будет иметь решений, если парабола, задаваемая функцией hello_html_571dba8e.gif, будет расположена одним из трех способов: см. рисунок.

hello_html_m371a9b93.png

1. hello_html_m581060bf.gif

2. Так как hello_html_m2b60ed5.gif, то hello_html_m24dd06be.gifhello_html_m51333ff6.gif

hello_html_m5e6f8887.gif

3. Такого быть не может, так как hello_html_m2b60ed5.gif

Ответ: hello_html_m3fb36037.gif



Решить самостоятельно.

  1. При каких значениях параметра а уравнение hello_html_213b8371.gif не имеет решений?

Ответ: hello_html_m7e89247c.gif

  1. При каких значениях параметра а уравнение hello_html_m3f38b885.gif имеет решения?

Ответ: hello_html_m63346b4.gif

  1. При каких значениях параметра а уравнение hello_html_12402ea8.gif имеет ровно один корень на отрезке hello_html_m2198351a.gif?

Ответ: hello_html_3754382c.gif

  1. При каких значениях параметра а уравнение hello_html_m5930aeb7.gif имеет ровно один корень на интервале hello_html_m32bce086.gif?

Ответ: hello_html_db733ed.gif

Системы тригонометрических уравнений

1. hello_html_m769c5f5b.gifhello_html_2d70785c.gifhello_html_6ae7d342.gif

Ответ: hello_html_52acd4ea.gif

hello_html_m2cf04f3a.gif

В записи ответа участвует одна переменная.

2. hello_html_6839ed51.gifhello_html_m178687b.gif

Ответ: hello_html_m304680a9.gif

hello_html_mfbe7399.gif

3. hello_html_m3af5092e.gif

Эту систему моно решать как линейную относительно hello_html_5d455e3f.gif и hello_html_m1777a0d0.gif.

hello_html_mcb70b6f.gif

Ответ: hello_html_3e4ec0b1.gif

4. hello_html_m3770753c.gifhello_html_701aad1f.gifhello_html_4f4dec2.gif

Удобнее рассмотреть по отдельности четыре системы, совокупность которых равносильна исходной системе.

hello_html_m1ba09bc9.gifhello_html_13efc374.gif

Ответ: hello_html_67e299e1.gif

5. hello_html_m4931cdcd.gifhello_html_m7cb0e0da.gif

Необходимо рассмотреть два случая:

а) hello_html_4ce87a47.gifhello_html_6bfda619.gifhello_html_m1fce387e.gif

б) hello_html_7ca25c4a.gifhello_html_m4f73e566.gifhello_html_71dee8cf.gif

Следствием этой системы является уравнение

hello_html_m345e7afd.gif

Пусть hello_html_721451cc.gif

hello_html_m61f223a7.gif

Пусть hello_html_1b7bbe9b.gif

hello_html_m79b9bcfc.gif

Ответ: hello_html_m561e2e41.gif

hello_html_m20d36dd3.gif




Системы уравнений, в которых одно уравнение – алгебраическое, а другое тригонометрическое.

а)

hello_html_m3e6749a6.gif

б)

hello_html_m36d562a0.gif

Системы, в которых оба уравнения – тригонометрические уравненияhello_html_m15233ec9.gif

1)

hello_html_18f0b6f7.gifили hello_html_7b331b7f.gif

hello_html_m385efa54.gifhello_html_10ccb5bd.gif

Ответ:

hello_html_32f65cd6.gif

2)

hello_html_m6bce4027.gif

hello_html_m6defd5e4.gifили hello_html_m3c66bb8d.gif

hello_html_4da85bef.gif

Ответ:

hello_html_m3e86bbe7.gif

3)

hello_html_13e92d3a.gif

hello_html_m2532d93a.gifили hello_html_408fe10f.gif

hello_html_e163983.gif

Ответ:

hello_html_6532d2bc.gif

4)

hello_html_608efed7.gifили hello_html_m3b1ff369.gif

hello_html_a13b389.gif

Ответ:

hello_html_m2a1c918a.gif

5)hello_html_m3eaad3e9.gif

Ответ: hello_html_3c8a99a0.gif

6) hello_html_53cea93c.gif

Так как hello_html_m41356a25.gif

hello_html_70ce8232.gifили hello_html_m4b6774d6.gif

hello_html_mfa465eb.gif

Ответ:hello_html_m7984132f.gif

7)hello_html_m76ef1c2f.gif

hello_html_me589441.gif

Ответ: hello_html_6512bde3.gif

8) hello_html_70092b7a.gif

Пусть hello_html_2e2527ee.gif тогда hello_html_6d52ee22.gif

hello_html_53094941.gif



Это уравнение равносильно следующей схеме

hello_html_m781e6c5b.gif

hello_html_m68cbb018.gifhello_html_17cf2362.gif

hello_html_22ce59ab.gifтак как hello_html_m32408bdd.gif

Ответ: hello_html_25edde94.gif

Решить самостоятельно

а) Решить систему уравнений hello_html_m33a7fbd3.gif

Ответ: hello_html_m3a9d8b31.gif

б) Решите систему уравнений hello_html_1a082946.gif

Ответ: hello_html_36df8cad.gif

Примеры решения тригонометрических неравенств

1) hello_html_53c7d577.gif

Ссылаясь на формулу hello_html_170a6f25.gif, преобразуем левую часть неравенства:

hello_html_7a3d3b3.gif

Значит, данное неравенство равносильно неравенству hello_html_m3eb7766d.gif. Отсюда hello_html_3a9a99e6.gif. Следовательно, hello_html_1d1a91f3.gif

2) hello_html_4ea6a0b9.gif

Пусть hello_html_2d7959ab.gif, где hello_html_m35c42672.gif. hello_html_m3855bbce.gif при hello_html_m2a65400a.gif, т.е. при hello_html_m1aac2f.gif. Значит, hello_html_2cd78ec9.gif, следовательно, hello_html_1a3a059e.gif

3) hello_html_m227c846b.gif

Предположим hello_html_430d1b6a.gif, откуда hello_html_m35c42672.gif. Решим неравенство hello_html_m60cfc48b.gif. Корни квадратного уравнения hello_html_m59c5c835.gifhello_html_6051cd0b.gif. Отсюда hello_html_m60cfc48b.gif при hello_html_5ec49689.gif или hello_html_m31e0d388.gif

Ограничение hello_html_m35c42672.gif дает либо hello_html_3b3cc2b1.gif, либо hello_html_m7010ce27.gif. Заменяя t на cos x, получим:

а) либо hello_html_30b90173.gif, т.е. hello_html_3b7f64d1.gif

б) либо hello_html_m34563367.gif, т.е. hello_html_2292cd29.gif.

Ответ: hello_html_2292cd29.gif, или hello_html_2471c1b8.gif

4) hello_html_1c28dea5.gif. Область определения hello_html_60c559cc.gif. Представив неравенство в виде

hello_html_m1f7a4fef.gif,

получим двойное неравенство hello_html_m7e0e23a9.gif, равносильное данному. Значит, hello_html_m4e3490cc.gif

5) hello_html_m178b0140.gif

Так как hello_html_561e5797.gif, то данное неравенство сводится к равносильному неравенству hello_html_4890ab9d.gif Отсюда:

а) hello_html_169f3ce4.gif, т.е. hello_html_m6bd48415.gif, или

б) hello_html_m7c3410d2.gif, т.е. hello_html_m2ad5d12.gif

Упражнения

Решить уравнения:

hello_html_11291c08.gif

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

ВАРИАНТ 1

1. Упростить выражение:

hello_html_7fd296e4.gif

2. Дано: hello_html_m68e85ba3.gif и hello_html_55045f43.gif

Найдите:

hello_html_m7a4897fc.gif

3. Докажите тождество:

hello_html_m367c812b.gif

4. Доказать, что функция hello_html_6c22f2ef.gif является чётной.

5. Вычислить:

hello_html_160f6d73.gif

ВАРИАНТ 2

1. Упростить:

hello_html_5b0bfe87.gif

2. Дано:hello_html_4ef3bf16.gif и hello_html_36fa4911.gif

Найдите:

hello_html_4991c9a4.gif

3. Доказать тождество:

hello_html_5735090b.gif

4. Доказать, что функция hello_html_7592960f.gif является чётной.

5. Вычислить:

hello_html_630d4d52.gif

ВАРИАНТ 3

1. Упростить:

hello_html_5d0919f8.gif

2. Дано: hello_html_m715de59c.gif и hello_html_36fa4911.gif

Найдите:

hello_html_m685b02d.gif

3. Докажите тождество:

hello_html_m8c09392.gif

4. Доказать, что функция hello_html_m4888fddd.gif является нечётной

5. Вычислить:

hello_html_1dc308.gif


ВАРИАНТ 4

1. Упростить:

hello_html_m66d46e66.gif

2. Дано: hello_html_73014716.gif

Найдите:

hello_html_m5722a915.gif

3. Доказать тождество:

hello_html_d80e481.gif

4. Доказать, что функция hello_html_4d2615e2.gif не является ни чётной, ни нечётной.

5. Вычислить:

hello_html_1b52874c.gif

ВАРИАНТ 5

1. Упростить

hello_html_75c3d670.gif

2. Дано:

hello_html_m7b9b45d6.gif

Найдите: hello_html_6773714.gif

3. Доказать тождество:

hello_html_m67321b40.gif

4. Доказать, что функция hello_html_1f09e643.gif является чётной.

5. Вычислить hello_html_m2bba3690.gif

ВАРИАНТ 6

1. Упростить:

hello_html_7157122.gif

2. Дано: hello_html_m47637a7b.gif

Найдите:

hello_html_m25fc961a.gif

3. Доказать тождество:

hello_html_m4cd702fd.gif

4. Доказать, что функция hello_html_4a2f3a3b.gifявляется нечетной

5. Вычислить:

hello_html_m181b4ec1.gif

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

ВАРИАНТ 1

1. Решить уравнение:

hello_html_66bb2340.gif

2. Укажите на тригонометрической окружности все точки, удовлетворяющие неравенству:

hello_html_45e5a12a.gif

3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания 2 одновременно.

ВАРИАНТ 2

1. Решите уравнение:

hello_html_19550760.gif

2. Укажите на тригонометрической окружности все точки, удовлетворяющие неравенству:

hello_html_230c2681.gif

3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания 2 одновременно.

ВАРИАНТ 3

1. Решите уравнение:

hello_html_m443d6ed8.gif

2. Укажите на тригонометрической окружности все точки, удовлетворяющее неравенству:

hello_html_4f113a1f.gif

3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания 2 одновременно.

ВАРИАНТ 4

1. Решите уравнение:

hello_html_49b74ced.gif

2. Укажите на тригонометрической окружности все точки, удовлетворяющие неравенству:

hello_html_m74afb758.gif

3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания 2 одновременно.

ВАРИАНТ 5

1. Решите уравнение:

hello_html_5c7eb34d.gif

2. Решите неравенство:

hello_html_m598841b.gif

3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания 2 одновременно.

ВАРИАНТ 6

1. Решите уравнение:

hello_html_m335e24fc.gif

2. Решите неравенство:

hello_html_m65ee3443.gif

3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания одновременно.

Оглавление


Введение 3

Тригонометрические функции числового аргумента 4

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла 4

Формулы приведения 6

Преобразование тригонометрических выражений 6

Упражнения 8

Решение простейших тригонометрических уравнений 9

Решение тригонометрических уравнений вида sin f(x) = a 14

Приведение уравнений к алгебраическому виду относительно к какой –либо тригонометрической функции 15

Способы решения уравнений, основанных на использовании свойств произведения и частного 21

Решение уравнений. Тригонометрические функции с четным показателем 25

Решение тригонометрических уравнений методом вспомогательного угла 29

Оценка левой и правой частей уравнения 32

Иррациональные тригонометрические уравнения 34

Самостоятельные работы 37

Простейшие уравнения с параметром 43

Решить самостоятельно 45

Системы тригонометрических уравнений 45

Системы уравнений, в которых одно уравнение алгебраическое, а другое тригонометрическое 48

Решить самостоятельно 52

Примеры решений тригонометрических неравенств 52

Упражнения 55

Контрольные вопросы 56




Литература.

  1. Колмогоров «Алгебра и начала анализа». М., 1990.

  2. В.В. Кулешов «Задачи по элементарной математике» Тольятти, 1994.

  3. Сборник задач по математике для поступающих во втузы (под редакцией М.И. Сканави М., 1998)

  4. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия М., 1991.

  5. Бородулл И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства. М., 1989.

65


Автор
Дата добавления 20.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров2508
Номер материала ДВ-079775
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх