Карточка №1

1.Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, если его катет и ги­по­те­ну­за равны со­от­вет­ствен­но 12 и 13.

2.. Най­ди­те гра­дус­ную меру ∠ACB, если из­вест­но, что BC яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти, а гра­дус­ная мера ∠AOC равна 96°.

3.  Пе­ри­метр рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равен 30. Най­ди­те его пло­щадь, делённую на .

4.  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

5.  Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Около вся­ко­го тре­уголь­ни­ка можно опи­сать не более одной окруж­но­сти.

2) В любой тре­уголь­ник можно впи­сать не менее одной окруж­но­сти.

3) Цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис.

4) Цен­тром окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров к его сто­ро­нам.

Карточка №2

 1.. В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 90°, AC = 6, sin B= 0,3. Най­ди­те BC.

2. Точка О — центр окруж­но­сти, ∠ACB = 24° (см. ри­су­нок). Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла AOB (в гра­ду­сах).

3. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

4.  На ри­сун­ке изоб­ра­жен ромб . Ис­поль­зуя ри­су­нок, най­ди­те .

5.  Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

      1) Один из углов тре­уголь­ни­ка все­гда не пре­вы­ша­ет 60 гра­ду­сов.

2) Диа­го­на­ли тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся и де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам.

3) Все диа­мет­ры окруж­но­сти равны между собой.

Карточка № 3

1.  Най­ди­те угол АDС рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль АС об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем ВС и бо­ко­вой сто­ро­ной АВ углы, рав­ные 30° и 40° со­от­вет­ствен­но.

2.  Най­ди­те длину хорды окруж­но­сти ра­ди­у­сом 13 см, если рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды равно 5 см. Ответ дайте в см.

3.  Най­ди­те пло­щадь кру­го­во­го сек­то­ра, если ра­ди­ус круга равен 3, а угол сек­то­ра равен 120°. В от­ве­те ука­жи­те пло­щадь, де­лен­ную на π.

4.  Пло­щадь одной клет­ки равна 1. Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры.

5.  Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой со­от­вет­ствен­ные углы равны 37°, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны.

2) Через любые три точки про­хо­дит не более одной пря­мой.

3) Сумма вер­ти­каль­ных углов равна 180°.

Карточка № 4

1.  В тре­уголь­ни­ке ABC угол С равен 90°, AC =3,             Най­ди­те AB.

2.На от­рез­ке AB вы­бра­на точка C так, что AC = 75 и BC = 10. По­стро­е­на окруж­ность с цен­тром A, про­хо­дя­щая через C. Най­ди­те длину от­рез­ка ка­са­тель­ной, про­ведённой из точки B к этой окруж­но­сти.

3. Пе­ри­метр ромба равен 24, а ко­си­нус од­но­го из углов равен . Най­ди­те пло­щадь ромба.

4.  Най­ди­те тан­генс угла    тре­уголь­ни­ка  , изоб­ражённого на ри­сун­ке.

5.  Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1) Любой пря­мо­уголь­ник можно впи­сать в окруж­ность.

2) Все углы ромба равны.

3) Тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 су­ще­ству­ет.

Карточка № 5

1. В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD AB = BC,AD = CD, ∠B = 77°, ∠D = 141°. Най­ди­те угол A. Ответ дайте в гра­ду­сах.

2. Цен­траль­ный угол AOB, рав­ный 60°, опи­ра­ет­ся на хорду АВ дли­ной 3. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти.

3. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, опи­сан­но­го во­круг окруж­но­сти ра­ди­у­са 83.

4.Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

5. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1) Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей.

2) Сумма углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сам.

3) Бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в цен­тре впи­сан­ной в него окруж­но­сти.

Карточка № 6

     1. Пе­ри­метр рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равен 196, а ос­но­ва­ние — 96. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

2. В окруж­но­сти с цен­тром O AC и BD — диа­мет­ры. Угол ACB равен 26°. Най­ди­те угол AOD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

3.  Сто­ро­на рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равна 10. Най­ди­те его пло­щадь, делённую на .

4. 

Най­ди­те тан­генс угла B в тре­уголь­ни­ке ABC, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

5.  Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, можно про­ве­сти пря­мую, па­рал­лель­ную этой пря­мой.

2) Тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 су­ще­ству­ет.

3) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квад­рат.

4) Центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти все­гда лежит внут­ри этого тре­уголь­ни­ка.

Карточка №7

1.  В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на бис­сек­три­са AL,угол ALC равен 112°, угол ABC равен 106°. Най­ди­те угол ACB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

2. На окруж­но­сти с цен­тром O от­ме­че­ны точки A и Bтак, что  Длина мень­шей дуги AB равна 63. Най­ди­те длину боль­шей дуги.

3.В ромбе сто­ро­на равна 10, одна из диа­го­на­лей — 10, а угол, из ко­то­ро­го вы­хо­дит эта диа­го­наль, равен 120°. Най­ди­те пло­щадь ромба, де­лен­ную на 

4. На ри­сун­ке изоб­ра­жен ромб  . Ис­поль­зуя ри­су­нок, най­ди­те  .

5. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1) Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

2) Диа­го­на­ли ромба равны.

3) Тан­генс лю­бо­го остро­го угла мень­ше еди­ни­цы.

Карточка №8

1.  Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 4 и 10. Най­ди­те боль­ший из от­рез­ков, на ко­то­рые делит сред­нюю линию этой тра­пе­ции одна из её диа­го­на­лей.

2 Цен­траль­ный угол AOB опи­ра­ет­ся на хорду AB дли­ной 6. При этом угол OAB равен 60°. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти.

3.  Тан­генс остро­го угла пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции равен . Най­ди­те её бóльшее ос­но­ва­ние, если мень­шее ос­но­ва­ние равно вы­со­те и равно 14.

4.

Най­ди­те синус остро­го угла тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

5. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

       1) Если катет и ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но 6 и 10, то вто­рой катет этого тре­уголь­ни­ка равен 8.

2) Любые два рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.

3) Любые два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.

4) Тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го AB = 3, BC = 4, AC = 5, яв­ля­ет­ся ту­по­уголь­ным.

Карточка №9

1. Четырёхуголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABD равен 71°, уголCAD равен 61°. Най­ди­те угол ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

2. Сто­ро­на AC тре­уголь­ни­ка ABC про­хо­дит через центр опи­сан­ной около него окруж­но­сти. Най­ди­те ∠C , если ∠A = 44. Ответ дайте в гра­ду­сах.

3.  Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 6, а синус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

4.  Най­ди­те тан­генс угла А тре­уголь­ни­ка ABC, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

5. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Квад­рат любой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сто­рон без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния этих сто­рон на синус угла между ними.

2) Если ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 5 и 12, то его ги­по­те­ну­за равна 13.

3) Тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го AB = 5, BC = 6, AC = 7, яв­ля­ет­ся ост­ро­уголь­ным.

4) В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке квад­рат ка­те­та равен раз­но­сти квад­ра­тов ги­по­те­ну­зы и дру­го­го ка­те­та.

Карточка №10

1. В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, BC = 20,  = 0,5. Най­ди­те AC.

2.  Точка О — центр окруж­но­сти, ∠ACB = 32° (см. ри­су­нок). Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла AOB (в гра­ду­сах).

3.  Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 4 см и 10 см. Диа­го­наль тра­пе­ции делит сред­нюю линию на два от­рез­ка. Най­ди­те длину боль­ше­го из них.

4.  Пло­щадь одной клет­ки равна 1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

5.  Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) Бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ведённая из вер­ши­ны, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию, делит ос­но­ва­ние на две рав­ные части.

2) В любом пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­на­ли вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

3) Для точки, ле­жа­щей на окруж­но­сти, рас­сто­я­ние до цен­тра окруж­но­сти равно ра­ди­у­су.

Карточка №11

1.. В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, AC = 4, tgA = 0,75. Най­ди­те BC.

2.  Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 4. Угол при вер­ши­не, про­ти­во­ле­жа­щий ос­но­ва­нию, равен 120°. Най­ди­те диа­метр окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

3.  В ромбе сто­ро­на равна 10, одна из диа­го­на­лей — , а угол, ле­жа­щий на­про­тив этой диа­го­на­ли, равен 45°. Най­ди­те пло­щадь ромба, де­лен­ную на 

4.  Най­ди­те тан­генс угла AOB.

5. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1) Сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сам.

2) Сред­няя линия тра­пе­ции равна сумме её ос­но­ва­ний.

3) В любой четырёхуголь­ник можно впи­сать окруж­ность.

Карточка №12

1. Сумма трех углов вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 300°. Най­ди­те чет­вер­тый угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

2.

 От­рез­ки AC и BD — диа­мет­ры окруж­но­сти с цен­тром O. Угол ACB равен 23°. Най­ди­те угол AOD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

3. Пе­ри­метр ромба равен 40, а один из углов равен 30°. Най­ди­те пло­щадь ромба.

4. Най­ди­те тан­генс угла AOB, в тре­уголь­ни­ке, изоб­ражённом на ри­сун­ке.

5.  Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник имеет шесть осей сим­мет­рии.

2) Пря­мая не имеет осей сим­мет­рии.

3) Цен­тром сим­мет­рии ромба яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей.

4) Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник имеет три оси сим­мет­рии.

Карточка №13

1.  Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна   Один из ост­рых углов равен 30°. Най­ди­те длину ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив этого угла.

2.  От­рез­ки AB и CD яв­ля­ют­ся хор­да­ми окруж­но­сти. Най­ди­те длину хорды CD, если AB = 20, а рас­сто­я­ния от цен­тра окруж­но­сти до хорд AB и CD равны со­от­вет­ствен­но 24 и 10.

3. В ромбе сто­ро­на равна 10, одна из диа­го­на­лей — , а угол, ле­жа­щий на­про­тив этой диа­го­на­ли, равен 150°. Най­ди­те пло­щадь ромба.

4.  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

5.  Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Цен­тром сим­мет­рии пря­мо­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей.

2) Цен­тром сим­мет­рии ромба яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей.

3) Пра­виль­ный пя­ти­уголь­ник имеет пять осей сим­мет­рии.

4) Цен­тром сим­мет­рии рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния ее диа­го­на­лей.

Карточка №14

1.                 Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла DOK, если OK — бис­сек­три­са угла AOD, ∠DOB = 108°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

2.  От­рез­ки AB и CD яв­ля­ют­ся хор­да­ми окруж­но­сти. Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды CD, если AB = 18, CD = 24, а рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хордыAB равно 12.

3.  Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 34, а ос­но­ва­ние равно 60. Най­ди­те пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка.

4.  Най­ди­те тан­генс угла AOB, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

5.  Какие из дан­ных утвер­жде­ний верны? За­пи­ши­те их но­ме­ра.

1) Каж­дая из бис­сек­трис рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его ме­ди­а­ной.

2) Диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка равны.

3) У любой тра­пе­ции бо­ко­вые сто­ро­ны равны.

Карточка №15

1.  Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 8 и 20. Най­ди­те боль­ший из от­рез­ков, на ко­то­рые делит сред­нюю линию этой тра­пе­ции одна из её диа­го­на­лей.

2.  Цен­траль­ный угол AOB опи­ра­ет­ся на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60° . Най­ди­те длину хорды АВ, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 8.

3.  Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 15 и 25, а её бо­ко­вые сто­ро­ны равны 13. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

4.  Най­ди­те тан­генс угла AOB, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

5.  Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Пло­щадь тре­уголь­ни­ка мень­ше про­из­ве­де­ния двух его сто­рон.

2) Сред­няя линия тра­пе­ции равна сумме её ос­но­ва­ний.

3) Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

Карточка №16

1.  Пря­мые m и n па­рал­лель­ны. Най­ди­те ∠3, если ∠1= 37°, ∠2 = 77° . Ответ дайте в гра­ду­сах.

2. Тре­уголь­ник ABC впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке O. Най­ди­те гра­дус­ную меру угла C тре­уголь­ни­ка ABC, если угол AOB равен 27°.

3.  Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

4.  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

5.  Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) Бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ведённая из вер­ши­ны, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию, делит ос­но­ва­ние на две рав­ные части.

2) В любом пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­на­ли вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

3) Для точки, ле­жа­щей на окруж­но­сти, рас­сто­я­ние до цен­тра окруж­но­сти равно ра­ди­у­су.

Карточка №17

1. В тре­уголь­ни­ке ABC AB = BC = 53, AC = 56. Най­ди­те длину ме­ди­а­ны BM.

2.  Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, опи­сан­но­го во­круг окруж­но­сти ра­ди­у­са 7.

3.  Одна из сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равна 12, дру­гая равна 5, а ко­си­нус од­но­го из углов равен . Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма.

4. Най­ди­те тан­генс угла AOB, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

5. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

2) Вер­ти­каль­ные углы равны.

3) Любая бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его ме­ди­а­ной.

Карточка №18

1.  Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла DOK, если OK — бис­сек­три­са угла AOD, ∠DOB = 108°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

2.  От­ре­зок AB = 48 ка­са­ет­ся окруж­но­сти ра­ди­у­са 14 с цен­тром O в точке B. Окруж­ность пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AO в точке D. Най­ди­те AD.

3. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке бо­ко­вая сто­ро­на равна 10, ос­но­ва­ние — , а угол, ле­жа­щий на­про­тив ос­но­ва­ния, равен 150°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

4.

На ри­сун­ке изоб­ражён пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник. Най­ди­те длину ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка, про­ведённую из вер­ши­ны пря­мо­го угла.

5.  Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же хорду окруж­но­сти, равны.

2) Если ра­ди­у­сы двух окруж­но­стей равны 5 и 7, а рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми равно 3, то эти окруж­но­сти не имеют общих точек.

3) Если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 3, а рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до пря­мой равно 2, то эти пря­мая и окруж­ность пе­ре­се­ка­ют­ся.

4) Если впи­сан­ный угол равен 30°, то дуга окруж­но­сти, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся этот угол, равна 60°.

Ключ