Задание ОГЭ № 20 "Решение неравенств"

• 1 слайд

  
  
  Решение
  неравенств
  Задание № 20
  по материалам открытого банка
  задач ОГЭ по математике 2023 года
  
  
  
  Кильдеева Ирина Владимировна, учитель математики МБОУ «СОШ № 37» Кемеровского ГО
  
  

• 2 слайд

  Алгоритм решения квадратных неравенств
  Алгоритм решения квадратных неравенств
  с помощью параболы
  Приводим неравенство к виду 𝒂𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄 ⋎𝟎
  2. Рассматриваем функцию у=𝒂𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄, определяем направление ветвей параболы и находим нули функции.
  Для этого решаем уравнение 𝒂𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄=𝟎, находим корни.
  3. На оси Ох, отмечаем точками корни уравнения.
  Если исходное неравенство нестрогое, точки – закрашенные. Если строгое - точки пустые внутри.
  4. Схематично рисуем параболу у=𝒂𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄.
  Определяем области со знаками +/- на рисунке.
  5. Выбираем нужные промежутки и записываем ответ.
  

• 3 слайд

  Алгоритм решения квадратных неравенств
  методом интервалов
  Приводим неравенство к виду 𝒂𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄 ⋎𝟎 или a(x−𝑚)(𝑥−𝑛) ⋎𝟎
  2. Приравнять левую часть неравенства к нулю и решить полученное уравнение.
  3. Отметить полученные точки на оси Ох.
  4. Определить знак на каждом интервале.
  5. Выбрать нужные промежутки и записать ответ.
  
  
  
  
  

• 4 слайд

  Типичные ошибки
  при решении неравенств
  Метод интервалов
  – Выражение не приравнивается к нулю;
  – Не показаны вычисления знаков в интервалах.
  Метод параболы
  – Не вводится функция;
  – Не указывается направление ветвей параболы;
  – Выражение не приравнивается к нулю.
  
  

• 5 слайд

  1. Решите неравенство
  19 −4,5 5−3𝑥 >0.
  Определим знак разности
  19 −4,5
  т.к.4,5= 20,25 , то
  19 < 20,25 ⇒
  19 − 20,25 <0 ⇒
  19 −4,5<0
  При делении на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
  19 −4,5 5−3𝑥 >0
  5−3𝑥<0
  −3𝑥<−5
  𝑥> 5 3
  Ответ:
  5 3 ;+∞
  :(−3)
  :( 19 −4,5 )<0
  

• 6 слайд

  2. Решите неравенство
  Решение: I способ
  
  Решим неравенство методом интервалов, для этого, сначала преобразуем неравенство: 
  𝑥=−2
  𝑥= 2 7
  5𝑥+2 2 ≥ 4−2𝑥 2 .
  5𝑥+2 2 ≥ 4−2𝑥 2
  5𝑥+2 2 − 4−2𝑥 2 ≥0
  5𝑥+2−4+2𝑥 5𝑥+2+4−2𝑥 ≥0
  7𝑥−2 3𝑥+6 ≥0
  5𝑥+2− 4−2𝑥 5𝑥+2+ 4−2𝑥 ≥0
  Найдем корни уравнения:
  7𝑥−2 3𝑥+6 =0
  7𝑥−2=0 или 3𝑥+6=0
  

• 7 слайд

  Расставим точки (корни уравнения) на прямой и определим знаки выражения на каждом получившемся промежутке:
  7∙1−2 3∙1+6 =5∙9=45>0,
  0
  1
  - 3
  Таким образом, ответ
  Ответ:
  (−∞; −2 ∪ 2 7 ; +∞
  +
  +
  −
  7∙0−2 3∙0+6 =−2∙6=−12<0,
  7∙(−3)−2 3∙(−3)+6 =−23∙(−3)=69>0.
  (−∞; −2 ∪ 2 7 ; +∞
  7𝑥−2 3𝑥+6 ≥0
  

• 8 слайд

  2. Решите неравенство
  Решение: II способ
  
  Решим неравенство, используя метод параболы, для этого, сначала преобразуем неравенство: 
  5𝑥+2 2 ≥ 4−2𝑥 2 .
  5𝑥+2 2 ≥ 4−2𝑥 2
  Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥)=7 𝑥 2 +12𝑥−4 − квадратичная функция,
  25 𝑥 2 +20𝑥+4≥16−16𝑥+4 𝑥 2
  21 𝑥 2 +36𝑥−12≥0 :3
  7 𝑥 2 +12𝑥−4≥0
  7 𝑥 2 +12𝑥−4=0
  Найдем нули функции 𝑓 𝑥 :
  график − парабола, 𝑎=7>0⟹ ветви направлены вверх.
  

• 9 слайд

  𝐷=144−4∙7∙ −4 =144+112>0⟹2 корня,
  7 𝑥 2 +12𝑥−4≥0
  7 𝑥 2 +12𝑥−4=0
  𝑥 1 = −12+16 2∙7 = 4 14 = 2 7
  𝑥 2 = −12−16 2∙7 = −28 14 =−2
  Таким образом, ответ
  (−∞; −2 ∪ 2 7 ; +∞
  (−∞; −2 ∪ 2 7 ; +∞
  Ответ:
  +
  +
  −
  

• 10 слайд

  3. Решите неравенство
  Решение:
  𝑥=7+ 11
  𝑥=7
  или
  𝑥−7 2 < 11 𝑥−7 .
  Решим неравенство методом интервалов, для этого, сначала преобразуем неравенство: 
  𝑥−7 2 − 11 𝑥−7 <0
  𝑥−7 𝑥−7− 11 <0
  Найдем корни уравнения:
  𝑥−7 𝑥−7− 11 =0
  𝑥−7 =0
  𝑥−7− 11 =0
  +
  −
  +
  12
  8
  6
  12−7 12−7− 11 >0
  8−7 8−7− 11 <0
  6−7 6−7− 11 >0
  Ответ:
  7;7+ 11
  10,89 < 11 < 11,56
  𝟑,𝟑< 𝟏𝟏 <𝟑,𝟒
  +
  +
  +
  −
  −
  −
  

• 11 слайд

  4. Решите неравенство
  Решение:
  Так как дробь больше нуля, а числитель − 18 < 0, то знаменатель должен быть строго меньше 0, т.е. получим неравенство
  𝑥 2 +8𝑥+6=0,
  𝑥+4 2 −10<0
  𝐷=64−24=40>0⟹2 корня
  𝑥 1 = −8+ 40 2 =−4+ 10
  𝑥 2 = −8− 40 2 =−4− 10
  −18 𝑥+4 2 −10 ≥0.
  Решим неравенство методом параболы:
  Найдем нули функции, т.е. корни уравнения:
  𝑥 2 +8𝑥+16−10<0,
  𝑥 2 +8𝑥+16<0,
  𝑓(𝑥)= 𝑥 2 +8𝑥+16− квадратичная функция, график − парабола, 𝑎=1>0⟹ ветви направлены вверх.
  𝑥+4 2 −10=0
  𝑥+4 2 =10
  𝑥+4= 10
  𝑥 1 =−4+ 10
  или
  𝑥+4=− 10
  𝑥 2 =−4− 10
  1 способ
  2 способ
  I способ
  

• 12 слайд

  Таким образом, ответ
  −4− 10 ; −4+ 10
  Ответ:
  +
  𝑥𝜖 −4− 10 ; −4+ 10 .
  +
  −
  𝑥 2 +8𝑥+16<0,
  

• 13 слайд

  4. Решите неравенство
  Решение:
  Так как дробь больше нуля, а числитель − 18 < 0, то знаменатель должен быть строго меньше 0, т.е. получим неравенство
  𝑥+4 2 −10<0
  −18 𝑥+4 2 −10 ≥0.
  𝑥 1 =−4+ 10
  𝑥 2 =−4− 10
  Решим неравенство методом интервалов, для этого, сначала найдем корни уравнения:
  𝑥+4 2 − 10 2 <0
  𝑥+4− 10 𝑥+4+ 10 <0
  𝑥+4− 10 𝑥+4+ 10 =0
  𝑥+4− 10 =0
  𝑥+4+ 10 =0
  или
  II способ
  

• 14 слайд

  Расставим точки (корни уравнения) на прямой и определим знаки выражения на каждом получившемся промежутке:
  −10+4− 10 −10+4+ 10 = −6− 10 −6+ 10 >0.
  −2+4− 10 −2+4+ 10 = 2− 10 2+ 10 <0,
  0+4− 10 0+4+ 10 >0,
  0
  - 2
  - 10
  Таким образом, ответ
  −4− 10 ; −4+ 10
  Ответ:
  𝑥𝜖 −4− 10 ; −4+ 10 .
  +
  +
  −
  𝑥+4− 10 𝑥+4+ 10 <0
  9,61 < 10 < 10,24
  𝟑,𝟏< 𝟏𝟎 <𝟑,𝟐
  

• 15 слайд

  5. Решите систему неравенств
  10−2𝑥 3+ 5−2𝑥 2 ≥0, 2−7𝑥≤14−3𝑥.
  Решим первое неравенство системы:
  10−2𝑥 3+ 5−2𝑥 2 ≥0
  Можно сразу заметить, что в знаменателе дроби стоит квадрат числа плюс положительное число, значит, 3+ 5−2𝑥 2 >0.
  10−2𝑥≥0
  𝑥−5≤0
  𝑥≤5.
  Решим второе
  неравенство системы:
  2−7𝑥≤14−3𝑥
  −4𝑥≤12 :(−4)
  𝑥≥−3.
  Поэтому, данное неравенство эквивалентно неравенству:
  Найдем пересечение решений неравенств, получим, что решением системы является отрезок −3 ;5 .
  Ответ:
  −3 ;5
  :(−2)
  - 3
  5
  x
  

• 16 слайд

  Для решения первого неравенства системы можно применить
  другой способ:
  10−2𝑥 3+ 5−2𝑥 2 ≥0
  10−2𝑥 3+25−20𝑥+4 𝑥 2 ≥0
  10−2𝑥 4 𝑥 2 −20𝑥+28 ≥0
  2(5−𝑥) 2(2 𝑥 2 −10𝑥+14) ≥0
  5−𝑥 2 𝑥 2 −10𝑥+14 ≥0
  2 𝑥 2 −10𝑥+14=0
  𝐷=100−4∙2∙14=
  =100−112=−12<0
  ⟹ корней нет⟹
  выражение 2 𝑥 2 −10𝑥+14>0
  при любом x.
  Поэтому данное неравенство
  эквивалентно неравенству:
  5−𝑥≥0,
  𝑥≤5.
  Рассмотрим функцию
  𝑓(𝑥)=2 𝑥 2 −10𝑥+14
  − квадратичная функция,
  график − парабола,
  𝑎=2>0⟹ ветви направлены вверх.
  Найдем нули функции 𝑓 𝑥 :
  

• 17 слайд

  Использованы ресурсы
  http://www.mathgia.ru/or/gia12/Main.html - открытый банк заданий ОГЭ по математике