Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Задание С1 для ОГЭ

Задание С1 для ОГЭ



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Документы в архиве:

82.12 КБ C1 системы неравенств.pdf
347.78 КБ C1 системы уравнений.pdf
509.37 КБ C1 уравнения.pdf
730.76 КБ С1 Алгебраические выражения.docx
373.21 КБ С1 неравенства.pdf

Название документа С1 Алгебраические выражения.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Алгебраические выражения

1. Задание 21 № 47. Сократите дробь  http://sdamgia.ru/formula/1d/1d0227a2a4261c496b8b30dc953bfc00p.png .

Решение.

Используем свойства степеней:

 

http://sdamgia.ru/formula/bc/bcb180c02b24276dc9c162c3b11b9588p.png

 

Ответ: 96.

2. Задание 21 № 311236. Разложите на множители: http://sdamgia.ru/formula/fd/fd8e9e7bd61ed4c38577f24733b7f974p.png.

Решение.

Имеем:

http://sdamgia.ru/formula/fb/fb2678f44a739ea107e9c845169be089p.png

 

Ответ: http://sdamgia.ru/formula/55/55fbe2220ed03968415587b998a1c4d6p.png.

3. Задание 21 № 311243. Сократите дробь  http://sdamgia.ru/formula/ef/ef5ba11ea1b24c51b9875a75001bae10p.png

Решение.

Корни квадратного трехчлена

http://sdamgia.ru/formula/81/815c75e391988db0f38e90beebe6f0ecp.png

 

Имеем:

http://sdamgia.ru/formula/d7/d7defae9b79f83e2ede6fafa5f6bc9e4p.png

 

Замечание. Учащийся может разложить трехчлен на множители каким-либо иным способом. Например:

http://sdamgia.ru/formula/f4/f4b9d484fa4333d55d8a841d793f0d1cp.png

 

Ответ: http://sdamgia.ru/formula/4b/4b8bea498b67a3a374fe0bb76c650ba3p.png

4. Задание 21 № 311255. Упростите выражение   http://sdamgia.ru/formula/8c/8cb012a3f38522cba3d010f2af9a9bb0p.png

Решение.

Имеем:

http://sdamgia.ru/formula/25/2512fabf15d6a7194097ef9463f76ce8p.png

 

Ответ:  http://sdamgia.ru/formula/b9/b97fcf083d92a4aa858e4dfd748ded7fp.png

5. Задание 21 № 311552. Один из корней уравнения  http://sdamgia.ru/formula/78/783e0ac7582fe639641a773e7b69b3bcp.png  равен 1. Найдите второй корень.

Решение.

Представим уравнение в виде: http://sdamgia.ru/formula/1c/1c0964ea2b0fe4936cdd7c460a9bb1ecp.png По теореме Виета http://sdamgia.ru/formula/44/44a58af340f088bd70183fe77674c381p.png откуда второй корень http://sdamgia.ru/formula/e9/e94b07030d02905685be46ced56b8605p.png

 

Ответ: −0,6.

6. Задание 21 № 311575. Упростите выражение:   http://sdamgia.ru/formula/a8/a8237a52354a89feed056eca30419b0ap.png.

Решение.

Имеем:

http://sdamgia.ru/formula/73/73b9c63d11893cc23f7a2dc825ef3910p.png

 


Ответ: 2,4.

7. Задание 21 № 311579. Упростите выражение:   http://sdamgia.ru/formula/fb/fbaadca528350162a459daf6048ca91ep.png.

Решение.

Имеем:

http://sdamgia.ru/formula/ce/ce02d6182e7707fb439f9cd22869d900p.png.

 


Ответ: 4.

8. Задание 21 № 311582. Упростите выражение:    http://sdamgia.ru/formula/13/134cf537a94117d9d04b6b6d08fa4987p.png.

Решение.

1)   http://sdamgia.ru/formula/52/52b23b49d9abae250148ab34c1956d60p.png.


2)   
http://sdamgia.ru/formula/96/969140293e92c79001e55a5e5aa6f1c6p.png.


Ответ: −3.

9. Задание 21 № 311584. Упростите выражение:   http://sdamgia.ru/formula/d9/d9e06878898c292dd3e44333afa73071p.png

Решение.

Корни квадратного трёхчлена  http://sdamgia.ru/formula/92/9223a4ee4117d5df2ab90959c55786dfp.png
Значит,  
http://sdamgia.ru/formula/3b/3bc7a770f20784956a91ba2d1eca661bp.png 

http://sdamgia.ru/formula/3a/3ab5865a569b03123d15b6301e29c318p.png

 


http://sdamgia.ru/formula/e0/e0914424b996bf05cd8f23d596d45cbfp.png

 


Ответ:  
http://sdamgia.ru/formula/d1/d105b666157eb4e7bd7922b723174662p.png

10. Задание 21 № 311588. Найдите значение выражения:   http://sdamgia.ru/formula/1a/1abbae147577608c2f7a9ef0fa11271cp.png  при  http://sdamgia.ru/formula/f3/f37e32882c606521f8d0dd99fbce38bep.png

Решение.

Имеем:  

http://sdamgia.ru/formula/35/359087c8fb9cfbaf4c9e28785198960ap.png

 


При  
http://sdamgia.ru/formula/9d/9d34cdbb94fcc091b5b16cb7faeac526p.png  получаем:  http://sdamgia.ru/formula/35/35e883c2d9a0562d8dfbb575042ff2d2p.png


Ответ:  
http://sdamgia.ru/formula/2a/2a66e2df7dfd67b7d44cb82e801ad9ecp.png

11. Задание 21 № 311592. Сократите дробь:   http://sdamgia.ru/formula/cd/cd3df53ddcd799bce99395b5945c5978p.png

Решение.

Имеем:

http://sdamgia.ru/formula/33/338d864185b203bf250f7cad35fdb134p.png

 


Ответ: 2.

12. Задание 21 № 311599. Какое из чисел больше: http://sdamgia.ru/formula/66/66dd5052f0ae75f5b32bb699f9cadf00p.png или http://sdamgia.ru/formula/d9/d9c939745bae1a547188459acfa6d5b9p.png ?

Решение.

Найдем квадраты чисел:

http://sdamgia.ru/formula/6e/6e0b62e3c8ddefd5c75629974ea3e25dp.png;

 


http://sdamgia.ru/formula/1d/1d08c27a63c3199f3de43c1b235e6fc6p.png.

 


Так как 
http://sdamgia.ru/formula/3b/3b2317c36b500e08c67e5ea8b9da51ecp.png, то http://sdamgia.ru/formula/43/43fb46ca45699d1d4991e44d1efe16d3p.png.
Учитывая, что 
http://sdamgia.ru/formula/66/66dd5052f0ae75f5b32bb699f9cadf00p.png и http://sdamgia.ru/formula/d9/d9c939745bae1a547188459acfa6d5b9p.png — положительные числа, получаем, что

http://sdamgia.ru/formula/ea/eaa33f0707cc652509944e5e5ec65bd3p.png.

 


Ответ: 
http://sdamgia.ru/formula/d9/d9c939745bae1a547188459acfa6d5b9p.png.

13. Задание 21 № 311654. Сократите дробь http://sdamgia.ru/formula/c8/c8131fd39122a31085bbeeae48e60612p.png, если http://sdamgia.ru/formula/e0/e0570459b36296a68a54fcec9218f784p.png.

Решение.

Имеем:

http://sdamgia.ru/formula/f4/f436ff837bbbea8291ad0e6bc8875916p.png

 

 


Ответ: 1.

14. Задание 21 № 311921. Упростите выражение http://sdamgia.ru/formula/75/75bccdf6113b476ff853ebbed11e1594p.png

Решение.

 

http://sdamgia.ru/formula/8c/8cadc60010febce12bae2db17371586bp.png

Ответhttp://sdamgia.ru/formula/a9/a97bcd4781d6e6619aa932b661d70d7dp.png

15. Задание 21 № 311965. Сократите дробь http://sdamgia.ru/formula/cb/cbf77ca0b621e72614c7a9a04c0d695fp.png

Решение.

 

http://sdamgia.ru/formula/8b/8bee52e9db0e8f72c6a052d50ffe8271p.png

 

Ответ: 126.

16. Задание 21 № 314310. Сократите дробь http://sdamgia.ru/formula/49/49b1cb2a5400331ef9901a7a419a1815p.png

Решение.

Последовательно разделим многочлен на одночлены в столбик:

 

http://sdamgia.ru/get_file?id=4706

 

Ответhttp://sdamgia.ru/formula/60/608b6fb18ef4d8588464beebbe005b13p.png

17. Задание 21 № 314410. Сократите дробь http://sdamgia.ru/formula/f0/f08beb5be020f82175692d4aedb53e91p.png

 

Решение.

Имеем:

http://sdamgia.ru/formula/95/95c64196e56e26c5f15262712e434d12p.png

 

Ответ: http://sdamgia.ru/formula/f7/f7898f3fa64d95f1c5af61abc1e784cdp.png

18. Задание 21 № 318547. Найдите значение выражения http://sdamgia.ru/formula/18/18289f3c4b2300162b3f6527c6430f48p.png при http://sdamgia.ru/formula/72/72187fa5447d22f490e67759cbe63676p.png http://sdamgia.ru/formula/c8/c8af65e7099b2e8405006da8b5c5aaf7p.png В ответе запишите найденное значение.

Решение.

Приведём дроби к общему знаменателю:

 

http://sdamgia.ru/formula/21/213082c7b48a24a912b8f2baf434f9bdp.png

 

Таким образом, выражение не зависит от значений переменных, поэтому оно равно 7.

 

Ответ: −7.

19. Задание 21 № 338112. Найдите значение выражения http://sdamgia.ru/formula/cb/cb4bb8339d7bcdf61834e5afb5708e29p.png если http://sdamgia.ru/formula/4f/4f5008f7cf4b0d79403dbefd0425573dp.png

Решение.

Преобразуем равенство http://sdamgia.ru/formula/e6/e60295be7d6f2062f584f0e594e12c8dp.png так, чтобы оно содержало выражение http://sdamgia.ru/formula/01/01858e945d2f178f606556063ddbc75fp.png

 

http://sdamgia.ru/formula/63/63e800346e871081df45023c74fd53f3p.png

 

Ответ: 1.

20. Задание 21 № 338134. Найдите значение выражения http://sdamgia.ru/formula/8a/8a137982a3049ed3af8ee4a7b93a2657p.png если http://sdamgia.ru/formula/50/508b8d96cd376aa1eba148d7cce4d88dp.png

Решение.

Найдём значение выражения:

 

http://sdamgia.ru/formula/4c/4c9e1ccc014e04377944faafc3e76d83p.png

 

Ответ: −1.

21. Задание 21 № 338222. Найдите значение выражения http://sdamgia.ru/formula/28/28ef0afc7d6d6c6e3b6c72de1e2b3d78p.png если http://sdamgia.ru/formula/d8/d82f9be5c81d8418748a48c159e60674p.png

Решение.

Найдём значение выражения http://sdamgia.ru/formula/b0/b0da3738e6ba393faee06f72eecceaf6p.png

http://sdamgia.ru/formula/69/69ff5f3c76b9a60589e06726c97a305ep.png

 

Поэтому http://sdamgia.ru/formula/37/37687d1a17d0ab16fb9ed8513c994ec0p.png

Ответ: 1.

22. Задание 21 № 340876. Найдите значение выражения http://sdamgia.ru/formula/2d/2d3b90ac1b916b61612b223fb555b654p.png при http://sdamgia.ru/formula/26/26e37fb7cde5be77f5051b53827d29e0p.png

Решение.

При a ≠ 4 и a ≠ −4 исходное выражение принимает вид:

 

http://sdamgia.ru/formula/ea/ea20f71737046fa29a9092c58a17d984p.png

 

При a = −45 значение этого выражения равно 360.

 

Ответ: 360.

23. Задание 21 № 340931. Сократите дробь http://sdamgia.ru/formula/dd/dd5a9e03919c45c3f35bf22cb672ff6ep.png

Решение.

Преобразуем выражение:

 

http://sdamgia.ru/formula/2a/2a33082f298e0c653c36734f42a89565p.png

 

Ответ: 80.

Неравенства

1. Задание 21 № 125. Решите неравенство  http://sdamgia.ru/formula/49/498001bbfd97401739bbd1c02db7fdc5p.png

Решение.

Перенесём две части неравенства в одну часть и избавимся от знаменателя: http://sdamgia.ru/formula/09/094b5cff9be236a29beb50242a12a833p.png приравняем левую часть к нулю и найдём корни. Отсюда http://sdamgia.ru/formula/58/5870bb658ee9e8a6900c138365d64c80p.png и http://sdamgia.ru/formula/ba/ba524179a05ee6081eeed74be679837ap.png Расставив корни на координатной прямой, определим знаки неравенства, получаем: http://sdamgia.ru/formula/c4/c4c9ca2676c51df9bbbaa71ac1f8fd9ep.png и http://sdamgia.ru/formula/6f/6f8151c692c345a22620e2c95700628cp.png

 

Ответ: (-∞; -0,75]U[3; +∞).

2. Задание 21 № 177. Решите неравенство  http://sdamgia.ru/formula/b3/b30a2c04c1804dc13437a5f903a0cdfap.png

Решение.

Перенесём две части неравенства в одну часть и избавимся от знаменателя: http://sdamgia.ru/formula/47/4766da164791c0c3ba2a7724361b7665p.png приравняем левую часть к нулю и найдём корни. Отсюда http://sdamgia.ru/formula/58/5870bb658ee9e8a6900c138365d64c80p.png и http://sdamgia.ru/formula/ba/ba524179a05ee6081eeed74be679837ap.png Расставив корни на координатной прямой, определим знаки неравенства, получаем: http://sdamgia.ru/formula/44/44db973ab2bc7fc272904ec78fab3c90p.png

 

Ответ: (-0,75; 3).

3. Задание 21 № 311237. Решите неравенство http://sdamgia.ru/formula/ff/ff3e2d7c86d652f4133f0f3c71e73baep.png.

Решение.

1) Определим знак разности http://sdamgia.ru/formula/21/2115ba8edf2edcc16ce5175ffcc20a49p.png. Так как http://sdamgia.ru/formula/56/56dceac1c6c8100bc983997a14ffd6bap.png и http://sdamgia.ru/formula/d0/d06b82ba7d739da5e875bdc3aa103846p.png, то http://sdamgia.ru/formula/d6/d6901ca77a17ed901e34c3c3ce25739dp.png.

2) Получаем неравенство http://sdamgia.ru/formula/6f/6ffc439116ea9785752ce3d67741050dp.png. Отсюда http://sdamgia.ru/formula/00/00e9ec3d9cee0219dda43578c5991277p.png.

 

Ответ: http://sdamgia.ru/formula/d4/d4c45ced962ad8a182ded19a05436a76p.png. Другая возможная форма ответа: http://sdamgia.ru/formula/00/00e9ec3d9cee0219dda43578c5991277p.png.

4. Задание 21 № 314563. Решите неравенство http://sdamgia.ru/formula/fd/fd6f8ec7c128c803b06dee7ce0eaa411p.png

Решение.

Раскроем скобки, приведём подобные слагаемые, разложим на множители:

 

http://sdamgia.ru/formula/6e/6e607756619f3d9e5bf1e434d1eb3771p.png

 

http://sdamgia.ru/get_file?id=4726

Произведение двух сомножителей будет меньше нуля, если сомножители имеют разный знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:

 

http://sdamgia.ru/formula/cb/cb2c1c14e055626deb5193870834cce0p.png

 

Ответ: http://sdamgia.ru/formula/21/211215e0513c557e80eb64b51eec6313p.png

5. Задание 21 № 314574. Решите неравенство http://sdamgia.ru/formula/f9/f9e4596b8913f704ff7afb5e0d6d5a73p.png

Решение.

Умножим на 10, приведём подобные слагаемые и разложим на множители:

 

http://sdamgia.ru/formula/40/409743776bc6c554b7836b0245f92b1fp.png

 

http://sdamgia.ru/get_file?id=4738

Произведение двух сомножителей будет меньше нуля, если сомножители имеют разный знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:

 

http://sdamgia.ru/formula/37/3746138bac45a1d39948004e10d619a9p.png

 

Ответ: http://sdamgia.ru/formula/2b/2b0b9b8555199c261f0854692e926ebcp.png

6. Задание 21 № 314576. Решите неравенство http://sdamgia.ru/formula/6d/6db8e61207bb27e5477862dd40515943p.png

Решение.

Раскроем скобки, приведём подобные слагаемые, разложим на множители:

 

http://sdamgia.ru/formula/d6/d673969ea94c8508bb8676d0fc9019abp.png

 

http://sdamgia.ru/get_file?id=4727

Произведение двух сомножителей будет больше нуля, если сомножители имеют одинаковый знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:

 

http://sdamgia.ru/formula/5d/5d27740d9d25f4059cb72f04e1224c00p.png

 

Ответ: http://sdamgia.ru/formula/62/62d436604c51865d8d860e3bae002eb2p.png

7. Задание 21 № 314582. Решите неравенство http://sdamgia.ru/formula/d3/d3d2f3b90944455087adb2610ded4b6ep.png

Решение.

Умножим на 10 и решим неравенство:

 

http://sdamgia.ru/formula/5d/5d13f74285ad5bd533cd3ca902f14f92p.png

 

Произведение двух сомножителей будет больше нуля, если сомножители имеют одинаковый знак.

http://sdamgia.ru/get_file?id=4731

Таким образом, получится:

http://sdamgia.ru/formula/99/998b3cd9186d47b177caf3db5598daecp.png

 

Ответ: http://sdamgia.ru/formula/c2/c2d8ee51a7fe117878ece1b1025a9955p.png

8. Задание 21 № 314584. Решите неравенство http://sdamgia.ru/formula/7c/7ca7d2c8fecb023146a247ba677a20e0p.png

Решение.

Умножим на 12, приведём подобные слагаемые и разложим на множители:

 

http://sdamgia.ru/formula/c3/c36826a5fa686faa7c187277a234053dp.png

 

http://sdamgia.ru/get_file?id=4733

Произведение двух сомножителей будет больше нуля, если сомножители имеют одинаковый знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:

 

http://sdamgia.ru/formula/81/81863f6b4fe10b15ae78f7ed7ad96fbcp.png

 

Ответ: http://sdamgia.ru/formula/2c/2c54755263749a03d133e0cca2de6083p.png

9. Задание 21 № 314594. Решите неравенство http://sdamgia.ru/formula/28/2899fc4ad57dc54d321de97c44b5add1p.png

Решение.

Раскроем скобки, приведём подобные слагаемые, разложим на множители:

 

http://sdamgia.ru/formula/42/428903d78f85d26997273a81f653d432p.png

 

http://sdamgia.ru/get_file?id=6945

Произведение двух сомножителей будет меньше нуля, если сомножители имеют разный знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:

 

http://sdamgia.ru/formula/3d/3d585a2b9f5bfe5e805e9f10beb400bap.png

 

Ответ: http://sdamgia.ru/formula/3c/3cd679ec4553ca4e7506864e7a8d0e86p.png

10. Задание 21 № 333318. Решите неравенство http://sdamgia.ru/formula/a2/a257f5092a2c1dd92c500c36608a4898p.png

Решение.

Преобразуем неравенство:

 

http://sdamgia.ru/formula/84/84df0aa41a9b363e3c255d359d173951p.png

 

Ответhttp://sdamgia.ru/formula/40/402ad7688b51b4ecd6f90e52ee515bd6p.png

11. Задание 21 № 338505. Решите неравенство http://sdamgia.ru/formula/fb/fb6370d70f1641924db880b7817eb9bcp.png

Решение.

Решим неравенство методом интервалов, для этого, сначала разложим на множители выражение http://sdamgia.ru/formula/90/90ba2ba2440d1c4f2bd1685c6367df63p.png

 

http://sdamgia.ru/formula/fd/fd4acd01b956bc2948274e21fb779fb9p.png

 

http://sdamgia.ru/get_file?id=6241

Теперь расставим точки на прямой и определим знаки выражения на каждом получившемся промежутке(см рис.).

Таким образом, ответ http://sdamgia.ru/formula/d1/d178518e031cb8f6cddf42f4d9f528e8p.png

 

Ответ: http://sdamgia.ru/formula/d1/d178518e031cb8f6cddf42f4d9f528e8p.png

 

Примечание.

Обратите внимание, что при определении знаков выражения используется исходное выражение, а именно, http://sdamgia.ru/formula/fb/fb82c559d2d9370758d318bc946f8230p.png

12. Задание 21 № 338512. Решите неравенство http://sdamgia.ru/formula/30/30afc1b2c282a610a24c878e78059f90p.png

Решение.

Решим неравенство методом интервалов, для этого, сначала, найдём корни уравнения http://sdamgia.ru/formula/6f/6fa48d3540256daf81304e70b35f0babp.png

 

http://sdamgia.ru/formula/59/597830d0df58bd466af1135acfaf5ff3p.png

 

http://sdamgia.ru/get_file?id=6242

Теперь расставим точки на прямой и определим знаки исходного выражения на каждом получившемся промежутке(см рис.).

Таким образом, ответ http://sdamgia.ru/formula/82/8271bc1ef63d154c35efdef682362ec8p.png

 

Ответ: http://sdamgia.ru/formula/82/8271bc1ef63d154c35efdef682362ec8p.png

 

Примечание.

Обратите внимание, что при определении знаков выражения используется исходное выражение, а именно, http://sdamgia.ru/formula/7a/7ab1e63e3e24769e5cefcb65a8a08f2fp.png

13. Задание 21 № 338566. Решите неравенство http://sdamgia.ru/formula/a1/a18828d5f2fcd299a1d1f5ecc0df8349p.png

Решение.

Преобразуем неравенство:

 

http://sdamgia.ru/formula/b4/b46a670466a6e903f49be16909d8817ap.png

 

Произведение двух множителей меньше нуля тогда и только тогда, когда множители имеют разный знак, поэтому:

 

http://sdamgia.ru/formula/87/8798d2cf48bc84a0cff97f1c5cb14f9cp.png

Ответ: http://sdamgia.ru/formula/0f/0f8169fcd0f6c9f87847725285b0d051p.png

 

Примечание.

Обратите внимание на то, что просто сократить на http://sdamgia.ru/formula/7c/7c513087809d854b2c19fa5dd0b86369p.png нельзя, поскольку не известен знак этого выражения.

14. Задание 21 № 338701. Решите неравенство http://sdamgia.ru/formula/ca/cabc11ef53e52e0cbf469733afecd070p.png

Решение.

Последовательно получаем:

 

http://sdamgia.ru/formula/7d/7d983ae0c39164f9fb07e3f4f0904c54p.png

 

http://sdamgia.ru/formula/ab/ab8235227e6446f647ce124da95c29b4p.png

 

Произведение двух множителей меньше нуля тогда и только тогда, когда знаки множителей различны, следовательно:

 

http://sdamgia.ru/formula/86/86e4c1ea64cc6bac0c0cb378213f534cp.png

Ответ: [-1; 1].

15. Задание 21 № 338943. Решите неравенство http://sdamgia.ru/formula/51/51535a5980ffffbeb7c67272bc02747fp.png

Решение.

Преобразуем неравенство:

 

http://sdamgia.ru/formula/5a/5ad71a4a16b1624b4c7ab31d088a5037p.png

 

Произведение двух множителей больше нуля тогда и только тогда, когда множители имеют одинаковые знаки:

 

http://sdamgia.ru/formula/6f/6fd891bb5129e06e0e85ccaabfe8345cp.png

 

Таким образом, ответ http://sdamgia.ru/formula/2d/2d26d0198969f3b3b6dbf124554e3168p.png

 

Ответ: http://sdamgia.ru/formula/2d/2d26d0198969f3b3b6dbf124554e3168p.png

16. Задание 21 № 340850. Решите неравенство http://sdamgia.ru/formula/7b/7b92e7dc6927be9e9cc5224ab492a0abp.png

Решение.

Преобразуем исходное неравенство:

 

http://sdamgia.ru/formula/3c/3cfada7f0cdbd3638ce9b58ca8f0feeap.png откуда http://sdamgia.ru/formula/32/322e5389a98c0927ae91160e8f9c82c0p.png

Ответhttp://sdamgia.ru/formula/d7/d7be82f8f3a7335bbab386b82c850301p.png





57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 25.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1897
Номер материала ДВ-287869
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх