Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Задания для олимпиады по математике

Задания для олимпиады по математике

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Олимпиадные задания по математике 10 класс

Задача 1.

Найдите все такие двузначные числа A, для каждого из которых два из следующих четырех утверждений верны, а два - неверны: 
а) A делится на 5, 
б) A делится на 23, 
в) A+7 есть точный квадрат, 
г) A-10 есть точный квадрат. (2 балла)


Задача 2.

Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 25 см. (5 баллов)


Задача 3.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна сумме первых m членов той же прогрессии. Определите сумму первых членов этой же прогрессии. (7 баллов)


Задача 4.

При каких значениях параметра а уравнения и имеют общий корень? (7 баллов)


Задача 5.

Решите в целых числах уравнение: . (7 баллов)




















Олимпиадные задания по математике с решениями 10 класс


Задача 1.

Найдите все такие двузначные числа A, для каждого из которых два из следующих четырех утверждений верны, а два - неверны: 
а) A делится на 5, 
б) A делится на 23, 
в) A+7 есть точный квадрат, 
г) A-10 есть точный квадрат. (2 балла)

Ответ: 35 и 74.

Решение. Нужно перебрать все возможные варианты. Их всего 6: 1) а, б;

2) а, в; 3) а, г; 4) б, в; 5) б, г; 6) в, г. Верны только 3) и 6).

1б, если выбраны числа, соответствующие, хотя бы трем признакам.


Задача 2.

Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 25 см. (5 баллов)

Ответ: 5.

Решение. См. рисунок. , где .

Откуда получаем

.

Значит, .

Задача 3.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна сумме первых m членов той же прогрессии. Определите сумму первых членов этой же прогрессии. (7 баллов)

Ответ: 0.

Решение. Обозначим через - первый член прогрессии, а d – разность прогрессии. По условию задачи , то есть справедливо равенство , из которого, учитывая, что , получаем . Подставляя полученное выражение для в формулу суммы первых членов той же прогрессии, получим .

Примечание. Верный ответ без обоснования – 1 балл.


Задача 4.

При каких значениях параметра а уравнения и имеют общий корень? (7 баллов)

Ответ: При .

Решение. Если уравнения имеют общий корень, то имеет решение система уравнений . Вычитая из первого уравнения системы второе, получим , или . Если , то x – любое действительное число. Но при уравнение не имеет действительных решений. Следовательно, не подходит. Если , то . Подставляя найденное значение в любое из уравнений, найдем .

Комментарий. Приведен ответ - 1 балл. Если выписываются корни квадратичных уравнений и рассмотрены все возможные варианты равенства корней с верным полученным ответом – 7 баллов, рассмотрены не все возможные равенства корней, но получен верный ответ -3 балла, в остальных случаях – 1 балл.


Задача 5.

Решите в целых числах уравнение: .(7 баллов)

Ответ: (0; 1); (6; −1); (0; −1); (−6; 1).

Решение. Разложим на множители левую часть уравнения

. Так как число 5 – это 51, 15, −5(−1), −1(−5) , то мы получаем совокупность четырех систем:

или

Решая системы, получаем, x1 = 0, y1 = 1; x2 = 6, y2 = −1; x3 = 0, y3 = −1;

x4 = −6, y4 = 1.






























Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 04.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров26
Номер материала ДБ-237429
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх