Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Задания для олимпиады по математике
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Задания для олимпиады по математике

библиотека
материалов


Олимпиадные задания по математике 10 класс

Задача 1.

Найдите все такие двузначные числа A, для каждого из которых два из следующих четырех утверждений верны, а два - неверны: 
а) A делится на 5, 
б) A делится на 23, 
в) A+7 есть точный квадрат, 
г) A-10 есть точный квадрат. (2 балла)


Задача 2.

Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 25 см. (5 баллов)


Задача 3.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна сумме первых m членов той же прогрессии. Определите сумму первых членов этой же прогрессии. (7 баллов)


Задача 4.

При каких значениях параметра а уравнения и имеют общий корень? (7 баллов)


Задача 5.

Решите в целых числах уравнение: . (7 баллов)




















Олимпиадные задания по математике с решениями 10 класс


Задача 1.

Найдите все такие двузначные числа A, для каждого из которых два из следующих четырех утверждений верны, а два - неверны: 
а) A делится на 5, 
б) A делится на 23, 
в) A+7 есть точный квадрат, 
г) A-10 есть точный квадрат. (2 балла)

Ответ: 35 и 74.

Решение. Нужно перебрать все возможные варианты. Их всего 6: 1) а, б;

2) а, в; 3) а, г; 4) б, в; 5) б, г; 6) в, г. Верны только 3) и 6).

1б, если выбраны числа, соответствующие, хотя бы трем признакам.


Задача 2.

Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 25 см. (5 баллов)

Ответ: 5.

Решение. См. рисунок. , где .

Откуда получаем

.

Значит, .

Задача 3.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна сумме первых m членов той же прогрессии. Определите сумму первых членов этой же прогрессии. (7 баллов)

Ответ: 0.

Решение. Обозначим через - первый член прогрессии, а d – разность прогрессии. По условию задачи , то есть справедливо равенство , из которого, учитывая, что , получаем . Подставляя полученное выражение для в формулу суммы первых членов той же прогрессии, получим .

Примечание. Верный ответ без обоснования – 1 балл.


Задача 4.

При каких значениях параметра а уравнения и имеют общий корень? (7 баллов)

Ответ: При .

Решение. Если уравнения имеют общий корень, то имеет решение система уравнений . Вычитая из первого уравнения системы второе, получим , или . Если , то x – любое действительное число. Но при уравнение не имеет действительных решений. Следовательно, не подходит. Если , то . Подставляя найденное значение в любое из уравнений, найдем .

Комментарий. Приведен ответ - 1 балл. Если выписываются корни квадратичных уравнений и рассмотрены все возможные варианты равенства корней с верным полученным ответом – 7 баллов, рассмотрены не все возможные равенства корней, но получен верный ответ -3 балла, в остальных случаях – 1 балл.


Задача 5.

Решите в целых числах уравнение: .(7 баллов)

Ответ: (0; 1); (6; −1); (0; −1); (−6; 1).

Решение. Разложим на множители левую часть уравнения

. Так как число 5 – это 51, 15, −5(−1), −1(−5) , то мы получаем совокупность четырех систем:

или

Решая системы, получаем, x1 = 0, y1 = 1; x2 = 6, y2 = −1; x3 = 0, y3 = −1;

x4 = −6, y4 = 1.































Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 04.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров98
Номер материала ДБ-237429
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх