555527
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 1.410 руб.;
- курсы повышения квалификации от 430 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 90%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до конца апреля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыЗадания для олимпиады по математике

Задания для олимпиады по математике

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.


Олимпиадные задания по математике 10 класс

Задача 1.

Найдите все такие двузначные числа A, для каждого из которых два из следующих четырех утверждений верны, а два - неверны: 
а) A делится на 5, 
б) A делится на 23, 
в) A+7 есть точный квадрат, 
г) A-10 есть точный квадрат. (2 балла)


Задача 2.

Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 25 см. (5 баллов)


Задача 3.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна сумме первых m членов той же прогрессии. Определите сумму первых членов этой же прогрессии. (7 баллов)


Задача 4.

При каких значениях параметра а уравнения и имеют общий корень? (7 баллов)


Задача 5.

Решите в целых числах уравнение: . (7 баллов)




















Олимпиадные задания по математике с решениями 10 класс


Задача 1.

Найдите все такие двузначные числа A, для каждого из которых два из следующих четырех утверждений верны, а два - неверны: 
а) A делится на 5, 
б) A делится на 23, 
в) A+7 есть точный квадрат, 
г) A-10 есть точный квадрат. (2 балла)

Ответ: 35 и 74.

Решение. Нужно перебрать все возможные варианты. Их всего 6: 1) а, б;

2) а, в; 3) а, г; 4) б, в; 5) б, г; 6) в, г. Верны только 3) и 6).

1б, если выбраны числа, соответствующие, хотя бы трем признакам.


Задача 2.

Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 25 см. (5 баллов)

Ответ: 5.

Решение. См. рисунок. , где .

Откуда получаем

.

Значит, .

Задача 3.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна сумме первых m членов той же прогрессии. Определите сумму первых членов этой же прогрессии. (7 баллов)

Ответ: 0.

Решение. Обозначим через - первый член прогрессии, а d – разность прогрессии. По условию задачи , то есть справедливо равенство , из которого, учитывая, что , получаем . Подставляя полученное выражение для в формулу суммы первых членов той же прогрессии, получим .

Примечание. Верный ответ без обоснования – 1 балл.


Задача 4.

При каких значениях параметра а уравнения и имеют общий корень? (7 баллов)

Ответ: При .

Решение. Если уравнения имеют общий корень, то имеет решение система уравнений . Вычитая из первого уравнения системы второе, получим , или . Если , то x – любое действительное число. Но при уравнение не имеет действительных решений. Следовательно, не подходит. Если , то . Подставляя найденное значение в любое из уравнений, найдем .

Комментарий. Приведен ответ - 1 балл. Если выписываются корни квадратичных уравнений и рассмотрены все возможные варианты равенства корней с верным полученным ответом – 7 баллов, рассмотрены не все возможные равенства корней, но получен верный ответ -3 балла, в остальных случаях – 1 балл.


Задача 5.

Решите в целых числах уравнение: .(7 баллов)

Ответ: (0; 1); (6; −1); (0; −1); (−6; 1).

Решение. Разложим на множители левую часть уравнения

. Так как число 5 – это 51, 15, −5(−1), −1(−5) , то мы получаем совокупность четырех систем:

или

Решая системы, получаем, x1 = 0, y1 = 1; x2 = 6, y2 = −1; x3 = 0, y3 = −1;

x4 = −6, y4 = 1.






























Общая информация

Номер материала: ДБ-237429

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.